Cơ Khí Học - Ứng Suất Vật Liệu part 20 ppsx

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 18
Xét dầm có biểu đồ
x
x
EI
M
như H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.10a.



















Xét đoạn dầm AB:
dz

EI
M
d
x
x
−=
ϕ
, suy ra:
∫∫
−=
B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
x
x
dz
EI
M
d
ϕ


AB
ABAB
S−==−

ϕϕϕ
(8.18)
với
AB
S là diện tích của biểu đồ
x
x
EI
M
gồm giữa hai mặt cắt A và B.
Đònh lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A và B)
thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ
x
x
EI
M
giữa hai mặt cắt ấy.
Từ hình 8.10d:
dz
EI
M
zdzdt
x
x
−==
ϕ
suy ra:
∫∫
−=−==
B

A
B
A
Z
Z
Z
Z
AB
C
x
x
BA
Szdz
EI
M
zdtt
(8.20)
C
z là khoảng cách từ trọng tâm của diện tích
AB
S đến B

Đònh lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một
tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mô men
H
.8.10 Phương pháp diện tích mô men
z
A
z

B
ĐĐH
y
B
y
A
z
B

dz
z
ϕ

y

a)
C
z
C
C
z
A
B
AB
S
dz
EI
M
x
x

b)
x
x
EI
M

z
A

z
L
AB

















GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 19
tónh của diện tích của biểu đồ
x
x
EI
M
đối với đường thẳng đứng đi qua B.
Từ H.8.10d ta có:
y
B
= y
A
+
ϕ
A
L
AB
+ t
BA
= y
A
+
ϕ
A
(z
B
– z
A
) + t

BA

y
B
= y
A
+
ϕ
A
(z
B
– z
A
) –
AB
C
Sz
(8.21)
(7.21) chính là công thức dùng để xác đònh độ võng của điểm B nếu biết độ võng
của một điểm A (z
B
> z
A
) và biểu đồ
x
x
EI
M
giữa hai điểm này.
Từ (8.21 có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ võng của điểm B (z

B
> z
A
).

AB
BA
S+=
ϕϕ
và y
A
= y
B
–
ϕ
A
(z
B
– z
A
) +
AB
C
Sz
với:
CABC
zLz −=
ta viết:
(
)

(
)
AB
CABAB
AB
BBA
SzLLSyy −++−=
ϕ

Khai triển và rút gọn, ta được:
y
A
= y
B
–
ϕ
B
L
AB
– z
C
AB
S
(8.22)
z
C
- là khoảng cách từ trọng tâm C của
AB
S
kể từ A.

Thí dụ 8.5. Dùng phương pháp diện tích mô men xác đònh góc xoay ở đầu trái A và
độ võng ở điểm D giữa dầm (H.8.11). EI
x
= hằng số.
Giải. Theo đònh lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm
A (z = 0) và D (z = L/2)
AD
AD
S−=
ϕϕ

Chú ý rằng
ϕ
D
= 0 vì bài toán đối xứng và
AD
S có
thể phân chia thành
321
SSS ++
.
ta suy ra:
0)(
321
=++− SSS
A
ϕ

x
A

EI
qL
SSS
3
321
648
13
×=++=
ϕ

Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ.
Áp dụng công thức (8.21), ta viết
AD
C
AAD
Sz
L
yy −+=
2
ϕ
() () ()
(
)
3
3
2
2
1
1
3

2648
13
0 SzSzSz
L
EI
qL
CCC
x
++−××+=
x
EI
qL
2
11664
77
×=






BÀI TẬP CHƯƠNG 8
2 m
6 m
M
o
H.8.1

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 20
8.1 Xác đònh đường đàn hồi dầm bằng phương pháp tích phân không đònh
hạn, biết M
o
= 20 kNm, EJ không đổi. H.8.1.
8.2 Xác đònh góc xoay ở hai đầu dầm và độ võng tại giữa dầm bằng
phương pháp tích phân không đònh hạn, EJ không đổi. H.8.2.
8.3 Dầm mặt cắt ngang thay đổi và chòu lực
như H.8.3. Tính độ võng tại dầm tự do và
góc xoay tại mặt cắt ngang giữa dầm.

8.4 Dầm có độ cứng không đổi như H.8.4.
Xác đònh:
- Độ võng và góc xoay tại C
- Góc xoay tại A và B
- Độ võng tại mặt cắt D

8.5 Tìm độ võng tại mặt cắt C, góc xoay bên
trái và phải khớp A của dầm như H.8.5,
biết độ cứng EJ = hằng .
8.6 Tìm độ võng tại B, góc xoay tại A của
dầm như H.8.6, biết EJ= hằng.

8.7 Xác đònh độ võng và góc xoay tại C. H.8.7





8.8 Một hệ thống gồm ba công xon, đầu tự
do được liên kết với nhau bằng những
giằng cứng như H.8.8. Tính ứng suất
cực đại ở mỗi dầm khi có lực treo ở
H.8.4
q
aaa
4qa
qa
2
C
A
D

B
H. 8.2
q

L/2

L/2
H. 8.3
L/2
L/2
B
h
A
C

L/2
L/2
B
b
A
C
H. 8.5
aaa
C

B
D
A
P
a
a
A
P
C

H. 8.6

H. 8.7
A

3 m
1 m
EJ
B
2EJ
40 kN
C
H. 8.8
L
L

L
P
B

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 21
dầm, biết độ cứng EJ là hằng số.

8.9 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm siêu tónh như H.8.9. Viết phương trình
đường đàn hồi, biết độ cứng EJ là hằng số.


H. 8.9

q
L

L
H. 8.1
0
M
o
EJ = hằng s
ố
L/2
L/2


8.10. Xác đònh phản lực của dầm siêu tónh như H.8.10.
8.11. Thanh thép dài 1 m, mặt cắt chữ nhật 20
36 mm, ngàm ở đầu A, chòu
lực P = 30 N đặt ở giữa nhòp. Kiểm tra độ bền của dầm.
Biết [
σ] = 16 kN/cm
2
. Ở đầu B có khe hở δ = 20 mm.
Cho E = 2.10
4
kN/cm
2
.

H. 8.11

0,5 m

0,5 m
A

B
P
δ
20 mm
6 mm












8.5. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (DTMM)
1. Nội dung phương pháp

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 22
Xét dầm chòu uốn có biểu đồ
x

x
EJ
M
như H.8.13b, đường đàn hồi (nét đứt)
như H.8.13a.
























♦ Xét đoạn dầm AB, ta đã có:

x
x
EJ
M
y −="
⇔
x
x
EJ
M
dz
d
dz
dy
−==
ϕ
'
⇒ dz
EJ
M
d
x
x
−=
ϕ

⇒
∫∫
−=

B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
x
x
dz
EJ
M
d
ϕ

z
A
z
B
ĐĐH
y
B
y
A

z
B

dz

z
ϕ
t

y

a)
c)
H.8.13
d)
C
z
C
C
z
A
B
AB
S

dz
EJ
M
x
x

b)
x
x
EJ

M


A
B
y
A
y
B
t
BA
ϕ
A
ϕ
B
A’
B’
dz
z
d
ϕ

dt
B

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 23

AB

ABAB
S−==−
ϕϕϕ
(8.4)
với
AB
S
là diện tích của biểu đồ
x
x
EJ
M
gồm giữa hai mặt cắt A và B.
Đònh lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa
A và B) thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ
x
x
EJ
M
giữa hai mặt cắt ấy.
♦ Từ H.8.13c ta có thể viết:

dz
EJ
M
zdzdt
x
x
−==
ϕ

suy ra:
∫∫
−=−==
B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
AB
C
x
x
BA
Szdz
EJ
M
zdtt
C
z là khoảng cách từ trọng tâm của diện tích
AB
S đến B
Đònh lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với
một tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu
trừ mômen tónh của diện tích của biểu đồ
x
x

EJ
M
đối với đường thẳng đứng đi
qua B.
Từ H.8.13d ta có:
y
B
= y
A
+
ϕ
A
L
AB
+ t
BA

= y
A
+
ϕ
A
L
AB
–
AB
C
Sz (8.5)
(8.5) chính là công thức dùng để xác đònh độ võng của điểm B nếu biết độ
võng của một điểm A (z

B
> z
A
) và biểu đồ
x
x
EJ
M
giữa hai điểm này.
♦ Từ (8.5) ta cũng có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ võng của
điểm B (z
B
> z
A
). Thật vậy theo phần trên ta có:

AB
BA
S+=
ϕϕ

và: y
A
= y
B
–
ϕ
A
L
AB

+
AB
C
Sz
với:
CABC
zLz −=
ta viết:
(
)
(
)
AB
CABAB
AB
BBA
SzLLSyy −++−=
ϕ

Khai triển và rút gọn, ta được:
y
A
= y
B
–
ϕ
B
L
AB
– z

C
AB
S (8.5)’
trong đó: z
C
- là khoảng cách từ trọng tâm C của
AB
S kể từ A.

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 24
♦ Dùng phương pháp DTMM cần biết diện tích và trọng tâm của một số
hình ( bảng 8.2 ).
Thí dụ 8.7. Dùng phương pháp DTMM xác
đònh góc xoay ở đầu trái A và độ võng ở điểm
D giữa dầm (H.8.14). EJ
x
= hằng số.
Giải.
+ Theo đònh lý 1, công thức (8.4), xét hai điểm
A (z = 0) và D (z = L/2) :
AD
AD
S−=
ϕϕ

Chú ý rằng
ϕ
D

= 0 vì bài toán đối xứng và
AD
S
có thể phân chia thành
321
SSS ++ (H.8.14).
⇒ 0)(
321
=++− SSS
A
ϕ


xxxx
A
EJ
qLL
EJ
qLL
EJ
qLL
EJ
qL
SSS
3222
321
648
13
6723
2

672
4
32
1
72
4
×=××+××+×××=
++=
ϕ

Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ.
+ Áp dụng công thức (8-5), ta viết

AD
C
AAD
Sz
L
yy −+=
2
ϕ


() () ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

++−××+=
3
3
2
2
1
1
3
2648
13
0 SzSzSz
L
EJ
qL
CCC
x


⎥
⎦
⎤
××××+×××+
⎢
⎣
⎡
+×××
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
×+−××=
6723
2
68
3
72
4
662
1

372
4
2
1
33
1
62648
13
22
23
L
EJ
qLL
EJ
qLLL
L
EJ
qLLLL

EJ
qL
xx
xx


x
EJ
qL
2
11664
77
×=

Độ võng mặt cắt D hướng xuống dưới.

Thí dụ 8.8
Xác đònh góc xoay ở A,B và độ võng ở D
của dầm cho như H.8.15
L/2
L/2
A
B
D

q

x
M
2

8
1
qL
x
EJ
qL
S
3
1
72
1
=

x
x
EI
M
x
EJ
qL
2
8
1
x
EJ
qL
2
24
1

x
EJ
qL
S
3
2
24
1
=
3EJ
EJ

H.8.15
L/3
L/3
L/3

A
B
D

x
EJ
qL
2
72
4
x
EJ
qL

2
72
5

q
S
3
H.8.14
x
x
EJ
M