Đề thi HSG và GVDG

1
SỞ GD -ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THCS
Đề chính thức Năm học 2003 -2004
Môn thi: Kiến thức bộ môn TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 10 - 11 - 2003

Câu 1: (1,5 điểm)
Cho sáu số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 trong đó n là một số tự
nhiên nào đó. Chứng minh rằng trong sáu số đó không có hai số nào có ước chung là một số
lớn hơn hay bằng 6.
Câu2: (1,5 điểm)
Người ta dùng một đoạn dây dài 40 mét căng ba phía thành sân chơi hình chữ nhật
(còn một phía là tường đã có sẵn ) .Xác đònh chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật khi
hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất
Câu 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi đường gấp khúc khép kín không tự cắt trong mặt phẳng
tồn tại một đường tròn bán kính bằng
4
1
chu vi đường gấp khúc và không có một điểm nào
của đường gấp khúc lại ở ngoài đường tròn này.
Câu 4: (2,0 điểm)
Tìm x
21
, x
biết x
21
, x
là ngiệm của phương trình

01
2
=++ pxx
và thoả mãn điều
kiện :
( ) ( )
110
2
1
2
2
1
2
2
2211
+=












++







−− pxxxx
Câu 5: (3,0 điểm )
1) Trong các phương pháp dạy học toán ở trường THCS thì phương pháp dạy học
giải quyết vấn đe àthường được nhiều giáo viên sử dụng . Anh , (chò ) hãy cho biết :
_ Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề có những đặc trưng cơ bản nào ?
_Khi sử dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề trong bài giảng của
mình;hoạt động của giáo viên thường được phân theo mấy bước? Nêu rõ các bước đó.
2)Anh,(chò) hãy tự soạn một giáo án dạy đònh lý sau bàng phương pháp giải quyết
vấn đề:
"Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung ấy ra hai phần bằng nhau".
HẾT


2
PHÒNG GD -ĐT PHÙ CÁT KỲ THI TUYỂN CHỌN HSG BẬC THCS
Đề chính thức Năm học: 2003 - 2004
Môn thi: Toán
Ngày thi: 15 - 11 -2003
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian phát đề )

Bài 1: (2 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số
n
222

118
++
là số chính phương
Bài 2: (3 điểm)
Cho x, y là các số thực dương . Chứng minh rằng :
( )
xyyx
yx
yx 22
2
2
+≥
+
++
Bài 3: (2 điểm)
Cho (x; y ) là nghiệm của phương trình :
018141023
22
=+−−++ yxxyyx
Tìm nghiệm (x; y) sao cho biểu thức S = x+ y
a) Đạt giá trò lớn nhất
b) Đạt giá trò nhỏ nhất
Bài 4: (3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD và M là trung điểm của AB. Xét điểm P thuộc đoạn thẳng AC
sao cho hai đường thẳng MP và BC cắt nhau , gọi giao điểm đó là T . Gọi Q là điểm thuộc
đoạn thẳng BD sao cho
PC
AP
QD
BQ

=
Chứng minh rằng đường thẳng TQ luôn đi qua một điểm cố đònh khi P chạy trên đoạn AC

HẾT
3
PHÒNG GD -ĐT PHÙ CÁT KỲ THI TUYỂN CHỌN HSG BẬC THCS
Đề chính thức Năm học: 2003 - 2004
Môn thi: Toán
Ngày thi: 16 - 11 -2003
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian phát đề )

Bài 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu P và
2
2
+P
là hai số nguyên tố thì
3
3
+P
cũng là số nguyên
tố
Bài 2: (3 điểm)
Tìm giá trò nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với
mọi số thực x
( )( ) ( )
mxxx ≥+++ 321
2
Bài 3: (2 điểm)

Với giá trò nguyên nào của k các nghiệm của phương trình:
( )
0212
2
=−+−+ kxkkx
là các số hữu tỉ
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có diện tích là S và một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác
ABC (M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, Pvà Q thuộc cạnh BC ) . Gọi diện tích hình chữ
nhật MNPQ là
1
S
.Chứng minh rằng:
1
2SS ≥
HẾT
4
PHÒNG GD_ ĐT PHÙ CÁT KỲ THI TUYỂN CHỌN HSG CẤP HUYỆN
BẬC THCS NĂM HỌC: 2003 - 2004
MÔN THI: TOÁN
NGÀY THI: 18 - 01 -2004
THỜI GIAN: 150 PHÚT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn phương trình sau:

222
2

519975 q
pp
+=+
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
( )
83232
32
+=+− xxx
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai:
0
2
=++ nmxx
có hai nghiệm
21
, xx
và
1−≤ mn
.
Chứng minh rằng
1
2
2
2
1
≥+ xx
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho hình thoi ABCD. Gọi
1

R
và
2
R
lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD và tam giác ABC. Gọi a là độ dài cạnh hình thoi .
Chứng minh hệ thức
22
2
2
1
411
aRR
=+
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C, kẻ đường cao CD, đường phân giác CE của góc ACD
và đường phân giác CF của góc BCD. Tìm giá trò nhỏ nhất của
CEF
ABC
S
S


5
SỞ GD - ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Đề chính thức Lớp9 THCS - Năm học 2003-2004
Môn thi: TOÁN-Bảng A
Thời gian: 150 phút ( không kể phát đề )
Ngày thi: 18 - 03 - 2004

Bài 1: (5,0 điểm).
Chứng minh rằng số:
( )
1
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++=
nn
a
Với
+
∈ Zn
không phải là số nguyên .
Bài 2: ( 5,0 điểm ).
Chứng minh rằng với :

( )



−+<+
>
acbcabca

c
2
0
2
thì phương trình sau đây luôn luôn có nghiệm .

0cba
2
=++ xx

Bài 3: ( 5,0 điểm )
Cho một hình chữ nhật có chu vi là p và diện tích S. Chứng minh rằng :
22
32
++
≥
PS
S
P
Bài 4: (5,0 điểm )
Về phía trong của tứ giác lồi ABCD, ta dựng những nửa hình tròn có đường
kính theo thứ tự là các cạnh của tứ giác . Chứng minh rằng tứ giác ABCD hoàn toàn bò
phủ kín
6
PHÒNG GD -ĐT PHÙ CÁT KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THCS
Đề chính thức Năm học 1999 - 2000
Môn thi: Kiến thức bộ môn TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 23 – 10 - 1999

Bài 1: (2 điểm)
Một số tự nhiên có hai chữ số. Ta viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số đó thì được một số mới có ba
chữ số. Tìm giá trò nhỏ nhất, giá trò lớn nhất của tỉ số giữa số mới và số cho trước.
Bài 2: (4 điểm)
Giải và biện luận hệ phương trình



=−−−
=−
032
1
22
yyxyx
myx
Bài 3:(4 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AH, BE, CF của tam giác cắt đường tròn ngoại
tiếp tại các điểm tương ứng M, N, K. Tính
CF
CK
BE
BN
AH
AM
++
7
SỞ GD -ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THCS
Đề chính thức Năm học 1999 - 2000

Môn thi: Kiến thức bộ môn TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 12-3-2000

Bài 1: (2 điểm)
Đơn giản biểu thức
36
52.549 −+
Bài 2: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có đáy BC = a. chiều cao AH = h. Muốn cắt một hình chữ nhật MNPQ có
cạnh PQ nằm trên BC. Hỏi MQ phải bằng bao nhiêu để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Bài 3: (3 điểm)
Cho
2222
2 tzyxA +++=
x, y, z, t là các số nguyên không âm
Tìm giá trò nhỏ nhất của A và các giá trò tương ứng của x, y, z, t biết



=++
=+−
10143
21
222
222
zyx
tyx

Bài 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có
0
120
ˆ
=A
. AD là phân giác trong. Gọi E, F là chân đường vuông góc hạ từ
D đến các cạnh AB, AC.
- chứng minh tam giác DEF đều
- Qua C vẽ đường thẳng song song AD cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh tam giác ACM
đều
a) Hãy giải bài toán trên
b) Ra một bài toán tương tự dành cho học sinh yếu và một bài toán mở rộng dành cho học sinh giỏi
8
PHÒNG GD -ĐT PHÙ CÁT KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THCS
Đề chính thức Năm học 2000 - 2001
Môn thi: Kiến thức bộ môn TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 4 – 11 - 2000
Bài 1: (2 điểm)
Cho
10;0 =+≥≥ baba
Tìm giá trò nhỏ nhất, giá trò lớn nhất của biểu thức
A = a
2
+ b
2
Bài 2: (4 điểm)
Giải bài toán sau: Trăm trâu ăn trăm bó cỏ.

Trâu đứng ăn năm,
Trâu nằm ăn ba,
Lụ khụ trâu già,
Ba con một bó.
Tìm số trâu đứng, trâu nằm, trâu già
Bài 3: (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kì trên cung nhỏ AB. Chứng minh
rằng tổng các khoảng cách từ M đến A và B không lớn hơn đường kính của đường tròn(O)
9
SỞ GD -ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THCS
Đề chính thức Năm học 2001 - 2002
Môn thi: Kiến thức bộ môn TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề )
Ngày thi 11 – 11 - 2001
Bài 1: (2,5 điểm)
CMR: nếu x
3
+ y
3
= 2 thì 0 < x +y
≤
2
Bài 2: (2 điểm)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, Bc của hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia
DC lấy điểm P bất kì (P
≠
D) Giao điểm của AC với đường thẳng PM là Q.
Chứng minh
MNPQNM ∠=∠

Bài 3: (2,5 điểm)
Xác đònh giá trò của a để hệ sau có nghiệm




+=+
=−++
12
11
ayx
ayx
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c; và đường phân giác trong AD = d
a
a) Gọi N là giao điểm của đường thẳng AD với đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC.
Tính AD theo b, c, AN.
b) Từ câu a hãy so sánh
2
a
d
với b.c và đề xuất bài toán mới
PHÒNG GD -ĐT PHÙ CÁT KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THCS
10
Đề chính thức Năm học 1999 - 2000
Môn thi: Kiến thức bộ môn TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 23 – 10 - 1999
Bài 1: Nêu phương pháp dạy học nêu vấn đề? Cho ví dụ?

Bài 2: Tìm năm sinh nhà thơ Nguyễn Du biết năm 1786 thì tuổi của ông bằng tổng các chữ số của năm
ông sinh ra.
Bài 3: Giải phương trình

( ) ( ) ( )
333
1813 −=++− xxx
Bài 4: Cho nhình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, M là một điểm di động trên cạnh AB. Dựng các
hình vuông có cạnh AM, MB vào phía trong hình vuông. Hãy xác đònh vò trí của điểm M để cho diện tích
phần còn lại của hình vuông lớn nhất
SỞ GD - ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
11
Đề chính thức Lớp9 THCS - Năm học 2003-2004
Môn thi: TOÁN-Bảng A
Thời gian: 150 phút ( không kể phát đề )
Ngày thi: 18 - 03 - 2005

Bài 1: (5,0 điểm).
Hãy tìm số chính phương lớn nhất có chữ số cuối cùng khác 0 sao
cho sau khi xoá bỏ hai chữ số cuối thì thu được một số chính phương
Bài 2: ( 5,0 điểm ).
Giải phương trình x
2
+
x−2
= 2x
2
.
x−2

Bài 3: ( 5,0 điểm )
P = (1 + x).








+
y
1
1
+ (1 + y).






+
x
1
1
Trong đó x, y là các số dương thoả mãn x
2
+ y
2
= 1

Bài 4: (5,0 điểm )
Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh BC lấy
một điểm E sao cho hình chiếu của DE lên BC bằng
BC
2
1
. Chứng minh rằng đường
vuông góc với DE tại E luôn luôn đi qua một điểm cố đònh
TRƯỜNG THCS NGÔ MÂY BÀI KIỂM TRA CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 9
12
Đề chính thức Năm học 2005 - 2006
Thời gian: 120 phút ( không kể phát đề )
Ngày thi: 18 - 10 - 2005

Bài 1: a) Chứng minh rằng 6
2n
+ 19
n
– 2
n+ 1

M
17 với mọi n

N
b) Cho A = 1
5
+ 2
5
+ 3

5
+ … + n
5

B = 1 + 2 + 3 + … + n Với n

N
*
Chứng minh A
M
B
Bài 2:
Giải phương trình x
3
+ x
2
+ x = –
1
3
Bài 3:
Cho a; b; c > 0 và a + b + c
≤
1. Chứng minh rằng :

1 1 1
9
2 2 2
2 2 2
a bc b ac c ab
+ + ≥

+ + +
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB > AC;
·
BAC
=
α
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E
là trung điểm của AD; F là trung điểm của BC. Tính
·
BEF
TRƯỜNG THCS NGÔ MÂY BÀI KIỂM TRA CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 9
Đề chính thức Năm học 2005 - 2006
Thời gian: 120 phút ( không kể phát đề )
Ngày thi: 18 - 10 - 2005

Bài 1: a) Chứng minh rằng 6
2n
+ 19
n
– 2
n+ 1

M
17 với mọi n

N
b) Cho A = 1
5
+ 2
5

+ 3
5
+ … + n
5

B = 1 + 2 + 3 + … + n Với n

N
*
Chứng minh A
M
B
Bài 2:
Giải phương trình x
3
+ x
2
+ x = –
1
3
Bài 3:
Cho a; b; c > 0 và a + b + c
≤
1. Chứng minh rằng :

1 1 1
9
2 2 2
2 2 2
a bc b ac c ab

+ + ≥
+ + +
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB > AC;
·
BAC
=
α
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E
là trung điểm của AD; F là trung điểm của BC. Tính
·
BEF