De thi thu DH 2010 co dap an chi tiet

. THI TH I HC, CAO NG NM 2010
Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ).
PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im)
Cõu I (2 im) Cho hm s
2 2
( 1 ) 2y x m x= +
cú th l
( )
m
C
.
1. Kho sỏt v v th ca hm s khi
3.m =
2. Tỡm
m

( )
m
C
cú 3 im cc tr. Khi ú gi
( )
l tip tuyn ca
( )
m
C
ti im cc
tiu, tỡm
m
din tớch min phng gii hn bi
( )
m

C
v
( )
bng
4
15
.
Cõu II (2 im) : 1. Gii h phng trỡnh:
2 2
2 2 2
1 2.
x xy y y x
y x y x

+ + = +


+ + =


.
2.Gii phng trỡnh :
01cossin2sinsin2
2
=++ xxxx
.
Cõu III (1 im): Tính tích phân sau:
2
3
cos

sin cos
2 2
0
x x
x
A e dx

=

Câu IV .(1 điểm) Cho tứ diện ABCD có góc
0 0
90 ; 120ABC BAD CAD= = =
.AB=a, AC=2a, AD=3a .
Tính thể tích tứ diện ABCD đó
Cõu V (1 im) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trỡnh chun.
Cõu VI.a (2 im) 1. Cho

ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM:
2 1 0x y+ + =
v phõn giỏc trong
CD:
1 0x y+ =

. Vit phng trỡnh ng thng BC.
2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

.Gi

l ng thng qua im A(4;0;-1)
song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

, hóy
vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht.
Cõu VII.a (1 im) Với x,y là các số thực thuộc đoạn
[ ]
0;1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
1 1 2 9
3

2 1 1
1
xy
P
xy x y xy
x y
+
= + + +
+ + + +
+ +
2. Theo chng trỡnh nõng cao.
Cõu VI.b (2 im) 1) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn
2 2
( ) : 2 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 5 0C x y x+ + =
cựng i qua M(1; 0). Vit phng trỡnh
ng thng qua M ct hai ng trũn
( ), ( ')C C
ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB.
2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d :
z
y
x =


=
1
2
và d :

1
5
3
2
2

+
==
z
y
x
.
Viết phơng trình mặt phẳng
)(

đi qua d và tạo với d một góc
0
30
Cõu VII.b (1 im) Cho x, y, z
0

tho món x+y+z > 0. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
( )
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
+ +
=

+ +
Ht
Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2010
Híng dÉn chÊm m«n to¸n
Câu I.1) (1 điểm)
Nội dung Điểm
- m=3, h/s trở thành
2 2 4 2
(2 ) 2 2 2y x x y x x= − + ⇔ = − + +
.
TXĐ: R, là h/s chẵn,
lim
x
y
→±∞
= −∞
. Ta có
3
0
' 4 4 , ' 0
1
x
y x x y
x
=

= − + = ⇔

= ±


.
0.25
BBT.
0.25
Nêu các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị 0.25
Đồ thị;
2
-2
O
-5
5
-1
3
2
-2
1
0.25
Câu I.2) (1 điểm)
Nội dung Điểm
Trường hợp tổng quát, ta có
3
' 4 2( 1)y x m x= − + −
. H/s có ba cực trị khi và chỉ khi pt y’=0
có ba nghiệm phân biệt
3
2
0
4 2( 1) 1.
2 1

x
x m x m
x m
=

⇔ = − ⇔ ⇒ >

= −

0.25
Ta có
2
'' 12 2( 1) ''(0) 2( 1) 0 ( )
m
y x m y m C= − + − ⇒ = − > ⇒
có điểm cực tiểu (0;2). Tiếp
tuyến với
( )
m
C
tại (0;2) là
( ): 2 '(0)( 0) 2.y f x y∆ − = − ⇔ =

0.25
Pt hoành độ giao điểm của
( )
m
C
và
( )∆

là:
2 2
0
( 1 ) 2 2
1
x
x m x
x m
=

− − + = ⇔

= ± −

.
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi
( )
m
C
và
( )∆
là
1
4 2
1
( 1)
m
m
x m x dx
−

− −
− + −
∫
0.25
( )
1
1
5 3 2
4 2
1
0
( 1) 4( 1) 1
( 1) 2
5 3 15
m
m
m
x m x m m
x m x dx
−
−
− −
 
− − −
− + − = − + =
 ÷
 
∫
. Ycbt tương
đương với

2 5
( 1) 1 1 ( 1) 1 2.m m m m− − = ⇔ − = ⇔ =
0.25
CâuII 1
ĐK: x-y+1
0≥
.
0.25
Ta có (1)
2 2 2
2( ) 0 ( )( 2) 0
2 2
x y xy y y x x y x y y
x y x y
⇔ − + − + − = ⇔ − + + − =
⇔ = ∨ = −
0.25
Với x=y,
(2) 1 2 1 1x x x x x x y⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = =
là 1 nghiệm.
0.25
Với x=2-2y,
2
0
(2) 2 2 1 2 2 2 3 3 2
8
3 3 4
3
x
y

y y y y y y y
y
x
=

=


⇔ − − + + − = ⇔ − = ⇔ ⇒


− =
=


KL: Hệ có 3 nghiệm (1;1); (2;0); (8/3;-1/3).
0.25

Câu Ý
1) CâuII:2. Giải phương trình:
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
=−+−−⇔=−++− xxxxxxxx
.

22
)3cos2()1(cos8)1cos2( −=−−−=∆ xxx
. VËy
5,0sin =x
hoÆc

1cossin
−=
xx
.
Víi
5,0sin =x
ta cã
π
π
kx 2
6
+=
hoÆc
π
π
kx 2
6
5
+=
Víi
1cossin
−=
xx
ta cã







−=−=






−⇔−=−
4
sin
2
2
4
sin1cossin
ππ
xxx
, suy ra

π
kx 2
=
hoÆc
π
π
kx 2
2
3
+=
2
Câu Phần

III
(1,0)
Ta cã
2
cos
0
1
(sin sin 2 )
2
x
A x x e dx
π
= +
∫
2 2
cos cos
0 0
1 1 1
sin sin 2
2 2 2
x x
xe dx xe dx I J
π π
= + = +
∫ ∫
+TÝnh
2
cos cos
2
0

0
sin | 1
x x
I xe dx e e
π
π
= = − = −
∫
+TÝnh
2 2
cos cos
0 0
1
sin 2 . sin cos .
2
x x
J x e dx x x e dx
π π
= =
∫ ∫
§Æt
cos cos
cos sin
sin .
x x
u x du xdx
dv x e dx v e
 = = −

⇒

 
= = −


Khi ®ã
2
cos cos
2
0
0
cos . | sin . 1
x x
J x e x e dx e I
π
π
= − − = − =
∫
VËy ;
1
2
e
A
+
=
0.25
0.25
0.25
0.25
IV

A
B

M
I
N
D
C
+Gọi M;N là các điểm thuôc cạnh AC và AD sao cho AM=AN=a
Ta có :
2 2 2 0
2 . cos120MN AM AN AM AN= +
2
3 3a MN a= =
+
2BN a=
;
1
2
BM AC a= =
Suy ra :
2 2 2
MN BM BN= +
,Do đó tam giác BMN vuông tại B.
2
1 2
.
2 2
BMN

a
S BN BM

= =
+ Goị I là trung điểm của MN, ta có:
2
2 2 2
4
a
AI AN IN= =
Xét tam giác BMN có BI là trung tuyến nên ta có :
2 2 2 2
2
3
2 4 4
BM BN MN a
BI
+
= =
Dễ thấy
2 2 2 2
AI BI a AB+ = =
suy ra tam giác AIB vuông tại I
Nh vậy
; ( )AI BI AI MN AI BMN
suy ra AI là Đờng cao của tứ diện ABMN
+ Khi đó
2 3
1 1 2 2
. . .

3 3 2 2 12
ABMN BMN
a a a
V AI S

= = =
+ Mặt khác
1
. .
6
ABMN
ABCD
V
AB AM AN
V AB AC AD
= =
6
ABCD ABMN
V V =
3 3
2 2
6.
12 2
a a
= =
1V
Nhận xét : 10x
48
2
++ x

= 2(2x+1)
2
+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(
02)
1
12
()
1
12
2
2
2
=+
+
+

+
+
x
x
m
x
x
.
Đặt

t
x
x
=
+
+
1
12
2
Điều kiện : -2< t
5
. Rút m ta có: m=
t
t 22
2
+
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
(
]
5,2
, ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:
hoặc -5 <
4
<
m
VIa
1
im
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t + =

.
Suy ra trung im M ca AC l
1 3
;
2 2
t t
M
+

ữ

.
im
( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+

+ + = + + = =
ữ

Từ A(1;2), kẻ
: 1 0AK CD x y⊥ + − =
tại I (điểm
K BC
∈
).

Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + =
.
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =

⇒

− + =

.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của
( )
1;0K −
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y

x y
+
= ⇔ + + =
− +

2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng
∆
, thì
( )//( )P D
hoặc
( ) ( )P D⊃
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có
IH AH⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, ,d D P d I P IH
H P

= =


∈



Trong mặt phẳng
( )
P
,
IH IA≤
; do đó
axIH = IA H Am
⇔ ≡
. Lúc này (P) ở vị trí (P
0
) vuông góc với IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P
0
) là
( )
6;0; 3n IA= = −
r uur
, cùng phương với
( )
2;0; 1v = −
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là:
( ) ( )
2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + =
.
VIIa
+ Ta cã :

1
(*)
2 1
xy x y
xy x y
+ +
≥
+ + +
.
ThËt vËy:
( ) ( ) ( ) ( )
(*) 1 1 2xy x y x y xy⇔ + + + ≥ + +
( ) ( )
1 1 0x y⇔ − − ≥

§óng víi x,y thuéc
[ ]
0;1
Khi ®ã
1 1 1
1(1)
2 1 1 1
xy x y
xy x y x y x y
+ +
+ ≥ + =
+ + + + + + +
+ V×
[ ]
; 0;1 0 1x y xy∈ ⇒ ≤ ≤

2
1 2 1(2)
1
xy
xy
⇒ + ≤ ⇒ ≥
+
+Tong tù:
( )
( )
3
3
9
0 2 1 9 1(3)
1
x y x y
x y
≤ + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ ≥
+ +
Tõ (1);(2);(3) Ta cã :
3P
≥
VËy , MinP=3 khi x=y=1
VIb
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và
1, ' 3R R= =
, đường thẳng (
1)
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b + = + = +

.
+ Gi H, H ln lt l trung im ca AM, BM.
Khi ú ta cú:
2 2 2 2
2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= =
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d =
,
.IA IH>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d
a b a b
= =
+ +
2 2
2 2
2 2
36
35 36
a b
a b
a b

= =
+
D thy
0b
nờn chn
6
1
6
=

=

=

a
b
a
.
Kim tra iu kin
IA IH>
ri thay vo (*) ta cú hai ng thng tho món.
2
.Đờng thẳng d đi qua điểm
)0;2;0(M
và có vectơ chỉ phơng
)1;1;1( u
Đờng thẳng d đi qua điểm
)5;3;2(' M
và có vectơ chỉ phơng
)1;1;2(' u

.
Mp
)(

phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
n
vuông góc với
u
và
2
1
60cos)';cos(
0
==un
. Bởi vậy nếu đặt





=
++
+
=+
2
1
6
2
0
222

CBA
CBA
CBA






=
+=






+++=
+=
02
)(632
22
222
CACA
CAB
CCAAA
CAB
Ta có
0)2)((02
22

=+= CACACACA
. Vậy
CA
=
hoặc
CA
=
2
.
Nếu
CA =
,ta có thể chọn A=C=1, khi đó
2=B
, tức là
)1;2;1(=n
và
)(

mp
có phơng trình
0)2(2 =++ zyx
hay
042
=++
zyx
Nếu
CA
=
2
ta có thể chọn

2,1 == CA
, khi đó
1=B
, tức là
)2;1;1( =n
và
)(

mp
có phơng trình
02)2( = zyx
VIIb 1,00
Trc ht ta cú:
( )
3
3 3
4
x y
x y
+
+
(bin i tng ng)
( ) ( )
2
0x y x y +
t x + y + z = a. Khi ú
( ) ( )
( )
3 3
3 3

3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
+ + +
= = +

(vi t =
z
a
,
0 1t

)
Xột hm s f(t) = (1 t)
3
+ 64t
3
vi t
[ ]
0;1
. Cú
( )
[ ]
2
2

1
'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t

= = =

Lp bng bin thiờn
( )
[ ]
0;1
64
inf
81
t
M t

=
GTNN ca P l
16
81
t c khi x = y = 4z > 0