GIAO ÁN 12 HOC KỲ 2 GDTX

Gi¶i tÝch Ngµy so¹n 21 th¸ng 12 n¨m 2009
TiÕt69-70
CHƯƠNG III:
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
VµỨNG DỤNG.

§1. NGUN HÀM.
I. Mục tiêu:
- Kiến thức: Khái niệm ngun hàm, các tính chất của ngun hàm, sự tồn tại của
ngun hàm, bảng ngun hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính ngun
hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính ngun hàm từng phần).
- Kỹ năng: Biết cách tính đạo hàm của hàm số, ngun hàm của hàm số, sử dụng
thơng thạo cả hai phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm của các hàm số.
- Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn
của Gv, năng động, sáng tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của
tốn học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp
sau này cho xã hội.
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong q trình suy
nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở.
III. Chuẩn bị của GV&HS:
-Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận.
-Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi.
IV. Nội dung và tiến trình lên lớp.
1. Ổn đònh lớp
2. Kiểm tra bài cũ
3. Bài mới
Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng
HĐI : Giới thiệu k/n nguyên
hàm.

* Cho hàm số y = f(x) thì
bằng các quy tắc ta luôn tìm
được đạo hàm của hàm số
đó. Vấn đề đặt ra là :” Nếu
biết được f’(x) thì ta có thể
tìm lại được f(x) hay không ?
* Giới thiệu đònh nghóa.
Cho ví dụ : Tìm nguyên hàm
của :
a/ f(x)=2x.
b/f(x)=
x
2
cos
1
a. F(x) = x
2
, F(x) = x
2
+ 1,
F(x) = x
2
- 8,…
b. f(x)=tanx,
F(x)=tanx-15 F(x)=
tanx+2,
Chøng minh ®Þnh lÝ.
1) Theo gi¶ thiÕt F(x) lµ
mét nguyªn hµm cđa hµm
sè f(x) trªn (a; b). V× vËy

I. Khái niệm nguyên
hàm:
1. Đ ị nh ngh ĩ a
Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của f(x) trên
K nếu
∀
x
∈
K ta có :
F’(x)= f(x)
Chú ý : K= [ a; b] : SGK
Ví dụ:
a. F(x) = x
2
là nguyên
hàm của f(x) = 2x trên R
b. F(x) = tanx là nguyên
hàm của f(x) =
x
2
cos
1
trên
+)Nếu biết F(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì ta
còn chỉ ra được bao nhiêu
nguyên hàm của f(x).
+)Từ đònh lý 1 ta thấy nếu F
là một nguyên hàm của f

trên K thì mọi nguyên hàm
của f trên K đều có dạng
F(x) + C.
• Người ta chứng minh
được :
Mọi hàm số liên tục trên K
đều có nguyên hàm trên Kù.
Bảng ngun hàm các hàm
số thường gặp sau:
F’(x) = f(x) ∀x∈(a; b). Khi
®ã ta còng cã:
(F(x)+C)’ = F’(x) + 0 = f(x)
nªn F(x) + C còng lµ mét
nguyªn hµm cđa f(x) trªn
(a; b).
2) Gi¶ sư G(x) còng lµ mét
nguyªn hµm cđa f(x) trªn
(a; b). Tøc lµ G’(x) = f(x)
∀x∈(a; b). Khi ®ã ta cã:
(G(x) − F(x))’ =G’(x) −
F’(x) = f(x) − f(x) =0
Theo Bỉ ®Ị trªn suy ra:
G(x) − F(x) = C (C= const)
Tøc lµ G(x) = F(x) +C.
KÝ hiƯu hä tÊt c¶ c¸c
nguyªn hµm cđa f(x) lµ:
f (x)dx F(x) C= +
∫
HS: Ví dụ:
1.Vì (x

3
)’ = 3x
2
nên
F(x) = x
3
+ C
Mà F(1) = - 1 nên 1 + C = -1
hay
C = - 2.
Vậy F(x) = x
3
- 2
2. Tính
a/
4
3
x
x dx C
4
= +
∫

b/
2 3
3x dx x C= +
∫
2
2
c) 2xdx x C

dx
d) tgx C
cos x
e) sin xdx cos x C
dx
f ) ln x C
x
= +
= +
= − +
= +
∫
∫
∫
∫






−
2
;
2
ππ
vì (tanx)’=
x
2
cos

1

với
∀
x
∈






−
2
;
2
ππ
2.Các tính chất của
nguyên hàm *) Đị nh lí 1:
Giả sử hàm số F là một
nguyên hàm của f trên K
khi đó :
a)Với mỗi hằng số
C,F(x) + C cũng là
nguyên hàm của f(x) trên
K
b) Ngược lại, với
ø mỗi nguyên hàm G của
f trên
K thì tồn tại một hằng

số Csao cho G(x) = F(x) +
C , với
∀
x
∈
K
*Họ tất cả các nguyên
hàm của f trên K được
ký hiệu

∫
dxxf )(
= F(x)+C
*) . Tính chất của
ngun hàm:
+ Tính ch ấ t 1 :
'
( ) ( )f x dx f x C= +
∫
+ Tính ch ấ t 2 :
( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
+ Tính ch ấ t 3 :
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
Ví d ụ : 1. Tìm nguyên hàm
F của hàm số f(x) = 3x
2

biết F(1) = - 1

2. Tìm
3 2
2
a/ x dx b/ 3x dx c) 2xdx
dx dx
d) e) sin xdx f)
cos x x
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3. Sự tồn tại của ngun
hàm:
Định lý 2:
dx x C= +
∫
1
( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
ln ( 0)
dx
x C x

x
= + ≠
∫
x x
e dx e C= +
∫
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
cos sinxdx x C= +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
2
os
dx
tgx C
c x
= +
∫
2
cot
sin
dx

gx C
x
= − +
∫
“Mọi hàm số liên tục
trên K đều có ngun
hàm trên K”
4. Bảng các ngun
hàm của một số hàm số
thường gặp:
4. Củng cố
- N¾m v÷ng ®Þnh nghÜa ®Þnh lÝ nguyªn hµm.
- Nắm vững các công thức nguyên hàm và vận dụng vào làm bài tập.
Cho HS làm ví dụ:
Ví dụ1: Tìm các nguyên hàm sau
I=
2 1
3sin 3 sin 2
 
+ = +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
x dx xdx dx
x x
= -3cosx + 2lnx + C
J=
2 5
3 3
3

5
x dx x C= +
∫
2 1
2 2 3 3
3
3 3
3 2
1 2 2
K = 2 2 3 3
3 3
−
 
+ = + = + + = + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
x dx x dx x dx x x C x x C
x



Hình học Ngµy so¹n 23 th¸ng 12 n¨m 2009
TiÕt 71
LUYỆN TẬP
§1: KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRỊN XOAY
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được : khái niệm mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, khối nón
tròn xoay, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, thể tích của khối nón tròn xoay, mặt trụ tròn
xoay, hình trụ tròn xoay, khối trụ tròn xoay, diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay, thể tích của

khối trụ tròn xoay.
2. Về kĩ năng
+ Nhận biết mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, khối nón tròn xoay, diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, thể tích của khối nón tròn xoay, mặt trụ tròn xoay, hình trụ tròn xoay, khối trụ
tròn xoay, diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay, thể tích của khối trụ tròn xoay.
+ Biết cách tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, thể tích của khối nón tròn xoay,
diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay, thể tích của khối trụ tròn xoay.
3. Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy các vấn đề của tốn học một cách logic và hệ thống.
4. Về thái độ: Cẩn thận chính xác trong lập luận , tính tốn và trong vẽ hình.
II. PHƯƠNG PHÁP,
1.Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề
2.Cơng tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …
- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Ổn định lớp: 1 phút
2.Kiểm tra bài cũ(2’) Nêu các cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ; Thể tích
của khối nón, khối trụ?
NỘI DUNG HOẠT DỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Bài 3: sgk
Bài 4: sgk
Bài 5: sgk
SH = 20 = h
AH = 25 = r
=> SA =?
=>S
xq
= ?
=> V = ?
c/ Giả sử ta có thiết diện là

tam giác SAC. Gọi M là
trung điểm của dây AC, dễ
thấy (SAC)
⊥
(SHM)
Từ tâm H của đáy kẻ HI
⊥
AM=> HI
⊥
(SAC) do đó HI
= 12 cm
Từ
∆
vuông SIH, ta có: SI
2
=
SH
2
– HI
2
=> SI = 16
Từ
∆
vuông SHM, ta có:
SM.SI = SH
2
=> SM = 25
Từ
∆
vuông SMA, ta có:

AM
2
= SA
2
– SM
2
=> AM =
10
=> Diện tích thiết diện SAC:
S
SAC
=
1
2
SM.AC=SM.MA
=25.10 = 250 cm
2
- GV gợi ý cho HS làm
a/ Ta có h =7cm, r =5 cm
=>S
xq
= ?
Thiết diện ABB’A’ là hình
gì ?
Gọi H là trung điểm của AB
ta có : OH
⊥
AB (1)
AA’
⊥

(OAB) => AA’
⊥
OH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra OH
⊥
(ABB’A’)
=> OH = ? => AH= ? =>
AB= ?
=> S
ABB’A’
= ?
6/ Hình nón có bán kính
đường tròn đáy r = ?
Chiều cao h = ?
Đường sinh l= ?
=>S
xq
= ?
Trong tam giác vuông SHA thì :
SA
2
= SH
2
+ AH
2
=>SA =
1025
=l
=>S

xq
=
π
rl = 25
1025
π

=125
41
π
=> V =
2 2
1
13089,969
3
r h cm
π
≈
Bài 4:
Gọi H là hình chiếu của B lên d,
ta có BH = 10 cm
Gọi
α
là góc giữa d và AB , ta
có:
10
1
sin
2
20

BH
AB
α
= = =
=>
α
= 30
0
Góc giữa d và AB không đổi do
vậy khi d thay đổi thì tạo ra mặt
nón tròn xoay trục là đường
thẳng AB góc ở đỉnh 2
α
= 60
0
5/ a)S
xq
= 2
π
rh = 70
π
cm
2
Thiết diện ABB’A’ là hình chữ
nhật
OH = 3, AH= 4, AB =8
=> S
ABB’A’
= AB.AA’=56 cm
2

r = AH =
2
AB
=a
h =SH= a
3
l =SA = 2a
=>S
xq
=
π
rl = 2
π
a
2
=> V =
3
2
1 3
3 3
a
r h
π
π
=
D
A
.
.
C

B
S
H
A
C
M
I
A
B
H
d
A’
B’
.O’
.O
A
B
H
S
H
B
A
Củng cố: ( 1’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài
Bài tập: Bài tậpcòn lại sgk




Hình học Ngµy so¹n 25 th¸ng 12 n¨m 2009
TiÕt 72

§2:MẶT CẦU
I. Mục tiêu:
1) Về kiến thức:
+ Nắm được định nghĩa mặt cầu.
+ Giao của mặt cầu và mặt phẳng
+ Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu.
+ Nắm được định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện.
+ Nắm được công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
2) Về kĩ năng:
+ Biết cách vẽ hình biểu diễn giao của mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và đường thẳng.
+ Học sinh rèn luyện kĩ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa
diện.
+ Kĩ năng tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
3) Về tư duy và thái độ:
+ Biết qui lạ về quen.
+ Học sinh cần có thái độ cẩn thận, nghiêm túc, chủ động, tích cực hoạt động chiếm lĩnh tri thức
mới.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, computer + projector hoặc bảng phụ; phiếu học tập.
+ Học sinh: SGK, các dụng cụ học tập.
III. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới:
Tiết 17
a) Hoạt động 1: Chiếm lĩnh khái niệm mặt cầu và các khái niệm có liên quan đến mặt cầu.
* Hoạt động 1- a: Tiếp cận và hình thành khái niệm mặt cầu.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng, trình chiếu
+GV cho HS xem qua các hình

ảnh bề mặt quả bóng chuyền,
của mô hình quả địa cầu qua
máy chiếu.
+HS: Cho O: cố định
r : không đổi (r > 0)
Tập hợp các điểm M trong mặt
I/ Mặt cầu và các khái niệm liên
quan đến mặt cầu:
1) Mặt cầu:
a- Định nghĩa: (SGK)
+?GV: Nêu khái niệm đường
tròn trong mặt phẳng ?
-> GV dẫn dắt đến khái niệm
mặt cầu trong không gian.
+? Nếu C, D ∈ (S)
-> Đoạn CD gọi là gì ?
+? Nếu A,B ∈ (S) và AB đi
qua tâm O của mặt cầu thì điều
gì xảy ra ?
+? Như vậy, một mặt cầu được
hoàn toàn xác định khi nào ?
VD: Tìm tâm và bán kính mặt
cầu có đường kính MN = 7 ?
+? Có nhận xét gì về đoạn OA
và r ?
+? Qua đó, cho biết thế nào là
khối cầu ?
+? Để biểu diễn mặt cầu, ta vẽ
như thế nào ?
*Lưu ý:

Hình biểu diễn của mặt cầu
qua:
- Phép chiếu vuông góc -> là
một đường tròn.
- Phép chiếu song song -> là
một hình elíp (trong trường
hợp tổng quát).
+? Muốn cho hình biểu diễn
của mặt cầu được trực quan,
người ta thường vẽ thêm
đường nào ?
phẳng cách điểm O cố định
một khoảng r không đổi là
đường tròn C (O, r).
+ Đoạn CD là dây cung của
mặt cầu.
+ Khi đó, AB là đường kính
của mặt cầu và AB = 2r.
+ Một mặt cầu được xác định
nếu biết:
. Tâm và bán kính của nó
. Hoặc đường kính của nó
+ Tâm O: Trung điểm đoạn
MN.
+ Bán kính: r =
MN
2
= 3,5
- OA= r -> A nằm trên (S)
- OA<r-> A nằm trong (S)

- OA>r-> A nằm ngoài (S)
+ HS nhắc khái niệm trong
SGK.
+ HS dựa vào SGK và hướng
dẫn của GV mà trả lời.
+ Đường kinh tuyến và vĩ
tuyến của mặt cầu.
b- Kí hiệu:
S(O; r) hay (S)
. O : tâm của (S)
. r : bán kính
+ S(O; r )= {M/OM = r}
(r > 0)
2) Điểm nằm trong và nằm ngoài
mặt cầu, khối cầu:
Trong KG, cho mặt cầu:
S(O; r) và A: bất kì
* Định nghĩa khối cầu:
(SGK)
3) Biểu diễn mặt cầu: (SGK)
4) đường kinh tuyến và vĩ tuyến
của mặt cầu: (SGK)
* Hoạt động 1- b: Củng cố khái niệm mặt cầu.
+? Tìm tập hợp tâm các mặt
cầu luôn luôn đi qua 2 điểm cố
định A và B cho trước ?
HD:Hãy nhắc lại khái niệm
mặt phẳng trung trực của đoạn
AB ?
+ Gọi O: tâm của mặt cầu, ta

luôn có: OA = OB.
Do đó, O nằm trong mặt phẳng
trung trực của đoạn AB.
Vậy, tập hợp tâm của mặt cầu
là mặt phẳng trung trực của
đoạn AB.
HĐ1: (SGK) Trang 43
b) Hoạt động 2: Giao của mặt cầu và mặt phẳng.
* Hoạt động 2a: Tiếp cận và hình thành giao của mặt cầu và mặt phẳng.
+ Cho S(O ; r) và mp (P)
Gọi H: Hình chiếu của O lên
(P).
Khi đó, d( O; P) = OH
+ OM ≥ OH > r
-> OM > r
II/ Giao của mặt cầu và mặt
phẳng:
1) Trường hợp h > r:
đặt OH = h
+? Hãy nhận xét giữa h và r ?
+ Lấy bất kỳ M, M ∈ (P)
->? Ta nhận thấy OM và OH
như thế nào ?
+ OH = r => H ∈ (S)
+ ∀M , M ≠ H, ta có điều gì ?
Vì sao ?
+ Nếu gọi M = (P)∩(S).
Xét ∆OMH vuông tại H có:
MH = r’ =
2 2

r h
−
(GV gợi ý)
* Lưu ý:
Nếu (P) O thì (P) gọi là mặt
phẳng kính của mặt cầu (S) .
=> ∀m ∈ (P), M ∉ (S)
=> (P) ∩ (S) = ∅
OM > OH => OM > r
-> (P) ∩ (S) = {H}
+ Học sinh trả lời
(P) ∩ (S) = ∅
(Hình 2.18/43)
2) Trường hợp h = r :
(P) ∩ (S) = {H}
- (P) tiếp xúc với (S) tại H.
- H: Tiếp điểm của (S)
- (P): Tiếp diện của (S)
(Hình 2.19/44)
(P) tiếp xúc với S(O; r) tại H
<=> (P) ⊥ OH = H
3) Trường hợp h < r:
+ (P)∩ (S) = (C)
Với (C) là đường tròn có tâm H,
bán kính r’ =
2 2
r h
−
(Hình 2.20/44)
* Khi h = 0 <=> H ≡ O

-> (C) -> C(O; r) là đường tròn
lớn của mặt cầu (S).
* Hoạt động 2b: Củng cố cách xác định giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α).
VD: Xác định đường tròn giao
tuyến của mặt cầu (S) và mặt
phẳng (α), biết S(O; r) và d(O;
(α)) =
r
2
?
+ GV hướng dẫn sơ qua .
+ HĐ2b: 45 (SGK)
(HS về nhà làm vào vở)
+ HS: Gọi H là hiìn chiếu của
O trên (α)
-> OH = h =
r
2
.
+ (α)∩ (S) = C(H; r’)
Với r’ =
2
2
r r. 3
r
4 2
− =
Vậy C(H;
r. 3
2

)
+ HĐ2: 45(SGK)
HĐ2a:
c) Hoạt động 3: Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu.
+? Nêu vị trí tương đối của
đường thẳng và đường tròn;
tiếp tuyến đường tròn ?
+ GV: Chốt lại vấn đề, gợi mở
bài mới.
Cho S(O; r) và đường thẳng ∆.
Gọi H: Hình chiếu của O lên
A.
-> d(O;∆) = OH = d
. GV: Vẽ hình
+? Nếu d > r thì ∆ có cắt mặt
cầu S(O; r) không ?
-> Khi đó, ∆ ∩ (S) = ?
Và điểm H có thuộc (S)
không?
+? nếu d = r thì H có thuộc (S)
không ?
+ HS: nhắc lại kiến thức cũ.
+ HS: ôn lại kiến thức, áp dụng
cho bài học.
. HS : Quan sát hiìn vẽ, tìm
hiểu SGK và trả lời các câu
hỏi.
+HS: dựa vào hình vẽ và
hướng dẫn của GV mà trả lời.
+ HS theo dõi trả lời.

III/ Giao của mặt cầu với đường
thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu.
+ d > r ->∆ ∩ (S) = ∅
(Hình 2.22/46)
+ d = r ->∆ ∩ (S) = {H}
. Khi đó ∆ ∩ (S) = ?
. Từ đó, nêu tên gọi của ∆ và H
?
+? Nếu d < r thì ∆∩(S) =?
+? Đặc biệt khi d = 0 thì ∆ ∩
(S) = ?
+? Đoạn thẳng AB khi đó gọi
là gì ?
+GV: Khắc sâu những kiến
thức cơ bản cho học sinh về:
tiếp tuyến của mặt cầu; mặt
cầu nội tiếp, (ngoại tiếp) hình
đa diện.
+ GV cho HS nêu nhận xét
trong SGK (Trang 47)
+ HS quan sát hình vẽ, theo
dõi câu hỏi gợi mở của GV và
trả lời.
+ HS theo dõi SGK, quan sát
trên bảng để nêu nhận xét.
+ HS : Tiếp thu và khắc sâu
kiến thức bài học.
. ∆ tiếp xúc với (S) tại H
.H:tiếp điểm của ∆ và(S)
. ∆: Tiếp tuyến của (S)

* ∆ tiếp xúc với S(O; r) tại điểm
H <=> ∆ ⊥ OH = H
(Hình 2.23/46)
+ d < r ->∆∩(S) = M, N
* Khi d = 0 -> ∆ O
Và ∆∩(S) = A, B
-> AB là đường kính của mặt cầu
(S)
(Hình 2.24/47)
* Nhận xét: (SGK)
(Trang 47)
(Hình 2.25 và 2.26/47)
d) Hoạt động 4: Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
+ Hướng dẫn HS tiếp thu kiến
thức bài học thông qua SGK
+ Cho HS nêu công thức diện
tích mặt cầu và thể tích khối
cầu.
+HĐ4: 48(SGK)
+ Cho HS nêu chú ý trong
SGK.
+ Tiếp nhận tri thức từ SGK.
+ HS nêu công thức.
+HS: tiếp thu tri thức, vận dụng
giải HĐ4/48 (SGK)
-> Lớp nhận xét
+ HS nêu chú ý (SGK)
IV/ Công thức tính diện tích
và thể tích khối cầu:
+ Diện tích mặt cầu:

S = 4π.r
2

+ Thể tích khối cầu:
(r:bán kính của mặt cầu)
* Chú ý: (SGK) trang 48
+ HĐ4/48 (SGK)
4. Củng cố toàn bài:
5. Hướng dẫn học sinh học bài ở nhà và ra bài tập về nhà:
+ Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức toàn bài.
+ Khắc sâu các công thức tính diện tích mặt cầu và
+ Làm các bài tập: 5,6,7 trang 49 SGK.




Gi¶i tÝch Ngµy so¹n 28 th¸ng 12 n¨m 2009
TiÕt 73
§1. NGUYÊN HÀM.
I. Mục tiêu:
- Kiến thức: Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của
nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên
hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần).
V =
3
4
.r
3
π
- Kỹ năng: Biết cách tính đạo hàm của hàm số, ngun hàm của hàm số, sử dụng

thơng thạo cả hai phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm của các hàm số.
- Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn
của Gv, năng động, sáng tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của
tốn học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp
sau này cho xã hội.
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong q trình suy
nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở.
III. Chuẩn bị của GV&HS:
-Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận.
-Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi.
IV. Nội dung và tiến trình lên lớp.
1. Ổn đònh lớp
2. Kiểm tra bài cũ
3. Bài mới
Giới thiệu bảng các nguyên
hàm thường gặp
GV: Để tìm nguyên hàm
của
3
x 2 x
f (x)
x
+
=
ta làm
như thế nào?
GV:
2

2
2
2
2
2
2
2
( )
(2 )
cos
1
2
cos
1
2
cos
x
x
x
x
x
F x
e
e dx
x
e dx dx
x
e d x dx
x
e tanx C

−
=
+
= +
= +
= + +
∫
∫ ∫
∫ ∫
Do
F(0) = -5=> C= -1
=> F(x)=
2
1
x
e tanx+ −
GV: a/ Cho
10
( 1)x dx−
∫
.
Đặt u = x – 1, hãy viết
(x – 1)
10
dx theo u và du.
b/ Cho
ln x
dx
x
∫

. Đặt x = e
t
, hãy
viết
ln x
dx
x
theo t và d
Học sinh xem trong SGK.
*
∫
x
xx 2
3
+
dx
=
∫
dx
x
xx
2
1
3
1
2+
=
∫
(
dxxx )2

2
1
3
2
−
−
+
= 3
2
1
3
1
4xx +
+ C
=
xx 43
3
+
+C
*
∫
(5x
2
-7x + 3)dx =5
∫
x
5
dx-7
∫
xdx+3

∫
dx
=
3
5
x
3
-
2
7
x
2
+ 3x +C
*
∫
(7cosx-
x
2
cos
3
)dx
=7
∫
cosx dx -3
∫
x
dx
2
cos
= 7sinx -3tanx +C

HS: Giải
VD1:
( ) ( )
∫
7 '
1
1
I = 2x + 3 2x + 3 dx
2

( )
8
1
= 2x + 3 + C
16
VD2:
( )
∫
'
2 3
2
1
I = sin x sinx dx = sin x + C
3
4. Áp d ụ ng
Tìm các nguyên hàm
sau:
1)
∫
(5x

2
- 7x + 3)dx =
3
5
x
3
-
2
7
x
2
+ 3x + C
2)
∫
(7cosx -
x
2
cos
3
)dx =
7sinx – 3tanx + C
3)
∫
x
xx 2
3
+
dx =
xx 43
3

+
+ C
Ví dụ : Tìm nguyên hàm
F(x) của hàm
số f(x) = e
2x
)
cos
2(
2
2
x
e
x−
+

biết F(0) = -5.
Giải :
F(x)=
2
1
x
e tanx+ −
II. PHƯƠNG PHÁP
TÍNH NGUN HÀM.
1. Phương pháp đổi
biến số
Gợi ý: a) Xét ngun
hàm
10

( 1)x dx−
∫
*Chú ý:
∫
1
f(ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
VD3:
( )
∫
2 2
'
1+x 2 1+x
3
1 1
I = e . 1+ x dx = e +C
2 2
Đặt u = x-1
⇒
du = dx
Ta có: (x-1)
10
dx = u
10
du
c)Xét
ln x
dx
x
∫

; đặt x = e
t
.
Biểu thức
ln x
dx
x
được viết thành
.
t
t
t
e dt tdt
e
=
Thơng qua VD trên Gv
đưa đến
Định lý 1:
“Nếu
( ) ( )f u du F u C= +
∫

và u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục thì:
'
( ( )) ( ) ( ( ))f u x u x dx F u x C= +
∫
”
VD1: Tính
( )

∫
7
1
I = 2x + 3 dx
VD2: Tính
∫
2
2
I = sin xcosxdx
VD3: Tính
∫
2
1+x
3
I = x.e dx
4. Củng cố
- N¾m v÷ng ®Þnh nghÜa ®Þnh lÝ nguyªn hµm.
- Nắm vững các công thức nguyên hàm và vận dụng vào làm bài tập.
Cho HS làm ví dụ:
1
1
1 1 3 3
(3cos 3 ) 3 cos 3 3sin 3sin
3 3 ln3 ln3
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
x x
x x

G x dx xdx dx x C x C
Ví dụ2: Tìm các nguyên hàm sau
6
5 5
1
1 1 (2x 5)
I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5) . C
2 2 6
+
= + = + + = +
∫ ∫
5
4 4
2
sin x
I sin x cos xdx sin xd(cos x) C
5
= = = +
∫ ∫
3
3
(2ln x 3)
I dx
x
+
=
∫
, §Ỉt: u =2lnx+3 ⇒
2
du dx

x
=

4
3
4
1 u
I u du C
2 8
= = +
∫
4
(2ln x 3)
C
8
+
= +



Gi¶i tÝch Ngµy so¹n 29 th¸ng 12 n¨m 2009
TiÕt 74
lun tËp
§1. NGUN HÀM.
(TiÕt 1)
I. Mục tiêu:
- Kiến thức: Khái niệm ngun hàm, các tính chất của ngun hàm, sự tồn tại của
ngun hàm, bảng ngun hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính ngun
hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính ngun hàm từng phần).
- Kỹ năng: Biết cách tính đạo hàm của hàm số, ngun hàm của hàm số, sử dụng

thơng thạo cả hai phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm của các hàm số.
- Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn
của Gv, năng động, sáng tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của
tốn học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp
sau này cho xã hội.
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong q trình suy
nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở.
III. Chuẩn bị của GV&HS:
-Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận.
-Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi.
IV. Nội dung và tiến trình lên lớp.
1. Ổn đònh lớp
2. Kiểm tra bài cũ:Tìm các nguyên hàm sau
x x
x
1
x x
e dx d(e 1)
I ln(e 1) C
e 1 e 1
+
= = = + +
+ +
∫ ∫

4
2
2

2 2
sin x 1
I dx cos x 2 dx
cos x cos x
 
= = + −
 ÷
 
∫ ∫
=
dx 1 3 1
tgx 2x cos 2xd2x tgx x sin 2x C
2 4 2 4
= − + + = − + +
∫ ∫
x
3
2 x
2x e
I dx
x e
+
=
+
∫
. Đặt
( )
2 x x
u x e du 2x e dx= + ⇒ = +
⇒

2 x
8 8
du
I ln u C I ln(x e ) C
u
= = + ⇒ = + +
∫
3. Bài mới
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
Cho bài toán: Vận dụng các
kiến thức tính nguyên hàm
đã học để Tính
∫
x.sinxdx
Đặt vấn đề:Chúng ta không
thể dùng các kiến thức đã
học, ta sẽ dùng phương
pháp sau đây để giải bài
toán trên.
Hướng dẫn cho HS:
• Tính
( )
'
x.cosx
• Lấy nguyên hàm hai
vế và tính
∫
x.sinxdx
• Ta đặt
u = x

và
v = cosx
. Hãy viết lại
(1) theo u, v và giải
thích
Công thức (*) là công thức
của phương pháp lấy
nguyên hàm từng phần.
Cho Hs đọc định lí 2 trong
SGK
Dựa vào định lí 2 để tính
nguyên hàm theo pp
nguyên hàm từng phần ta
phải xác định các yếu tố
nào?
Chú ý cho HS, đặt u và dv
sao cho nguyên hàm sau
đơn giản và dễ tính hơn
nguyên hàm ban đầu
Từ những Vd trên các em
hãy nhận xét khi tính
∫
P(x)sin(ax + b)dx
∫
P(x)cos(ax + b)dx
∫
ax+b
P(x)e dx
,
∫

P(x)lnxdx
Ta đặt u là gì? và dv là gì?
Vận dụng các kiến thức đã
học giải bài toán (gặp khó
khăn)
( )
'
x.cosx = cosx - x.sinx
∫
x.sinxdx =

( )
∫ ∫
'
= - x.cosx dx + cosxdx
∫
x.sinxdx
∫
= -x.cosx + cosxdx
(1)

= -x.cosx + sinx + C
( ) ( )
( )
1 ⇔
∫
∫
'
'
x cosx dx

= xcosx - cosx. x dx
⇔
∫ ∫
' '
u.v dx = u.v - v.u dx
(*)
Xem SGK và theo dõi
định lí 2
Xác định u và dv tứ đó suy
ra du (đạo hàm) và v
(nguyên hàm)
Đặt:




⇒
 




2
1
du = dx
u = lnx
x
dv = xdx 1
v = x
2

∫ ∫
2
1 1
xlnxdx = x lnx - xdx
2 2

2 2
1 1
= x lnx - x + C
2 4
Xác định u và dv. Lên
bảng thực hiện
HS khác nhận xét
*Nhận xét: Khi tính
•
∫
P(x)sin(ax + b)dx
hoặc

∫
P(x)cos(ax + b)dx
,
đặt









u = P(x)
sin(ax + b)dx
dv =
cos(ax + b)dx
•
∫
ax+b
P(x)e dx
, đặt



ax+b
u = P(x)
dv = e dx
∫
P(x)lnxdx
,đặt



u = lnx
dv = P(x)dx
2. Phương pháp lấy
nguyên hàm từng phần:
Định lí 2:
Nếu u = u(x), v = v(x) là
hai hàm số có đạo hàm
liên tục trên K thì

∫ ∫
' '
u.v dx = u.v - v.u dx
hoặc được viết gọn dưới
dạng:
∫ ∫
udv = uv - vdu
VD1: Tính
∫
x.sinxdx
Giải
Đặt
 
⇒
 
 
u = x du = dx
dv = sinxdx v = -cosx
∫ ∫
x.sinxdx = -xcosx + cosxdx
= -xcosx + sinx + C
VD5: Tính
∫
xlnxdx
VD2: Tính
∫
2x
x
e dx
3

Giải
Đặt:



 
⇒
 
 



2x
2x
1
x
du = dx
u =
3
3
1
v = e
dv = e dx
2
∫ ∫
2x 2x 2x
x 1 1
e dx = xe - e dx
3 6 6

2x 2x
1 1
= xe - e + C
6 12
VD3: Tính
∫
x
xe dx
KQ:
= − = − +
∫ ∫
x x x x x
xe dx xe e dx xe e C
VD4: Tính ∫ xcosxdx
Đặt u = x và dv = cosxdx
ta có: du = dx và
v = sinx ⇒ ∫ xcosxdx =
xsinx - ∫ sinxdx =
xsinx + cosx + C
VD5: Tính ∫ lnxdx
Đặt u = lnx và dv = dx ta
có: du =
1
dx
x
và v = x
∫ lnxdx = xlnx - ∫ dx =
xlnx – x + C
4. Cng c: Hs thc hin cỏc yờu cu sau:
1.Phỏt biu li ni dung chớnh :Phng phỏp i bin s.Phng phỏp nguyờn hm

tng phn
2. Lm cỏc vớ duù:
5b/145:
( )

'
1 1 1 2
dx = 5x + 4 dx = 5x + 4 +C
5 5
5x + 4 5x + 4
5d/145:
( ) ( )
( )

'
2 2
1 1 -2
dx = 2 1+ x dx = + C
1+ x
x 1+ x 1+ x
6b/145: t






2
du = 2xdx
u = x

v = sinx
dv = cosxdx
=>I=

2 2
x cosxdx = x sinx - 2 x.sinxdx
t




u = x du = dx
dv = sinxdx v = -cosx
=>I=
( )

2 2 2
x cosxdx = x sinx - 2 -xcosx + cosxdx = x sinx + 2xcosx - 2sinx + C
6d/145: t
( )

3
4
1
du = dx
u = ln 2x
x
1
dv = x dx
v = x
4
=>I=
( ) ( ) ( )

3 4 3 4 4
1 1 1 1
x ln 2x dx = x ln 2x - x dx = x ln 2x - x +C
4 4 4 16
5. Hửụựng daón ve nhaứ:
- Hc bi v xem thờm cỏc VD trong SGK.
- Lm cỏc bi tp 5a, 5c, 6a v 6c.Lm bi tp trong phn Luyn Tp




Hỡnh hc Ngày soạn 25 tháng 12 năm 2009
Tiết 75-76
LUYN TP
Đ2:MT CU
I. Mc tiờu:

+ Kin thc: Hs phi nm k cỏc kin thc nh ngha mt cu, s tng giao ca mt cu vi
mt phng, ng thng v cụng thc din tớch mt cu, th tớch khi cu.
+ K nng: Vn dng kin thc ó hc xỏc nh mt cu, tớnh din tớch mt cu, th tớch khi
cu ó xỏc nh ú.
II. Chun b :
1) Giỏo viờn: Sỏch giỏo viờn, sỏch giỏo khoa, giỏo ỏn, thc k v compa.
2) Hc sinh: ễn li kin thc ó hc v lm trc cỏc bi tp ó cho v nh trong sỏch giỏo
khoa.
III. Tin trỡnh bi hc:
1) n nh t chc:
2) Kim tra bi c:
Câu hỏi 1: Nêu định nghĩa mặt cầu ? Nêu một vài cách xác định một mặt cầu đã biết ?
Câu hỏi 2: Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ? Từ đó suy ra điều kiện tiếp xúc
của đường thẳng với mặt cầu ?
Câu hỏi 3: Nêu định nghĩa đường trung trực, mặt trung trực của đoạn thẳng.
3) Bài mới:
Hoạt động 1: Giải bài tập 1 trang 49 SGK.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng, trình chiếu
- Cho HS nhắc lại kết quả
tập hợp điểm M nhìn đoạn
AB dưới 1 góc vuông (hình
học phẳng) ?
- Dự đoán cho kết quả này
trong không gian ?
- Nhận xét: đường tròn
đường kính AB với mặt cầu
đường kính AB => giải
quyết chiều thuận
- Vấn đề M ∈ mặt cầu
đường kính AB =>

·
AMB 1V?=
Trả lời: Là đường tròn đường
kính AB
đường tròn đường kính AB
nằm trên mặt cầu đường kính
AB.
Hình vẽ
(=>) vì góc
·
AMB 1V=
=> M∈
đường tròn đường kính AB => M∈
m/c đường kính AB
(<=)Nếu M∈ mặt cầu đường kính
AB => M∈ đường tròn đường kính
AB là giao của mặt cầu đường kính
AB với (ABM)
=>
·
AMB 1V=
Kết luận: Tập hợp các điểm M nhìn
đoạn AB dưới góc vuông là m/c
đường kính AB.
Hoạt động 2: Bài tập 2 trang 49 SGK.
Giả sử I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp S.ABCD, ta có
điều gì ?
=> Vấn đề đặt ra ta phải tìm
1 điểm mà cách đều 5 đỉnh

S, A, B, C, D.
- Nhận xét 2 tam giác ABD
và SBD.
- Gọi O là tâm hình vuông
ABCD => kết quả nào ?
- Vậy điểm nào là tâm cần
tìm, bán kính mặt cầu?
Trả lời IA = IB = IC = ID =
IS
Bằng nhau theo trường hợp
C-C-C
OA = OB = OC = OD = OS
- Điểm O
Bán kính r = OA=
a 2
2
S
a
a a a
D C
a
A O B
a
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.
=> ABCD là hình vuông và SA = SB
= SC = SD.
Gọi O là tâm hình vuông, ta có 2 tam
giác ABD, SBD bằng nhau
=> OS = OA Mà OA = OB = OC =
OD

=> Mặt cầu tâm O, bán kính r = OA
=
a 2
2
Hoạt động 3: Bài tập 3 trang 49 SGK
Gọi (C) là đường tròn cố
định cho trước, có tâm I.
Gọi O là tâm của một mặt
cầu chứa đường tròn, nhận
xét đường OI đối với đường
tròn (C)
=> Dự đoán quĩ tích tâm
các mặt cầu chứa đường
tròn O.
Trên (C) chọn 3 điểm
A,B,C gọi O là tâm mặt cầu
chứa (C) ta có kết quả nào ?
Ta suy ra điều gì ? => O ∈
trục đường tròn (C) .
Ngược lại: Ta sẽ chọn (C)
là 1 đường tròn chứa trên
1mặt cầu có tâm trên (∆)?
=> O’M’ = ?
HS trả lời: OI là trục của
đường tròn (C)
HS: là trục của đường tròn
(C)
HS trả lời OA = OB = OC
HS: O nằm trên trục đường
tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC.

O’M =
2 2
O'I r+
không
đổi.
=> M ∈ mặt cầu tâm O’
=> (C) chứa trong mặt cầu
tâm O’
O
A C
I
B
=> Gọi A,B,C là 3 điểm trên (C). O
là tâm của một mặt cầu nào đó chứa
(C)
Ta có OA = OB = OC => O ∈∆ trục
của (C)
(<=)∀O’∈(∆) trục của (C)
với mọi điểm M∈(C) ta có O’M =
2 2
O'I IM+

=
2 2
O'I r+
không đổi
=> M thuộc mặt cầu tâm O’ bán kính
2 2
O'I r+
=> Kết luận:

Hoạt động 4: Bài tập 5 trang 49 SGK
Nhận xét: Mặt phẳng
(ABCD) có :
- Cắt mặt cầu S(O, r) không
? giao tuyến là gì ?
- Nhận xét MA.MB với
MC.MD nhờ kết quả nào?
- Nhận xét: Mặt phẳng
(OAB) cắt mặt cầu S(O,r)
theo giao tuyến là đường
tròn nào?
- Phương tích của M đối
với (C
1
) bằng các kết quả
nào ?
Trả lời: cắt
- Giao tuyến là đường tròn
(C) qua 4 điểm A,B,C,D.
- Bằng nhau: Theo kết quả
phương tích.
- Là đường tròn (C
1
) tâm O
bán kính r có MAB là cát
tuyến.
- MA.MB hoặc MO
2
– r
2

a)Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi
(AB,CD)
=> (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến là
đường tròn (C) qua 4 điểm A,B,C,D
=> MA.MB = MC.MD
b)Gọi (C
1
) là giao tuyến của S(O,r)
với mp(OAB) => C
1
có tâm O bán
kính r .
Ta có MA.MB = MO
2
-r
2
= d
2
– r
2

Hoạt động 5: Giải bài tập 6 trang 49 SGK
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng, trình chiếu
- Nhận xét: đường tròn giao
tuyến của S(O,r) với mặt
phẳng (AMI) có các tiếp
tuyến nào?
- Nhận xét về AM và AI
Tương tự ta có kết quả

nào ?
- Nhận xét 2 tam giác MAB
và IAB
- Ta có kết quả gì ?
AM và AI
Trả lời:
AM = AI
BM = BI
∆MAB = ∆IAB (C-C-C)

- Gọi (C) là đường tròn giao tuyến
của mặt phẳng (AMI) và mặt cầu
S(O,r). Vì AM và AI là 2 tiếp tuyến
với (C) nên AM = AI.
Tương tự: BM = BI
Suy ra ∆ABM = ∆ABI
=>
·
·
AMB AIB=

Hoạt động 6: bài tập 7 trang 49 SGK
Nhắc lại tính chất : Các
đường chéo của hình hộp
chữ nhật độ dài đường
chéo của hình hộp chữ nhật
có 3 kích thước a,b,c
=> Tâm của mặt cầu qua 8
đỉnh A,B,C,D,A’,B’,C’,D’
của hình hộp chữ nhật.

Bán kính của mặt cầu này
Giao tuyến của mặt phẳng
(ABCD) với mặt cầu trên
là ?
- Tâm và bán kính của
đường tròn giao tuyến
này ?
Trả lời: Đường chéo của
hình hộp chữ nhật bằng
nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
AC’ =
2 2 2
a b c+ +
Trả lời: Đường tròn ngoại
tiếp hình chữ nhật ABCD.
Trả lời: Trung điểm I của
AC và bán kính r =
2 2
AC b c
2 2
+
=
Vẽ hình:
B C
I
A D
O
B’ C’
A’ D’

a. Gọi O là giao điểm của các đường
chéo hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’.
Ta có OA = OB = OC
=OD=OA’=OB’=OC’=OD’
=> O là tâm mặt cầu qua 8 dỉnh hình
hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và bán
kính r =
2 2 2
AC' 1
a b c
2 2
= + +
b. Giao của mặt phẳng (ABCD) với mặt
cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ
nhật ABCD.
Đường tròn này có tâm I là giao điểm
của AC và BD
Bán kính r =
2 2
AC b c
2 2
+
=
Hoạt động 7: Bài tập 10
Để tính diện tích mặt cầu
thể tích khối cầu ta phải
làm gì ?
Nhắc lại công thức diện
tích khối cầu, thể tích khối

cầu ?
Hướng dẫn cách xác định
tâm mặt cầu ngoại tiếp 1
hình chóp.
- Dựng trục đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy.
- Dựng trung trực của cạnh
bên cùng nằm trong 1 mặt
phẳng với trục đươờn tròn
trên.
- Giao điểm của 2 đường
trên là tâm của mặt cầu.
. Trục đường tròn ngoại
tiếp ∆SAB
Tím bán kính của mặt cầu
đó.
S = 4πR
2
V =
4
3
π
R
3
. Vì ∆SAB vuông tại S nên
trục là đường thẳng (∆) qua
trung điểm của AB và
C
M

S O
I B
A
. Gọi I là trung điểm AB do ∆SAB
vuông tại S => I là tâm đường tròn
ngoại tiếp ∆SAB .
. Dựng (∆) là đường thẳng qua I và ∆
⊥(SAB) => ∆ là trục đường tròn ngoại
tiếp ∆SAB.
. Trong (SC,∆) dựng trung trực SC cắt
(∆) tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC.
. ng trung trc ca SC
trong mp (SC,) ?
. Tõm ca mt cu ngoi
tip hỡnh chúp S.ABC
vuong gúc vi mp(SAB).
. ng thng qua trung
im SC v // SI.
. Giao im l tõm ca mt
cu.
r
2
= OA
2
= OI
2
+ IA
2

=
2 2
2 2 2
SC AB a b c
2 2 4
+ +

+ =
ữ ữ


=> S = (a
2
+b
2
+c
2
)
V =
2 2 2 2 2 2
1
(a b c ). a b c
6
+ + + +
4) Cng c ton bi:
- Phỏt biu nh ngha mt cu, v trớ tng i ca n thng vi mt cu.
- Cỏch xỏc nh tõm ca mt cu ngoi tip mt hỡnh chúp.
5) Hng dn lm bi nh:
Bi tp 4:
Hng dn: Gi s mt cu S(O, R) tip xỳc vi 3 cnh ABC ln lt ti A,B,C. Gi I l

hỡnh chiu ca S trờn (ABC). D oỏn I l gỡ ca ABC ? -> Kt lun OI l ng thng no ca
ABC => D oỏn.



Giải tích Ngày soạn 30 tháng 12 năm 2009
Tiết 77-78
Luyện tập
Đ1. NGUYấN HM.
I. Mc tiờu:
- Kin thc: Khỏi nim nguyờn hm, cỏc tớnh cht ca nguyờn hm, s tn ti ca nguyờn hm,
bng nguyờn hm ca cỏc hm s thng gp, phng phỏp tớnh nguyờn hm (phng phỏp i bin
s, phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn).
- K nng: Bit cỏch tớnh o hm ca hm s, nguyờn hm ca hm s, s dng thụng tho c hai
phng phỏp tớnh nguyờn hm tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s.
- Thỏi : Tớch cc xõy dng bi, ch ng chim lnh kin thc theo s hng dn ca Gv, nng
ng, sỏng to trong quỏ trỡnh tip cn tri thc mi, thy c li ớch ca toỏn hc trong i sng, t ú
hỡnh thnh nim say mờ khoa hc, v cú nhng úng gúp sau ny cho xó hi.
- T duy: Hỡnh thnh t duy logic, lp lun cht ch, v linh hot trong quỏ trỡnh suy ngh.
II. Phng phỏp :
- Thuyt trỡnh, kt hp tho lun nhúm v vn ỏp gi m.
III. Chun b ca GV&HS:
-Giỏo viờn: SGK, Giỏo ỏn, dung dy hc, bng ph, cõu hi tho lun.
-Hc sinh: SGK, Bi c, dung hc tp, v ghi.
IV. Ni dung v tin trỡnh lờn lp.
1. n nh lp:
2. Kim tra bi c:Tỡm caực nguyeõn haứm sau
I=
( )

+
dx
x
x
2
1
=
Cxxx +++
2/12/32/5
2
3
4
5
2
J=
( )
( )
( )
3
1
2 3 3 3 3
2
5
2
5 5 5 5
3 9
d x
x x dx x x x C
+
+ = + = + + +

K=
( )

+
dx
xx
2
cossin
1
=
Cx + )
4
tan(
2
1

3. Bi mi:
Hot ng ca GV Hot ng ca HS Ni dung ghi bng
GV: Cho HS laứm caực
baứi taọp
Hớng dẫn giải.
a)
=
1
I

+
3 2 1
1

x 2x 2x C
3


= =
+

2
3
5 2
3 3
x 1
b)I dx
x
3 3
x x C
5 2

=
ữ

= +

3
3
1 2
2 3
1 1
c)I dx
x x

3
2x x C
2
( )
= +

4
d)I x x 1 dx

= + +
5
2
2
x x C
5
Hớng dẫn giải.
a)
1
J
=
= +

x
x
e dx dx
e x C
b)


= +

ữ


x
x
2
2
e
J e 2 dx
cos x
=
x
2e tgx C+ +
( )
= + =
+
= + +


x x
4
x x
x x
d)J 2 3 dx
2 dx 3 dx
2 3
C
ln 2 ln3
b) Đặt
= +

=
3
2
u x 5
du 3x dx
= +
= + +
+
= +


2 3
2
3 3
3
3
2
E x x 5dx
1
x 5d(x 5)
3
1 2(x 5)
. C
3 3
HS: Baứi 1.


= +
ữ

= +


2
2
2 2
2
a.I x 4x dx
x
x dx 4 xdx 2 x dx

= +
3 2 1
1
x 2x 2x C
3
(
)


= =
ữ


= +


3
3
1 1

2 3
1 2
2 3
1 1
c.I dx
x x
x x dx
3
2x x C
2
Baứi 2.

( )
( )

=
=


x x
1
x
a)J e 1 e dx
e 1 dx

x x
e dx dx e x C= = +

= +
ữ


= +
ữ



x
x
2
2
x
2
e
b)J e 2 dx
cos x
1
2e dx
cos x
=
x
2e tgx C+ +
( )
= +
= +
= + +

x
3
1
x
2
x
3
2
c)J 2a x dx
2 a dx x dx
2a 2
x
ln a 3
c) Đặt u = cosx
du =sinxdx

= =
=
= +



3
==>E tgxdx
sin x
dx
cosx
d(cosx)
cos x
ln cos x C

+Hc sinh nhc li cụng
thc
udv uv vdu=

.
a/.t u=lnx, dv=x
-1/2
dx
ta cú: du= dx/x; v= 2.x
1/2
lnx
dx
x

=
1/ 2 1/2
2 ln 2x x x dx



=
1/ 2
2 lnx x
- 4x
1/2
+ C
Bài số 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
( ) ( )
2
2

3
3
2 x 1
a) f (x) x 4x ; b)f (x)
x
x
1 1
c) f (x) ; d) f (x) x 1 x x 1
x x

= + =
= = + + +
Hớng dẫn giải.
a)
=
1
I

+
3 2 1
1
x 2x 2x C
3
b)

= = +

5 2
3 3
2

3
x 1 3 3
I dx x x C
5 2
x
c)

= = +
ữ


1 2
2 3
3
3
1 1 3
I dx 2x x C
2
x x
d)
( ) ( ) ( )
4
I x 1 x x 1 dx x x 1 dx= + + = +


(
)
3 5
2 2
2

x 1 dx x x C
5
= + = + +

Bài số 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
sau:

( )
x
x x x
2
x x x
e
a) f(x) e 1 e ; b) f(x) e 2
cos x
c) f(x) 2a x; d) f(x) 2 3



= = +
ữ

= + = +
Hớng dẫn giải.
a)
1
J
x x
e dx dx e x C= = +

b)


= +
ữ


x
x
2
2
e
J e 2 dx
cos x
=
x
2e tgx C+ +
d)
( )
x x
x x x x
4
2 3
J 2 3 dx 2 dx 3 dx C
ln 2 ln3
= + = + = + +

Bài số 3. Tính:
= + = +
= =

2 3
1 2
3cosx
3 4
a) E cos(ax b)dx (a 0); b) E x x 5dx
c) E tgxdx; d) E e .sin xdx
Hớng dẫn giải.
a) Đặt u = ax+b du = adx
= +

1
E cos(ax b)dx

= + + = + +

1 1
cos(ax b)d(ax b) sin(ax b) C
a a
d) Đặt u = 3cosx du = 3sinxdx
=

3cosx
4
E e sin xdx
= = +

3cos x 3cosx
1 1

e d(3cos x) e C
3 3
Baứi 4 : Tớnh a/.
lnx
dx
x

.
Keỏt quaỷ: I ==
1/ 2
2 lnx x
- 4x
1/2
+ C

4. Củng cố: Hs thực hiện các u cầu sau:
1.Phát biểu lại nội dung chính :Phương pháp đổi biến số.Phương pháp ngun hàm từng phần
2. Làm các ví dụ:
Bài 1: Tìm một ngun hàm F(x) của f(x)=
)2)(1(
1
xx −+
biết F(4)=5.
ĐS: F(x)=
2
5
ln
3
1
5

2
1
ln
3
1
−+
−
+
x
x
Bài 2.Tính:
∫
− xdxx sin)2(
ĐS:(x-2)cosx-sinx+C.
5. Hướng dẫn về nhà:
- Học bài và xem thêm các VD trong SGK.
- Làm các bài tập SGK.Làm bài tập trong phần Luyện Tập. Đọc trước bài tích phân




Hình học Ngµy so¹n 6 th¸ng 01 n¨m 2010
TiÕt 79- 80
ƠN TẬP CHƯƠNG II
I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức:
- Hệ thống các kiến thức cơ bản về mặt tròn xoay và các yếu tố cơ bản về mặt tròn xoay như
trục,
đường sinh,
- Phân biệt được các khái niệm về mặt và khối nón, trụ, cầu và các yếu tố liên quan.

- Nắm vững các cơng thức tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón, khối trụ, cơng
thức
tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
+ Về kỹ năng:
- Vận dụng được các cơng thức vào việc tính diện tích xung quanh và thể tích của các khối :
nón,
trụ, cầu.
- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình cho học sinh.
+ Về tư duy và thái độ:
- Rèn luyện tính tích cực, sáng tạo, cẩn thận.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên:Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.
+ Học sinh: Dụng cụ học tập, SGK,
III. Tiến trình bài học:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
CH1: Các cơng thức tính diện tích và thể tích các mặt và khối: nón, trụ, cầu.
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Đọc đề BT1 SGK
CH1: Qua 3 điểm A,B,C có
bao nhiêu mặt phẳng.
CH2: Xét vị trí tương đối
giữa mp (ABC) và mặt cầu
và trả lời câu a.
CH3: Theo đề mp(ABC) có
qua tâm O của mặt cầu
không.
CH4: Dựa vào giả thiết nào
để khẳng định AB là đường

kính của đường tròn hay
không.
+ Xem đề SGK /T50
+ Trả lời: Có duy nhất mp(ABC)
+ Mp(ABC) cắt mặt cầu theo
giao tuyến là đường tròn qua
A,B,C. Suy ra kết quả a đúng.
+ Chưa biết (Có 2 khả năng)
+ Dựa vào CH3 suy ra: b-
Không đúng
c-Không đúng.
+Dựa vào giả thiết:
∧
ABC
=90
0
và kết quả câu a
Nêu đề: Cho tứ diện đều
ABCD cạnh a. Gọi H là hình
chiếu của A trên mp(BCD).
N là trung điểm CD
a- Chứng minh
HB=HC=HD. Tính độ dài
đoạn AH.
b- Tính S
xq
và V của khối
nón tạo thành khi quay miền
tam giác AHN quanh cạnh
AH.

c- Tính S
xq
và V của khối trụ
có đường tròn đáy ngoại tiếp
tam giác BCD và chiều cao
AH.
Hoạt động 2.1:
CH1: Có nhận xét gì về các
tam giác AHB, AHC, AHD.
Nêu cách tính AH.
Hoạt động 2.2:
CH: Để tính S
xq
của mặt nón
và V của khối nón, cần xác
định các yếu tố nào?
+Gọi một hs lên bảng thực
hiện.
+Cho các hs còn lại nhận xét
bài giải, gv đánh giá và ghi
điểm
Hoạt động 2.3:
- Vẽ hình (GV hướng dẫn nếu
cần)
TL: Chúng là 3 tam giác vuông
bằng nhau.
Suy ra HB=HC=HD
AH=
22
BHAB −

+Cần xác định độ dài đường sinh
l = AN, bán kính đường tròn đáy
r = HN và đường cao h=AH.
+Cần xác định độ dài đường sinh
l = AB, bán kính đường tròn đáy
r = BH và đường cao h=l
a) AH
⊥
(BCD)
=> Các tam giác AHB, AHC,
AHD vuông tại H
Lại có: AH cạnh chung
AB=AC=AD(ABCD là
tứ diện đều)
=> 3 tam giác AHB, AHC,
AHD bằng nhau
Suy ra HB=HC=HD
*AH=
22
BHAB −
=
3
2
2
a
a −
=
3
6a
b) Khối nón tạo thành có:










==
==
==
3
6
6
3
2
3
a
AHh
a
HNr
a
ANl
S
xq
=
π
rl=
π

.
6
3a
.
2
3a
=
4
2
a
π
V=
hB.
3
1
=
3
6
.
12
.
3
1
2
aa
π
=
108
6
3

a
π
CH: Để tính S
xq
của mặt trụ
và V của khối trụ, cần xác
định các yếu tố nào?
+Gọi một hs lên bảng thực
hiện.
+Cho các hs còn lại nhận xét
bài giải, gv đánh giá và ghi
điểm
c) Khối trụ tạo thành có:







===
==
3
6
3
3
a
AHhl
a
HBr

S
xq
=2
π
rl = 2
π
.
3
3a
3
6a
=
3
22
2
a
π
V = B.h =
3
6
.
3
.
2
aa
π
=
9
6.
3

a
π
+ Nêu đề.
Hoạt động 3.1: Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp.
CH 1: Trình bày pp xác định tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Nhận xét câu trả lời của hs và
nhắc lại các bước:
1. Xác định trục Δ của đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
2. Xác định mặt phẳng trung trực
(
α
) (hoặc đường trung trực d)
của cạnh bên bất kì.
3. Xác định giao điểm của Δ với (
α
) (hoặc của Δ với d) . Đó
chính là tâm mặt cầu cần tìm.
CH 2: Đường tròn ngoại tiếp
hình vuông ABCD có trục là
đường thẳng nào?
CH 3: Có nhận xét gì về hai tam
giác SAO và SMO
’
. Nêu cách
tính bán kính R của mặt cầu.
+ HS vẽ hình

+ Lắng nghe và trả lời.
+ Suy nghĩ trả lời câu
hỏi.
+ Đó là hai tam giác
vuông có chung góc nhọn
nên chúng đồng dạng
=>
SM
SO
SO
SA
=
'
a. Gọi O’, R lần lượt là tâm và
bán kính của mặt cầu
Vì O’A=O’B=O’C=O’D
=> O’ thuộc SO (1)
Trong (SAO), gọi M là trung
điểm của SA và d là đường trung
trực của đoạn SA
Vì O’S = O’A
=> O’ thuộc d (2)
Từ (1) và (2) =>O’=SO

d
+ R = O
’
S.
Hai tam giác vuông SAO và
SMO

’
đồng dạng nên:
SO
SMSA
SO
.
'
=
Trong đó SA=
2
3
22
a
OASO =+
=> SO
'
=
4
3a
=R
b) Mặt cầu có bán kính R=
4
3a

Hoạt động 3.2: Tính diện tích
mặt cầu và thể tích khối cầu.
CH : Nêu lại cơng thức tính diện
tích mặt cầu và thể tích khối cầu. + S = 4πR
2
+ V =

3
3
4
R
π
nên:
+ S=4π
2
)
4
3
(
a
=
4
9
2
a
π
+ V=
3
)
4
3
(
3
4 a
π
=
16

9
3
a
π
I. Củng cố: - CÇn n¾m v÷ng kh¸i niƯm mỈt trơ trßn xoay, mỈt nãn trßn xoay. MỈt CÇu
i. BiÕt vµ vËn dơng thµnh th¹o c¸ch tÝnh diƯn tÝch xung quanh, thĨ tÝch cđa c¸c mỈt
trßn xoay
V. Dặn dò:
- Về nhà làm các bài tập ơn chương còn lại
- Chuẩn bị cho bài kiểm tra 1 tiết vào tiết tiếp theo.



Gi¶i tÝch Ngµy so¹n 7 th¸ng 01 n¨m 2009
TiÕt 81-82
§2. TÍCH PHÂN.
I.MỤC TIÊU:
1. Kiến thức :
- Học sinh nắm vững bài toán tính diện tích hình thang cong, bài toán quãng đường đi được
của vật và tìm ra mối liên hệ giữa nguyên hàm và diện tích hình thang cong.
- Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính
tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
2. Kỹ năng: p dụng bài toán 1 và bài toán 2 vào làm các bài tập tương tự.
Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thơng thạo cả hai phương pháp tính tích
phân để tìm tích phân của các hàm số.
3. Tư duy, thái độ:
+Rèn tư duy logic, tính tỉ mỉ cẩn thận trong biến đổi và linh hoạt trong q trình suy nghĩ.
+Tích cực trong học tập, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng
tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của tốn học trong đời sống, từ đó hình thành
niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.

II. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh :Hồn thành các nhiệm vụ ở nhà.Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
III.Tiến trình tiết dạy :
1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ :
- Trình bày phương pháp đổi biến số để tính ngun hàm.
- Viết cơng thức tính ngun hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn).
3. Vào bài mớ
Hoạt động của Giáo
viên
Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng
Ký hiệu T là hình
thang vng giới hạn
Thảo luận nhóm để:
+ Tính diện tích S của hình T khi
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1. Diện tích hình thang
a b
f(x)
y
x
O
A
B
bởi đường thẳng y =
2x + 1, trục hồnh và
hai đường thẳng x = 1;
x = t
(1 ≤ t ≤ 5) (H45, SGK,

trang 102)
1. Hãy tính diện
tích S của hình T khi t
= 5. (H46, SGK, trang
102)
2. Hãy tính diện
tích S(t) của hình T
khi t ∈ [1; 5].
3. Hãy chứng
minh S(t) là một
ngun hàm của
f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5]
và diện tích S = S(5) –
S(1).
“Cho hàm số y = f(x)
liên tục, khơng đổi dấu
trên đoạn [a ; b] .Hình
phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số y =
f(x), trục hồnh và hai
đường thẳng x = a ; x
= b được gọi là hình
thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
Câu hỏi: So sánh các
đại lượng
S
MNPQ
, S
MNQE

, S
MNEF
.
GV dẫn dắt đưa tới
đẳng thức:
0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
S x S x
f x
x x
+
→
−
=
−
Tương tự với x
∈
[a;
x
0
), ta cũng có:
0
0
0
0

( ) ( )
lim ( )
x x
S x S x
f x
x x
−
→
−
=
−
Em rút ra kết luận gì
về
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
S x S x
x x
→
−
−
=?
Dẫn dắt đưa ra S(x) =
F(x) + C
( Với F(x) là ng/hàm
của h/s f(x))
t = 5. (H46, SGK, trang 102)

+ Tính diện tích S(t) của hình T
khi t ∈ [1; 5].
+ Chứng minh S(t) là một
ngun hàm của
f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện
tích S = S(5) – S(1).
Thảo luận nhóm để chứng minh
F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
Ta có :
0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
S x S x
f x
x x
→
−
=
−
S(x) có đạo hàm tại x
0
và
S’(x
0
) = f(x
0

).
S = S(a)- S(b)= F(b)+ C– (F(a)
+C) = F(b) – F(a)
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và
khơng âm trên đoạn [a; b] thì
( )
b
a
f x dx
∫
là diện tích S của hình
thang giới hạn bởi đồ thị của
f(x), trục Ox và hai đường thẳng
x = a; x = b. (H 47 a, trang 102)
Vậy : S =
( )
b
a
f x dx
∫
cong: ( sgk )
2. Định nghĩa tích phân :
“Cho f(x) là hàm số liên tục
trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là
một ngun hàm của f(x) trên
đoạn [a; b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b (hay tích phân
xác định trên đoạn [a; b]) của
hàm số f(x), ký hiệu:

( )
b
a
f x dx
∫
Ta còn ký hiệu:
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
= −
.
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
“Cho f(x) là hàm số liên tục
trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là
một ngun hàm của f(x) trên
đoạn [a; b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b (hay tích phân
xác định trên đoạn [a; b]) của
hàm số f(x), ký hiệu:
( )

b
a
f x dx
∫
Ta còn ký hiệu:
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
= −
.
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
Nhận xét:
A
a
b
y
x
Em hãy tính S = S(a)-
S(b)=?
Gv giới thiệu với Hs
nội dung định nghĩa :

Gv giới thiệu với
Hs nội dung định
nghĩa
Qui ước: nếu a = b
hoặc a > b: ta qui
ước :
( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx= = −
∫ ∫ ∫
Gv giới thiệu cho
Hs vd 2 (SGK, trang
105) để Hs hiểu rõ
định nghĩa vừa nêu.
+ Tích phân của hàm số f
từ a đến b có thể ký hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
hay
( )
b
a
f t dt
∫
. Tích
phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm

f, các cận a, b mà khơng phụ
thuộc vào biến số x hay t.
GV: Nhắc lại
=
∫
a
a
f(x)dx 0
và
= −
∫ ∫
b a
a b
f(x)dx f(x)dx
Gv cho học sinh họp
nhóm và chứng minh
các tính chất còn lại.
Sau đó, mỗi nhóm cử
đại diện lên bảng
chứng minh từng tính
chất.
GV: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1
3 3
1 1
3 3

1 1
3
3
3 9
= − 
 
= −
= − = −
∫
∫ ∫
∫ ∫
I f x g x dx
f x dx g x dx
f x dx g x dx
Ta có
2, nÕu x 2
2
2 - x, nÕu x 2
x
x
− ≥

− =

≤

=> J=
∫
+−
2

1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2
∫
−
= [-
x
x
2
2
2
+
]
2
1
+[
Chứng minh: tính chất 1;2 và 3
(sách giáo khoa).
HS: Ta có
( )
( )
3
1
3 3
1 1
4
1

5 4
5 4
5 8 23
= − 
 
= −
= + =
∫
∫ ∫
J f x dx
dx f x dx
x
HS: I=
∫∫
−
2
0
2/
0
cos2sin
π
π
xdxxdx

= -
2
1
cos2x |
2/
0

π
- sinx |
2/
0
π
= -
2
1
(cos
π
- cos0 ) - sin
2
π
-sin0
= 0
Hs: Ta có
( )
2
2x
-1
2
2
x
-1
K= e 2 1
e 1
x
e dx
dx
− +

= −
∫
∫
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA
TÍCH PHÂN.
+ Tính chất 1:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
+ Tính chất 2:
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
+ Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <
∫ ∫ ∫
Ví dụ: Cho
( )
3
1
2f x dx = −
∫

và
( )
3
1
3g x dx =
∫
.Hãy tính:
( ) ( )
3
1
3 f x g x dx
 
−
 ∫
và
( )
3
1
5 4 f x dx
 
−
 ∫
Ví dụ :Tính các tích phân sau:
I =
∫
−
2/
0
)cos2(sin
π

dxxx
J=
dxx
∫
−
3
1
2
=
∫
+−
2
1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2
∫
−
x
x
2
2
2

]
3
2
=1

( ) ( )
( )
1 0
x x
-1 -1
1
x
0
x 0 x 1
1 0
e 1 (e 1)
(e 1)
e e
1 1
2 2
e e
dx dx
dx
x x
e e

= =
+ =
+ =

+ + = +
ữ

= [-
x
x
2
2
2
+
]
2
1
+[
x
x
2
2
2

]
3
2
= 1
2
2x
-1
K= e 2 1
x
e dx +

Qui tắc đổi biến số
dạng 1.

1) Đặt x = u(t) sao cho
u(t) là hàm số có đạo
hàm liên tục trên [; ],
f(u(t)) xác định trên [;
] và
u() = a; u() =b.
2) Biến đổi f(x)dx =
f(u(t).u(t)dt
= g(t)dt.
3) Tìm một nguyên hàm
G(t) của g(t).
4) Kết luận
b
a
f(x)dx G(t)


=

Đặt x = sint
t ;
2 2




ữ

.
Khi x=0 t=0; khi x
=1 t=1/2
Ta đặt x = sint với
t 0;
2





.
Ta có:
2 2
2
1 x 1 sin t
cos t cost
= =
=

vì
t 0;
2





và dx = cost.dt.
b) Đổi biến số dạng 2.

Lấy t = v(x) làm biến số
mới, khi đó ta biến đổi
đợc f(x) thành biểu thức
dạng g(v(t)).v(t). Đặt t
= v(x)
dt=v(x)dx và ta có:
Do đó:
1
2
2 2
1
0 0
I 1 x dx cos t.dt

= =

2
0
1 cos2t
dt
2

+
=

2
0
1 1
t sin 2t
2 2 4

= + =
ữ

.
Hs: Ta có
( )
2
3
2
2
6
3
6
(1 tan )
I =
1 tan
6
t
dt
t
t





+

+
= =

HS:
( )
3
2
Ta Đặt u= 5x 3
15
du
x dx
+
=
Khi đó
6
8
5 8
3 3
3
1
15 90
u
I u du
KQ
= =
=>

HS: Đặt
III. PHNG PHP TNH
TCH PHN.

1. Phng phỏp i bin
s:
Cho hm s f(x) liờn tc trờn
on [a; b]. Gi s hm s
x = (t) cú o hm liờn tc
trờn on [; ] sao cho ()
= a; () = b v a (t) b
vi mi t thuc [; ] . Khi
ú:
'
( ) ( ( )). ( )
b
a
f x dx f t t dt



=

Chỳ ý:
Cho hm s f(x) liờn tc
trờn on [a; b]. tớnh
( )
b
a
f x dx

ta chn hm s u =
u(x) lm bin mi, vi u(x)
liờn tc trờn [a; b] v u(x)

thuc [; ]. Ta bin i f(x) =
g(u(x)).u(x).
Khi ú ta cú:
( )
b
a
f x dx

=
( )
( )
( )
u b
u a
g u du

Ví dụ 1. Tính
1
2
1
0
I 1 x dx=

.
Ví dụ 2. Tính
1
2
2
0
dx

I
x x 1
=
+ +

(HD: Đặt
1 3
x tgt
2 4
+ =
)
Ví dụ 3. Tính
( )
1
5
2 3
3
0
I x 5x 3 dx= +

Ví dụ 4. Tính
2
3
4
3
2
I cos 3x dx
3

=
ữ


Ví dụ 5: Tính