Giáo trình xử lý tín hiệu và lọc số 13 pot

Chương IV
- 69 -
Ví dụ:
Cho [ ] [ ] [ ]
p
nununN=−−. Tìm ( )P
Ω
.
Hãy chứng tỏ rằng biến đổi Fourier này có pha tuyến tính (linear phase)










Ví dụ:
Tìm ( )H Ω của hệ LTI có đáp ứng xung sau
[] [] 2[ 1] 2[ 2] [ 3]hn n n n n
δ
δδδ
=+ −+ −+−
Và chứng tỏ rằng hệ có pha tuyến tính

4.1.4 Quan hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Fourier
Biểu thức tính ZT là:
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
z]n[x)z(X
Giả sử ROC có chứa đường tròn đơn vị. Tính X(z) trên đường tròn đơn vị, ta được:
)(Xe]n[x)z(X
n
nj
ez
j
Ω==
∑
∞
−∞=
Ω−
=
Ω

Như vậy, biến đổi Fourier chính là biến đổi Z tính trên đường tròn đơn vị. Dựa vào đây, ta có
thể phát biểu lại điều kiện tồn tại của DTFT như sau:
Chương IV

- 70 -
Biến đổi Fourier của một tín hiệu chỉ tồn tại khi ROC của biến đổi Z của tín hiệu đó có chứa
đường tròn đơn vị.
Ví dụ:
Làm lại các ví dụ trên- Tìm biến đổi Fourier của:
(a) [ ] [ ]
n
x
naun= , 1a||<. Nếu 1a||>?



(b) [ ] [ ]
n
yn au n=−, 1a||>. Nếu 1a
|
|< ?



(c) [ ] [ ] [ ]
p
nununN=−−



(d) [ ] [ ] 2 [ 1] 2 [ 2] [ 3]hn n n n n
δ
δδδ
=+ −+ −+−

4.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC
4.2.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier ngược
Ta thấy )(X Ω là một hàm tuần hoàn với chu kỳ
π
2
, do
j
e
Ω
tuần hoàn với chu kỳ
2
π
:
(2) 2jj jj j
ee ee e
ππ
Ω
Ω+ Ω Ω
=
==.
Do đó dải tần số của tín hiệu rời rạc là một dải tần bất kỳ rộng
π2
, thường chọn
là:
)2,0(hay),( πππ− .
Vậy ta có thể khai triển

)(X Ω thành chỗi Fourier trong khoảng )2,0(hay),( π
π
π
−
nếu điều
kiện tồn tại
)(X Ω thỏa mãn. Các hệ số Fourier là x[n], ta có thể tính được x[n] từ )(X
Ω
theo
cách sau:
Nhân 2 vế của biểu thức tính DTFT với
lj
e
2
1
Ω
π
rồi lấy tích phân trong khoảng ),(
π
π− ta có:
]l[xde
2
1
]n[xdee]n[x
2
1
de)(X
2
1
)nl(j

n
lj
n
njlj
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ω
π
=Ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
=ΩΩ
π
∫
∑
∫
∑
∫
π
π−

−Ω
∞
−∞=
π
π−
Ω
∞
−∞=
Ω−
π
π−
Ω

Thay l = n và thay cận tích phân, không nhất thiết phải là ),(
π
π
−
mà chỉ cần khoảng cách
giữa cận trên và dưới là
π2 , ta được biểu thức tính biến đổi Fourier ngược (IDTFT) như sau:
Chương IV
- 71 -

2
1
[] ( )
2
jn
x
nXed

π
π
Ω
=
ΩΩ
∫

Ta có thể tính IDTFT bằng hai cách: một là tính trực tiếp tích phân trên, hai là chuyển về
biến đổi Z rồi tính như tính biến đổi Z ngược. Tùy vào từng trường hợp cụ thể mà ta chọn
phương pháp nào cho thuận tiện.
4.2.2 Một số ví dụ tính biến đổi Fourier ngược
Ví dụ:
Tìm x[n] nếu biết:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
π<Ω<Ω
Ω≤Ω
=Ω
c
c
,0
,1
)(X

Ví dụ:
Tìm x[n] nếu biết:
Ω=Ω
2
cos)(X

Chương IV
- 72 -
4.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
Sau đây ta sẽ xét một số tính chất quan trọng của DTFT, phần còn lại xem sách.
4.3.1 Tính tuyến tính

12 1 2
[] [] ( ) ( )ax n bx n aX bX
+
←→ Ω + Ω





4.3.2 Tính dịch thời gian
[] ( )xn X
←
→Ω

0
0
[] ()
jn
xn n e X
−Ω
−

←→ Ω
Qua đây ta thấy sự dịch chuyển tín hiệu trong miền thời gian sẽ không ảnh hưởng đến biên
độ của DTFT, tuy nhiên pha được cộng thêm một lượng.






4.3.3 Tính dịch tần số/ điều chế
[] ( )xn X
←
→Ω

)(X]n[xe
0
nj
0
Ω−Ω←→
Ω

)(X
2
1
)(X
2
1
]n[x)ncos(
000
Ω+Ω+Ω−Ω←→Ω

Như vậy, việc điều chế tín hiệu gây ra sự dịch tần số.
Chương IV
- 73 -
4.3.4 Tính chập thời gian
Tương tự như biến đổi Z, với biến đổi Fourier ta cũng có:

12 12
[] [] ( ) ( )
F
xn x n X X
∗
←→ Ω Ω
Ví dụ:
Cho [] [] 1
n
hn aun a=,||<. Tìm hệ đảo của nó [ ]
i
hn, nhưng không dùng biến đổi Z.

4.3.5 Tính nhân thời gian
λλ−Ωλ
π
←→
∫
π
d)(X)(X
2
1
]n[x].n[x
2
2
121








4.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ (PHỔ) CHO TÍN HIỆU RỜI RẠC
4.4.1 Ý nghĩa của phổ
Trong miền tần số, mỗi tín hiệu đều có đặc điểm riêng của nó. Ví dụ như, tín hiệu sin chỉ có
duy nhất một tần số đơn, trong khi nhiễu trắng chứa tất cả các thành phần tần số. Sự biến
thiên chậm của tín hiệu là do tần số thấp, trong khi sự biến thiên nhanh và những sườn nhọn
là do tần số cao. Như xung vuông chẳng hạn, nó chứa cả tần số
thấp và cả tần số cao. Hình

sau minh họa cho điều đó. Hình (a) là một sóng sin tần số thấp, các hình sau (b)-(c) cộng
thêm dần các sóng sin tần số cao dần. Hình cuối cùng (e) là tổng của 7 sóng sin. Trong hình
(e) ta thấy tổng của 7 sóng sin có dạng xấp xỉ với dạng của một xung vuông.
Phổ của tín hiệu là mô tả chi tiết các thành phần tần số chứa bên trong tín hiệu. Ví dụ như với
tín hiệu xung vuông vừa nói trên, phổ của nó chỉ
ra tất cả các đỉnh nhọn của các sóng sin
riêng có thể kết hợp lại với nhau tạo ra xung vuông. Thông tin này quan trọng vì nhiều lý do.
Ví dụ như, thành phần tần số trong một mẩu nhạc chỉ cho ta biết các đặc trưng của loa, để từ
đó khi sản xuất lại ta có thể cải tiến cho hay hơn. Một ví dụ khác, micro trong hệ thống nhận
dạng tiếng nói phải có dải tần đủ rộng để
có thể bắt được tất cả các tần số quan trọng trong
tiếng nói đầu vào. Để dự đoán các ảnh hưởng của bộ lọc trên tín hiệu, cần phải biết không chỉ
bản chất của bộ lọc mà còn phải biết cả phổ của tín hiệu nữa.