VÉCTƠ TRONG PHÉP BIẾN HÌNH

Khoá luận tốt nghiệp
Trờng đại học s phạm hà nội
Khoa toán
Vectơ trong phép biến hình
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học
Ngời hớng dẫn khoa học

Hà nội,

3
Khoá luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của
bản thân tôi còn đợc sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Bùi Văn Bình,
cùng những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô trong tổ hình học. Tôi
xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Bùi Văn Bình và
các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này.
Hà Nội, ngày tháng năm 20
Sinh viên

4
Khoá luận tốt nghiệp
Lời cam đoan
Em xin cam đoan bản khoá luận đợc hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân dới sự giúp đỡ của thầy giáo Bùi Văn Bình.
Bản khoá luận này không trùng với các kết quả các tác giả khác. Nếu
trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên

5

Khoá luận tốt nghiệp
mục lục
Trang
Mở đầu: 3
1. Lý do chọn đề tài. 3
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. 3
3. Phơng pháp nghiên cứu. 3
4. Cấu trúc khoá luận. 4
Nội dung: 5
Chơng I: Cơ sở lý thuyết.
5
Đ1. Định hớng
5
Đ2. Đại cơng về phép biến hình trong mặt phẳng.
7
Đ3. Sự biến đổi của veectơ qua một số phép biến hình cơ bản.
8
Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng
14
Chơng III: Một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải.
39
Kết luận 44
Tài Liệu tham khảo 45

6
Khoá luận tốt nghiệp
Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Trong giải các loại toán toán hình học, sự lựa chọn các công cụ thích
hợp là một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm đợc thời gian và công

sức. Hiện nay, trong chơng trình Toán học THPT, vai trò và tầm quan trọng
của các phép biến hình ngày càng đợc thể hiện rõ ràng và sâu sắc, không chỉ
trong lý thuyết mà cả trong thực hành giải bài tập. Đặc biệt, sự biến đổi của
các vectơ trong các phép biến hình giúp cho việc giải một số lớp bài toán trở
nên đơn giản hơn. Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học thông qua sự biến
đổi của các vectơ không phải dễ dàng, thực tế, đây là phần khó đối với giáo
viên trong quá trình dạy và học sinh trong quá trình học.
Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ tập trung trình
bày một cách khái quát sự biến đổi của vectơ qua phép biến hình; xem xét
việc áp dụng của sự biến đổi này trong một số bài toán. Qua đó, phần nào
giúp ngời đọc thấy tính u việt của phép biến hình nói chung và sự kết hợp
giữa vectơ và phép biến hình nói riêng. Đó chính là lý do em chọn đề tài:
Vectơ trong phép biến hình
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây dựng và đa ra cơ sở lý thuyết về phép biến hình; sự biến đổi của
các vectơ qua một số phép biến hình trong mặt phẳng.
Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập thể hiện phơng pháp sử
dụng vectơ trong phép biến hình.
Đề tài nghiên cứu với hai nhiệm vụ:
a/ Nghiên cứu lý luận chung: Các khái niệm cơ bản của phép biến hình
và vectơ trong các phép biến hình.
b/ Hệ thống các bài tập.
3. Phơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các giáo trình hình học,
các bài giảng chuyên đề, tài liệu liên quan đến đề tài.
4. Cấu trúc khóa luận:
Khóa luận gồm ba phần:
Mở đầu.
Nội dung: gồm 3 chơng.
Chơng I: Cơ sở lý thuyết.

Chơng II: ứng dụng giải một số bài tập hình học phẳng.
Chơng III: Một số bài tập đề nghị và tóm tắt lời giải.
Kết luận.

7
Khoá luận tốt nghiệp
Chơng I: cơ sở lý thuyết
Đ 1. Định hớng
1.1. Định hớng trong mặt phẳng.
Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu
ta chọn một chiều làm chiều dơng và chiều còn lại làm chiều âm thì ta nói
rằng đã định hớng đợc mặt phẳng.
Thông thờng ta chọn chiều quay xung quanh O, ngợc chiều kim đồng
hồ làm chiều dơng, chiều ngợc lại làm chiều âm.
1.2. Góc định hớng giữa hai tia chung gốc.
a/ Định nghĩa.
Trong mặt phẳng định hớng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy, góc định h-
ớng co tia đầu Ox, tia cuối là Oy.
Kí hiệu: là góc thu đợc khi ta
quay tia đầu Ox tới trùng với tia cuối Oy.
Nhận xét.
+ Giá trị của góc định hớng trên mặt phẳng không phải duy nhất. Ta
quy ớc giá trị đó là âm hay dơng tuỳ theo chiều quay là chiều âm hay chiều
dơng của mặt phẳng.
+ Ta gọi là giá trị đầu của góc định hớng, đó là giá trị thu đợc khi
quay Ox trùng Oy theo góc hình học nhỏ nhất.
Nếu là một giá trị của góc định hớng giữa hai tia Ox và Oy thì:
b/ Hệ thức Chales.
Trong mặt phẳng định hớng cho 3 tia Ox, Oy, Oz. Ta có:
1.3. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng.

1.3.1. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng cắt nhau.
a/ Định nghĩa.
Trong mặt phẳng định hớng cho hai đờng thẳng a, b cắt nhau tại O. Ta gọi
định hớng tạo bởi hai đờng thẳng a và b theo thứ tự đó là góc mà đờng thẳng

8
O
+
-
_
X
Y
Khoá luận tốt nghiệp
a phải quay theo một chiều nhất định qua điểm O để đến vị trí trùng với đờng
thẳng b.
Kí hiệu: , trong đó a là đờng thẳng đầu, b là đờng thẳng cuối.
Nhận xét:
+ Góc định hớng giữa hai đờng thẳng nh trên không duy nhất. Cách
xem xét về góc giữa hai đờng thẳng a, b giống nh cách xem xét giữa hai tia.
+ Giá trị là giá trị đầu (chính) của nếu giá trị là giá trị của
góc định hớng thu đợc góc quay xung quanh O theo một chiều nhất
định tới khi trùng b theo góc hình học nhỏ nhất. Khi đó:
b/ Hệ thức Chales.
Trong mặt phẳng định hớng cho ba đờng thẳng a, b, c.
Khi đó:
1.3.2. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau.
Quy ớc: Cho hai đờng thẳng a, b song song hoặc trùng nhau.
Khi đó ta quy ớc:
Nhận xét: Hệ thức Chales với đờng thẳng vẫn đúng trong trờng hợp
ba đờng thẳng đôi một song song hoặc đồng quy.

Đ2. Đại cơng về phép biến hình trong mặt phẳng.
2.1. Phép biến hình.
Định nghĩa:

9
Khoá luận tốt nghiệp
Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P. Khi đó mỗi hình
H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và đợc ký hiệu là
Một song ánh từ tập điểm của P lên chính nó đợc gọi là phép
biến hình trong mặt phẳng.
Phép biến hình đảo ngợc:
Cho phép biến hình Khi đó ánh xạ ngợc của cũng là ánh
xạ từ P lên P nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng. Ta gọi phép biến
hình đó là phép biến hình nghịch đảo của phép biến hình .
Phép biến hình tích:
Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng. Khi đó ánh xạ tích của
f và g cũng là một song ánh của mặt phẳng nên nó cũng là một phép biến
hình của mặt phẳng. Ta gọi đó là phép biến hình tích của f và g.
Ký hiệu g.f.
Phép biến hình đối hợp
Phép biến hình đợc gọi là phép biến hình đối hợp nếu
(tức là ).
Điểm bất động, hình kép, hình bất động.
Cho phép biến hình
+ Điểm M của mặt phẳng đợc gọi là điểm bất động đối với f nếu
+ Hình H đợc gọi là hình kép đối với f nếu
+ Hình H đợc gọi là hình bất động đối với f nếu mọi điểm của H đều
bất động đối với f, tức là

10

Khoá luận tốt nghiệp
2.2. Phép biến hình Afin.
2.2.1. Định nghĩa.
Phép biến hình của mặt phẳng biến đờng thẳng thành đờng thẳng đợc
gọi là phép biến hình Afin (gọi tắt là phép Afin).
2.2.2. Tính chất.
a, Phép Afin bảo tồn tính song song của đờng thẳng.
b, Phép Afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hớng.
c, Phép Afin biến vectơ thành tổng của các vectơ tơng ứng.
d, Phép Afin bảo tồn tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Định lý:
Trong E
2
cho tam giác và . Khi đó tồn tại duy nhất một
phép Afin của E
2
biến A,B,C tơng ứng thành .
Hay ngời ta còn nói: Phép Afin trong mặt phẳng đợc xác định bởi hai
tam giác tơng ứng.
Khái niệm hai tam giác cùng chiều, hai tam giác ngợc chiều.
Trong E
2
, hai tam giác ABC và đợc gọi là cùng chiều (ngợc
chiều) nếu trên đờng tròn ngoại tiếp của chúng từ cùng chiều
(ngợc chiều) với chiều
2.2.4. Phân loại.
Phép Afin trong E
2
đợc gọi là phép Afin loại một nếu hai tam giác xác
định nó cùng chiều. Ngợc lại ta có phép Afin loại hai.

Đ3. Sự biến đổi của vectơ qua một số phép biến hình cơ bản.
3.1. Phép đẳng cự.
3.1.1. Định nghĩa.
Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì đợc gọi là phép đẳng cự.
3.1.2. Tính chất.
+ Phép đẳng cự là phép Affin.

11
Khoá luận tốt nghiệp
+ Phép đẳng cự biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng đặc
biệt, điểm đặc biệt của tam giác này tơng ứng thành đờng đặc biệt, điểm đặc
biệt của tam giác kia.
+ Phép đẳng cự biến đờng tròn thành đờng tròn.
3.1.3. Phân loại.
- Phép đẳng cự đợc gọi là phép dời hình nếu nó xác định bởi hai tam
giác cùng chiều.
- Phép đẳng cự đợc gọi là phép phản chiếu nếu nó xác định bởi hai tam
giác ngợc chiều.
3.1.4. Một số phép đẳng cự đặc biệt.
3.1.4.1. Phép tịnh tiến.
a/ Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến
hình mỗi điểm M thành điểm sao cho
đợc gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Ký hiệu: .
Nh vậy:
Nhận xét:
+ Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
+ Phép tịnh tiến không có điểm bất động, không phải là phép đối hợp
nếu

+ Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.
b/ Vectơ trong phép tịnh tiến.
Giả sử là phép tịnh tiến theo vectơ .
Khi đó:
mà .

12
M
M

Khoá luận tốt nghiệp
Nhận xét:
Nh vậy: Phép tịnh tiến biến một vectơ thành một vectơ bằng nó.
3.1.4.2. Phép đối xứng tâm.
a/ Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho điểm I cố định. Phép biến hình biến hình I thành
chính nó; biến mỗi điểm M khác I thành sao cho I là trung điểm của đoạn
thẳng đợc gọi là phép đối xứng tâm I. Ký hiệu: Đ
I
Nh vậy: .
* Nhận xét:
+ Phép đối xứng tâm là phép dời hình, là phép đối hợp và có điểm bất
động duy nhất là I.
b/ Vectơ trong phép đối xứng tâm.
Giả sử Đ
I
là phép đối xứng qua tâm I.
Khi đó:
mà
Nhận xét:

Phép đối xứng tâm biến một vectơ thành một vectơ bằng vectơ đối của
nó.
3.1.4.3. Phép quay
a/ Định nghĩa:
Cho điểm O cố định và góc lợng
giác không đổi. Phép biến hình biến
điểm O thành O, biến mỗi điểm M khác
O thành sao cho và
đợc gọi là phép quay tâm O, góc quay . Điểm O đợc gọi là
tâm quay , đợc gọi là góc quay. Ký hiệu: hoặc

13
M
M
I
O
M
M

Khoá luận tốt nghiệp
*Nhận xét:
- Phép quay tâm O, góc quay với k nguyên, chính là
phép đối xứng tâm O.
- Phép quay tâm O, góc quay với k nguyên, chính là phép
đồng nhất.
b/ Vectơ trong phép quay.
Giả sử là phép quay tâm O, góc quay .
Khi đó:

mà

Nhận xét:
+ Phép quay vectơ biến một vectơ thành 1 vectơ có độ dài bằng nó và
góc giữa hai vectơ bằng góc quay.
+ Để xác định một phép quay ta cần phải biết tâm quay và góc quay.
Tuy nhiên, ở nhiều bài toán việc xác định tâm quay là rất khó. Để khắc phục
điều này, từ biểu thức ta có khái niệm mới. Đó là phép quay vectơ (ta chỉ
cần biết góc quay mà không biết tâm quay).
c/ Phép quay vectơ.
* Định nghĩa:
Trong mặt phẳng định hớng, cho góc định hớng quy tắc
tơng ứng với mỗi vectơ của mặt phẳng vectơ xác định sao cho thoả mãn:

14
Khoá luận tốt nghiệp
Gọi là phép quay vectơ của mặt phẳng theo góc quay .
Ký hiệu:
* Tính chất.
1, Phép quay vectơ bảo toàn tổng.
Định lý 1: Cho
Khi đó:
* Hệ quả:
Cho thì:
2, Định lý 2: Một số thực nhân với vectơ qua phép quay bằng số thực
đó nhân với ảnh của nó.
Cho
Khi đó
* Hệ quả:
Cho thì
3, Định lý 3:
ảnh của một vectơ qua phép quay vectơ với góc quay khác 0 bằng

chính nó khi vectơ bằng 0.
Cho
3.2. Phép đồng dạng.
3.2.1. Phép vị tự.
a/ Định nghĩa.

15
Khoá luận tốt nghiệp
Trong mặt phẳng cho điểm O và số thực . Phép biến hình của
mặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M thoả mãn hệ thức
gọi là phép vị tự O, tỉ số k. Ký hiệu: hoặc
*Nhận xét:
+) Nếu phép vị tự là phép đồng nhất.
+) Nếu phép vị tự là phép đối xứng tâm O.
b/ Vectơ trong phép vị tự.
Giả sử là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Khi đó:

mà
*Nhận xét:
Phép vị tự biến vectơ thành .
3.2.2. Phép đồng dạng.
a/ Định nghĩa:
Phép biến hình của E
2
thoả mãn: với hai điểm bất kỳ M, N có ảnh tơng
ứng M, N ta luôn có: cho trớc) đợc gọi là phép đồng
dạng tỉ số k.
Ký hiệu:
b/ Tính chất:

+ Phép đồng dạng là phép Afin.
+ Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng.

16
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
+ PhÐp ®ång d¹ng biÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c ®ång d¹ng, biÕn ®êng
®Æc biÖt thµnh ®iÓm ®Æc biÖt cña tam gi¸c nµy thµnh ®êng ®Æc biÖt, ®iÓm ®Æc
biÖt cña tam gi¸c kia.
+ PhÐp ®ång d¹ng biÕn ®êng trßn b¸n kÝnh R thµnh ®êng trßn b¸n kÝnh
k.R.

17
Khoá luận tốt nghiệp
Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của
hình học phẳng
Trong chơng này, nhờ việc thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các
đờng đã cho trong giả thiết với các điểm hay các đờng trong kết luận thông
qua sự biến đổi của vectơ trong phép biến hình ta sẽ nhận đợc các kết quả về
tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc các
đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng tỉ lệ
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,
BC, CA. Gọi và lần lợt là tâm của đờng tròn ngoại tiếp và
nội tiếp
Chứng minh:
Lời giải:
* Xét
Vậy
Nên
* Xét

18

A

P

C
N
B
M
Khoá luận tốt nghiệp
Vậy
Nên
Từ (1); (2) xét:
Khai thác sâu bài toán.
Nếu gọi và lần lợt là trọng tâm, trục tâm của
thì
Ví dụ 2.
Cho đờng tròn đôi một tiếp xúc ngoài tại
A, B, C. Dây AC kéo dài của gặp tại là đờng kính
của
Chứng minh rằng: thẳng hàng?
Lời giải:
Gọi M, N là giao điểm thứ hai của với và .

19
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
XÐt phÐp vÞ tù t©m C, tØ sè
XÐt phÐp vÞ tù t©m A, tû sè ,

ta cã:
XÐt phÐp vÞ tù t©m B, tû sè ta cã:
Tõ (1); (2); (3):

20
A
1
N
M
O
1
A
B
C
O
2
A
2
O
3
Khoá luận tốt nghiệp
hay
Do và đều là dây cung của nên từ ta có
với là ảnh của A qua
Có thẳng hàng thẳng hàng. (đpcm)
Ví dụ 3.
Cho tam giác ABC. Gọi I, J, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC
và IJ. Đờng tròn ngoại tiếp (tâm O) của tam giác AJI cắt AO tại A. Gọi là
chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC.
Chứng minh: A, M, M thẳng hàng?

Lời giải.
Gọi M
1
là trung điểm của BC.
Theo giả thiết ta có:
Xét phép vị tự :

Theo tính chất của phép vị tự thì:

21
A
J
C
B
I
M
O
Khoá luận tốt nghiệp
Vì:
(do
Mà
thẳng hàng (vì A, M, M
1
thẳng hàng) (đpcm).
Ví dụ 4.
Cho 3 đờng tròn bằng nhau từng đôi một tiếp
xúc nhau tại A, B, C. Giả sử M là điểm trên , ngoài ra:
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Xét phép đối xứng Đ

A
Do tiếp xúc với tại A
nên:
Tơng tự do tiếp xúc với tại B nên:

22
C
B
A
P
N
Q
M
O
3
O
2
O
1
Khoá luận tốt nghiệp
Lại do tiếp xúc tại C nên:
Tại (1); (2); (3) suy ra:
Vậy M và Q đối xứng nhau qua tâm (đpcm).
Ví dụ 5
Cho tam giác ABC có góc A nhọn, vẽ bên ngoài các tam giác vuông
cân đỉnh A là và Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
Lời giải.
* Cách 1 (sử dụng phép
quay vectơ)

Ta có:
Chứng minh tơng tự, ta có:

23
E
C
M
B
D
A
Khoá luận tốt nghiệp
Vì M là trung điểm của BC nên:
Xét
Cách 2: (sử dụng phép quay).
Xét phép quay:
Theo tính chất phép quay ta có:
Cách 3: (sử dụng phơng pháp thờng)
Ta có:
Xét
Giả sử:

24
Khoá luận tốt nghiệp
(luôn đúng)
Vậy điều giả sử đúng tức:
Ví dụ 6.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng về cùng một
phía cho trớc của đờng thẳng chứa A, B, C các tam giác đều ABC và CBA.
Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AA và CC.
Chứng minh rằng: tam giác BIJ đều?

Lời giải.
* Cách 1:(Sử dụng phép
quay)
Xét phép quay:
lần lợt là trung điểm của AA và CC).

đều.
* Cách 2: (sử dụng phép quay vectơ).
Ta có:

25
A
I
J
B
C'
A'
C
Khoá luận tốt nghiệp
Xét phép quay vectơ góc quay có:
đều.
* Khai thác sâu bài toán:
1, Khai thác 1: Giả thiết bài toán A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, nếu
tách điểm B khỏi đoạn AC ta có bài toán sau:
Bài toán 6.1:
Cho tam giác ABC. Dựng
về phía ngoài hai tam giác đều
ABC và BCA. Gọi I và J lần lợt
là trung điểm của AA và CC.
Chứng minh rằng: tam giác

BIJ đều?
Thật vậy, với cách chứng
minh tơng tự nh ví dụ 6 ta có thể
chứng minh đợc bài toán 6.1 theo
hai cách sử dụng phép quay vectơ
và sử dụng phép quay thông thờng.
2, Khai thác 2: ở bài toán 6, nếu đỉnh B
nằm khác phía so với hai điểm A và C thì
với cách chứng minh tơng tự, kết quả bài
toán 6.1 vẫn đúng.
3, Khai thác 3: Giả thiết dựng các tam
giác đều bởi giả thiết dựng các tứ giác

26
I
J
C'
A
C
A'
B
A
B
C'
J
C
A'
I
Khoá luận tốt nghiệp
đều (chính là dựng các hình vuông). Bằng cách lập luận tơng tự ta có bài

toán.
Bài toán 6.2.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng hai tam giác
vuông ABBA, BCCD về cùng một phía của AB. Gọi I, J lần lợt là trung
điểm của AD và CB.
Chứng minh rằng: Tam giác BIJ vuông cân?
Lời giải:
* Cách 1: (Dùng phép quay vectơ)
Ta có:
Xét phép quay vectơ với góc quay

27