Giáo trình xử lý ảnh y tế Tập 1b P2 potx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.72 KB, 8 trang )

8
làm nổi đường biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên
một ảnh bằng cách xử lý từng hàng một, thì đường biên sẽ phần lớn
được làm nổi bật dọc theo các đường thẳng đứng. Các đường biên
ảnh nằm theo các đường nằm ngang sẽ không được làm nổi một
chút nào và các đường biên nằm theo các hướng khác ngoài hai
hướng này sẽ nhận được hiệu ứng làm nổi ảnh ít hơn các đường
biên dọc. Để đạt được hiệu quả như nhau theo mọi hướng, tín hiệu
được lấy mẫu hai chiều phải được xử lý qua một hệ thống 2-D
(Hình 2.2).
Trong hệ thống tuyến tính bất biến - TTBB (Linear Shift Invariant
- LSI), đáp ứng đầu ra có thể tính theo công thức :
),h(n*),(),(
212121
nnnxnny  (2.1)
Dấu * được hiểu là tích chập và h(n
1
,n
2
) là đáp ứng xung của hệ
thống 2-D. Biểu thức (2.1) có thể viết là:

 





1 2
),(),(),(
22112121

k k
knknhkkxnny

(2.2)

Hình 2.1 Biểu diễn trong miền khoảng cách.
2.3 Một số dãy 2-D thông dụng
Chúng bao gồm:
1. Dãy xung đơn vị :
n
1
T
v

2T

T
H

x(n

1
,T
v
,n
2
,T
H
)

n
2
T
H

9






l¹i cßn hîp trêng c¸c víi
víi
0
0 1
),(),(
21
21021
nn
nnunn


(2.3)
2. Dãy nhảy bậc đơn vị :







l¹i cßn hîp trêng c¸c víi
víi
0
0, 1
),(
21
211
nn
nnu
(2.4)
3. Dãy hàm mũ:






l¹i cßn hîp trêng c¸c víi
víi
0

0,
),(
2121
21
21
nnaa
nnx
nn
(2.5)
4. Dãy tín hiệu hình sin (phức):

)(
21
2211
),(
nnj
ennx



- <n
1
,n
2
< + (2.6)

Hình 2.2 Xử lý tín hiệu 2-D.

2.4 Đáp ứng tần số của hệ thống 2-D -TTBB
Đặt
)(
21
2211
),(
nnj
ennx




Đáp ứng ra có thể rút ra khi dùng biểu thức (2.2).

 
 






1
21
2
)()(
21
),(),(
222111

k k
knknj
kkhenny

(2.7)
hoặc

 






1 2
22112211
),(),(
21
)()(
21
k k
kkjnnj
kkheenny

(2.8)
Công thức này có thể viết lại thành
),(),(),(
212121

Hnnxnny 

Tín hiệu ra là tín hiệu hình sin phức (sinusoid) hoàn toàn có cùng
tần số như tín hiệu vào, nhưng biên độ và góc pha thì bị thay đổi bởi

h(n
1
,n
2
)
x(n
1
,n
2
) y(n
1
,n
2
)
10

hàm khuyếch đại phức H(
1
,
2
). Hàm khuếch đại này gọi là đáp
ứng tần số và được cho bởi

)(
2121
2211
2

2
1
1
),(),(
kkj
k
k
k
k
ekkhH









(2.9)

Biểu thức
)(
2211
kkj
e



được gọi là nhân. Nếu khoảng cách cách lấy

mẫu T
V
,T
H
đã được biết thì biểu thức (2.9) có thể viết lại thành








2
21
1
),(2
21
),(),(
k
TvkTukj
HV
k
HV
eTkTkhvuH

(2.10)

1
, 

2
có thứ nguyên là radian/đơn vị, còn u và v có thứ nguyên là
vòng/đơn vị. Đơn vị ở đây có thể là đơn vị khoảng cách (như cm,
inch) hoặc là đơn vị thời gian (như giây). Việc chọn đơn vị (thời
gian hoặc khoảng cách) phụ thuộc nguồn gốc của ảnh, đó là một
phép chiếu từ không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều. Nếu ta
xử lý với một ảnh lấy ra trực tiếp từ ma trận CCD camera thì T
V
và
T
H
(và do đó là đơn vị) phải tính theo chiều không gian (xem hình
2.3). Mặt khác, với một ảnh truyền hình thì T
V
và T
H
phải theo chiều
thời gian (xem hình 2.4).
Từ (2.9) ta có thể viết

),(),2(
2121

HH 

),()2,(
2121

HH 

(2.11)

),()2,2(
2121

HH 

Và từ (2.10) ta có thể viết

),(,
1
vuHv
T
uH
V











),(
1

, vuH
T
vuH
H










(2.12)

),(
1
,
1
vuH
T
v
T
uH
HV












T
V

T
H

11

Hình 2.3 T
V
và T
H
cho lấy mẫu ảnh trên một ma trận camera CCD.
Hình 2.4 T
V
và T
H
cho một ảnh quét xen kẽ.
Hàm H(
1
,
2
) xác định trên toàn bộ miền




      

     
1 2
và là hàm tuần hoàn trong miền tần số
với chu kì tuần hoàn là 2 đối với 
1
và


2
. H(u,v) xác định trên
miền




HHVV
TvTTuT
2
1
2
1
2
1
2
1

và là hàm tuần hoàn với
chu kì 1/T
V
và 1/T

H
cho u và v. Có thể chiếu H(

1
,

2
) hoặc H(u, v)
lên miền chuẩn hoá, ở đây 
/
1
, 
/
2



 11,
bằng cách đặt 
/
1
=
1
/;


/
2
=
2

/

hoặc 
/
1
=2uT
V
;


/
2
=2vT
h
. 
/
1
và 
/
2
gọi là tần số chuẩn
hoá, hàm H(

/
1
,

/
2
) có thể viết lại

12

)(
2121
2211
1 2
),(),(
kkj
k k
ekkhH










(2.13)
Nếu chúng ta hạn chế h(n
1
,n
1
) chỉ lấy các giá trị thực thì đáp ứng
tần số thoả mãn:
),(),(

2121

jjjj
eeHeeH


(2.14)
H* = liên hợp phức của H. Điều này dẫn đến H(

1
,

2
) đối xứng
(Hình 2.5).

Hình 2.5 Đối xứng tâm.
Chú ý rằng nếu x(n
1

,n
2
) =

(n
1
,n
2
), thì biểu thức (2.2) trở thành
y(n
1
,n
2
) = h(n
1
,n
2
). Vì lý do này mà h(n
1
,n
2
) được gọi là đáp ứng
xung, hoặc là đáp ứng biên độ, của hệ thống 2-D.

Bài tập 2.1 Tính biểu thức đáp ứng tần số của một hệ thống với
đáp ứng xung cho bởi












0.0
5.0
125.0
125.0
125.0
),(
21
nnh
Chứng minh rằng công thức tính đáp ứng tần số có thể tách được.
A
B
B
*

A
*


1


2

l¹i cßn hîptrêng c¸c
0
1,0
0,1
1,1
21
21
21
21







nn
nn
nn
nn
13

2.5 Tính đáp ứng xung từ đáp ứng tần số
Đáp ứng tần số của h(n
1
,n
2
) được cho bởi :





1 2
)(
2121
2211
),(),H(
n n
nnj
ennh


(2.15)
Xét tích phân

 
 








21
)(

21
2
2211
),(
4
1
ddeH
kkj

(2.16)
Thay biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.16) chúng ta được

21
)()(
21
2
1 2
22112211
)),((
4
1







ddeennh
n n

kkjnnj
 

 


Và có thể viết thành

  
2
)(
1
)(
21
2122111
1 2
2
1
2
1
),(











dedennh
knjknj
n n







Và biến đổi thành
),()()(),(
21221121
1 2
kkhknknnnh
n n





Điều này có nghĩa là đáp ứng xung có thể tính từ đáp ứng tần số
qua mối quan hệ:
h(n
1
,n
2
) =
 

 








21
)(
21
2
2211
),(
4
1
ddeH
nnj

(2.17)
Nếu đáp ứng tần số được cho dưới dạng hàm của u,v (vòng/đơn
vị), thì biểu thức (2.17) có thể viết thành
vdduvuHTTnnh
V
V
H
H
HV
T

T
T
T
nvTnuTj
HV
e
 



2
1
2
1
2
1
2
1
_
)(2
21
211
),(),(

(2.18)
Hoặc cho tần số chuẩn hoá:

 
 






1
1
2
1
1
1
)(
2121
2211
),(
4
1
),(


ddeHnnh
nnj
(2.19)
14

Ví dụ 2.3 Cho đáp ứng tần số







0
||,|| 1
),(
21
21
l¹i cßn hîp trêng c¸c


ba
H

(xem hình 2.10), hãy tính đáp ứng xung.

Hình 2.10 Ví dụ 2.3.
Giải Từ phương trình (2.17) chúng ta có thể viết :

2

2
1
1
21
21
)(
2
21
)sin(bn
.
)sin(an
=
2
1
2
1
=
4
1
),(
2211
2211
nn
dede
ddennh
b
b
nj
a
a

nj
a
a
b
b
nnj










 

 



Bởi vì đáp ứng tần số là hàm tách được của hai biến
1

và
2

nên
đáp ứng xung cũng là một hàm hai biến tách được. Khái niệm “tách

được” ở đây nghĩa là có thể phân tích h(n
1
,n
2
) = f
1
(n
1
).f
2
(n
2
).

Ví dụ 2.4 Tìm đáp ứng xung của một bộ lọc thông thấp đối xứng
vòng tròn lý tưởng được mô tả như sau (xem hình 2.11 và 2.12):

1

a

-
a

b

b





-


-



2

15






l¹i cßn hîp trêng c¸c 0
1
),(
22
2
2
1
21



R
eeH
jj

Giải Có thể dễ dàng thấy nếu ),(
21

H là một hàm đối xứng vòng
tròn lý tưởng, cụ thể là )(),(
2
2
2
121

 HH thì ),(
21
nnh cũng là
một hàm tuần hoàn đối xứng vòng tròn, tức là
h n n h n n( , ) ( )
1 2 1
2
2
2
 
.
Vì vậy cách dễ dàng nhất để tìm
),(
21
nnh