Đê TS10-TP Huế từ 2007 đến 2010 (có DA)

CC TUYN SINH TP. HU
Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH VàO LớP 10
Thừa Thiên Huế các trờng thpt thành phố huế
Đề chính thức Môn: TOáN - Khóa ngày 12.7.2006
Số báo danh: Phòng: Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (0,75 điểm)
Chứng minh đẳng thức:
3 2 6 150 1 4
3 3
27 3 6


ì =
ữ
ữ


Bài 2: (1,25 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a)
( )
2 2
3
4 9 6 1
3 1
A x x x
x
= +

với
1

0
3
x< <
.
b)
4 7 4 7
4 7 4 7
B
+
= +
+
Bài 3: (2,50 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc
đồ thị (P) của hàm số
2
y ax=
và điểm B không thuộc
(P).
a) Tìm hệ số
a
và vẽ (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và
B. Xác định tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và
đờng thẳng AB.
Bài 4: (1,5 điểm)
Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào
Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách
Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đờng sắt Huế - Hà Nội dài 645
km.
Bài 5: (2,75 điểm)

Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng
chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung
điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;
b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;
c) Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn.
Bài 6: (1,25 điểm)
Để làm một cái phểu hình nón không nắp bằng bìa cứng bán kính đáy
12r cm=
, chiều cao
16h cm=
, ngời ta cắt từ một tấm bìa ra hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón, sau
đó cuộn lại. Trong hai tấm bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều dài 44cm, chiều rộng 25cm;
tấm bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, có thể sử dụng tấm bìa nào để làm ra cái phểu
hình nón nói trên mà không phải chắp nối ? Giải thích.
Hết
Bài ý Nội dung Điểm
1
0,75
( ) ( )
( )
2 3 3 6 3 1
3 2 6 6
3
27 3 3 3 3
3 3 1


= = =

150 5 6
3 3
=
3 2 6 150 1 6 5 6 1 4 6 1 4
3 3 3 3 3
27 3 6 6 6


ì = ì = ì =
ữ ữ
ữ ữ


0,25
0,25
0,25
2
1,25
2.a
( )
( )
2
2 2
6 3 1
3
4 9 6 1
3 1 3 1
x x
x x x

x x

+ =

( )
6 3 16 3 1
6
3 1 3 1
x xx x
x
x x

= = =

(vì
1
0
3
x< <
nên
0x
>
và
3 1 0x
<
)
0,25
0,50
2.b
( ) ( )

2 2
4 7 4 7 4 7 4 7
4 7 4 7
9 9 3
4 7 4 7
B
+ + +
+
= + = + =
+
4 7 4 7 8
3 3 3
B
+
= + =
(vì
16 7 4 7> >
).
0,25
0,25
3
2,50
3.a
+ Điểm A có tọa độ:
(2; 3)A
.
+
3
( ) 3 4
4

A P a a = =
+ Lập bảng giá trị và vẽ đúng đồ thị (P)
0,25
0,25
0,50
3.b
+ Phơng trình đờng thẳng có dạng
y ax b= +
, đờng thẳng này đi qua A và B nên
ta có hệ phơng trình:
3 2
6 2
a b
a b
= +


= +

+ Giải hệ phơng trình ta đợc:
3 9
;
4 2
a b

= =
ữ

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là:
3 9

4 2
y x=
.
+ Phơng trình cho hoành độ giao điểm của (P) và đờng thẳng AB là:
2 2
3 3 9
6 0
4 4 2
x x x x = + =
Giải phơng trình ta có
1 2 2
27
2; 3
4
x x y= = =
Vậy tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và đờng thẳng AB là
27
3;
4


ữ

.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
4

1,50
Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. Khi đó, x > 0
và vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h).
Theo giả thiết, ta có phơng trình:
300 5 345
5 3x x
+ =
+
( ) ( )
2
900 5 5 1035 5 22 1035 0x x x x x x + + = + =
Giải phơng trình ta đợc:
1
23x =
(loại vì x > 0) và
2
45 0x = >
.
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
5
2,75
a) Tứ giác ABEH có:
à
0
90B =

(góc nội tiếp trong nửa đờng
tròn);
à
0
90H =
(giả thiết)
Nên: ABEH nội tiếp đợc.
Tơng tự, tứ giác DCEH có
à
à
0
90C H= =
, nên nội tiếp đợc.
0,25
0,25
0,25
b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có:
ã ã
EBH EAH=
(cùng chắn cung
ẳ
EH
)
Trong (O) ta có:
ã
ã ã
EAH CAD CBD= =
(cùng chắn cung
ằ
CD

).
Suy ra:
ã
ã
EBH EBC=
, nên BE là tia phân giác của góc
ã
HBC
.
+ Tơng tự, ta có:
ã
ã
ã
ECH BDA BCE= =
, nên CE là tia phân giác của góc
ã
BCH
.
+ Vậy: E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH.
Suy ra EH là tia phân giác của góc
ã
BHC
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Ta có I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD, nên
ã
ã

2BIC EDC=
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
ằ
EC
). Mà
ã ã
EDC EHC=
, suy ra
ã
ã
BIC BHC=
.
+ Trong (O),
ã ã ã
2BOC BDC BHC= =
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
ằ
BC
).
+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc
ã
BHC
dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B,
C, H, O, I cùng nằm trên một đờng tròn.
0,25
0,25
0,25
6
1,25
+ Đờng sinh của hình nón có chiều dài:

2 2
20( )l r h cm= + =
.
+ Hình khai triển của mặt xung quanh
của hình nón là hình quạt của hình tròn
bán kính
l
, số đo của cung của hình quạt
là:

0 0
360 360 12
216
20
r
n
l
ì
= = =
ã ã
0
72 cos
OI
AOI AOI
OA
= =

0
20cos72 6,2( )OI cm =
.

+ Do đó, để cắt đợc hình quạt nói trên thì phải cần tấm bìa hình chữ nhật có
kích thớc tối thiểu: dài 40cm, rộng (20 + 6,2) = 26,2cm. Vậy phải dùng tấm bìa
B mới cắt đợc hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón mà không bị
chắp vá.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt thành phố Huế
Thừa Thiên Huế Khóa ngày 12.7.2007
Đề chính thức Môn: TOáN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,75 điểm)
c) Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị của biểu thức:
3 2 3 6
3 3 3
A
−
= +
+
d) Rút gọn biểu thức
( )
  −
= − > ≠
 ÷
+ + + +
 
1 1 1
: 0 vµ 1

1 2 1
x
B x x
x x x x x
.
Bài 2: (2,25 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm
( )
4 ; 0B
và
( )
1 ; 4C −
.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng
2 3y x= −
. Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
d) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc
tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút).
e) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số
u
và
v
biết:
1, 42 vàu v uv u v+ = = − >
.
b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến
A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C.

Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc
xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của
nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là
điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax
tại D và cắt By tại E.
a) Chứng minh rằng:
∆
DOE là tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng:
2
AD BE= R×
.
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác
ADEB nhỏ nhất.
Bài 5: (1,5 điểm)
Một cái xô dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy là 19 cm và 9 cm, độ dài đường sinh
26cml =
. Trong xô đã chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy dưới (xem hình
vẽ).
a) Tính chiều cao của cái xô.
b) Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ?
Hết
SBD thí sinh: Chữ ký của GT 1:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt Tp. Huế
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Khóa ngày: 12/7/2007
Đề chính thức Đáp án và thang điểm
Bài ý Nội dung Điểm
1 1,75

1.a
+
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 6 3 3
3 2 3 6
3 3 3 3
3 3 3 3
A
− −
−
= + = +
+
+ −

+
( )
6 3 3
3 2
9 3
A
+
= − +
−

+
3 2 3 3 1A = − + + =

0,25
0,25

0,25
1.b Ta có:
+
( )
− = −
+ + +
+
1 1 1 1
1 1
1
x x x x
x x

+ =
( )
−
+
1
1
x
x x
+
( )
− −
=
+ +
+
2
1 1
2 1

1
x x
x x
x
+
( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
x x x
B
x
x x
x
− − +
= = −
+
+
(vì
0x
>
và
1x
≠
).
0,25
0,25

0,25
0,25
2 2,25
2.a
+ Đường thẳng (d) song song với đường thẳng
2 3y x= −
, nên phương trình
đường thẳng (d) có dạng
2 ( 3)y x b b= + ≠ −
.
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm
( )
1; 4C −
nên:
4 2 6 3b b= − + ⇔ = ≠ −
.
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là:
2 6y x= +
.
+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm
( ; 0)A x
nên
0 2 6 3x x= + ⇔ = −
. Suy
ra:
( )
3 ; 0A −
0,25
0,25
0,25

2.b
+ Đồ thị hàm số
y ax b= +
là đường thẳng
đi qua
( )
4; 0B
và
( )
1; 4C −
nên ta có hệ
phương trình:
0 4
4
a b
a b
= +


= − +

+ Giải hệ phương trình ta được:
( )
4 16
; ;
5 5
a b
 
= −
 ÷

 
.
0,25
0,25
+ Đường thẳng BC có hệ số góc
4
0,8 0
5
a = − = − <
, nên tang của góc
'
α
kề bù
với góc tạo bởi BC và trục Ox là:
0
' 0,8 ' 38 40'tg a
α α
= = ⇒ ≈
.
+ Suy ra: Góc tạo bởi đường thẳng BC và trục Ox là
0 0
180 ' 141 20'
α α
= − ≈
0,25
0,25
2.c
+ Theo định lí Py-ta-go, ta có:
2 2 2 2
2 4 2 5AC AH HC= + = + =

+Tương tự:
2 2
5 4 41BC = + =
.
Suy ra chu vi tam giác ABC là:
7 2 5 41 17,9( )AB BC CA cm+ + = + + ≈
0,25
0,25
3 2,0
3.a
+ u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
42 0x x− − =
+ Giải phương trình ta có:
1 2
6; 7x x= − =
+ Theo giả thiết:
u v>
, nên
7; 6u v= = −
0,25
0,25
0,25
3.b + Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng. Điều kiện: x > 1.
+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B:
60
(h)
1x +
, thời gian xuồng ngược dòng
từ B về C :

25
(h)
1x −
+ Theo giả thiết ta có phương trình :
60 25 1
8
1 1 2x x
+ + =
+ −
+ Hay
2
3 34 11 0x x− + =
Giải phương trình trên, ta được các nghiệm:
1
11x =
;
2
1
3
x =
+ Vì x > 1 nên x = 11 . Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là 11km/h.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4 2,5
4.a + Hình vẽ đúng (câu a):
+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến
cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc

AOM. Tương tự: OE là tia phân giác góc
MOB.
+ Mà
·
AOM
và
·
MOB
là hai góc kề bù, nên
·
0
90DOE =
. Vậy tam giác DOE vuông tại O.
0,25
0,50
0,50
4.b + Tam giác DOE vuông tại O và
OM DE
⊥
nên theo hệ thức lượng trong tam
giác vuông, ta có:
2 2
DM EM OM R× = =
(1)
+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2).
+ Từ (1) và (2) ta có:
2
DA EB R× =
0,25
0,25

0,25
7
4.c + Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:
( ) ( )
1 1
2
2 2
S AB DA EB R DM EM R DE= + = × × + = ×
+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường
vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với
By tại H).
0,25
Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn
(O) (hoặc OM
⊥
AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là:
2
0
2S R=
Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa.
0,25
5 1,5
5.a
5.b
+ Cắt hình nón cụt bởi mặt phẳng
qua trục OO', ta được hình thang cân
AA’B’B. Từ A hạ AH vuông góc với
A’B’ tại H, ta có:
A'H O'A' OA 10 (cm)= − =
Suy ra:

2 2 2 2
OO' AH AA' A'H 26 10 24 (cm)= = − = − =
.
+ Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung là IJ, IJ cắt AH tại K.
Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = 6 (cm).
+ Bán kính đáy trên của khối nước trong xô là
1 1 1
O I O K KI 9 KIr = = + = +
.
KI//A’H
1
KI AK
= KI 7,5 16,5 (cm)
HA' AH
r⇒ ⇒ = ⇒ =
.
Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là:
+
( ) ( )
2 2 2 2
1 1
1 1
. 6 19 19 16,5 16,5
3 3
V h r rr r
π π
= + + = × + × +
.
+
3 3

5948,6 cm 5,9486 5,9V dm≈ = ≈
lít.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú:
− Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
− Điểm toàn bài không làm tròn.
8
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Quốc Học
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:



=−
=+
82
82
2
2
xy
yx
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình:

( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m
− + + + =
luôn có 4 nghiệm
phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
với mọi giá trị của
m
.
Tìm giá trị
m
sao cho
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
11x x x x x x x x
+ + + + × × × =
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M
≠
P,
M
≠
Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường
tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F
≠
Q). Đường thẳng RF
cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N.

1. Chứng tỏ rằng:
·
·
·
ERF QRE +SRF
=
.
2. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì
đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.
3. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.
Bài 4: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên
,p q
sao cho đẳng thức sau đúng:

1232
+−−=−+−
qppqqp
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh với mọi số thực
, ,x y z
luôn có:

( )
2x y z y z x z x y x y z x y z
+ − + + − + + − + + + ≥ + +
Hết

SBD thí sinh: Chữ ký GT1:
9

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI NỘI DUNG Điể
m
B.1



=−
=+
82
82
2
2
xy
yx
(2đ)
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2 0x y y x+ − − =
.
0,25
Hay
( ) ( )
2 0x y x y+ − + =
.
0,25
+ Nếu

0x y+ =
, thay
y x= −
vào phương trình đầu thì:
2 2
2 8 2 8 0x x x x− = ⇔ − − =
0,25
Giải ra :
4; 2x x= = −
0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm :
( ) ( )
; 4; 4x y = −
;
( ) ( )
; 2;2x y = −
0,25
+ Nếu
2 0x y− + =
, thay
2y x= +
vào phương trình đầu thì:
( )
2 2
2 2 8 2 4 0x x x x+ + = ⇔ + − =
.
0,25
Giải ra:
1 5; 1 5x x= − − = − +
.

0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm:
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − − −
;
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − + +
0,25
B.2
( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m
− + + + =
(1)
(2đ)
Đặt :
2
t x=
, ta có :
( )
2 2 4
2 2 3 0t m t m− + + + =
(2) (
0t
≥
) .
0,25
Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm :

1 2
0 t t< <
.
0,25
( ) ( )
2
2 4 2
' 2 3 4 1 0m m m∆ = + − + = + >
với mọi
m
.Vậy (2) luôn có hai nghiệm
phân biệt
1 2
,t t
.
0,25
4
1 2
3 0t t m× = + >
với mọi
m
.
0,25
( )
2
1 2
2 2 0t t m+ = + >
với mọi
m
.

0,25
Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm :
1
t
−
,
1
t
+
,
2
t
−
,
2
t
+
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 1 2 2
x x x x x x x x t t t t t t t t
+ + + + × × × = − + + − + + − × × − ×


( )
1 2 1 2
2 t t t t= + + ×
0,25

( )
2 2 2 2 2 4 4 2
1 2 3 4 1 2 3 4
4 2 3 4 11x x x x x x x x m m m m+ + + + × × × = + + + = + +
.
0,25
2 2 2 2 4 2 4 2
1 2 3 4 1 2 3 4
11 4 11 11 4 0 0x x x x x x x x m m m m m+ + + + × × × = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ =
0,25
B.3 3 đ
Câu3.
1
(1đ)
Hình vẽ đúng 0,25
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
RMQ có đường kính RM .
·
·
·
0
45ERF MRF MQF= = =
(3)
0,25
F nằm trong đọan ES.
· ·
·
0
90 QRE ERF FRS= + +
Do đó :

·
·
0
45QRE SRF+ =
(4)
0,25
Từ (3) và (4) :
· ·
·
ERF QRE SRF= +
.
0,25
Câu3.
2
(1đ)
Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố
định P.
0,25
Ta có :
·
·
0
45NSE NRE= =
. Do đó N, S, R, E ở trên đường tròn đường kính
NR.
0,25
Ta cũng có:
·
·
0

45FME FNE= =
. Do đó N, F, E, M ở trên đường tròn đường
kính MN.
0,25
Do
·
0
90MPN =

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P.
0,25
Câu3.
3
(1đ)
Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF
và NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó :
·
·
DRM ENM=
.
0,25
Ta có:
·
·
ENM EFM=
(do M, N, F, E ở trên một đường tròn);
·
· ·
EFM QFM QRM= =
(do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:

·
·
DRM QRM=
. D nằm trong đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD 0,25
Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND
.
Từ đó : MN = MQ+NS
0,25
B. 4
1232
+−−=−+−
qppqqp
(
α
)
(2đ)
Điều kiện:
2 0,p − ≥

3 0,q − ≥

2 1 0.pq p q− − + ≥
(p, q là các số nguyên)
0,25
11
D
H
N

F
E
M
S
R
Q
P
Bỡnh phong hai v ca (

) : 2
2 3 3 2 6p q pq p q ì = +
.
0,25
Hay :
( ) ( )
2 ( 2)( 3) 2 3p q p q =
.
0,25
Tip tc bỡnh phng :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 2 3 2 3p q p q =
.
0,25
+ Nu
2p =
thỡ (

) tr thnh:
0

+
3q
=
3q
, ỳng vi mi s nguyờn
3q
tựy ý.
0,25
+ Nu
3q =
thỡ (

) tr thnh:
2p
+
0
=
2p
,ỳng vi mi s nguyờn
2p
tựy ý.
0,25
+ Xột
2p >
v
3q >
. Ta cú :
( ) ( )
4 2 3p q=
( p, q l cỏc s nguyờn)

Ch xy ra cỏc trng hp :
1/
2 1,p =

3 4q =
; 2/
2 2,p =

3 2q =
; 3/
2 4,p =

3 1q =
.
0,25
Ta cú thờm cỏc cp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4) .
Kim tra li ng thc (

):
1
+
4
=
9
;
2
+
2
=
8

;
4
+
1
=
9
0,25
B.5

)(2 zyxzyxyxzxzyzyx
++++++++++
(*)
(1)
t:
,a x y z= +

,b y z x= +
c z x y= +
. Trong ba s a, b, c bao gi cng
cú ớt nht hai s cựng du, chng hn:
0a b
ì
.
Lỳc ny :
zyx +
+
zxy +
=
a
+

b
=
ba +
= 2
y
0,25
Ta cú :
x y z a b c+ + = + +
;
2x a c
= +
;
2z b c
= +
. Do ú chng minh (*)
ỳng, ch cn chng t :
c
+
cba ++

ca +
+
cb +
(**) ỳng vi
0a b
ì
.
0,25
Ta cú:
(**)

( )
2 2
c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab ì + + + + ì + + + + + + +

(***)
0,25
t:
2
ca cb c A+ + =
;
ab B=
, ta cú
B B=
(do a.b

0) ta cú: (***)

A
+
B

BA +

A
.
B

AB

AB

AB .
Du ng thc xy ra trong trng hp cỏc s: a, b, c, a + b + c chia lm 2
cp cựng du. Vớ d:
0ab
v
( )
0c a b c+ +
.
0,25
Chỳ ý: Cú th chia ra cỏc trng hp tựy theo du ca a, b, c (cú 8 trng
hp) chng minh(*)
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
12
§Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Bài 1: (3 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :
3 3 13 4 3 1− − − =
.
b) Giải hệ phương trình :
2
1 5
( 2 1) 36
x y
x x y

+ + =



+ + =


Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình:
4 2
2 2 1 0x mx m
− + − =
.
Tìm giá trị
m
để phương trình có bốn nghiệm
1 2 3 4
, , ,x x x x
sao cho:
1 2 3 4
x x x x< < <
và
( )
4 1 3 2
3x x x x− = −
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB
và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân
biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với
đường tròn (S).
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh:
2

ME = MA MP
×
.
c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh:
ME AM
NF AN
=
.
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện
sau đồng thời được thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và
chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng
trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng
minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích
mỗi phần là số nguyên.
Hết
SBD thí sinh: Chữ ký GT1:
13
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Quốc Học
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
P N - THANG IM
BI NI DUNG i
m
B.1 3,0
1.a
( )

( )
2
2
3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1
3 3 2 3 1 3 3 2 3 1
3 3 2 3 1 3 3 1
3 3 1 3 3 1 1
= +
= =
= + =
= = + =
0.25
0.25
0,25
0.25
1.b iu kin y

0 . 0,25
( )
2
2 1 36 1 6x x y x y+ + = + =
.
0,25
t
1u x= +
,
v y=
(
0, 0u v
), ta cú h

5
6
u v
uv
+ =


=


0,50
Gii ra : u

= 2 , v = 3 hoc u =3 , v = 2 0,25
Trng hp u

= 2 , v = 3 cú : ( x

= 1 ;

y = 9 ) hoc ( x

=

3 ;

y = 9) 0,25
Trng hp u

= 3 , v = 2 cú : ( x

= 2 ;

y = 4 ) hoc ( x

=

4 ;

y = 4) 0,25
H ó cho cú 4 nghim: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . 0,25
B.2 1,5
4 2
2 2 1 0x mx m
+ =
(1)
t :
2
t x=
, ta cú :
2
2 2 1 0t mt m + =
(2) (
0t
) .
0,25
( )
2
2
' 2 1 1 0m m m = + =

vi mi
m
.
0,25
Vy (1) cú bn nghim phõn bit thỡ (2) luụn cú hai nghim dng phõn
bit
1 2
,t t
. Tng ng vi:
1
' 0, 2 1 0, 2 0 , 1
2
P m S m m m > = > = > >

(3)
0,25
Vi iu kin (3), phng trỡnh (2) cú 2 nghim dng
1 2
0 t t< <
v phng
trỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit:
1 2 2 1 3 1 4 2
x t x t x t x t= < = < = < =
Theo gi thit:
( )
4 1 3 2 2 1 2 1 2 1
3 2 6 3 9x x x x t t t t t t = = = =
(4)
0,25
Theo nh lớ Vi-ột, ta cú:

1 2
2t t m+ =
v
1 2
2 1t t m=
(5)
T (4) v (5) ta cú:
1
10 2t m=
v
2
1
9 2 1t m=
2
1 2
5
9 50 25 0 ; 5
9
m m m m + = = =
.
C hai giỏ tr u tha món iu kin bi toỏn.
Vy phng trỡnh (1) cú 4 nghim tha món iu kin bi toỏn thỡ cn v
l:
5
9
m =
v
5m =
.
0,50

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Tha Thiờn Hu Môn: TON - Năm học 2008-2009
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bi 1: (3 im)
c) Khụng s dng mỏy tớnh b tỳi, hóy chng minh ng thc :
3 3 13 4 3 1 =
.
d) Gii h phng trỡnh :
2
1 5
( 2 1) 36
x y
x x y

+ + =


+ + =


Bi 2: (1,5 im)
Cho phng trỡnh:
4 2
2 2 1 0x mx m
+ =
.
Tỡm giỏ tr
m
phng trỡnh cú bn nghim
1 2 3 4

, , ,x x x x
sao cho:
1 2 3 4
x x x x< < <
v
( )
4 1 3 2
3x x x x =
.
Bi 3: (3 im)
Cho ng trũn (O), ng kớnh AB. Gi C l trung im ca bỏn kớnh OB v
(S) l ng trũn ng kớnh AC. Trờn ng trũn (O) ly hai im tựy ý phõn bit
M, N khỏc A v B. Gi P, Q ln lt l giao im th hai ca AM v AN vi ng
trũn (S).
d) Chng minh rng ng thng MN song song vi ng thng PQ.
e) V tip tuyn ME ca (S) vi E l tip im. Chng minh:
2
ME = MA MP
ì
.
f) V tip tuyn NF ca (S) vi F l tip im. Chng minh:
ME AM
NF AN
=
.
Bi 4: (1,5 im)
Tỡm s t nhiờn cú bn ch s (vit trong h thp phõn) sao cho hai iu kin sau
ng thi c tha món:
(iii) Mi ch s ng sau ln hn ch s ng lin trc.
(iv) Tng p + q ly giỏ tr nh nht, trong ú p l t s ca ch s hng chc

v ch s hng n v cũn q l t s ca ch s hng nghỡn v ch s hng trm.
Bi 5: (1 im)
Mt tm bỡa dng tam giỏc vuụng cú di ba cnh l cỏc s nguyờn. Chng
minh rng cú th ct tm bỡa thnh sỏu phn cú din tớch bng nhau v din tớch mi
phn l s nguyờn.
15
Hết
SBD thí sinh: Chữ ký GT1:
16
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
P N - THANG IM
BI NI DUNG im
B.1 3,0
1.a
( )
( )
2
2
3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1
3 3 2 3 1 3 3 2 3 1
3 3 2 3 1 3 3 1
3 3 1 3 3 1 1
= +
= =
= + =
= = + =
0.25
0.25
0,25

0.25
1.b iu kin y

0 . 0,25
( )
2
2 1 36 1 6x x y x y+ + = + =
.
0,25
t
1u x= +
,
v y=
(
0, 0u v
), ta cú h
5
6
u v
uv
+ =


=


0,50
Gii ra : u

= 2 , v = 3 hoc u =3 , v = 2 0,25

Trng hp u

= 2 , v = 3 cú : ( x

= 1 ;

y = 9 ) hoc ( x

=

3 ;

y = 9) 0,25
Trng hp u

= 3 , v = 2 cú : ( x

= 2 ;

y = 4 ) hoc ( x

=

4 ;

y = 4) 0,25
H ó cho cú 4 nghim: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . 0,25
B.2 1,5
4 2
2 2 1 0x mx m

+ =
(1)
t :
2
t x=
, ta cú :
2
2 2 1 0t mt m + =
(2) (
0t

) .
0,25
( )
2
2
' 2 1 1 0m m m = + =
vi mi
m
.
0,25
Vy (1) cú bn nghim phõn bit thỡ (2) luụn cú hai nghim dng phõn bit
1 2
,t t
. Tng ng vi:
1
' 0, 2 1 0, 2 0 , 1
2
P m S m m m > = > = > >
(3)

0,25
Vi iu kin (3), phng trỡnh (2) cú 2 nghim dng
1 2
0 t t< <
v phng trỡnh
(1) cú 4 nghim phõn bit:
1 2 2 1 3 1 4 2
x t x t x t x t= < = < = < =
Theo gi thit:
( )
4 1 3 2 2 1 2 1 2 1
3 2 6 3 9x x x x t t t t t t = = = =
(4)
0,25
Theo nh lớ Vi-ột, ta cú:
1 2
2t t m+ =
v
1 2
2 1t t m=
(5)
T (4) v (5) ta cú:
1
10 2t m=
v
2
1
9 2 1t m=
2
1 2

5
9 50 25 0 ; 5
9
m m m m + = = =
.
C hai giỏ tr u tha món iu kin bi toỏn.
Vy phng trỡnh (1) cú 4 nghim tha món iu kin bi toỏn thỡ cn v
l:
5
9
m =
v
5m
=
.
0,50
17
B.3 3,0
3.a + Hình vẽ
·
·
0
90 //CPA BMA CP BM= = ⇒
Do đó :
AP AC
AM AB
=
(1)
+ Tương tự:
//CQ BN

và
AQ AC
(2)
AN AB
=
Từ (1) và (2):
AP AQ
AM AN
=
,
Do đó
//PQ MN
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Hai tam giác MEP và MAE có :
·
·
EMP AME=
và
· ·
PEM EAM=
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
2
ME MP
ME MA MP

MA ME
= ⇒ = ×
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng có:
2
NF NA NQ= ×
+ Do đó:
2
2
ME MA MP
NF NA NQ
×
=
×
+ Nhưng
( // )
MP MA
Do PQ MN
NQ NA
=
+ Từ đó:
2 2
2 2
ME AM ME AM
NF AN NF AN
= ⇒ =
0,25
0,25

0,25
0,25
B. 4
1,5
Xét số tùy ý có 4 chữ số
abcd
mà
1 9a b c d
≤ < < < ≤
. (a, b, c, d là các số
nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
c a
p q
d b
+ = +
0,25
Do b, c là số tự nhiên nên:
1c b c b
> ⇒ ≥ +
. Vì vậy :
1 1
9
b
p q
b
+
+ ≥ +
1 1 1 1 7
2

9 9 9 9 9
b b
p q
b b
+ ≥ + + ≥ + × =
0,75
7
9
p q+ =
trong trường hợp
1
1, 9, 1,
9
b
c b d a
b
= + = = =
Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349
0,25
0,25
B.5
1,0
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.
Ta có
2 2 2
a b c+ =
; a, b, c
*
∈N
, diện tích tam giác ABC là

2
ab
S =
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
+ Chứng minh
3abM

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì
2 2
a b+
chia 3 dư 2.
Suy ra số chính phương
2
c
chia 3 dư 2, vô lý.
0,25
18
+ Chứng minh
4abM

- Nếu a, b chẵn thì
4abM
.
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.
Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì
2
4c M
, trong lúc
2 2

a b+
không thể chia hết cho 4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h
∈N
. Ta có :
( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1b h k= + − +
=
( ) ( )
4 1h k h k− + +
=
( ) ( ) ( )
4 1 8 8h k h k k h k− − + + − M
Suy ra
4bM
.
0,25
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với
C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích
bằng
12
ab
là một số nguyên.
0.25
Ghi chó:
− Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
− §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn.
19

B.3 3,0
3.a + Hình vẽ
·
·
0
90 //CPA BMA CP BM= = ⇒
Do đó :
AP AC
AM AB
=
(1)
+ Tương tự:
//CQ BN
và
AQ AC
(2)
AN AB
=
Từ (1) và (2):
AP AQ
AM AN
=
,
Do đó
//PQ MN
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b

+ Hai tam giác MEP và MAE có :
·
·
EMP AME=
và
· ·
PEM EAM=
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
2
ME MP
ME MA MP
MA ME
= ⇒ = ×
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng có:
2
NF NA NQ= ×
+ Do đó:
2
2
ME MA MP
NF NA NQ
×
=
×
+ Nhưng

( // )
MP MA
Do PQ MN
NQ NA
=
+ Từ đó:
2 2
2 2
ME AM ME AM
NF AN NF AN
= ⇒ =
0,25
0,25
0,25
0,25
B. 4
1,5
Xét số tùy ý có 4 chữ số
abcd
mà
1 9a b c d≤ < < < ≤
. (a, b, c, d là các số
nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
c a
p q
d b
+ = +
0,25
Do b, c là số tự nhiên nên:

1c b c b> ⇒ ≥ +
. Vì vậy :
1 1
9
b
p q
b
+
+ ≥ +
1 1 1 1 7
2
9 9 9 9 9
b b
p q
b b
+ ≥ + + ≥ + × =
0,75
7
9
p q+ =
trong trường hợp
1
1, 9, 1,
9
b
c b d a
b
= + = = =
Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349
0,25

0,25
B.5
1,0
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.
Ta có
2 2 2
a b c+ =
; a, b, c
*
∈N
, diện tích tam giác ABC là
2
ab
S =
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
+ Chứng minh
3abM

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì
2 2
a b+
chia 3 dư 2.
Suy ra số chính phương
2
c
chia 3 dư 2, vô lý.
0,25
20
+ Chng minh

4abM

- Nu a, b chn thỡ
4abM
.
- Nu trong hai s a, b cú s l, chng hn a l.
Lỳc ú c l. Vỡ nu c chn thỡ
2
4c M
, trong lỳc
2 2
a b+
khụng th chia ht cho
4.
t a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h
N
. Ta cú :
( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1b h k= + +
=
( ) ( )
4 1h k h k + +
=
( ) ( ) ( )
4 1 8 8h k h k k h k + + M
Suy ra
4bM
.

0,25
Nu ta chia cnh AB (chng hn) thnh 6 phn bng nhau, ni cỏc im chia
vi C thỡ tam giỏc ABC c chia thnh 6 tam giỏc, mi tam giỏc ny cú din
tớch bng
12
ab
l mt s nguyờn.
0.25
*********************************************************************
Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế Đề thi tuyển sinh lớp 10
Năm học: 2009 - 2010.
Môn: Toán.
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2,25đ)
Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy giải các phơng trình sau:
a) 5x
3
+ 13x - 6=0 b) 4x
4
- 7x
2
- 2 = 0 c)
3 4 17
5 2 11
x y
x y
=


+ =

Bài 2: (2,25đ)
a) Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã
cho song song với đờng thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol
(P): y =
1
2
x
2
có hoàng độ bằng -2.
b) Không cần giải, chứng tỏ rằng phơng trình (
3 1+
)x
2
- 2x -
3
=
0 có hai nghiệm phân biệt và tính tổng các bình phơng hai nghiệm đó.
Bài 3: (1,5đ)
Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp đợc
1
10
khu đất. Nừu
máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ
hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lấp đợc 25% khu đất
đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đã cho
trong bao lâu.
Bài 4: (2,75đ) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến d với
đờng tròn (O) tại B. Gọi C và D là hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho
B nằm giữa C và D. Các tia AC và AD cắt (O) lần lợt tại E và F (E, F khác

A).
1. Chứng minh: CB
2
= CA.CE
2. Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O

).
21
3. Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi.
Tiếp tuyến của (O

) kẻ từ A tiếp xúc với (O

) tại T. Khi C hoặc D di động
trên d thì điểm T chạy trên đờng thẳng cố định nào?
Bài 5: (1,25đ)
Một cái phễu có hình trên dạng hình nón đỉnh S, bán kính đáy R = 15cm,
chiều cao h = 30cm. Một hình trụ đặc bằng kim loại có bán kính đáy r =
10cm đặt vừa khít trong hình nón có đầy nớc (xem hình bên). Ngời ta
nhấc nhẹ hình trụ ra khỏi phễu. Hãy tính thể tích và chiều cao của khối n-
ớc còn lại trong phễu.
Gợi ý đáp án
22
23
24