Lý thuyết hệ phương trình docx

Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
ax by c
a 'x b'y c'
+ =


+ =

Đặt
x y
a b c b a c
D ; D ; D
a ' b' c' b' a' c'
= = =
- Nếu:
D 0
≠
: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
y
x
D
D
x ;y
D D
= =
- Nếu D = 0: +
x
D 0≠
hoặc

y
D 0≠
: Hệ vơ nghiệm
+
x y
D D 0= =
: Hệ có vơ số nghiệm là tập nghiệm của phương
trình ax + by + c = 0
Bài 1: Giải các phương trình sau: a.
3x y 2
x 3y 1

+ =


+ =


b.
1 2
1
x y
2 1
3
x y

+ =





+ =


Bài 2: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a.
x my 3m
mx y 2m 1
+ =


+ = +

b.
mx y 1 0
x my 2 0
− + =


+ + =

c.
mx (m 2)y 2
x my m
+ + =


+ =

Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm:

2
mx my m 1
(m m)x my 2
− = +


− + =

Bài 4: Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm:
2(m 2)x (5m 3)y 2(m 2)
(m 2)x 3my m 2
+ − + = −


+ − = −

Bài 5: Cho hệ phương trình:
mx y 2m
x my m 1
+ =


+ = +

a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y). Tìm hệ thức liện hệ giữa x, y độc lập với m.
b. Tìm m để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm ngun.
Bài 6: Tìm m để hai đường thẳng: (d): x + my = 1 và (d'): mx + 4y = m -1
a. Cắt nhau b. Song song c. Trùng nhau
B. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẤC HAI 2
ẨN

- Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a.
2
2x 3y 1
x xy 24
− =


− =

b.
3x 4y 1 0
xy 3(x y) 9
− + =


= + −

c.
2
y x 4x
2x y 5 0

+ =

+ − =

d.
2 2

2x y 5
x xy y 7
− =


+ + =

Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 2
x 2y 6
x y a
+ =


+ =

. Tìm a để hệ phương trình:
a. Có nghiệm duy nhất b. Vơ nghiệm c. Có hai nghiệm phân biệt
C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Kiến thức cần nhớ:
1) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
- Dạng:



=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y

- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S
2
- 4P
)0≥
Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
- Chú ý: + Đơi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P
+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm.
2) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
- Dạng:



=
=
0)x,y(f
0)y,x(f
(hốn vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phtrình kia)
- Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y)
= 0
+ Khi đó hệ phương trình đã tương đương với:
)II(
0)y,x(f
0)y,x(g
)I(
0)y,x(f
0yx



=

=
∨



=
=−
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)





=+
=+
35yx
30xyyx
33
22
b)





=+−
=+
13yyxx
5yx

4224
22
c)







=+++
=+++
9
y
1
x
1
yx
5
y
1
x
1
yx
22
22
d)






=+
=+
5yx
6
13
x
y
y
x
Bài 2: a) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình sau ln có nghiệm:



+=+
+=++
mmxyyx
1m2yxyx
222
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 3: Cho hệ phương trình:





=+
−=+
myx

m6yx
222
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
a)





+=
+=
x2y3y
y2x3x
2
2
b)





+=−
+=−
xy2x2y
yx2y2x
22
22
c)






+=
+=
x8y3y
y8x3x
3
3
d)







=−
=−
y
x
4x3y
x
y
4y3x
Bài 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:






+−=
+−=
myy4yx
mxx4xy
232
232
D. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Kiến thức cần nhớ:
- Dạng:



=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ
của x và y trong cùng một hạng tử bằng nhau)
- Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx)
Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t.
+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t.
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)




=−
=−
2)yx(xy
7yx
33
b)





=−−
=+−
0y6xy7x5
0y4xy8x3
22
22
c)





=+−
−=+−
13y3xyx3
1yxy3x
22
22
Bài 2: Cho hệ phương trình:






=−
=+−
4xy3y
ayxy4x
2
22
a) Giải hệ khi a = 4 b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với mọi a.