TÍCH PHÂN - PHẦN 2 pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (157.68 KB, 7 trang )

Tích phân xác định
A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích:

∫
+
2
0
2
)2(x
xdx
∫
+
2
0
2
3
2x
dxx
∫
6
0
3
sin
π
xdx
∫
+
4
0

cossin
sin
π
xx
xdx
∫
π
0
3sin xdxx
dxe
x
ex
∫
+
1
0

∫
+
2
1
2
)2(xx
dx
∫
+
1
0
5
)1( dxxx

∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
∫
+
2
0
sin1cos
π
dxxx
dx
xxx
∫
2
0
532
∫
+
4
1
2
3

)
1
( dx
x
x
∫
e
dx
x
x
1
5
ln
∫
2
0
3cos2sincos
π
xdxxx
∫
2
0
22
cos
π
x
xdx
∫
2
0

5
π
xdxtg
∫
+
2
1
3
xx
dx
∫
+
3
6
sin21
cos
π
π
dx
x
x
∫
+
−
4
0
5cos21
7cos8cos
π
dx

x
xx
II – Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
a) Phương pháp đổi biến dạng 1: I =
∫
b
a
dxxf )(
+) Đặt x =
ϕ
(t), t
∈

];[
βα
+) Tính dx =
'
ϕ
(t)dt
+) Đổi cận với
ba == )(;)(
βϕαϕ
+) Biểu diễn :
∫
b
a
dxxf )(
=
∫∫
=

β
α
β
α
ϕϕ
dttgdtttf )()('))((
=
)(tG
α
β
= G(
α
) -
)(
β
G
+) Chú ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
•
22
xa −
Đặt x = asint, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
hoặc x = acost, t
];0[

π
∈
•
22
xa +
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
•
xa
xa
+
−
Đặt x = acos2t, t
);0[
π
∈
•
1
2
−x
Đặt x =
tcos
1
, t

}
2
{\];0[
π
π
∈
•
22
22
1
,
xa
xa
+
+
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
Các ví dụ áp dụng:
∫
−
1
0
2
1 dxx

∫
−
2
0
2
4 dxx
∫
+
1
0
2
1
1
dx
x
∫
+−
1
0
2
1
1
dx
xx
∫
++
1
0
2
1

1
dx
xx
∫
−
2
0
22
4 dxxx
dx
xa
x
a
∫
+
0
2
3
22
3
)(
∫
−
2ln
0
1dxe
x
∫
−
2

0
22
1
a
dx
xa
b) Phương pháp đổi biến số dạng 2: I =
∫
b
a
dxxf )(
+) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b]
+) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt
Đổi cận: x a b
t = U(x) U(a) U(b)
+) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t)
1

+) I =
∫
b
a
dxxf )(
=
∫
)(
)(
)(
bU
aU

dttg
= G(U(b))- G(U(a)).
Các ví dụ áp dụng:
∫
+
+
3
0
2
1
1
dx
x
x
∫
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
∫
−
1
0

235
)1( dxxx
∫
+
+−
+
2
15
1
24
2
1
1
dx
xx
x
∫
+
2
1
4
2
1
dx
x
x
∫
+
+
3

0
1
1 dtte
t
∫
+
+
2
0
1cos3
sin2sin
π
dx
x
xx
∫
+
e
dx
xx
x
1
ln1
ln
∫
+
15
0
3 2
3

1
dx
x
x
III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
+) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó
∫∫∫
+=
b
a
b
a
b
a
udvvduuvd )(
nên:
∫∫
−=
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv

(1)
Nhận xét: Để tính tích phân
∫

b
a
dxxf )(
cần phân tích f(x) = udv, cần chọn u(x), v(x) hợp lí. Ý nghĩa của
công thức (1) ở chỗ trong khi tính tích phân
∫
b
a
udv
khó ta áp dụng (1) thì chỉ cần tính
∫
b
a
vdu
dễ hơn.
Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
• P(x)lnx, P(x)e
ax
, P(x)sinax, P(x)cosax, e
ax
cosax, e
ax
sinax.
Các ví dụ áp dụng:
∫
2
0
cos
π
dxxe

x
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
∫
π
0
2
.cos dxex
x
∫
π
e
dxx
1
)cos(ln
∫
1
0
2
cos
dx
x
x
∫
−
+

3
2
1
1
ln dx
x
x
x
dxxx
∫
++
3
0
2
)1ln(
∫
+
+
2
0
cos1
sin
π
dx
x
xx
∫
2
0
sin

π
dxx
∫
π
0
3
.sin4 dxex
x
B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I – Tích phân hàm số hữu tỉ:
Chú ý:+)
321)3)(2)(1(
)(
−
+
−
+
−
=
−−− x
C
x
B
x
A
xxx
xP
+)
2
)1(

1
)2()1(
)(
22
−
+
−
+
−
=
−−
x
C
x
B
x
A
xx
xP
+)
cbxax
D
cbxax
baxC
x
B
x
A
cbxaxxx
xP

++
+
++
+
+
−
+
−
=
++−−
222
)2(
21
))(2)(1(
)(
(
0
2
=++ cbxax
vô nghiệm)
Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phương pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên.

∫
+−
−
5
3
2
23
12

dx
xx
x
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2

3
1
1
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
∫
++
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
∫
+
−
2
1
2008
2008
)1(

1
dx
xx
x
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
∫
−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
∫
+
−

1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
∫
++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx

xx
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
∫
−
1
0
42
)1( dxxx
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x
2
∫
−=
∫
b

a
vdu
a
b
uv
b
a
udv

dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
∫
+−

4
2
23
2
1
dx
xxx
∫
+
2
1
3
)12ln(
dx
x
x
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
∫
+

−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
∫
+
1
0
3
1
1
dx
x
∫
+
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x

xxx
∫
+
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
∫
+=
1
0
32

)1( dxxxI
n
, (n
≥
1), Tìm
I
n
n
n
2
lim
+∞→
II – Tích phân hàm số lượng giác:
Chú ý: Dạng 1:
∫
b
a
mn
xdxx cos.sin
+) Nếu m và n cùng chẵn dương dùng công thức hạ bậc
+) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx
+) Nếu m lẻ và dương đặt t = sinx
+) Nếu n lẻ và dương đặt t = cosx
Dạng 2:
∫
b
a
dxxxR )cos,(sin
( R là hàm hữu tỉ)
+) Nếu

)cos,(sin xxR
Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx
+) Nếu
)cos,(sin xxR
Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx
+) Nếu
)cos,(sin xxR
Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx
Dạng 3:
∫
++
β
α
dx
cxbxa 'cos'sin'
1
,
∫
+
+
β
α
dx
xbxa
xbxa
cos'sin'
cossin
,
∫
++

++
β
α
dx
cxbxa
cxbxa
'cos'sin'
cossin
,
+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
'cos'sin'
1
cxbxa ++

Đặt t = tg
2
x
, lúc đó sinx =
2
1
2
t
t
−
, cosx =
2
2
1
1
t

t
+
−
+) Phân tích :
xbxa
xbxa
cos'sin'
cossin
+
+
=
xbxa
xbxaB
A
cos'sin'
)sin'cos'(
+
−
+
+)
'cos'sin'
cossin
cxbxa
cxbxa
++
++
=
'cos'sin''cos'sin'
)sin'cos'(
cxbxa

C
cxbxa
xbxaB
A
++
+
++
−
+
+)
xcxxbxa
22
coscossinsin
1
++
Chia cả tử và mẫu cho cos
2
x, Đặt t = tgx.
Các bài tập áp dụng:
xdxx
4
2
0
2
cossin
∫
π
∫
2
0

32
cossin
π
xdxx
dxxx
∫
2
0
54
cossin
π
∫
+
2
0
33
)cos(sin
π
dxx
∫
+
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
∫
−−
2

0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
∫
−+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx

x
∫
−
2
0
cos2
π
x
dx
∫
+
2
0
2
3
cos1
sin
π
dx
x
x
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx

3

∫
−+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx
∫
+
2
0
cos1
cos
π
dx
x
x
∫
−
2
0
cos2
cos
π
dx
x

x
∫
+
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
∫
+
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx

xx
∫
−
2
3
2
)cos1(
cos
π
π
x
xdx
∫
−
++
+−
2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
∫
4
0
3
π

xdxtg
dxxg
∫
4
6
3
cot
π
π
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
∫
+
4
0
)

4
cos(cos
π
π
xx
dx

∫
++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx

∫
+
π
2
0
sin1 dxx
∫
++
4
0
13cos3sin2

π
xx
dx
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x
∫
+
++
2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
∫
+
2
0

cos1
3sin
π
dx
x
x
∫
−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x
∫
+
2
0

32
)sin1(2sin
π
dxxx
∫
π
0
sincos dxxx
∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
∫
++
2
0
cossin1
π
xx
dx
∫

+
4
0
222
cossin
2sin
π
xbxa
xdx
∫
+
2
0
1sin2
π
x
dx
∫
+
2
0
2
cos1
cos
π
x
xdx
∫
+
+

4
0
2sin3
cossin
π
dx
x
xx
∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx

∫
+
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx

∫
+

2
0
3sin5
π
x
dx
∫
6
6
4
cossin
π
π
xx
dx
∫
+
3
6
)
6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
∫
+
3

4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π
x
xdx
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫
+

∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
∫
−
+
0
2
2
)sin2(
2sin
π
x
x
∫
2
0
3
sin
π
dxx
∫
2

0
2
cos
π
xdxx
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex
x
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
∫
+
4
6

2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
∫
+−
2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
∫
2
1
)cos(ln dxx
∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx

x
x
dxxx
∫
−
2
0
2
cos)12(
π
∫
π
0
2
cossin xdxxx
∫
4
0
2
π
xdxxtg
∫
π
0
22
sin xdxe
x
∫
2
0

3sin
cossin
2
π
xdxxe
x
∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
∫
+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
∫
−+
−
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(

π
dx
xx
xx
III – Tích phân hàm số chứa căn thức:
∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) Đặt x = a cos2t, t
]
2
;0[
π
∈
+) R(x,
22
xa −
) Đặt x =
ta sin
hoặc x =
ta cos
4

+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) Đặt t =
n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax
2
)(
1
Với (
γβα
++ xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t =
γβα
++ xx
2
, hoặc đặt t =
bax +
1

+) R(x,
22
xa +
) Đặt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22
ax −
) Đặt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
Các bài tập áp dụng:
∫
+

32
5
2
4xx
dx
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
∫
+
2
1
3
1xx
dx

∫
+
2
1
2
2008dxx
∫
+
2
1
2
2008x
dx
∫
+
1
0
22
1 dxxx
∫
−
1
0
32
)1( dxx
∫
+
+
3
1

22
2
1
1
dx
xx
x
∫
−
+
2
2
0
1
1
dx
x
x
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
∫
−
2
2
0

32
)1( x
dx
∫
+
1
0
2
1 dxx
∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
∫
−
2

0
2
coscossin
π
dxxxx
∫
+
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
∫
+
7
0

3 2
3
1 x
dxx
∫
−
3
0
23
10 dxxx
∫
+
1
0
12x
xdx
∫
++
1
0
2
3
1xx
dxx
∫
++
7
2
112x
dx

dxxx
∫
+
1
0
815
31

∫
−
2
0
5
6
3
cossincos1
π
xdxxx
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
∫
−
+++

1
1
2
11 xx
dx
∫
+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
∫
−−
1
4
5
2
8412 dxxx
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31

∫
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
dxxxx
∫
+−
4
0
23
2
∫
−
++
0
1
3
2
)1( dxxex
x
∫
+
3ln

2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
∫
+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
π
dx
x
tgx
x
x
∫
+
2ln
0
3
)1(
x

x
e
dxe
∫
+
3
0
2cos2
cos
π
x
xdx
∫
+
2
0
2
cos1
cos
π
x
xdx
dx
x
x
∫
+
+
7
0

3
3
2
∫
+
a
dxax
2
0
22
IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
∫
b
a
dxxf )(
Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu
⇒
dấu của f(x)
+) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì
∫
b
a
dxxf )(
=
∫
b
a
dxxf )(
+) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x
1

, x
2
trên [a, b] (x
1
, x
2
) thì:

∫
b
a
dxxf )(
=
∫
1
)(
x
a
dxxf
+
∫
2
1
)(
x
x
dxxf
+
∫
b

x
dxxf
2
)(
=
∫
1
)(
x
a
dxxf
+
∫
2
1
)(
x
x
dxxf
+
∫
b
x
dxxf
2
)(
Các bài tập áp dụng:
5

∫

−
−
3
3
2
1dxx
∫
+−
2
0
2
34 dxxx
∫
−
2
0
2
dxxx
∫
−
1
0
dxmxx
∫
−
2
2
sin
π
π

dxx
∫
−
−
π
π
dxxsin1
∫
−+
3
6
22
2cot
π
π
dxxgxtg
∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx
∫
+
π
2
0
cos1 dxx

∫
−
−−+
5
2
)22( dxxx
∫
−
3
0
42 dx
x
∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
∫∫
−+=
−
aa
a
dxxfxfdxxf

0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3
ππ
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22 −
, Tính:
∫
−
2
3
2
3
)(
π
π
dxxf
+) Tính
∫
−
+
+
1
1
2

4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
∫
−
a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:
∫
−
++
1
1
2
)1ln( dxxx
∫
−
++
2
2
2
)1ln(cos
π
π

dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
∫
−
a
a
dxxf )(
= 2
∫
a
dxxf
0
)(
Ví dụ: Tính
∫
−
+−
1
1
24
1xx
dxx
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
∫∫
=
+
−
aa
a
x

dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1
≠
b>0,
∀
a)
Ví dụ: Tính:
∫
−
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x

∫
−
+
2

2
1
5cos3sinsin
π
π
dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π
], thì
∫∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfxf
Ví dụ: Tính
∫
+
2
0
20092009
2009
cossin

sin
π
dx
xx
x
∫
+
2
0
cossin
sin
π
dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
∫∫
=
ππ
π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính
∫
+
π
0
sin1

dx
x
x
∫
+
π
0
cos2
sin
dx
x
xx
6

Bài toán 6:
∫∫
=−+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(
⇒
∫∫
=−
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
Ví dụ: Tính

∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
∫
+
4
0
)1ln(4sin
π
dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:

∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
⇒
∫∫
=
TnT

dxxfndxxf
00
)()(
Ví dụ: Tính
∫
−
π
2008
0
2cos1 dxx
Các bài tập áp dụng:
∫
−
+
−
1
1
2
21
1
dx
x
x
∫
−
+−+−
4
4
4
357

cos
1
π
π
dx
x
xxxx
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx

∫
−
+
−
2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
dxnx)xsin(sin
2
0
∫
+
π
∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
π

π
dx
x
x
1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+
∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VI – Bất đẳng thức tích phân:
Một số chú ý: +) Nếu f(x)
≥
g(x)
∀

x
];[ ba∈
thì
∫∫
≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
+)
dxxfdxxf
b
a
b
a
∫∫
≤ )()(
+) Nếu
≤m
f(x)
≤
M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
+) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phương pháp hàm số.
Các bài tập áp dụng: