Đề thi (có đáp án) hsg toán 8 vòng huyện

Phòng giáo dục và đào tạo
huyện hảI hà
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp 8
năm học 2009-2010
Ngày thi: 25/5/2010
(Đề chính thức) Môn: Toán
Bảng A
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
Giải các phơng trình sau:
a, 2(x + 5) - x
2
- 5x = 0
b,
1 2 3
2
1 1

+ =

x
x x
c, |x - 4| + |x - 9| = 5

Bài 2: (4 điểm)
Giải bất phơng trình
1 1
( 2)
x x
x m x

m m
+
+ <
với m là hằng số.
Bài 3: (3 điểm)
Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đờng
cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đờng cao thứ hai.
Bài 4: (3 điểm)
Một vòi nớc chảy vào một bể không có nớc. Cùng lúc đó một vòi nớc khác
chảy từ bể ra. Mỗi giờ lợng nớc chảy ra bằng
4
5
lợng nớc chảy vào. Sau 5 giờ n-
ớc trong bể đạt tới
1
8
dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nớc mà chỉ mở vòi chảy
vào thì bao lâu bể đầy?
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có
à
à
A 2B=
. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh hệ thức
a
2
= b
2
+ bc.
SBD:

Chữ ký của GT 1:
ĐáP áN, BIểU ĐIểM MÔN TOáN
Bài Sơ lợc lời giải Điểm
Bài 1
(6 điểm)
a, Đa về phơng trình tích.
Giải đợc x = -5 hoặc x = 2
b, ĐKXĐ: x

1.
Với x

1 ta có
1 3 2
2 1 2( 1) 3 2 4 4 1
1 1
x
x x x x
x x

+ = + = = =

Ta thấy x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phơng trình vô nghiệm.
c, Nhận xét |x - 4| =





x 4 với x 4

4 x với x < 4
và |x - 9| =
x 9 với x 9
9 x với x < 9





- Với x < 4 ta có |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nên phơng trình có dạng
4 - x + 9 - x = 5 <=> -2x = -8 <=> x = 4 (không thỏa mãn)
- Với 4

x < 9 ta có |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nên phơng trình có dạng
x - 4 + 9 - x = 5 <=> 5 = 5 (luôn đúng)
- Với x

9 ta có |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nên phơng trình có dạng
x - 4 + x - 9 = 5 <=> 2x = 18 <=> x =9 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S =
{ }
x | 4 x 9
1
1
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
Bài 2
(4 điểm)
1 1 2
( 2) ( 1)
x x
x m x m x
m m m
+
+ < <
(1)
- Nếu m < 1 và m

0 thì m - 1 < 0. Khi đó (1)
2
( 1)
x
m m
>

- Nếu m > 1 thì m - 1 > 0. Khi đó (1)
2
( 1)
x
m m
<

- Nếu m = 1 thì m - 1 = 0. Khi đó (1)

0x < 2 (luôn đúng với mọi x).

Kết luận:
- Với m < 1 và m

0 thì tập nghiệm là S =
2
|
( 1)
x x
m m

>



- Với m = 0 thì biểu thức vô nghĩa.
- Với m > 1 thì tập nghiệm là S =
2
|
( 1)
x x
m m

<



- Với m = 1 thì S = R
1
0,5
0,5

0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Bài 3
(3 điểm)
- Vẽ hình:
8cm
6cm
K
H
A
B
D
C
Giả sử ABCD là hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm và có một đờng
cao dài 5cm .
Vì 5 < 6 và 5 < 8 nên có thể xảy ra hai trờng hợp:
AH = 5cm. Khi đó S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK =
20
3
(cm)
0,5
1
AK = 5cm. Khi đó S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH =
15
4
(cm)
Vậy đờng cao thứ hai có độ dài là

20
3
cm hoặc
15
4
cm
1
0,5
Bài 4
(3 điểm)
Gọi thời gian vòi nớc chảy đầy bể là x(giờ). ĐK: x > 0
Khi đó 1 giờ vòi đó chảy đợc
1
x
bể
1 giờ vòi khác chảy ra lợng nớc bằng
4
5x
bể.
Theo đề bài ta có phơng trình
1 4 1
.5
5 8x x

=
ữ

Giải phơng trình tìm đợc x = 8 (TMĐK x>0)
Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể là 8 giờ.
0,5

0,5
0,5
1
0,5
Bài 5
(4 điểm)
- Vẽ hình đúng
a
c
b
c
C
B
A
E
Hệ thức a
2
= b
2
+ bc <=> a
2
= b (b + c)
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho
AE = c, suy ra CE = b + c.
Khi đó
ã
à
ABE E=
(do tam giác ABE cân tại A)
ã

ã
à
BAC ABE E= +
(góc ngoài tam giác) nên
à
à
A 2E
=
.
Theo giả thiết
à
à
A 2B=
. Vậy
à
ã
E ABC=
.
Chứng minh đợc

BCE

ACB (g.g)
suy ra
2
BC CE
BC AC.CE
AC BC
= =

hay a
2
= b (b + c)
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
1
0,25
0,25
Chú ý:
1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học
sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm.