Ôn tập lượng giác thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (638.89 KB, 12 trang )
www.vietdinh.zohosites.com
1 MA Việt Đinh 0909533003
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia
cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
00
sin50 .cos( 300 )
b) B =
0
21
sin215 .tan
7
c) C =
c
4 4 9
os .sin .tan .cot
5 3 3 5
Bài 2. Cho
00
0 90
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0
sin( 90 )
b) B =
0
cos( 45 )
c) C =
0
cos(270 )
d) D =
0
cos(2 90 )
Bài 3. Cho
0
2
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
b) B =
tan( )
c) C =
2
sin
5
d) D =
3
cos
8
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
A B Csin sin sin
b) C =
A B C
cos .cos .cos
2 2 2
c) D =
A B C
tan tan tan
2 2 2
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a)
aa
00
4
cos , 270 360
5
b)
2
cos , 0
2
5
c)
aa
5
sin ,
13 2
d)
00
1
sin , 180 270
3
e)
aa
3
tan 3,
2
f)
tan 2,
2
g)
0
cot15 2 3
h)
3
cot 3,
2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a)
aa
A khi a a
aa
cot tan 3
sin , 0
cot tan 5 2
ĐS:
25
7
b)
aa
B khi a a
aa
2
00
8tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
22
22
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
ĐS:
23
47
d)
aa
D khi a
aa
33
sin 5cos
tan 2
sin 2cos
ĐS: 35/6
e)
a a a
E khi a
aa
33
3
8cos 2sin cos
tan 2
2cos sin
ĐS:
3
2
g)
aa
G khi a
aa
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
ĐS:
19
13
h)
aa
H khi a
aa
sin cos
tan 5
cos sin
ĐS:
3
2
Bài 3. Cho
aa
5
sin cos
4
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a asin .cos
b)
B a asin cos
c)
C a a
33
sin cos
www.vietdinh.zohosites.com
2 MA Việt Đinh 0909533003
ĐS: a)
9
32
b)
7
4
c)
41 7
128
Bài 4. Cho
aatan cot 3
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a a
22
tan cot
b)
B a atan cot
c)
C a a
44
tan cot
ĐS: a) 11 b)
13
c)
33 13
Bài 5.
a) Cho
xx
44
3
3sin cos
4
. Tính
A x x
44
sin 3cos
. ĐS:
7
A
4
b) Cho
xx
44
1
3sin cos
2
. Tính
B x x
44
sin 3cos
. ĐS: B = 1
c) Cho
xx
44
7
4sin 3cos
4
. Tính
C x x
44
3sin 4cos
. ĐS:
CC
7 57
4 28
Bài 6.
a) Cho
xx
1
sin cos
5
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
b) Cho
xxtan cot 4
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
2
2 2 3
hoặc
2 3 1
2 3; 2 3; ;
2
2 2 3
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
120 ;135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550
b)
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2
b)
B x x x x
73
2cos 3cos( ) 5sin cot
22
c)
C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A
0 0 0 0
00
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot572 tan( 212 )
ĐS: A = –1
b)
B
00
0
00
sin( 234 ) cos216
.tan36
sin144 cos126
ĐS:
B 1
c)
C
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180
ĐS:
C 1
d)
D
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180
ĐS:
D 9
www.vietdinh.zohosites.com
3 MA Việt Đinh 0909533003
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến
đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C
và
A B C
2 2 2 2
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
4 4 2
sin cos 1 2cos
b)
x x x x
4 4 2 2
sin cos 1 2cos .sin
c)
x x x x
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos
d)
x x x x x x
8 8 2 2 4 4
sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos
e)
x x x x
2 2 2 2
cot cos cos .cot
f)
x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin
g)
x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )
h)
x x x x x x x x
22
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
k)
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
ab
ab
ab
tan tan
tan .tan
cot cot
b)
c)
aa
aa
aa
22
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
d)
a a a
aa
aa
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
e)
aa
a
a
a
2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin
sin
f)
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
g)
aa
a
aa
2
2
1 sin 1 sin
4tan
1 sin 1 sin
h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
i)
aa
a
aa
22
6
22
sin tan
tan
cos cot
k)
aa
aa
aa
aa
33
33
22
tan 1 cot
tan cot
sin .cos
sin cos
Bài 3. Cho
xa
vôùi a b
a b a b
44
sin cos 1
, , 0.
Chứng minh:
xx
a b a b
88
3 3 3
sin cos 1
()
.
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x
2 2 2
(1 sin )cot 1 cot
b)
x x x x
22
(tan cot ) (tan cot )
c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
d)
x a y a x a y a
22
( .sin .cos ) ( .cos .sin )
e)
xx
ax
22
22
sin tan
cos cot
f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
g)
x x x x
22
sin (1 cot ) cos (1 tan )
h)
xx
x
xx
1 cos 1 cos
; (0, )
1 cos 1 cos
i)
xx
x
xx
1 sin 1 sin
;;
1 sin 1 sin 2 2
k)
x x x x
22
3
cos tan sin ; ;
22
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )
ĐS: 1
b)
x x x x x
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin
ĐS: 1
c)
x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)
ĐS: –2
www.vietdinh.zohosites.com
4 MA Việt Đinh 0909533003
d)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin
ĐS: 2
e)
xx
x x x
44
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
ĐS:
2
3
f)
x x x x
xx
2 2 2 2
22
tan cos cot sin
sin cos
ĐS: 2
g)
xx
xx
66
44
sin cos 1
sin cos 1
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B A Csin sin( )
b)
A B Ccos( ) cos
c)
A B C
sin cos
22
d)
B C A Ccos( ) cos( 2 )
e)
A B C Ccos( ) cos2
f)
A B C
A
3
cos sin2
2
g)
A B C
C
3
sin cos
2
h)
A B C C23
tan cot
22
VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
0 0 0
15 ; 75 ; 105
b)
57
;;
12 12 12
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
3
tan sin ,
3 5 2
ĐS:
38 25 3
11
b)
khi
12 3
cos sin , 2
3 13 2
ĐS:
(5 12 3)
26
c)
a b a b khi a b
11
cos( ).cos( ) cos , cos
34
ĐS:
119
144
d)
a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )
khi
ab
85
sin , tan
17 12
và a, b là các góc nhọn.
ĐS:
21 140 21
; ; .
221 221 220
e)
a b a btan tan , tan , tan
khi
a b a b0 , ,
24
và
abtan .tan 3 2 2
. Từ đó suy ra a, b .
ĐS:
2 2 2
;
a b a btan tan 2 1,
8
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
ooo2 2 2
sin 20 sin 100 sin 140
ĐS:
3
2
b) B =
o o o22
cos 10 cos110 cos 130
ĐS:
3
2
c) C =
o o o o o o
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20
ĐS: –3
d) D =
o o o o o o
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190
ĐS: –3
e) E =
o o o
oo
cot225 cot79 .cot71
cot259 cot251
ĐS:
3
www.vietdinh.zohosites.com
5 MA Việt Đinh 0909533003
f) F =
oo22
cos 75 sin 75
ĐS:
3
2
g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
ĐS:
3
3
h) H =
00
tan15 cot15
ĐS: 4
HD:
0 0 0 0 0 0
40 60 20 ; 80 60 20
;
0 0 0 0 0 0
50 60 10 ; 70 60 10
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x y x y x y
22
sin( ).sin( ) sin sin
b)
xy
xy
x y x y
2sin( )
tan tan
cos( ) cos( )
c)
x x x x x x
22
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
d)
x x x x
32
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
e)
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0
f)
xx
xx
xx
22
22
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
a a b khi b a cos a b2tan tan( ) sin sin . ( )
b)
a a b khi b a b2tan tan( ) 3sin sin(2 )
c)
a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
d)
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
C A B B Asin sin .cos sin .cos
b)
C
A B A B
AB
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
c)
A B C A B C A B C
0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )
d)
A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
f)
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
g)
o
CB
B C A
B A C A
cos cos
cot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
h)
A B C A B C A B C A B C
cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
i)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180
0
e, f) Sử dụng
A B C
0
90
2 2 2
g) VT = VP = tanA h) Khai triển
A B C
cos
2 2 2
www.vietdinh.zohosites.com
6 MA Việt Đinh 0909533003
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
B C A B C
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
A B C A A B C
2
sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
53
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
b)
khicos2 , sin2 , tan2 tan 2
c)
khi
43
sin , cos sin2 ,
5 2 2
d)
khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
o o o o
A cos20 .cos40 .cos60 .cos80
ĐS:
1
16
b)
ooo
B sin10 .sin50 .sin70
ĐS:
1
8
c)
C
45
cos .cos .cos
7 7 7
ĐS:
1
8
d)
D
000
cos10 .cos50 .cos70
ĐS:
3
8
e)
o o o o
E sin6 .sin42 .sin66 .sin78
ĐS:
1
16
f)
G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
ĐS:
1
32
h)
o o o o o
H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85
ĐS:
2
512
i)
I
0 0 0 0 0
cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80
ĐS:
3
256
k)
K 96 3sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
ĐS: 9
l)
L
2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
ĐS:
1
128
m)
M sin .cos .cos
16 16 8
ĐS:
2
8
Bài 3. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
xx
44
31
sin cos cos4
44
b)
x x x
66
53
sin cos cos4
88
c)
x x x x x
33
1
sin .cos cos .sin sin4
4
d)
xx
xx
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
e)
x
x
2
1 sin 2sin
42
f)
x
xx
2
2
1 sin
1
2cot .cos
44
www.vietdinh.zohosites.com
7 MA Việt Đinh 0909533003
g)
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
42
sin
2
h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
i)
xx
x
cos
cot
1 sin 4 2
k)
xx
xx
xx
22
22
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
l)
x x xtan cot 2cot
m)
xx
x
2
cot tan
sin2
n)
x
x vôùi x
1 1 1 1 1 1
cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
a b a b2sin( ).cos( )
b)
a b a b2cos( ).cos( )
c)
x x x4sin3 .sin2 .cos
d)
xx
x
13
4sin .cos .cos
22
e)
oo
xxsin( 30 ).cos( 30 )
f)
2
sin .sin
55
g)
x x x2sin .sin2 .sin3 .
h)
x x x8cos .sin2 .sin3
i)
x x xsin .sin .cos2
66
k)
a b b c c a4cos( ).cos( ).cos( )
Bài 2. Chứng minh:
a)
x x x x4cos .cos cos cos3
33
b)
x x x x4sin .sin sin sin3
33
Áp dụng tính:
ooo
A sin10 .sin50 .sin70
ooo
B cos10 .cos50 .cos70
C
0 0 0
sin20 .sin40 .sin80
D
0 0 0
cos20 .cos40 .cos80
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a)
x2sin4 2
b)
x
2
3 4cos
c)
x
2
1 3tan
d)
x x xsin2 sin4 sin6
e)
xx3 4cos4 cos8
f)
x x x xsin5 sin6 sin7 sin8
g)
x x x1 sin2 –cos2 –tan2
h)
oo
xx
22
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )
i)
x x x xcos5 cos8 cos9 cos12
k)
xxcos sin 1
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x x
A
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin7 sin8 sin9 sin10
b)
x x x
B
x x x
sin2 2sin3 sin4
sin3 2sin4 sin5
c)
x x x
C
xx
2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
d)
x x x
D
x x x
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A
2
cos cos
55
b)
B
7
tan tan
24 24
c)
o o o
C
222
sin 70 .sin 50 .sin 10
d)
o o o o
D
22
sin 17 sin 43 sin17 .sin43
e)
o
o
E
1
2sin70
2sin10
f)
oo
F
13
sin10 cos10
www.vietdinh.zohosites.com
8 MA Việt Đinh 0909533003
g)
oo
o o o o
G
tan80 cot10
cot25 cot75 tan25 tan75
h)
H
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81
ĐS:
A
1
2
B 2( 6 3)
C
1
64
D
3
4
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
ĐS:
1
32
b)
o o o o o
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90
ĐS: 1
c)
o o o o
cos24 cos48 cos84 cos12
ĐS:
1
2
d)
2 4 6
cos cos cos
777
ĐS:
1
2
e)
23
cos cos cos
7 7 7
ĐS:
1
2
f)
57
cos cos cos
9 9 9
ĐS: 0
g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
ĐS:
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
o o o o
tan9 tan27 tan63 tan81 4
b)
o o o
tan20 tan40 tan80 3 3
c)
o o o o
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3
d)
o o o o o
83
tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20
3
e)
o o o o o
tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40
f)
o o o6 4 2
tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0
Bài 8.
a) Chứng minh rằng:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4
b) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos
2sin
.
c) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cot cot
sin 2
.
d) Chứng minh rằng:
x x x x
2
tan .tan2 tan2 2tan
.
Bài 9. Tính
x
2
sin 2 ,
biết:
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
ĐS:
8
9
Bài 10. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x xcot tan 2tan2 4cot4
b)
xx
xx
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
c)
x
x
xx
2
6
62
1 3tan
tan 1
cos cos
d)
xx
x
x x x
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
www.vietdinh.zohosites.com
9 MA Việt Đinh 0909533003
e)
x x x x x xtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
g)
x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4
Bài 11.
a) Cho
a b bsin(2 ) 5sin
. Chứng minh:
ab
a
2tan( )
3
tan
b) Cho
a b atan( ) 3tan
. Chứng minh:
a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2
Bài 12. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
A B C
A B Csin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
b)
A B C
A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
c)
A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin
d)
A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos
e)
A B C A B C
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos
f)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos
Bài 13. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a)
B C vaø B C
1
sin .sin .
32
ĐS:
B C A,,
2 6 3
b)
B C vaø B C
2 1 3
sin .cos .
34
ĐS:
A B C
5
,,
3 12 4
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
b)
x x x x x
2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan
c)
x
xx
x
22
6 2cos4
tan cot
1 cos4
d)
x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
e)
xx
xx
xx
22
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
f)
x x x
00
cos cos(120 ) cos(120 ) 0
g)
xx
x
xx
2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin
4
h)
xx
xx
x
22
22
3
cot cot
22
8
3
cos .cos . 1 cot
22
i)
x x x x
6 6 2
1
cos sin cos2 1 sin 2
4
k)
x x x x
44
cos sin sin2 2 cos 2
4
Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )
b)
x x x x x x
6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos sin
c)
x x x x
3
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
d)
x x x
2 2 2
22
cos cos cos
33
Bài 7. a) Chứng minh:
1
cot cot2
sin2
.
b) Chứng minh:
xx
x x x x
1 1 1 1
cot cot16
sin2 sin4 sin8 sin16
.
Bài 8. a) Chứng minh:
tan cot 2cot2
.
www.vietdinh.zohosites.com
10 MA Việt Đinh 0909533003
b) Chứng minh:
xxx
2 2 2
1 4 1
4cos sin 2 4sin
.
c) Chứng minh:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 )
4
.
d) Chứng minh:
1 tan2
1
cos2 tan
e) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
.
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
o o o o o o o o o
A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83
b)
B
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
c)
C
11 5
sin .cos
12 12
d)
D
5 7 11
sin .sin .sin .sin
24 24 24 24
HD: a)
o
A tan27
. Sử dụng
x x x x
00
tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3
.
b) B = –1 c)
C
13
24
d)
D
1
16
Bài 10. Chứng minh:
a)
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
b)
oo32
8sin 18 8sin 18 1
c)
8 4tan 2tan tan cot
8 16 32 32
d)
oo
1 1 4
3
cos290 3.sin250
e)
o o o o o
83
tan30 tan40 tan50 tan60 cos20
3
f)
o o o o o
31
cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24
2
g)
o o o o
tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3
h)
3 9 1
cos cos cos
11 11 11 2
i)
2 4 10 1
cos cos cos
11 11 11 2
Bài 11. a) Chứng minh:
x x x x x
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
.
b) Chứng minh:
x x x
4
3 1 1
sin cos2 cos4
8 2 8
.
c) Chứng minh:
x
x
x
1 cos2
tan
sin2
.
www.vietdinh.zohosites.com
11 MA Việt Đinh 0909533003
PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC .
Bài 1 :Tìm tập xác đònh hàm số sau :
2
22
2
2 cot
1/ cot(2 ) 2/ tan(3 ) 3/
4 3 cos 1
sin 2 1
4/ 5/ tan 6/ sin
cos 1 3 1
32
7/ 1 cos 8/ 9/ cot( ) tan(2 )
sin cos 3 3
1 1 sin
10/ 11/ 12/
4 5cos 2sin
2sin 3 cot 3
x
y x y x y
x
xx
y y y
xx
y x y y x x
xx
x
y y y
xx
xx
Bài 2 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
2
22
2
1 4cos
1/ 2 3cos 2/ 3 4sin cos 3/
3
4/ 2sin cos2 5/ 3 2| sin | 6/ 3 1 sin 1
x
y x y x x y
y x x y x y x
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Bài 1 : Giải phương trình :
1
1 sin 7 sin2 sin 0
2
2 2sin 3 0 8 sin3 0
3 2sin( ) 2 0 9 sin3 cos 0
3
4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0
6
5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0
4 3 4
6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0
3 6 3
13 s
x x x
x sinx x
x x x
x x x
x x x
x x x
2
in(2 ) cos( ) 0
33
xx
Bài 2: Giải phương trình :
1
1 cos 7 cos2 cos 0
2
2 2cos 3 0 8 cos cos3 0
3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0
3
4 2cos(2 ) 1 0 10 cos2 sin3 0
6
5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0
4 3 4
6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0
3 6 3
13 c
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2
os(2 ) sin( ) 0
33
xx
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau :
1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3>
2cos 1 0x
4>3cosx+5=0 5>
3tan 3 0x
6>
3cot 3 0x
B
A
sin
=a=
OK
sin
cos
O
H
K
M
www.vietdinh.zohosites.com
12 MA Việt Đinh 0909533003
ÔN TẬP PT LƯỢNG GIÁC
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1:giải các phương trình lượng giác sau
00
3 2 4
a) 2sin 3 0 b) sin(2x-34 )= c) 2sin( + 25 ) = -1 d) sin7x=
2 2 2 9
xx
Bài 2: giải các phương trình lượng giác sau
0
2 27
a) 3cos(3x ) b) cos(3x - 4 )= -1 c) 2cos(3x + ) +1= 0 d)(15 - 5cos8x) (6cos3x-3)=0
5 2 3
Bài 3: Giải các phương trình sau :
00
3
a) tan(3x - 100 ) = - 3 b) cot5x = 3 c) tan( - )=tan d) cot( +43 ) = - 3 / 3
2 4 7 3
xx
Bài 4:Giải các phương trình sau :
22
2 2 2
2
a) 2cos x + 7sinx- 5 = 0 b) 3cos4x + 20sin .cos 7 0 c) 6sin x + 7cosx -7 = 0
1
d) 8cos x + 6cosx - 9 = 0 e) tan x - (2 + 3)tan 2 3 0 f) 2tan 4 3.tan 0
cos
g) 2cos3 .cos
xx
x x x
x
xx
2
4sin 2 1 0 h) 3tan(x- )=tanx k) 2cosx.cos2 1 cos2 cos3
6
x x x x
Bài 5: Giải các phương trình sau bậc nhất theo sin và cos
2
cos 2sin cos
a) sinx -cos 1 b) 3 c) 3sin cos 2
2cos sin 1
6
d) sinx - 3cos 1 e) sin cos f) 2 2 sin cos cos 3 cos2
2
x x x
x x x
xx
x x x x x x x
Bài 6: Giải các phương trình lượng giác thuần nhất sau
22
2 2 2 2
2
a) 3sin .cos cos 1 b) sin 3sin .cos 1 0
c) 9sin 3sin .cos 4cos 5 d) 5sin sin .cos 3cos 1/ 2
e) 2sin 5sin .cos 1 0 f) 9 3sin
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
2
2 5cos 5xx
BÀI TẬP NÂNG CAO
2009 khối A.
(1 2sin ) osx
3
(1 2sin )(1 sinx)
xc
x
B.
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x x
D.
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x
CĐ.
2
(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x
2008. A.
1 1 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x
x
x
B.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x
D.
2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cosx x x x
CĐ.
sin3 3cos3 2sin2x x x
2007. A.
22
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2x x x x x
B.
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x
D.
2
(sin cos ) 3cos 2
22
xx
x
