LTĐH Nguyễn Vũ Minh

GV : Nguy n V Minh LTH 2010
ễN TP HèNH HC PHNG
1/ Toạ độ của vectơ và điểm
a) Toạ độ của vectơ : Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của
u
r
ta viết nh sau :
u
r
(x ; y) hoặc
u
r
=(x ; y)
Trong đó :
+ x : đọc là hoành độ của vectơ
+ y : đọc là tung độ của vectơ .
b) Tính chất : Cho
u
r
(x
1
; y
1
) và
v
r
(x
2
; y
2
)

+
u
r



v
r
= (x
1


x
2
; y
1


y
2
)
+ k
u
r
= (kx
1
; ky
1
) với k là một số bất kì .

+ Hai véctơ bằng nhau :

+ Độ dài của Vectơ :
+ Góc giữa hai véctơ :
2/ Điểm
* Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của điểm M ta viết nh sau : M(x ; y) hoặc M = (x ; y)
* Toạ độ của Vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút :
Cho điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) . Khi đó :
3/ Các công thức cơ bản trong hệ toạ độ Oxy
*/ Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm : Cho điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
)
Khi đó :
*/ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k cho trớc
Cho điểm A(x
A

; y
A
) và B(x
B
; y
B
) . Điểm M(x ; y) chia đoạn AB theo tỉ số k khi
MA=kMB
uuuur uuur
Khi đó toạ độ của M tính theo công thức sau :
*/ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :
(Trung bình cộng toạ độ hai đầu mút )
*/ Toạ độ trọng tâm G(x ; y) của tam giác ABC :
t : 0914449230
1
u
r
=
v
r

1 2
1 2
x x
y y
=


=

B A B A
AB (x - x ;y - y )=
uuur
AB = |
AB
uuur
| =
2 2
2 1 2 1
(x - x ) + (y - y )
x =
A B
x - kx
1 - k
; y =
A B
y - ky
1 - k
x =
A B
x + x
2
; y =
A B
y +y
2
2 2
1 1
u = x + y
r

cos(
u
r
;
v
r
) =
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
.
.
.
x x y yu v
u v
x y x y
+
=
+ +
r r
r r
x =
A B C
x + x + x
3
; y =
A B C
y + y + y
3
u

x
∆
y
n
O
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
A. KIẾN THỨC
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ
u
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆
nếu
0≠u
và giá của
u
song
song hoặc trùng với
∆
.
b). Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương
);(
21
uuu
(u
1
0≠
) Khi đó hệ số góc của d là: k =
1

2
u
u
Ví dụ. viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm B(2 ; 1) ,C(3 ; - 4). Tính hệ số góc của
d.
Giải
Vì d đi qua B(2 ; 1) ,C(3 ; - 4)
( )
5;2 −⇒ BC
là vectơ chỉ phương của d
Phương trình tham số của d là
0 1
0 2
2 2
1 5
x x u t
x t
y y u t y t
= +
= +


⇔
 
= + = −


và hệ số góc của d là k =
2
5−

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ
n
được gọi là vectơ pháp tuyến đường thẳng
∆
nếu
0≠n
và
n

vuông góc với vectơ chỉ phương của
∆
.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Định nghĩa
Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là PTTQ của đường thẳng.
Ví dụ. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
đi qua hai điểm A(3 ; 1), B(4 ; - 3).
Giải
Ta có:
( )
4;1 −AB
là chỉ phương của
∆
nên
)1;4(n
là vectơ pháp tuyến của
∆
. Vậy

∆
có phương trình tổng
quát là: 4(x - 3) + 1(y - 1) = 0
⇔
4x + y -13 = 0
6. Góc giữa hai đường thẳng
Chú ý:
( )
0
21
0
90,0 ≤∆∆≤

1
∆
//
2
∆
hoặc
1
∆
≡
2
∆
thì
( )
0
21
0, =∆∆

1
∆
⊥
2
∆

0
2211
=+⇔ baba
Nếu
bxky +=∆
11
:
,
222
: bxky +=∆
thì
1
∆
⊥
2
∆

1
21
−=⇔
kk
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆

Phương pháp:
 Tìm điểm
);(
000
yxM
thuộc
∆
 Tìm vectơ
);(
21
uuu
là vectơ chỉ phương của
∆
 Khi đó đường thẳng
∆
có phương trình tham số là: (t là tham số)
DẠNG 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
Phương pháp:
1. Viết phương trình đường thẳng bằng cách tìm điểm và tìm vectơ pháp tuyến
 Tìm điểm
);(
000
yxM
thuộc
∆
 Tìm vectơ
n ( a;b )=
r
là vectơ pháp tuyến của

∆
 Khi đó đường thẳng
∆
có phương trình tổng quát là:
Đt : 0914449230
2
Nhận xét. Nếu đường thẳng có pt: ax + by +c = 0
Thì có vectơ pháp tuyến là
);( ban
và có vectơ chỉ phương là
);( abu −
hoặc
);( abu −
( ) ( )
0
00
=−+− yybxxa



+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
Sau đó khai triển và đưa về dạng ax + by +c = 0

2. Viết phương trình đường thẳng khi biết trước hệ số góc k

 Tìm điểm
);(
000
yxM
thuộc
∆
 Khi đó phương trình của đường thẳng
∆
có dạng:
( )
00
yxxky +−=
(hoặc sự dụng dạng y = kx + b)
Sau đó khai triển và đưa về dạng ax + by +c = 0
3. Viết phương trình của đường thẳng
∆
qua điểm
);(
000
yxM
và song song với đường thẳng d: ax + by +c = 0
 Phương trình của đường thẳng
∆
có dạng: ax + by +c
’
= 0 (1)
 Thay tọa độ của điểm
);(
000
yxM

vào (1) ta tìm được c
’

3. Viết phương trình của đường thẳng
∆
qua điểm
);(
000
yxM
và vuông góc với đường thẳng d: ax + by
+c = 0
 Phương trình của đường thẳng
∆
có dạng: – bx + ay +c
’
= 0 (1)
 Thay tọa độ của điểm
);(
000
yxM
vào (1) ta tìm được c
’
.
DẠNG 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cách 1:
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
0:
1111
=++∆ cybxa
,

0:
2222
=++∆ cybxa
ta làm như sau:
Xét hệ:



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
(I)
Nếu hệ (I):
 Có nghiệm (x
0
; y
0
) thì
1
∆
cắt
2
∆
tại M(x
0

; y
0
)
 Vô nghiệm thì
1
∆
//
2
∆
 Vô số nghiệm thì
1
∆
≡
2
∆
.
Cách 2: Nếu
0
222
≠cba
thì:

2
1
2
1
b
b
a
a

≠

⇒

1
∆
cắt
2
∆

2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
≠=

⇒

1
∆
//
2

∆

2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
⇒
1
∆
≡
2
∆
DẠNG 4. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng
 Tìm vectơ pháp tuyến
);(
111
ban
của
0:
1111
=++∆ cybxa

 Tìm vectơ pháp tuyến
);(
222
ban
của
0:
2222
=++∆ cybxa
 Khi đó góc giữa hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
được xác định bởi công thức:
cos
( )
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
21
,
baba
bbaa

++
+
=∆∆
DẠNG 5. Tính khoảng cách
Để tính khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng
∆
: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:
d(M,
∆
) =
22
00
ba
cbyax
+
++
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
1
∆
và
∆
 Lấy điểm M
0
(x

0
; y
0
) thuộc
1
∆
Đt : 0914449230
3
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
 Khoảng cách giữa
1
∆
và
∆
là: d(
1
∆
,
2
∆
) = d(M,
∆
)
DẠNG 6. Chuyển đồi từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát và ngược lại.
Ví dụ 1.Cho d:
2 3
4 2
x t
y t
= +



= +

. Viết phương trình tổng quát của d.
Cách 1. Ta có: d đi qua điểm M( 2 ; 4) và có vtcp
(3;2) (2; 3)u n⇒ −
r r
là vtpt của d. Vậy PTT’Q của d là:
2(x – 2) +(–3)(y – 4) = 0 hay 2x – 3y + 8 = 0
Cách 2. Từ
2
2 3
3
x
x t t
−
= + ⇒ =
thế vào y = 4 + 2t, ta có:
2
4 2 3 12 2 4 2 3 8 0
3
x
y y x x y
−
 
= + ⇔ = + − ⇔ − + =
 ÷
 
Ví dụ 2. Cho đường thẳng d có PTTQ là : 2x – 3y + 8 = 0. Viết phương trình tham số của d.

Thế x = 2 vào 2x – 3y + 8 = 0, ta có : 4 – 3y + 8 = 0
3 12 4y y− = − ⇔ =
. Vậy d đi qua điểm M(2 ; 4).
Từ phương trình của d ta có
(2; 3)n −
r
là vtpt của d. Suy ra
(3;2)u
r
là vtcp của d. Vậy PTTS của d là:
0 1
0 2
2 3
4 2
x x u t
x t
y y u t y t
= +
= +


⇔
 
= + = +


Bài tập.
Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua M( 2 ; -3) có vtcp
(2;1)u

r
.
b) Đi qua M( - 2 ; -3) có vtpt
( 2;5)n −
r
.
c) Đi qua 2 điểm A( 2; 4) và B(9 ; - 2)
d) Đi qua điểm M(0 ; 2) và có hệ số góc là k = 5.
Bài 2. Viết phương trình tổng quát của d trong hai trường hợp sau.
a) Đi qua N( 5 ; - 2) và song song với
/
d
: 2x – 4y +1 = 0.
b) Đi qua điểm M( 3 ; - 4) và vuông góc với
/
d
: x + 3y = 0
c) Là đường trung trực của đoạn thẳng MN, với M(1; − 1) và N(3; 2).
Bài 3. Tính góc giữa cặp đường thẳng
1 2
à dd v
.
1
d
: 4x – 10y + 1 = 0 và
2
d
: 2x – 4y +13 = 0.
1
d

: 12x – 6y + 10 = 0 và
2
d
:
3 2
2
x t
y t
= +


= − −

Bài 4. Tìm khoảng cách từ điểm M(9 ; 0) đến d : 2x – y = 9
Bài tập nâng cao
Bài 1. Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
Đi qua điểm M(2;1) và tạo với đường thẳng 2x – y = 0 góc 45
0
Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(− 4; 1), B(2; 4), C(2; − 2).
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. c. Tính đường cao AH
I. Phương trình đường thẳng.
3.1. Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng  biết:
a.  đi qua M(2; –3) và có vectơ pháp tuyến
n ( 4;1)= −
r
b.  đi qua 2 điểm A(0; 5) và B(4; –2)
c.  đi qua điểm N(6 ; –1) và có hệ số góc k =
2
3

−
.
Đt : 0914449230
4
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
d.  đi qua P(–3 ; 2) và vng góc với đường thẳng : 4x – 5y +1 = 0.
3.2. Cho phương trình tham số của 
x 2 t
y 4 3t
= −


= +

a. Tìm toạ độ điểm M nằm trên  và cách A(–3 ; –1) một khoảng là
5 2
.
b. Tìm điểm N trên  sao cho AN ngắn nhất.
c. Tìm toạ độ giao điểm của đường thằng  và đường thẳng x + y = 0.
3.3. Lập phương trình tổng qt của 3 đường trung trực và 3 cạnh của ABC biết các trung điểm của BC, CA
và AB là M(4; 2), N(0; –1), P(1; 4).
3.4. Cho ABC với A(3; 2), B(1;1), C(5; 6).
a. Viết pt tổng qt các cạnh của ABC.
b. Viết pt tổng qt đường cao AH, đường trung tuyến AM.
3.5. Cho M(2; 1) và đường thẳng d: 14x – 4y + 29 = 0. Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d và tìm toạ độ
điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng d.
3.6. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau:
a. 
1
: 2x + 3y – 5 = 0 và 

2
: 4x – 3y – 1 = 0
b. 
1
: 2x + 1,5y + 3 = 0 và 
2
:
x 2 3t
y 1 4t
= +


= −

c. 
1
:
x 3 3t
y 2t
= +


=

và 
2
:
x y
1 0
3 2

− + − =
3.7. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
a. M(5; 1) và : 3x – 4y – 1 = 0 b. M(–2; –3) và :
x 2 3t
y 1 4t
= − +


= − +

3.8. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
trong các trường hợp:
a. d
1
: 3x – y + 1 = 0 và d
2
: 2x – 4y + 6 = 0
b. d
1
: 2x – 3y + 7 = 0 và d
2
:
x 3 2t
y 1 3t
= −



= +

c. d
1
: x = 2 và d
2
:
x 3 3t
y t

= − +


=



3.9. Cho 2 điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường thẳng  :
x 1 t
y 2 t
= +


= +

. Tìm điểm C trên  sao cho tam giác ABC là
tam giác cân tại C.
3.10. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm P(–1; 2) , Q(5; 4).
3.11. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(-2,1) và pt đường thẳng CD là 3x - 4y + 2 = 0. Viết phương trình
các đường thẳng còn lại của hình bình hành.

3.12. Tìm m để hai đường thẳng: x+(2m−3)y−3=0 và
x 1 t
y 2 t
= −


= −

vng góc với nhau.

ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường tròn:
1. Phương trình chính tắc:
Đt : 0914449230
5
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
Đònh lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :

2 2 2
( ):( ) ( )C x a y b R
− + − =
(1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
Đặc biệt: Khi I
≡
O thì
2 2 2
( ):C x y R+ =
(hay:

2 2
y R x= ± −
)
BÀI TẬP ỨNG DỤNG :
Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)
Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng
( ) :3 4 2 0x y∆ − + =
2. Phương trình tổng quát:
Đònh lý : Trong mp(Oxy). Phương trình :
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
với
2 2
0a b c+ − >
là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính
2 2
R a b c= + −
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1 : Xác đònh tâm và bán kính của đường tròn
2 2
( ) : 2 4 20 0C x y x y+ + − − =
Bài 2 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1)
Bài 3: Cho phương trình :
2 2
4 2 2 3 0x y mx my m+ + − + + =
(1)
Đònh m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C
m
)
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Đònh lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

2 2
( ): 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
tại điểm
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
là :

0 0 0 0
( ): ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c∆ + − + − + + =
Hay: (
∆
) qua M
o

IM
o
⊥
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A
IV. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Nhắc lại :
Đònh nghóa: Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố đònh .
Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) được ký hiệu là P(M)/(O) là một số
được xác đònh như sau: P(M)/(O) =
2 2
d R−
( với d = MO )
Chú ý :

P(M)/(O) > 0
⇔
ở ngoài đường tròn (O)M
P(M)/(O) < 0
⇔
ở trong đường tròn (O)M
P( M)/(O) = 0
⇔
ở trên đường tròn (O)M

Đònh lý :
Trong mp(Oxy) cho điểm
0 0
( ; )M x y
và đường tròn
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
với
Đt : 0914449230
6
x
y
O
);( baI
R
a
b
);( yxM
(C)
I(a;b)

)(
∆
);(
000
yxM
(C)
I
M
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010

2 2
0a b c+ − >
có tâm I(a;b) và bán kính
2 2
R a b c= + −
. Phương tích của điểm M đối với
đường tròn (C) là
P(M)/(O) =
2 2
0 0 0 0
2 2x y ax by c+ − − +
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Cho đường tròn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + − − =
và điểm A(3;5). Xét vò trí của điểm A đối với đường tròn (C)
IV. Trục đẳng phương của hai đường tròn:
Nhắc lại:
Đònh lý : Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn khác tâm là một
đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm.

Đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đó.
Cách xác đònh trục đẳng phương

Đònh lý :
Cho hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) không cùng tâm có phương trình:

2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
( ): 2 2 0
( ): 2 2 0
C x y a x b y c
C x y a x b y c
+ − − + =
+ − − + =
Phương trình trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là :

1 2 1 2 2 1
( ):2( ) 2( ) 0a a x b b y c c∆ − + − + − =
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Xác đònh phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn sau:

2 2
1
2 2
2
( ) : 4 5 0
( ): 6 8 16 0
C x y y
C x y x y
+ − − =
+ − + + =
VI. Các vấn đề có liên quan:
1. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Đt : 0914449230
7
)(
1
C
)(
2
C
2
I
1
I
)(
1
C
)(
2
C

1
I
2
I
M
∆
∆
∆
)(
1
C
)(
2
C
1
I
2
I
M
)(
2
C
)(
1
C
)(
3
C
∆
1

∆
2
∆
I
1
I
2
I
3
I
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010

Đònh lý:

( ) ( ) d(I; ) > RC∆ = ∅ ⇔ ∆I

( ) tiếp xúc (C) d(I; ) = R∆ ⇔ ∆

( ) cắt (C) d(I; ) < R∆ ⇔ ∆
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho đường tròn (C):
2 2
( 3) ( 1) 4x y− + − =
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp
tuyến này đi qua điểm M(6;3)
Bài 2: Cho đường tròn (C):
2 2
6 2 5 0x y x y+ − + + =
. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng

( ) :2 10 0d x y+ + =

Bài 3: Cho đường tròn
0662:)(
22
=+−−+ yxyxC
và điểm M(-3;1). Gọi T
1
, T
2
là các tiếp điểm của
các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
2. Vò trí tương đối của hai đường tròn

1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) và (C ) không cắt nhau I I > R
( ) và (C ) cắt nhau R < I I < R
( ) và (C ) tiếp xúc ngoài nhau I I = R
( ) và (C ) tiếp xúc trong
C R
C R R
C R
C

⇔ +
⇔ − +
⇔ +
1 2 1 2
nhau I I = R R⇔ −
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Xác đònh vò trí tương đối của hai đường tròn sau:
2 2
1
2 2
2
( ) : 4 5 0
( ): 6 8 16 0
C x y y
C x y x y
+ − − =
+ − + + =
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường tròn

2 2 2 2
1 2
( ) : 10 0;( ): 4 2 20 0C x y x C x y x y+ − = + + − − =
và đi qua điểm A(1;-1)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1).
Bài 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng

1 2 3
x 2

(d ): y ;(d ): y x 2;(d ): y 8 x
5 5
= − = + = −
.
Bài 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1).
Bài 4: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường
thẳng (d):2x - y + 1 = 0.
Bài 5: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 7x-y-5=0 tại điểm M(1;2).
Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 2x+y=0 và tiếp xúc với đường
thẳng x-7y+10=0 tại điểm A(4;2).
Đt : 0914449230
8
)(C
I
R
M
H
I
R
HM
≡
)(C
)(C
I
R
H
M
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
Bài 7: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4x +3y - 2 = 0 và tiếp

xúc với hai đường thẳng : x + y + 4 = 0 và 7x - y + 4 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy.
Bài 9: Cho đường tròn (C):(x-1)
2
+(y-2)
2
=4 và đường thẳng (d):x-y-1=0. Viết phương trình
đường tròn (C
'
) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d). Tìm toạ độ giao điểm
của (C) và (C
'
).
Bài 10:Cho hai đường tròn: (C
1
):
2 2
10 0x y x+ − =
và (C
2
):
2 2
4 2 20 0x y x y+ + − − =
1. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C
1
) và (C
2
) và có tâm nằm trên
đường thẳng (d): x + 6y - 6 = 0.
2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C

1
) và (C
2
) .
Bài 11: Cho hai đường tròn: (C
1
):
2 2
4 5 0x y y+ − − =
và (C
2
):
2 2
6 8 16 0x y x y+ − + + =
Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C
1
) và (C
2
) .
Bài 12: Cho hai đường tròn :
2 2
1
2 2
2
(C ):x y 4x 2y 4 0
(C ): x y 10x 6y 30 0
+ − + − =
+ − − + =
có tâm lần lượt là I và J.
1) Chứng minh (C

1
) tiếp tiếp xúc ngoài với (C
2
) và tìm tọa độ tiếp điểm H.
2) Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C
1
) và (C
2
) . Tìm tọa độ giao
điểm K của (D) và đường thẳng IJ.Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp
xúc với hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) tại H.
Bài 13: Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C):
2 2
2 4 0x y x y+ − − =
. Lập phương trình đường thẳng
(d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
10AB =
Bài 14: Cho đường tròn (C):
2 2
9x y+ =
và điểm A(1;2). Hãy lập phương trình của đường thẳng
chứa dây cung cuả (C) đi qua A sao cho độ dài dây cung đó ngắn nhất.
Bài 15: Cho đường tròn (C):
2 2
2 6 6 9x y x y+ − − + =
và điểm M(2;4)

1. Chứng tỏ rằng điểm M nằm trongđường tròn.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao
cho M là trung điểm của AB .
3. Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn đã cho qua đường thẳng AB.
Bài 16: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (C
m
) có phương trình :
2 2
x y (2m 5)x (4m 1)y 2m 4+ − + + − − + =
0
1) Chứng tỏ rằng (C
m
) qua hai điểm cố đònh khi m thay đổi.
2) Tìm m để (C
m
) tiếp xúc trục tung.
Bài 17: Cho họ đường tròn (C
m
) có phương trình :
2 2
x y (m 2)x 2my 1 0+ − − + − =
1) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C
m
) .
2) Cho m = -2 và điểm A(0;-1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C
-2
)
vẽ từ A.
Bài 18: Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C):
2 2

2 6 9 0x y x y+ − − + =
1. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0
2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0
Bài 19: Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (C):
2 2
( 1) ( 2) 9x y− + − =
. Xác đònh toạ
độ các điểm B, C biết điểm A(-2;2).
Bài 20: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (C
m
) có phương trình :

2 2
x 2mx y 2(m 1)y 12 0− + + + − =
Đt : 0914449230
9
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
1) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C
m
) .
2) Với giá trò nào của m thì bán kính của họ đường tròn đã cho là nhỏ nhất?
Bài 21: Cho hai họ đường tròn :
'
2 2
m
2 2
m
(C ): x y 2mx 2(m 1)y 1 0
(C ): x y x (m 1)y 3 0
+ − + + − =

+ − + − + =
Tìm trục đẳng phương của hai họ đường tròn trên. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi các trục
đẳng phương đó luôn luôn đi qua một điểm cố đònh.
Bài 22: Cho hai đường tròn :
2 2
1
2 2
2
(C ):x y 2x 9y 2 0
(C ): x y 8x 9y 16 0
+ − − − =
+ − − + =
1) Chứng minh rằng hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
Bài 23: Cho hai đường tròn :
2 2
1
2 2
2
(C ):x y 10x 0
(C ): x y 4x 2y 20 0
+ − =

+ + − − =
Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
Bài 24: Cho hai đường tròn :
2 2
1
2 2
2
(C ):x y 4x 5 0
(C ): x y 6x 8y 16 0
+ − − =
+ − + + =
Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
Bài 25: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm
A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 (TS.K.B2005)
II. Phương trình đường tròn.
3.13. Trong các phương trình sau, phương trình nào phương trình của đường tròn? Tìm tâm và bán kính của
đường tròn đó.
a. x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 1 = 0 b. x

2
+ y
2
– 6x + 8y + 50 = 0 c.
2 2
(x 3) (y 4)
1
2 2
− −
+ =
3.14. Lập phương trình đường tròn (C) biết:
a. (C) có tâm I(6; 1), tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0.
b. (C) có đường kính AB biết A(1 ; -2), B(0 ; 3) .
c. (C) có bán kính R=1, tiếp xúc với trục hồnh và có tâm nằm trên đường thẳng: x +y – 3 = 0
d. (C) đi qua 3 điểm A(1 ;2), B(5 ; 2), C(1 ; –3).
3.15. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 5. Lập phương trình tiếp tuyến d.
a. Tại điểm M(1; 4).
b. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.
c. Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x.
3.16. Cho đường tròn (C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 5. Lập phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(3; –2).
3.17. Ba đường thẳng 

1
: x – 2y + 8 = 0, 
2
: 2x – y + 4 = 0 và 
3
: y = 0 tạo thành ABC.
a. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC.
b. Viết phương trình đường tròn nội tiếp ABC.
ELIP.
Đt : 0914449230
10
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1/ Đònh nghóa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố đònh F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c . Elíp
( E ) =
{ }
2121
22\ FFcaMFMFM
=>=+
2/ Phương trình chính tắc của elip :
* ( E ) =
{ }

2121
22\ FFcaMFMFM =>=+
với F
1
(- c ; 0 ) , F
2
( c ; 0 ) có phương trình :
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
( 1 ) ,trong đó b
2
= a
2
– c
2
Phương trình ( 1 ) gọi là phương trình chính tắc của elip .
3/Đặc điểm của elip ( E ).
( E ) :
1
2
2
2

2
=+
b
y
a
x
( 1 ) ( b
2
= a
2
– c
2
)
Tâm đối xứng O , trục đối xứng Ox, Oy
Tiêu điểm : F
1
( - c ; 0 ) , F
2
( c ; 0 )
Tiêu cự F
1
F
2
= 2c
Trục lớn trên Ox , độ dài 2a
Trục nhỏ trên Oy , độ dài 2b
Các đỉnh trên trục lớn A
1
( - a ; 0 ) ,A
2

( a ; 0 )
Các đỉnh trên trục nhỏ B
1
( 0 ; - b ) , B
2
(0 ; b ) Tâm sai : e =
a
c
< 1
Công thức tính bán kính qua tiêu :
r
1
= MF
1
= a + ex , r
2
= MF
2
= a - ex
Phương trình các đường chuẩn : x =
e
a
±
Phương trình tiếp tuyến :
Phương trình tiếp tuyến với ( E) tại điểm M
0
(x
0
; y
0

) là:
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a
xx
Đường thẳng (∆ ): Ax + By + C = 0 tiếp xúc với ( E ) ⇔ A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
.
CÁC DANG BÀI TẬP:
Đt : 0914449230
11
-a +a
+b
- b
-c +c
GV : Nguy ễn Vũ Minh LTĐH 2010

Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các
phương trình sau :
1/ 16x
2
+ 25y
2
= 400 ; 2/ 4x
2
+ 9y
2
= 144 ;
3/ 9x
2
+25 y
2
= 225 ; 4/ 4x
2
+ 9y
2
= 25.
Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2
10
.
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M (
15
; - 1 ).
4/ ( E ) có một tiêu điểm F
2

( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)
5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3
2
)
6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x
7
±
16 = 0.
7/ ( E ) có tâm sai bằng
2
1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó.
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu
điểm bên phải .
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x
2
+ 6y
2
= 12 .
1/ Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) .
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x
2
+ 25y
2
= 400 .
1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F
1
M = F
2
M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8 .Hãy tính AF
2
+ BF
1
.
Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính độ dài AB
3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y

2
=25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ).
Bài 8 : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x
2
+ 16y
2
= 144 biết tiếp tuyến :
1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – 3 = 0.
Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) nhận các đường thẳng:
3x – 2y – 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 làm tiếp tuyến.
Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F
1
(-
3
;0) ,F
2
(
3
;0) và một đường chuẩn có phương trình
x =
3
4
.
1/ Viết phương trình chính tắc của (E).
2/ M là điểm thuộc (E) .Tính giá trò của biểu thức :P = F
1

M
2
+ F
2
M
2
– 3OM
2
– F
1
M.F
2
M.
Đt : 0914449230
12