ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI D NĂM 2002 pps

1
Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002
Môn Toán, khối D


Đáp án và thang điểm đề thi chính thức



Câu Nội dung Điểm

ĐH

CĐ

I


3đ
4đ

1.

1 1,5

Khi m = -1 ,ta có
1x
4
3
1x

1x3
y

=


=
-TXĐ : 1x


- CBT :
()
>

= 1x,0
1x
4
y
2
,
hàm số không có cực trị.

1/4

1/4


3ylim
x
=

; =+=
+
1x1x
ylim;ylim .



- BBT :

x - 1 +

y
/
+ +
+

y -3 -3


-

1/4

1/4


- TC: x=1 là tiệm cận đứng vì =

ylim

1x
.
y=-3 là tiệm cận ngang vì 3ylim
x
=


1/4

1/4


- Giao với các trục : x = 0 y = 1; y = 0 x = - 1/3.


1/4


- Đồ thị :
x
y

1/4

1/2




2

2.

1 1,5

Diện tích cần tính là :
dx
1x
1x3
S
0
3/1










=

1/4

1/2

=
0
3/1
0
3/1
1x
dx
4dx3
1/4 1/4

3/1
0
1xln4
3
1
.3

=
1/4 1/2

3
4
ln41+= ( đvdt).
1/4 1/4

3.
1 1

Ký hiệu
()
1x
mx1m2
)x(f
2


= . Yêu cầu bài toán tơng đơng với tìm
m để hệ phơng trình sau có nghiệm:
(H)
()



=
=
.x)x(f
x)x(f
/
/

1/4 1/4

Ta có (H)
()
()

=










=



0
1x
mx
0
1x
mx
/
2
2

1/4 1/4

()
()()()
()







=

+
=



0
1x
mx1xmx2
0
1x
mx
2
2
2

1/4 1/4

Ta thấy với 1m ; x = m luôn thoả mãn hệ ( H ) . Vì vậy 1m , (H)
luôn có nghiệm , đồng thời khi m = 1 thì hệ ( H ) vô nghiệm. Do đó đồ
thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x khi và chỉ khi 1m

.
ĐS : 1m .



1/4 1/4
II


2đ

3đ

1.
1 1,5

Bất phơng trình

>
=

0x3x
02x3x2
02x3x2
2
2
2

1/4 1/2

TH 1: .
2
1
x2x02x3x202x3x2
22
====
1/4 1/4

TH 2:




>

>
0x3x
02x3x2
0x3x
02x3x2
2
2
2
2








><

3x0x
2x
2
1

x

1/4

3


3x
2
1
x <
1/4 1/4

Từ hai trờng hợp trên suy ra ĐS: 3x2x
2
1
x =
1/4 1/4
2.
1 1,5

Hệ phơng trình



=
=

y2
y4y52

x
2x3

1/4 1/2





=+
>=

0y4y5y
0y2
23
x

1/4 1/4





===
>=

4y1y0y
0y2
x

1/4 1/4





=
=




=
=
4y
2x
1y
0x

1/4 1/2

III


1đ 1đ

Phơng trình
()()
01x2cos4xcos3x3cos =++

0xcos8xcos4
23
=

()
02xcosxcos4
2
=
0xcos =
1/4 1/2

+

= k
2
x.
1/4 1/4


[]
3k2k1k0k14;0x ====
1/4

ĐS : ;
2
x

=
2
3

x

= ;
2
5
x

= ;
2
7
x

= .
1/4 1/4
IV
2đ

2đ

1.
1 1
Cách 1
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB
1/4 1/4

Lại có
()
ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi
một vuông góc với nhau.

1/4

1/4
Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc, gốc A sao cho B(3;0;0) ,
C(0;4;0), D( 0;0;4). Mặt phẳng (BCD) có phơng trình :
01
4
z
4
y
3
x
=++ .
1/4 1/4





Khoảng cách cần tính là :
17
346
16
1
16
1
9
1
1
=

++
(cm).
1/4 1/4

4

Cách 2
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB
1/4 1/4

Lại có
()
ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi
một vuông góc với nhau.


1/4

1/4

D




H C


A E

B
Gọi AE là đờng cao của tam giác ABC; AH là đờng cao của tam giác
ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính.
Dễ dàng chứng minh đợc hệ thức:
2222
AC
1
AB
1
AD
1
AH
1
++= .
1/4 1/4
Thay AC=AD=4 cm; AB = 3 cm vào hệ thức trên ta tính đợc:
cm
17
346
AH =
1/4 1/4
Cách 3:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó
.ACAB

1/4 1/4

Lại có
()

ABCmpAD ABAD và ACAD

, nên AB, AC, AD đôi
một vuông góc với nhau.


1/4

1/4

Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= 8ADACAB
6
1
= .
áp dụng công thức
)BCD(dt
V3
AH

= với V = 8 và dt(

BCD) =2 34
ta tính đợc cm
17
346
AH = .
1/2 1/2
2
1 1
Cách 1:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
()
0;1;2n

. Đờng thẳng
m
d có vec
tơ chỉ phơng
()( )( )()
()
m1m;1m2; 1m2m1u
2
++

.
1/4 1/4

Suy ra

u.

n =3(2m+1).
m
d song song với (P)

)P(d
nu
m

1/4 1/4

5



()






=


PA,dA
0n.u
m

Ta có : điều kiện 0n.u =

2
1
m =
1/4 1/4

Mặt khác khi m = - 1/2 thì
m
d có phơng trình :



=
=
0x
01y
, mọi điểm
A( 0;1;a) của đờng thẳng này đều không nằm trong (P), nên điều kiện
()
PA,dA
m

đợc thoả mãn. ĐS : m = - 1/2
1/4 1/4
Cách 2:
Viết phơng trình d
m
dới dạng tham số ta đợc

=
+=
+=
m)t.m(12z
t1)(2m1 y
1)tm)(2m(1 x
2

1/4 1/4

m
d // (P) hệ phơng trình ẩn t sau







=+
=
+=
+=
02yx2
t)m1(m2z
t)1m2(1y
t)1m2)(m1(x
2

vô nghiệm
1/4 1/4

phơng trình ẩn t sau 3(2m+1)t+1 = 0 vô nghiệm
1/4 1/4

m=-1/2
1/4 1/4
Cách 3:
m
d
// (P) hệ phơng trình ẩn x, y, z sau
(H)
()()





=++++
=+++
=+
02m4z)1m2(mx
01myx1x1m2
02yx2

vô nghiệm 1/4 1/4

Từ 2 phơng trình đầu của hệ phơng trình trên suy ra

+
=

=
3
4m2
y
3
1m
x

1/4 1/4
Thế x , y tìm đợc vào phơng trình thứ ba ta có :
)6m11m(
3
1
z)1m2(
2
++=+
1/4 1/4

Hệ (H) vô nghiệm
2
1

m =
1/4 1/4
V
2đ


1.
1


Ta có :
()

=
=+
n
0k
kk
n
n
xC1x
,
1/4

Cho x = 2 ta đợc

=
=
n
0k

kk
n
n
2C3

1/4

5n32433
5n
=== .
1/2

6

2.
1

Cách 1
Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên
hai tia Ox và Oy.
Đờng thẳng MN có phơng trình :
01
n
y
m
x
=+
1/4
Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi :

1
n
1
9
m
1
16
22
=






+






.
1/4
Theo BĐT Côsi ta có :
()
2
2
2
2

22
22222
n
m
9
m
n
1625
n
9
m
16
nmnmMN ++=






++=+=
499.16225
=+ 7MN
1/4

Đẳng thức xảy ra









>>
=+
=

0n,0m
49nm
n
m9
m
n16
22
2
2
2
2

21n,72m
== .
KL: Với

(
)
(
)
21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7.
1/4
Cách 2
Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên
hai tia Ox và Oy.
Đờng thẳng MN có phơng trình : 01
n
y
m
x
=+
1/4
Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi :

1
n
1
9
m
1
16
22
=

+






.
1/4
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có
()
49
n
3
.n
m
4
.m
n
9
m
16
nmnmMN
2
22
22222
=

+






++=+=
.
7MN
1/4

- Đẳng thức xảy ra









>>
=+

=

0n,0m
7nm
n
3
:n
m
4
:m
22

21n,72m ==
.
KL: Với
(
)
(
)
21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7.
1/4
Cách 3:
Phơng trình tiếp tuyến tại điểm (x
0
; y
0
) thuộc (E) : 1
9
yy
16

xx
00
=+
1/4

7


Suy ra toạ độ của M và N là








0;
x
16
M
0
và

0
y
9
;0N









+








+=+=
2
0
2
2
0
2

2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
y
9
x
16
9
y
16
x
y
9
x
16
MN
1/4
Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacôpski (nh cách 1 hoặc cách 2)
ta có :
22
7MN

1/4

- Đẳng thức xảy ra
7
213
y;
7
78
x
00
== .
- Khi đó
(
)
(
)
21;0N,0;72M và GTNN (MN) = 7
1/4



Hết


8
Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002

Hớng dẫn chấm thi môn toán khối D



Câu I:

1.

-Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm.
-Nếu TS xác định đúng hàm số và chỉ tìm đúng 2 tiệm cận thì đợc 1/4 điểm.
2. Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm.

3. -Nếu TS dùng điều kiện nghiệm kép thì không đợc điểm.

-Nếu TS không loại giá trị m = 1 thì bị trừ 1/4 điểm.

Câu II:
1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm.
-Nếu TS kết luận nghiệm sai bị trừ 1/4 điểm .
-Nếu TS sử dụng điều kiện sai:

<






0)x(g
0)x(f
0)x(g
0)x(f
0)x(g).x(f và dẫn đến kết quả đúng sẽ
bị trừ 1/4 điểm.
2. TS làm đúng ở bớc nào đợc điểm ở bớc đó.

Câu III:
TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó
.

Câu IV:
TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó
.

Câu V:

1. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó.
2. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó.

Hết