Phương trình vi phân thường - Nguyễn Văn Minh pdf

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
THƯỜNG
Nguyễn Văn Minh
L`o
.
in´oi d¯ˆa
`
u
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng l`al˜ınh vu
.
.
clˆau d¯`o
.
icu
’
aTo´an ho
.
c.
N´oi nhu
.

vˆa
.
ykhˆong c´ongh˜ıa l`an´o“c˜uk˜y”, khˆong c`on ph´at triˆe
’
n
d¯u
.
o
.
.
cn˜u
.
a, m`a tr´ai la
.
id¯ˆay l`al˜ınh vu
.
.
c ph´at triˆe
’
nrˆa
´
tsˆoi d¯ˆo
.
ng cu
’
a
To´an Ho
.
c trong suˆo
´

t nhiˆe
`
uthˆa
.
pky
’
qua. D
-
iˆe
`
un`ay c´othˆe
’
hiˆe
’
ud¯u
.
o
.
.
c
v`ıd¯ˆay l`achiˆe
´
ccˆa
`
unˆo
´
icu
’
aTo´an ho
.

cv´o
.
ic´ac l˜ınh vu
.
.
ckhoaho
.
c´u
.
ng
du
.
ng kh´ac c˜ung nhu
.
l`ano
.
ih`oa nhˆa
.
pcu
’
a nhiˆe
`
ul˜ınh vu
.
.
crˆa
´
tkh´ac
nhau cu
’

ach´ınh To´an ho
.
c. Hiˆe
.
nnayo
.
’
nu
.
´o
.
ctac´oxuhu
.
´o
.
ng thu
go
.
ntˆen go
.
i“phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng” th`anh “phu
.

o
.
ng tr`ınh
vi phˆan”. C´ach l`am nhu
.
vˆa
.
ys˜egˆay nhiˆe
`
u nhˆa
`
mlˆa
˜
n, nhˆa
´
tl`acho
c´ac sinh viˆen. Cˆa
`
n pha
’
i phˆan biˆe
.
tr˘a
`
ng thuˆa
.
tng˜u
.
“phu
.

o
.
ng tr`ınh
vi phˆan” bao h`am khˆong chı
’
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng m`ac`on
ca
’
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d¯a
.
oh`am riˆeng, mˆo
.
tl˜ınh vu
.
.
cgˆa
`
ng˜ui v´o

.
i
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng (v`ac`on rˆo
.
ng l´o
.
nho
.
nrˆa
´
t nhiˆe
`
u!).
Tˆa
.
pb`ai gia
’
ng n`ay tˆoi biˆen soa
.
nv`agia
’
ng cho sinh viˆen hˆe

.
cu
.
’
nhˆan khoa ho
.
ct`ai n˘ang cu
’
aD
-
a
.
iho
.
cKhoaho
.
cTu
.
.
nhiˆen, D
-
a
.
iho
.
c
Quˆo
´
cgiaH`anˆo
.

i, v´o
.
ithamvo
.
ng khiˆem tˆo
´
nl`a cung cˆa
´
p cho sinh
viˆen, trong mˆo
.
tth`o
.
igianha
.
nchˆe
´
(45 tiˆe
´
tho
.
c), mˆo
.
th`ınh dung n`ao
d¯´ovˆe
`
l˜ınh vu
.
.
cn`ay. D

-
˘a
.
cbiˆe
.
t, tˆoi muˆo
´
n nhˆa
´
nma
.
nh d¯ˆe
´
nc´ac cˆong cu
.
d¯ang d`ung rˆo
.
ng r˜ai trong nghiˆen c´u
.
uhiˆe
.
nnay.Tˆa
´
t nhiˆen v´o
.
imˆo
.
t
khˆong gian ha
.

nchˆe
´
ch´ung ta chı
’
c´othˆe
’
ch˘a
´
tlo
.
cnh˜u
.
ng ´ytu
.
o
.
’
ng
quan tro
.
ng nhˆa
´
tv`a pha
’
itr`ınh b`ay d¯u
.
o
.
.
cmˆo

.
tc´ach x´uc t´ıch, d¯o
.
n
gia
’
n nhˆa
´
tc´othˆe
’
d¯u
.
o
.
.
c. So v´o
.
ic´ac gi´ao tr`ınh vˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi
phˆan d¯˜av`ad¯ang d¯u
.
o
.
.
csu

.
’
du
.
ng o
.
’
Viˆe
.
tNamhiˆe
.
nnay,tˆoi d¯˜ad¯u
.
a
v`ao tˆa
.
pc´ac b`ai gia
’
ng n`ay nh˜u
.
ng chu
’
d¯ˆe
`
m´o
.
isaud¯ˆay:
1. D
-
i

.
nh l´y Perron vˆe
`
d¯˘a
.
c tru
.
ng hˆe
.
hyperbolic, d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ntˆo
`
nta
.
i
nghiˆe
.
mtuˆa
`
nho`an, gi´o
.
inˆo
.
i,
2. D
-
ata

.
pbˆa
´
tbiˆe
´
nv`a´u
.
ng du
.
ng trong nghiˆen c´u
.
uˆo
’
nd¯i
.
nh,
3. C´ach d`ung phˆa
`
nmˆe
`
mMapled¯ˆe
’
t´ıch phˆan phu
.
o
.
ng tr`ınh vi
phˆan.
I
II L`o

.
in´oi d¯ˆa
`
u
Trong khi tˆoi kh´ah`ai l`ong v´o
.
ic´ach tr`ınh b`ay d¯o
.
ngia
’
nhaivˆa
´
nd¯ˆe
`
d¯ˆa
`
utiˆen th`ıvˆa
´
nd¯ˆe
`
th´u
.
ba c`on rˆa
´
tl´ung t´ung. D
-
iˆe
`
un`ay dˆe
˜

hiˆe
’
u
v`ıkinhnghiˆe
.
mc`on chu
.
a nhiˆe
`
u, trong khi “s´u
.
c´ep” cu
’
a“Th`o
.
id¯a
.
i
m´ay t´ınh”la
.
iqu´al´o
.
n. Tˆoi tin r˘a
`
ng rˆa
´
t nhiˆe
`
ungu
.

`o
.
i trong c´ac ba
.
n
c´othˆe
’
l`am tˆo
´
tviˆe
.
cn`ay. D
-
iˆe
`
u duy nhˆa
´
ttˆoi lu
.
u´yc´ac ba
.
nl`acˆa
`
n
pha
’
ihiˆe
’
ud¯u
.

o
.
.
cgi´o
.
iha
.
ncu
’
ac´ac phˆa
`
nmˆe
`
mv`a pha
’
ihiˆe
’
ud¯u
.
o
.
.
cta
.
i
sao.
Tˆoi hy vo
.
ng viˆe
.

cd¯´anh m´ay la
.
ito`an v˘an b`ai gia
’
ng v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
bˆo
’
sung b˘a
`
ng phˆa
`
nmˆe
`
msoa
.
ntha
’
ov˘an ba
’
nLaTeXn`ay s˜egi´up
c´ac sinh viˆen, ho
.
cviˆen cao ho
.
cv`ac´ac c´an bˆo

.
nghiˆen c´u
.
uc´othˆem
t`ai liˆe
.
u tham kha
’
o, nhˆa
´
tl`a trong t`ınh h`ınh thiˆe
´
us´ach vo
.
’
hiˆe
.
nnay.
Theo tˆoi c´ac b`ai gia
’
ng n`ay c´othˆe
’
d`ung d¯ˆe
’
da
.
ymˆo
.
tchuyˆen d¯ˆe
`

vˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng “nˆang cao” cho c´ac l´o
.
pcaoho
.
c
chuyˆen vˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan v`at´ıch phˆan.
Do th`o
.
igianc´oha
.
n, m˘a
.
cdˆa
`

ud¯˜arˆa
´
tcˆo
´
g˘a
´
ng v`ad¯˜a nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
c
su
.
.
gi´up d¯˜o
.
cu
’
a nhiˆe
`
usinhviˆen trong th`o
.
i gian gia
’
ng da
.
y, gi´ao tr`ınh

ch˘a
´
cc`on nhiˆe
`
uthiˆe
´
us´ot cˆa
`
nbˆo
’
sung trong th`o
.
igiant´o
.
i. Tˆoi mong
nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
c nhiˆe
`
u´ykiˆe
´
nphˆeb`ınh cu
’
ac´ac d¯ˆo
.

cgia
’
xa gˆa
`
n.
H`aNˆo
.
i 2002 Nguyˆe
˜
nV˘an Minh
D
-
a
.
iho
.
cKhoaho
.
cTu
.
.
nhiˆen
D
-
a
.
iho
.
cQuˆo
´

cgiaH`anˆo
.
i
E-mail:
MU
.
CLU
.
C
1L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 7
1.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan v`ac´ac d¯i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.
iv`a duy
nhˆa
´
tnghiˆe
.
m 7

1.1.1. Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
vˆe
`
c´ac mˆoh`ınh to´an ho
.
csu
.
’
du
.
ng
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan 7
1.1.2. C´ac d¯i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tnghiˆe

.
m 10
1.1.3. D
-
i
.
nh l´yPeano 14
1.1.4. D
-
i
.
nh l´yvˆe
`
th´ac triˆe
’
nnghiˆe
.
m 15
1.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh tˆo
’
ng qu´at 17
1.2.1. Hˆe
.
phu

.
o
.
ng tr`ınh bˆa
.
c nhˆa
´
t 17
1.2.2. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tv`acˆong
th´u
.
cbiˆe
´
nthiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
22
1.3. Hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh c´ohˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng sˆo
´
v`atuˆa
`
nho`an . . 23
1.3.1. H`am ma trˆa
.
n 23
1.3.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh c´ohˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng sˆo
´

26
1.3.3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh c´ohˆe
.
sˆo
´
tuˆa
`
nho`an 30
1.4. Nghiˆe
.
mgi´o
.
inˆo
.
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t31
1.4.1. Nghiˆe

.
mtuˆa
`
nho`an 31
1.4.2. Nghiˆe
.
mgi´o
.
inˆo
.
i 33
1.4.3. C´ac khˆong gian h`am chˆa
´
p nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
c 35
1.4.4. Nghiˆe
.
mgi´o
.
inˆo
.
itrˆen nu
.
’

a tru
.
c 35
1.5. B`ai to´an biˆen 36
1.5.1. B`ai to´an biˆen thuˆa
`
n nhˆa
´
t 36
1.5.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t 38
1.6. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh bˆa
.
ccao 39
1.7. Su
.
.

phu
.
thuˆo
.
cliˆen tu
.
ctheod¯iˆe
`
ukiˆe
.
nband¯ˆa
`
uv`atheo
tham sˆo
´
41
2C´ac phu
.
o
.
ng ph´ap d¯i
.
nh lu
.
o
.
.
ng 44
2.1. Mˆo
.

tsˆo
´
phu
.
o
.
ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vi
phˆan 44
III
IV MU
.
CLU
.
C
2.1.1. C´ac phu
.
o
.
ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac l´o
.
pphu
.
o
.
ng
tr`ınh thu

.
`o
.
ng g˘a
.
p 44
2.1.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tv`aphu
.
o
.
ng tr`ınh
d¯u
.
avˆe
`
d¯u
.
o
.
.
cda
.

ng n`ay 47
2.1.3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh 49
2.1.4. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d¯u
.
ad¯u
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng phu
.
o
.
ng
tr`ınh tuyˆe
´

nt´ınh 50
2.1.5. Phu
.
o
.
ng tr`ınhRicati 52
2.1.6. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı
’
nh 54
2.1.7. Phu
.
o
.
ng ph´ap d`ung phˆa
`
nmˆe
`
mto´an ho
.
c 56
2.2. Phu
.
o
.
ng ph´ap tham sˆo
´

b´e 61
3L´ythuyˆe
´
td¯i
.
nh t´ınh 62
3.1. L´ythuyˆe
´
tˆo
’
nd¯i
.
nh 62
3.1.1. Kh´ai niˆe
.
mˆo
’
nd¯i
.
nh theo ngh˜ıa Lyapunov . . 62
3.1.2. Phu
.
o
.
ng ph´ap th´u
.
nhˆa
´
t Lyapunov . . . . . . 64
3.1.3. Phu

.
o
.
ng ph´ap th´u
.
hai Lyapunov . . . . . . . 67
3.2. D
-
ata
.
pbˆa
´
tbiˆe
´
nv`asu
.
.
mˆa
´
tˆo
’
nd¯i
.
nh 70
3.2.1. Su
.
.
tˆo
`
nta

.
icu
’
ad¯a ta
.
pbˆa
´
tbiˆe
´
n 70
3.2.2. T´ınh bˆa
´
tbiˆe
´
ncu
’
ac´ac d¯a ta
.
p 74
3.2.3. D
-
ata
.
pkhˆong ˆo
’
nd¯i
.
nh v`asu
.
.

mˆa
´
tˆo
’
nd¯i
.
nh
nghiˆe
.
m 75
3.2.4. Nguyˆen l´yˆo
’
nd¯i
.
nh thu go
.
n 75
4Phu
.
Lu
.
c77
5B`ai tˆa
.
p83
6D
-
ˆe
`
thi v`ad¯´ap ´an 96

Chu
.
o
.
ng 1
L
´
YTHUY
ˆ
E
´
TT
ˆ
O
’
NG QU
´
AT
1.1. PHU
.
O
.
NG TR
`
INH VI PH
ˆ
AN V
`
AC
´

AC D
-
I
.
NH L
´
Y
T
ˆ
O
`
NTA
.
IV
`
ADUYNH
ˆ
A
´
TNGHI
ˆ
E
.
M
1.1.1. Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.

vˆe
`
c´ac mˆoh`ınh to´an ho
.
csu
.
’
du
.
ng
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Nhiˆe
`
ub`ai to´an cu
’
aVˆa
.
tl´y,Co
.
ho
.
c, Sinh ho
.
c, dˆa
˜
nd¯ˆe

´
nviˆe
.
c
gia
’
ic´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh h`am c´och´u
.
a vi phˆan cu
’
ah`am pha
’
it`ım. D
-
ˆe
’
minh ho
.
ach´ung ta x´et mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
quen biˆe
´

tsaud¯ˆay:
Con l˘a
´
cto´an ho
.
c
V´ıdu
.
1.1 X´et dao d¯ˆo
.
ng cu
’
amˆo
.
tchˆa
´
td¯iˆe
’
mc´okhˆo
´
ilu
.
o
.
.
ng m
du
.
´o
.

it´ac du
.
ng cu
’
alu
.
.
ch´ut.
Chuyˆe
’
nd¯ˆo
.
ng cu
’
aconl˘a
´
cs˜exa
’
y ra trong m˘a
.
t ph˘a
’
ng th˘a
’
ng
d¯´u
.
ng. Go
.
i l l`ad¯ˆo

.
d`ai cu
’
aconl˘a
´
c, φ(t)l`ag´oc lˆe
.
ch cu
’
aconl˘a
´
cso
v´o
.
ivi
.
tr´ıth˘a
’
ng d¯´u
.
ng ta
.
ith`o
.
id¯iˆe
’
m t.Khid¯´otheoc´ac d¯i
.
nh luˆa
.

t
cu
’
aco
.
ho
.
ctac´ophu
.
o
.
ng tr`ınh
mlφ

(t)+mg sin φ(t)=0.
Hay l`a trong da
.
ng r´ut go
.
n
lφ

(t)+g sin φ(t)=0. (1.1)
Nˆe
´
ud¯˘a
.
t x = φ v`a y =
˙
φ,th`ı trong m˘a

.
t ph˘a
’
ng (x, y)tad¯u
.
o
.
.
c tru
.
`o
.
ng
v´ec to
.
sau:
7
8Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
-1.5
-1
-0.5
0

0.5
1
1.5
y
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
x
Con lac
D
-
i
.
nh luˆa
.
tMalthusvˆe
`
quˆa
`
nthˆe
’
Gia
’
su
.
’
quˆa
`
nthˆe
’
d¯u
.

o
.
.
c phˆan bˆo
´
d¯ˆe
`
u trong khˆong gian, tˆa
´
tca
’
c´ac c´athˆe
’
nhu
.
nhau v`ac´ac thˆe
´
hˆe
.
kˆe
´
tiˆe
´
p. Go
.
i N(t)l`asˆo
´
lu
.
o

.
.
ng
cu
’
ach´ung ta
.
ith`o
.
id¯iˆe
’
m t.Khid¯´oD
-
i
.
nh luˆa
.
t Malthus n´oi r˘a
`
ng
dN(t)
dt
=(B − D)N(t), ∀t ≥ 0, (1.2)
trong d¯´o B l`aty
’
lˆe
.
sinh, D l`aty
’
lˆe

.
chˆe
´
ttu
.
.
nhiˆen.
Mˆoh`ınh to´an ho
.
ccu
’
aquˆa
`
nthˆe
’
vˆa
.
ts˘an-mˆo
`
i
Gia
’
su
.
’
quˆa
`
nthˆe
’
d¯ang x´et gˆo

`
mhailo`ai, trong d¯´omˆo
.
tlo`ai l`a
d¯ˆo
.
ng vˆa
.
t˘an mˆo
`
i, c`on lo`ai kia l`amˆo
`
i cho n´o. Go
.
i x(t),y(t)tu
.
o
.
ng
´u
.
ng l`asˆo
´
lu
.
o
.
.
ng con mˆo
`

i, vˆa
.
ts˘an ta
.
ith`o
.
id¯iˆe
’
m t.Khid¯´omˆoh`ınh
Volterra cu
’
aquˆa
`
nthˆe
’
s˜ed¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
nnhu
.
sau:

˙x = αx −βxy,
˙y = kβxy − my,

(1.3)
trong d¯´o α l`aty
’
lˆe
.
t˘ang tu
.
.
nhiˆen cu
’
a x(t)khikhˆong c´oke
’
s˘an mˆo
`
i,
t´u
.
cl`akhiy(t)=0,c`on m l`aty
’
lˆe
.
chˆe
´
ttu
.
.
nhiˆen cu
’
avˆa
.

ts˘an khi
khˆong c´omˆo
`
i. β>0l`ahˆe
.
sˆo
´
“tu
.
o
.
ng t´ac” gi˜u
.
ahailo`ai cu
’
aquˆa
`
n
thˆe
’
.D
-
ˆe
’
minh ho
.
ach´ung ta x´et hˆe
.
sau:


˙x(t)=x(t)(1 − y(t)),
˙y(t)=0, 3y(t)(x(t) − 1).
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 9
Ta c´othˆe
’
v˜e tru
.
`o
.
ng v´ec to
.
´u
.
ng v´o
.
ihˆe
.
trˆen trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng (x, y)

nhu
.
sau (d`ung phˆa
`
nmˆe
`
mMaple):
0
0.5
1
1.5
2
y
0.5 1 1.5 2
x
Lotka-Volterra model
Trong c´ac mˆoh`ınh to´an ho
.
ctrˆen ch´ung ta d¯ˆe
`
uthˆa
´
ysu
.
.
tham gia
cu
’
a vi phˆan c´ac cˆa
´

pcu
’
ah`am ˆa
’
n φ(t),N(t),x(t),y(t) trong phu
.
o
.
ng
tr`ınh mˆo pho
’
ng c´ac qu´atr`ınh thu
.
.
ctˆe
´
.Phu
.
o
.
ng tr`ınh h`am trong
d¯´oc´och´u
.
aca
’
c´ac vi phˆan cu
’
ah`am pha
’
it`ım d¯u

.
o
.
.
cgo
.
il`aphu
.
o
.
ng
tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng. Cˆa
`
nch´u´y phˆan biˆe
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
thu
.
`o
.
ng v´o
.

iphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d¯a
.
oh`am riˆeng. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi
phˆan d¯a
.
oh`am riˆeng l`aphu
.
o
.
ng tr`ınh h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n, c´och´u
.
ad¯a
.
o
h`am riˆeng cu
’
ah`am pha
’

it`ım. Viˆe
.
cnghiˆen c´u
.
uphu
.
o
.
ng tr`ınh d¯a
.
o
h`am riˆeng v`ıthˆe
´
s˜ekh´okh˘an gˆa
´
pbˆo
.
iv`ad¯`oi ho
’
i pha
’
ic´onh˜u
.
ng
phu
.
o
.
ng ph´ap ph´u
.

cta
.
pho
.
n nhiˆe
`
u. Nhu
.
vˆa
.
ymˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh vi
phˆan thu
.
`o
.
ng s˜ec´oda
.
ng
F (x, y, y

, ···,y
(n)
)=0, (1.4)
trong d¯´o y(x)l`ah`am cu

’
ad¯ˆo
´
isˆo
´
thu
.
.
c x.Da
.
ng d¯o
.
ngia
’
nho
.
nsau
d¯ˆay
dy(x)
dx
= f(x, y(x)), (1.5)
s˜ed¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`aphu
.

o
.
ng tr`ınh d¯˜agia
’
irad¯ˆo
´
iv´o
.
id¯a
.
oh`am. Do mˆo
.
t
nguyˆen nhˆan l`a nhiˆe
`
uphu
.
o
.
ng ph´ap v`akˆe
´
tqua
’
kinh d¯iˆe
’
ncu
’
a
phu
.

o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng xuˆa
´
tx´u
.
t`u
.
co
.
ho
.
ccˆo
’
d¯iˆe
’
n, nˆen theo
truyˆe
`
nthˆo
´
ng ngu
.
`o
.
itahayk´yhiˆe

.
ubiˆe
´
nthu
.
.
c x l`a t,´am chı
’
d¯´ol`a
th`o
.
id¯iˆe
’
m t,c`on y = y(t)l`a tra
.
ng th´ai ta
.
ith`o
.
id¯iˆe
’
mn`ay. D
-
ˆe
’
cho
10 Chu
.
o
.

ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
go
.
n trong phu
.
o
.
ng tr`ınh ngu
.
`o
.
itas˜eviˆe
´
t y thay cho y(t)nˆe
´
uhiˆe
’
u
ngˆa
`
mh`am pha
’
it`ım y l`ah`am cu
’
a t.
Mˆo

.
td¯`oi ho
’
itu
.
.
nhiˆen khi nghiˆen c´u
.
uc´ac mˆoh`ınh to´an ho
.
cl`asu
.
.
pha
’
n´anh trung th`anh cu
’
ach´ung c´ac qu´atr`ınh thu
.
.
ctiˆe
˜
n. Ch˘a
’
ng
ha
.
n, qu´atr`ınh tiˆe
´
nh´oa chı

’
chuyˆe
’
nt`u
.
mˆo
.
t tra
.
ng th´ai x
0
v`ath`o
.
i
d¯iˆe
’
m t
0
d¯ˆe
´
nmˆo
.
t tra
.
ng th´ai x(t) duy nhˆa
´
tv`ao th`o
.
id¯iˆe
’

m t.Ho
.
n
n˜u
.
a, nˆe
´
u x
1
kh´agˆa
`
n x
0
ta
.
ith`o
.
id¯iˆe
’
m t
0
th`ıqu´atr`ınh s˜echuyˆe
’
n
tra
.
ng th´ai n`ay d¯ˆe
´
n y(t)ta
.

ith`o
.
id¯iˆe
’
m t kh´agˆa
`
nv´o
.
i x(t). Nh˜u
.
ng d¯`oi
ho
’
itrˆen d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`asu
.
.
tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tnghiˆe

.
mv`asu
.
.
phu
.
thuˆo
.
c
liˆen tu
.
ctheod¯iˆe
`
ukiˆe
.
nband¯ˆa
`
u. Nh˜u
.
ng d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nn`ay c`on d¯u
.
o
.
.
cgo
.

i
v˘a
´
nt˘a
´
tl`asu
.
.
thiˆe
´
tlˆa
.
pd¯´ung d¯˘a
´
ncu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh, hay mˆoh`ınh
d¯ang x´et.
1.1.2. C´ac d¯i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´

tnghiˆe
.
m
X´et phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
dx
dt
= f(t, x) (1.6)
trong d¯´o f x´ac d¯i
.
nh v`aliˆen tu
.
ctrˆen miˆe
`
n G := (a, b) ×{y ∈ R
n
:
y − y
0
≤r}.C`ung v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (1.6) ta x´et phu
.

o
.
ng tr`ınh

˙x = f(t, x),
x(t
0
)=x
0
,
(1.7)
go
.
il`aB`ai to´an Cauchy kˆe
´
tho
.
.
pv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (1.6).
Nhˆa
.
nx´et. Trong b`ai to´an Cauchy (1.7) ch´ung ta khˆong x´ac d¯i
.
nh

r˜o trong phu
.
o
.
ng tr`ınh d¯ˆa
`
ukhoa
’
ng x´ac d¯i
.
nh cu
’
ah`am pha
’
it`ım
x = x(t). Nhu
.
s˜ethˆa
´
ydu
.
´o
.
id¯ˆay, su
.
.
tˆo
`
nta
.

inghiˆe
.
m x(t)v´o
.
i t trong
lˆan cˆa
.
n(haiph´ıa) cu
’
a t
0
s˜ed¯u
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh. D
-
iˆe
`
un`ay thˆe
’
hiˆe
.
n
“nguyˆen l´y” : biˆe
´
thiˆe

.
nta
.
ix´ac d¯i
.
nh d¯u
.
o
.
.
ctu
.
o
.
ng lai v`at´ai ta
.
od¯u
.
o
.
.
c
qu´akh´u
.
. Trong rˆa
´
t nhiˆe
`
ub`ai to´an kh´ac da
.

ng tr`ıu tu
.
o
.
.
ng, nguyˆen
l´ytrˆen khˆong d¯´ung. “Biˆe
´
thiˆe
.
nta
.
ichı
’
c´othˆe
’
x´ac d¯i
.
nh d¯u
.
o
.
.
ctu
.
o
.
ng
lai m`athˆoi”. V`ıvˆa
.

y, b`ai to´an Cauchy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng nhˆa
´
tthiˆe
´
td¯`oi ho
’
i
t>t
0
trong phu
.
o
.
ng tr`ınh d¯ˆa
`
u.
D
-
i
.
nh l´yTˆo
`
nta
.

iD
-
i
.
aphu
.
o
.
ng
D
-
i
.
nh l´y1.1Gia
’
su
.
’
f l`a´anh xa
.
liˆen tu
.
ct`u
.
G sang R
n
tho
’
am˜an
c´ac d¯iˆe

`
ukiˆe
.
nsauv´o
.
imo
.
i t ∈ (a, b), x, y ∈
¯
B
η
(x
0
):={x ∈ R
n
:
x − x
0
≤η}:
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 11
f(t, x)≤M
1

; (1.8)
f(t, x) − f(t, y)≤M
2
x −y, (1.9)
trong d¯´o M
1
,M
2
l`ac´ac h˘a
`
ng sˆo
´
khˆong phu
.
thuˆo
.
cv`ao t, x, y.Khi
d¯´otˆo
`
nta
.
isˆo
´
δ>0 (δ =min{η/M
1
, 1/M
2
})saochov´o
.
imo

.
i
t
0
∈ (a, b),trongkhoa
’
ng (t
0
− δ, t
0
+ δ) ∩ (a, b) b`ai to´an Cauchy
(1.7) c´od¯´ung mˆo
.
tnghiˆe
.
m x = φ(t) tho
’
am˜an φ(t) − x
0
≤η.
Ch´u
.
ng minh. X´et phu
.
o
.
ng tr`ınh t´ıch phˆan
x(t)=x
0
+


t
t
0
f(τ,x(τ))dτ. (1.10)
Dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng su
.
.
tˆo
`
nta
.
inghiˆe
.
mliˆen tu
.
ccu
’
ab`ai to´an (1.7) tu
.
o
.
ng
d¯u

.
o
.
ng v´o
.
isu
.
.
tˆo
`
nta
.
inghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh t´ıch phˆan trˆen.
X´et khˆong gian C([t
0
−δ
1
,t
0
+ δ
1
], R

n
)gˆo
`
mc´ac ´anh xa
.
liˆen tu
.
ct`u
.
[t
0
−δ
1
,t
0
+δ
1
]v`ao R
n
(δ
1
<δ)v´o
.
ichuˆa
’
n f =sup
t
f(t),v`ah`ınh
cˆa
`

ud¯´ong S
η
(x
0
):={u ∈ C([t
0
−δ
1
,t
0
+δ
1
], R
n
):sup
t
u(t)−x
0
≤
η}.X´et to´an tu
.
’
[Sx(·)](t):=y(t)=x
0
+

t
t
0
f(τ,x(τ))dτ, ∀x(·) ∈ S

η
(x
0
). (1.11)
Ta s˜ech´u
.
ng minh S l`ato´an tu
.
’
t´ac d¯ˆo
.
ng trong S
η
(x
0
). Thˆa
.
tvˆa
.
y, ´anh
xa
.
y(·)liˆen tu
.
cv`ı f liˆen tu
.
ctheot,tho
’
am˜an d¯iˆe
`

ukiˆe
.
nLipschitz
theo x.Ho
.
nn˜u
.
a,
sup
|t−t
0
|≤δ
1
y(t) − x
0
 =sup
|t−t
0
|≤δ
1


t
t
0
f(τ,x(τ))dτ 
≤ M
1
δ
1

≤ η.
Ngo`ai ra,
Su − Sv =sup
|t−t
0
|≤δ
1


t
t
0
f(τ,u(τ)) −f(τ, v(τ))dτ 
≤ δ
1
M
2
u −v, ∀u,v∈ S
η
(x
0
). (1.12)
V`ı δ
1
<δnˆen δ
1
M
2
< 1, v`adod¯´o S l`a´anh xa
.

co trong khˆong
gian mˆetric d¯ˆa
`
yd¯u
’
S
η
(x
0
). Theo nguyˆen l´yd¯iˆe
’
mbˆa
´
td¯ˆo
.
ng Banach,
trong S
η
(x
0
)tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯iˆe
’

mbˆa
´
td¯ˆo
.
ng x(·)cu
’
ato´an tu
.
’
S.D
-
´och´ınh l`anghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh t´ıch phˆan (1.10). D
-
i
.
nh l´y
d¯u
.
o
.
.
cch´u

.
ng minh.
12 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
D
-
i
.
nh l´yTˆo
`
nta
.
iTo`an cu
.
c
Trong d¯i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.
id¯i
.

aphu
.
o
.
ng ch´ung ta chı
’
kh˘a
’
ng d¯i
.
nh su
.
.
tˆo
`
n
ta
.
inghiˆe
.
m x(·) trong mˆo
.
tlˆan cˆa
.
ncu
’
a t
0
.N´oi chung khˆong suy ra
d¯u

.
o
.
.
csu
.
.
tˆo
`
nta
.
itrˆen to`an khoa
’
ng (a, b). D
-
ˆe
’
minh ho
.
ad¯iˆe
`
un`ay, ta
x´et v´ıdu
.
sau:
V´ıdu
.
1.2 X´et phu
.
o

.
ng tr`ınh
dx
dt
= x
2
,t∈ R,x∈ R. (1.13)
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pn`ay r˜or`ang a = −∞,b =+∞ v`a ∀C ∈ R h`am
sˆo
´
x(t)=
1
C−t
l`anghiˆe
.
m. Ch˘a
’
ng ha
.
nx´et b`ai to´an Cauchy kˆe
´
tho
.

.
p
v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh trˆen v´o
.
i x
0
=1,t
0
=0.Khid¯´o x(t)=
1
1−t
l`a
nghiˆe
.
m(d¯i
.
aphu
.
o
.
ng) cu
’
ab`ai to´an n`ay. R˜or`ang r˘a
`

ng nghiˆe
.
mn`ay
khˆong thˆe
’
th´ac triˆe
’
nrato`an tru
.
cd¯u
.
o
.
.
c, ch˘a
’
ng ha
.
nkhˆong thˆe
’
qua
d¯iˆe
’
m t =1.Nguyˆen nhˆan cu
’
ahiˆe
.
ntu
.
o

.
.
ng trˆen l`av`ınghiˆe
.
mbi
.
“nˆo
’
” (ra vˆoha
.
n) khi t tiˆe
.
mcˆa
.
nd¯ˆe
´
n1.Nˆe
´
uthˆem mˆo
.
tsˆo
´
d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nn˜u
.
a
ch´ung ta s˜ec´othˆe

’
ch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
csu
.
.
tˆo
`
nta
.
inghiˆe
.
mtrˆen to`an
cu
.
c.
D
-
i
.
nh l´y1.2Gia
’
su
.
’

f :(a, b) × R
n
→ R
n
liˆen tu
.
cv`atho
’
am˜an
c´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nsau(d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n Lipschitz):
f(t, x)≤M
1
+ M
0
x, ∀t ∈ (a, b); x ∈ R
n
(1.14)
f(t, x) − f(t, y)≤M
2
x −y, ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ R
n
. (1.15)

Khi d¯´ov´o
.
ibˆa
´
tk`yd¯iˆe
’
m x
0
∈ R
n
,t
0
∈ (a, b) tˆo
`
nta
.
iduynhˆa
´
tmˆo
.
t
nghiˆe
.
m x = φ(t) cu
’
ab`ai to´an Cauchy kˆe
´
tho
.
.

pv´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh
(1.6) trˆen to`an khoa
’
ng (a, b).
Ch´u
.
ng minh. Tru
.
´o
.
chˆe
´
tx´et tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p −∞ <a<b<∞.
X´et khˆong gian h`am Y := C((a, b), R
n
)gˆo
`

mc´ac ´anh xa
.
liˆen tu
.
cv`a
gi´o
.
inˆo
.
it`u
.
(a, b)v`ao R
n
.TrongY x´et to´an tu
.
’
(Tx)(t):=y(t)=x
0
+

t
t
0
f(τ,x(τ))dτ, ∀t ∈ (a, b); x(·) ∈ Y.
(1.16)
Ta s˜ech´u
.
ng minh T thu
.
.

csu
.
.
l`amˆo
.
tto´an tu
.
’
t´ac d¯ˆo
.
ng trong Y .
Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´obˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
csau:
sup
t∈(a,b)
y(t)≤x
0
 + {M
1
+ M
2

x(·)}(b − a) (1.17)
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 13
suy ra y(·)gi´o
.
inˆo
.
i. Ngo`ai ra,
(Tu)(t) − (Tv)(t)≤

t
t
0
f(τ,u(τ)) −f(τ,v(τ))dτ
≤ M
2

t
t
0
u(τ) −v(τ)dτ
≤ M
2

|t −t
0
|u − v. (1.18)
Tiˆe
´
p theo, gia
’
su
.
’
t ≥ t
0
(T
2
u)(t) −(T
2
v)(t)≤M
2

t
t
0
(Tu)(τ ) − (Tv)(τ)dτ
≤ M
2
2
u −v

t
t

0
(τ − t
0
)dτ
=
[M
2
(t − t
0
)]
2
2!
u − v, ∀u,v∈ Y. (1.19)
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
d¯ˆo
´
iv´o
.
i t<t
0
,tacuˆo
´
ic`ung thu d¯u
.

o
.
.
c
(T
2
u)(t)−(T
2
v)(t)≤
[M
2
|t − t
0
|]
2
2!
u−v, ∀t ∈ (a, b),u,v∈ Y.
(1.20)
Tiˆe
´
ptu
.
cqu´atr`ınh d¯´anh gi´an`ay ta thu d¯u
.
o
.
.
c ∀n ∈ N
(T
n

u)(t) −(T
n
v)(t)≤
[M
2
|t − t
0
|]
n
n!
u −v,t∈ (a, b),u,v∈ Y.
(1.21)
Do a, b h˜u
.
uha
.
n, c`on d˜ay
[M
2
|t−t
0
|]
n
n!
→ 0khin →∞,v´o
.
i n
0
d¯u
’

l´o
.
n
T
n
0
s˜el`ato´an tu
.
’
co trong khˆong gian Y .Dod¯´otˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
t
mˆo
.
td¯iˆe
’
mbˆa
´
td¯ˆo
.
ng cu
’
ato´an tu
.
’
T

n
0
.Dˆe
˜
d`ang suy ra d¯u
.
o
.
.
cd¯iˆe
’
m
bˆa
´
td¯ˆo
.
ng n`ay c˜ung l`ad¯iˆe
’
mbˆa
´
td¯ˆo
.
ng duy nhˆa
´
tcu
’
a T .Nhu
.
vˆa
.

y
ph´ep ch´u
.
ng minh v´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p a, b h˜u
.
uha
.
nd¯˜akˆe
´
tth´uc.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p a ho˘a
.
c b vˆoha
.

n. Theo kˆe
´
tqua
’
d¯˜ach´u
.
ng minh o
.
’
trˆen th`ıv´o
.
imo
.
i a

,b

h˜u
.
uha
.
nsaochoa<a

<b

<btrˆen khoa
’
ng
(a


,b

)luˆon tˆo
`
nta
.
iv`a duy nhˆa
´
tnghiˆe
.
m. Vˆa
.
yth`ıb`ai to´an Cauchy
kˆe
´
tho
.
.
pv´o
.
i (1.6) luˆon c´onghiˆe
.
m duy nhˆa
´
ttrˆen (a

,b

). Dˆe
˜

thˆa
´
y
nghiˆe
.
mn`ay c´othˆe
’
th´ac triˆe
’
nd¯u
.
o
.
.
cravˆoha
.
nv`ı a

,b

t`uy ´y.Ph´ep
ch´u
.
ng minh d¯i
.
nh l´ykˆe
´
tth´uc.
D
-

iˆe
`
ukiˆe
.
n Lipschitz (1.15) l`arˆa
´
t quan tro
.
ng. V´ıdu
.
du
.
´o
.
id¯ˆay
ch´u
.
ng to
’
d¯iˆe
`
ud¯´o
14 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’

ng qu´at
V´ıdu
.
1.3 X´et phu
.
o
.
ng tr`ınh
dx
dt
= x
2/3
,x∈ R . (1.22)
Gˆa
`
nd¯iˆe
’
m t
0
=0,x
0
=0tac´o hai nghiˆe
.
m, x(t) ≡ 0v`a x(t)=t
3
.
Nhu
.
vˆa
.

yt´ınh duy nhˆa
´
tnghiˆe
.
mbi
.
ph´av˜o
.
.Nguyˆen nhˆan l`agˆa
`
n0,
vˆe
´
pha
’
ikhˆong tho
’
am˜an d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nLipschitz.
1.1.3. D
-
i
.
nh l´yPeano
Mu
.
cn`ay s˜etr`ınh b`ay mˆo

.
td¯i
.
nh l´ycˆo
’
d¯iˆe
’
nvˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
i(n´oi
chung khˆong duy nhˆa
´
t) nghiˆe
.
m trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pvˆe
´

pha
’
iphu
.
o
.
ng
tr`ınh khˆong tho
’
am˜an d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nLipschitz.
D
-
i
.
nh l´y1.3(D
-
i
.
nh l´yPeano)Gia
’
su
.
’
f : G := [t
0
,t

0
+ a] ×
¯
B(b; y
0
) ⊂ R ×R
n
→ R
n
l`a´anh xa
.
liˆen tu
.
cv´o
.
i
sup
(t,x)∈G
f(t, x)≤M; α := min(a, b/M).
Khi d¯´oB`ai to´an Cauchy liˆen kˆe
´
tv´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh (1.6) c´otrˆen
d¯oa
.

n [t
0
,t
0
+ α] ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
tnghiˆe
.
m x = x(t).
Ch´u
.
ng minh. Ta cho
.
n δ>0v`ak´yhiˆe
.
u y
0
(t)l`a´anh xa
.
l´o
.
p C
1
t`u
.
d¯oa
.
n[t

0
− δ, t
0
]v`ao R
n
tho
’
am˜an c´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n:
y
0
(t
0
)=x
0
,
y

0
(t)=f(t
0
,x
0
)
y

0

(t)≤M,
y
0
(t) −x
0
≤b.
Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa trˆen d¯oa
.
n[t
0
−δ, t
0
+α]´anh xa
.
y
ε
(t), 0 <ε≤ δ b˘a
`
ng
c´ach d¯˘a
.
t y
ε
(t):=y
0
(t)trˆen d¯oa
.
n[t

0
− δ, t
0
]v`a
y
ε
(t)=y
0
+

t
t
0
f(s, y
ε
(s −ε))ds, (1.23)
trˆen d¯oa
.
n[t
0
,t
0
+ α]. B˘a
`
ng cˆong th´u
.
cn`ay y
0
(·)d¯u
.

o
.
.
cth´ac triˆe
’
nlˆen
[t
0
,t
0
+ α
1
], trong d¯´o α
1
:= min(α, ε), sao cho y
ε
∈ C
1
trˆen d¯oa
.
n
[t
0
−δ, t
0
+ α
1
], v`atrˆen d¯´o
y
ε

(t) −x
0
≤b. (1.24)
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 15
Cˆong th´u
.
c (1.23) s˜ed¯u
.
o
.
.
cd`ung d¯ˆe
’
th´ac triˆe
’
n´anh xa
.
y
ε
lˆen d¯oa
.
n

[t
0
− δ, t
0
+ α
2
], trong d¯´o α
2
:= min(α, 2ε). C´u
.
tiˆe
´
ptu
.
cqu´atr`ınh
n`ay ta s˜eth´ac triˆe
’
nd¯u
.
o
.
.
c´anh xa
.
y
ε
lˆen d¯oa
.
n[t
0

−δ, t
0
+ α]saocho
n´oluˆon thuˆo
.
cl´o
.
p C
1
.
V`ı y

ε
(t)≤M,ho
.
c´ac ´anh xa
.
y
ε
, 0 <ε≤ δ,l`aho
.
c´ac ´anh xa
.
liˆen tu
.
cd¯ˆe
`
ud¯ˆo
`
ng bˆa

.
c, gi´o
.
inˆo
.
id¯ˆe
`
u. Thˆe
´
th`ıtheoD
-
i
.
nh l´y Arcela-
Ascoli t`ım d¯u
.
o
.
.
cmˆo
.
td˜ay c´ac sˆo
´
{ε
n
}
∞
n=1
: ε
n

↓ 0saocho
y(t) = lim
n→∞
y
ε
n
(t) (1.25)
hˆo
.
itu
.
d¯ˆe
`
utrˆen [t
0
−δ, t
0
+ α]. T`u
.
d¯´osuyrac´ac kˆe
´
tluˆa
.
nsaud¯ˆay:
d˜ay f(t, y
ε
n
(t − ε
n
)) hˆo

.
itu
.
d¯ˆe
`
ut´o
.
i f(t, y(t)) khi n →∞.Vˆa
.
yth`ı
qua gi´o
.
iha
.
n trong (1.23) s˜e cho ta nghiˆe
.
m y(t)cu
’
ab`ai to´an Cauchy
v´o
.
ic´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nband¯ˆa
`
u y(t
0
)=x

0
.
Mˆo
.
thˆe
.
qua
’
quan tro
.
ng cu
’
aD
-
i
.
nh l´yPeanol`akh˘a
’
ng d¯i
.
ng sau:
Hˆe
.
qua
’
1.1 Gia
’
su
.
’

f : G ⊂ R × R
n
→ R
n
liˆen tu
.
c, trong d¯´o G
l`atˆa
.
pmo
.
’
ch´u
.
amˆo
.
ttˆa
.
p con compact K.Khid¯´otˆo
`
nta
.
ih˘a
`
ng sˆo
´
α>0 chı
’
phu
.

thuˆo
.
cv`ao G, K, M sao cho nˆe
´
u (t
0
,x
0
) ∈ K th`ıb`ai
to´an Cauchy liˆen kˆe
´
tv´o
.
i (1.6) l`agia
’
id¯u
.
o
.
.
cv`amˆo
˜
inghiˆe
.
mcu
’
an´o
x´ac d¯i
.
nh trˆen d¯oa

.
n |t −t
0
|≤α.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta cho
.
nchuˆa
’
n(t, x) ∈ R × R
n
nhu
.
sau: (t, x) := max{|t|, x},c´ongh˜ıa l`ah`ınh cˆa
`
umo
.
’
l`ah`ınh hˆo
.
p
mo
.
’
.Khˆong mˆa

´
ttˆo
’
ng qu´at c´othˆe
’
coi G l`atˆa
.
pmo
.
’
gi´o
.
inˆo
.
i. Nˆe
´
ud¯˘a
.
t
a := dist(K, ∂G), trong d¯´o ∂G l`abiˆen cu
’
a G,th`ı α := min(a, a/M).
V`ı K compact nˆen a luˆon tˆo
`
nta
.
ih˜u
.
uha
.

n.
1.1.4. D
-
i
.
nh l´yvˆe
`
th´ac triˆe
’
nnghiˆe
.
m
Nhu
.
ch´ung ta d¯˜athˆa
´
yo
.
’
mu
.
c tru
.
´o
.
c, su
.
.
tˆo
`

nta
.
inghiˆe
.
mcu
’
ab`ai
to´an Cauchy n´oi chung c´othˆe
’
chı
’
l`ad¯i
.
aphu
.
o
.
ng. Gia
’
su
.
’
ta d¯ang
x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
dx
dt

= f(t, x),x∈ R
n
(1.26)
trong d¯´o f : G ⊂ R × R
n
→ R
n
liˆen tu
.
c, G mo
.
’
,v`a x(·)l`amˆo
.
t
nghiˆe
.
mx´ac d¯i
.
nh trong lˆan cˆa
.
ncu
’
a t
0
∈ R.Cˆau ho
’
id¯˘a
.
tral`akhi

n`ao x(·)c´othˆe
’
th´ac triˆe
’
nd¯u
.
o
.
.
clˆen khoa
’
ng l´o
.
nho
.
nn˜u
.
a. V`ı G l`a
mˆo
.
ttˆa
.
pmo
.
’
trong R × R
n
v`a f liˆen tu
.
c, nˆen theo D

-
i
.
nh l´yPeano
nˆe
´
u x(·)x´ac d¯i
.
nh trˆen mˆo
.
tkhoa
’
ng J =[α, β)hayJ =(α, β]th`ıc´o
thˆe
’
th´ac triˆe
’
n x(·)quad¯ˆa
`
um´ut α ho˘a
.
c β.Dod¯´o, khˆong mˆa
´
ttˆo
’
ng
qu´at ta coi x(·)d¯˜achox´ac d¯i
.
nh trˆen khoa
’

ng mo
.
’
(α, β)n`ao d¯´o.
16 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1 Khoa
’
ng mo
.
’
J d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`akhoa

’
ng tˆo
`
nta
.
icu
.
.
cd¯a
.
i
vˆe
`
ph´ıa pha
’
icu
’
a x(·) nˆe
´
ukhˆong tˆo
`
nta
.
imˆo
.
tkhoa
’
ng mo
.
’

J

=(α

,β

)
v´o
.
i α

≤ α v`a β<β

trˆen d¯´o x(·) c´othˆe
’
th´ac triˆe
’
nlˆen d¯u
.
o
.
.
c. Tu
.
o
.
ng
tu
.
.

d¯i
.
nh ngh˜ıa khoa
’
ng tˆo
`
nta
.
icu
.
.
cd¯a
.
ivˆe
`
ph´ıa tr´ai. Khoa
’
ng tˆo
`
nta
.
i
d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`acu

.
.
cd¯a
.
inˆe
´
un´ol`acu
.
.
cd¯a
.
id¯ˆo
`
ng th`o
.
ivˆe
`
hai ph´ıa.
D
-
i
.
nh l´y1.4D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`

nv`ad¯u
’
d¯ˆe
’
J =[α, β) cu
’
anghiˆe
.
m
x(·) cu
’
a (1.26) khˆong l`acu
.
.
cd¯a
.
ivˆe
`
bˆen pha
’
il`atˆo
`
nta
.
igi´o
.
iha
.
n
lim

t↑β
x(t)=η v`a (β,η) ∈ G.
Ch´u
.
ng minh. Cˆa
`
n.R˜or`ang.
D
-
u
’
:Nˆe
´
utˆo
`
nta
.
igi´o
.
iha
.
n lim
t↑β
x(t)=η v`a(β,η) ∈ G th`ıtac´o
thˆe
’
´ap du
.
ng D
-

i
.
nh l´yPeanod¯ˆe
’
kh˘a
’
ng d¯i
.
nh r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
inghiˆe
.
m φ(t)
x´ac d¯i
.
nh trˆen khoa
’
ng I l`alˆan cˆa
.
ncu
’
a β cu
’
aphu
.
o

.
ng tr`ınh (1.26)
sao cho φ(β)=η.Thˆe
´
th`ı
ψ(t):=

x(t),t<β
φ(t),t≥ β
chotamˆo
.
tth´ac triˆe
’
nvˆe
`
bˆen pha
’
icu
’
a β.
D
-
i
.
nh l´y1.5Gia
’
su
.
’
f liˆen tu

.
ctrˆen tˆa
.
pmo
.
’
G ⊂ R × R
n
v`ao R
n
v`a x(·) l`amˆo
.
tnghiˆe
.
mcu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh (1.26). Khi d¯´o x(·) c´othˆe
’
th´ac triˆe
’
nd¯u
.
o
.
.
clˆen khoa

’
ng tˆo
`
nta
.
icu
.
.
cd¯a
.
i (ω
−
,ω
+
).Ho
.
nn˜u
.
a, nˆe
´
u
(ω
−
,ω
+
) l`akhoa
’
ng tˆo
`
nta

.
icu
.
.
cd¯a
.
icu
’
a x(·) th`ı x(t) s˜etiˆe
´
nt´o
.
ibiˆen
∂G cu
’
a G khi t tiˆe
´
nt´o
.
i ω
−
ho˘a
.
c ω
+
.
Th´ac triˆe
’
ncu
’

a x(·)n´oi chung khˆong duy nhˆa
´
t. V`ıvˆa
.
y ω
±
phu
.
thuˆo
.
c
v`ao c´ach cho
.
nth´ac triˆe
’
n. Kh˘a
’
ng d¯i
.
nh “x(t)tiˆe
´
nt´o
.
ibiˆen ∂G khi
t → ω
+
”c´ongh˜ıa l`aho˘a
.
cl`a ω
+

=+∞,ho˘a
.
cl`a ω
+
< +∞ v`akhi
t tiˆe
´
nd¯ˆe
´
n ω
+
c`on c´ac d¯iˆe
’
m(t, x(t)) khˆong bi
.
ch´u
.
a trong mˆo
.
ttˆa
.
p
con compact n`ao cu
’
a G.
Ch´u
.
ng minh. Theo nhˆa
.
nx´et trˆen, ta chı

’
x´et th´ac triˆe
’
n φ x´ac
d¯i
.
nh trˆen c´ac khoa
’
ng mo
.
’
.Tad`ung Bˆo
’
d¯ˆe
`
Zorn d¯ˆe
’
ch´u
.
ng minh.
Tru
.
´o
.
chˆe
´
tgia
’
su
.

’
x(·)x´ac d¯i
.
nh trˆen (α
x
,β
x
). Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa tˆa
.
pho
.
.
p
A gˆo
`
mc´ac th´ac triˆe
’
n φ cu
’
a x(·), t´u
.
cl`ac´ac nghiˆe
.
m φ x´ac d¯i
.
nh trˆen
khoa
’

ng mo
.
’
(α
φ
,β
φ
)saocho(α
x
,β
x
) ⊂ (α
φ
,β
φ
)v`a φ|(α
x
,β
x
)=x(·)
Ta d¯u
.
araquanhˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trong A nhu

.
sau: φ ≤ ψ nˆe
´
uv`achı
’
nˆe
´
u ψ
l`ath´ac triˆe
’
ncu
’
a φ.R˜or`ang mˆo
˜
idˆay chuyˆe
`
n C,gˆo
`
m φ ≤ ψ ≤···c´o
phˆa
`
ntu
.
’
l´o
.
n nhˆa
´
t. Thˆa
.

tvˆa
.
ytac´othˆe
’
d¯i
.
nh ngh˜ıa J = ∪
φ∈C
(α
φ
,β
φ
)
v`a µ(t)=φ(t)nˆe
´
u t ∈ (α
φ
,β
φ
). D
-
i
.
nh ngh˜ıa n`aychotacˆa
.
ntrˆen cu
’
a
Chu
.

o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 17
dˆay chuyˆe
`
n C.Vˆa
.
y trong A pha
’
itˆo
`
nta
.
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
.
.
cd¯a
.
i. D
-
´och´ınh

l`ad¯iˆe
`
u pha
’
ich´u
.
ng minh.
Tiˆe
´
p theo, ta gia
’
su
.
’
r˘a
`
ng (ω
−
,ω
+
)l`akhoa
’
ng tˆo
`
nta
.
icu
.
.
cd¯a

.
icu
’
a
nghiˆe
.
m x(·). Ta s˜ech´u
.
ng minh r˘a
`
ng x(t)khˆong thˆe
’
bi
.
ch´u
.
a trong
mˆo
.
ttˆa
.
p compact con cu
’
a G v´o
.
imo
.
i t d¯u
’
gˆa

`
nv´o
.
i ω
+
.Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
ngu
.
o
.
.
cla
.
itˆo
`
nta
.
icompactK ⊂ G d¯ˆe
’
(t, x(t)) ∈ K, ∀t ∈ [δ, ω
+
).

Nhu
.
vˆa
.
yth`ıc´othˆe
’
tr´ıch ra mˆo
.
td˜ay con (t
k
,x(t
k
)),k ∈ N,t
k
→
ω
+
hˆo
.
itu
.
t´o
.
imˆo
.
td¯iˆe
’
m(ω
−
,η) ∈ K.Tach´u

.
ng minh gi´o
.
iha
.
n
lim
t→ω
+
x(t)=η v`akhid¯´otheoD
-
i
.
nh l´ytrˆen suy ra mˆau thuˆa
˜
n.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, go
.
i
N := sup
(t,x)∈K
f(t, x)
Do t´ınh liˆen tu
.
ccu
’

a f sˆo
´
N thu
.
.
csu
.
.
h˜u
.
uha
.
n. Ta c´o
x(t) − x(t
k
)≤ sup
ξ∈(δ,ω
+
)
˙x(ξ)|t −t
k
| (1.27)
=sup
ξ∈(δ,ω
+
)
f(ξ, x(ξ))|t − t
k
| (1.28)
≤ N|t −t

k
| (1.29)
v´o
.
imo
.
i t, t
k
∈ [δ, ω
+
). Dˆe
˜
d`ang ch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
ctheotiˆeu chuˆa
’
n
Cauchy th`ı lim
t→ω
+
x(t)tˆo
`
nta
.
iv`ab˘a

`
ng η.
1.2. PHU
.
O
.
NG TR
`
INH TUY
ˆ
E
´
NT
´
INH T
ˆ
O
’
NG QU
´
AT
1.2.1. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh bˆa
.
c nhˆa

´
t
Trong mu
.
cn`ay ta luˆon gia
’
thiˆe
´
tr˘a
`
ng A :(a, b) → R
n×n
v`a f :
(a, b) → R
n
l`ac´ac ´anh xa
.
liˆen tu
.
c, trong d¯´o R
n×n
k´yhiˆe
.
ukhˆong
gian tˆa
´
tca
’
c´ac ma trˆa
.

n n ×n v´o
.
ichuˆa
’
n
B := sup
x≤1
Bx, ∀B ∈ R
n×n
.
X´et phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
dx
dt
= A(t)x + f(t),x∈ R
n
. (1.30)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (1.30) d¯u
.
o
.
.
cgo

.
il`a phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
nt´ınh
khˆong thuˆa
`
nnhˆa
´
t.Phu
.
o
.
ng tr`ınh sau d¯ˆay d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`a phu
.
o
.
ng tr`ınh
vi phˆan tuyˆe
´

nt´ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
t
18 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
dx
dt
= A(t)x, x ∈ R
n
. (1.31)
´
Ap du
.
ng D
-
i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.

i duy nhˆa
´
tnghiˆe
.
mto`an cu
.
c cho phu
.
o
.
ng
tr`ınh (1.30) ta s˜ed¯u
.
o
.
.
c:
D
-
i
.
nh l´y1.6Gia
’
su
.
’
A, f liˆen tu
.
ctrˆen (a, b) th`ıv´o
.

imo
.
i t
0
∈
(a, b), x
0
∈ R
n
b`ai to´an Cauchy

˙x = A(t)x + f(t)
x(t
0
)=x
0
(1.32)
c´oduynhˆa
´
tmˆo
.
tnghiˆe
.
mx´ac d¯i
.
nh trˆen to`an khoa
’
ng (a, b).
Ch´u
.

ng minh. Lˆa
´
y[α, β] ⊂ (a, b)bˆa
´
tk`y.Khid¯´odoA, f liˆen
tu
.
c, c´ac d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng sau l`atˆo
`
nta
.
iv`ah˜u
.
uha
.
n
max
α≤t≤β
A(t), max
α≤t≤β
f(t).
Vˆa
.

ytrˆen [α, β]´anh xa
.
F (t, x):=A(t)x + f(t)tho
’
am˜an c´ac d¯iˆe
`
u
kiˆe
.
ncu
’
aD
-
i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tnghiˆe
.
mto`an cu
.
c. Do d¯´ob`ai to´an
Cauchy (1.32) s˜ec´onghiˆe
.
mtrˆen to`an [α, β]v`atrˆen d¯´ochı
’

c´od¯´ung
mˆo
.
tnghiˆe
.
mn`ay. Do t´ınh t`uy ´ycu
’
a α, β nˆen ta c´othˆe
’
“mo
.
’
rˆo
.
ng”
nghiˆe
.
mn`ay lˆen to`an (a, b)b˘a
`
ng c´ach mo
.
’
rˆo
.
ng d¯oa
.
n[α, β]. D
-
i
.

nh l´y
d¯u
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
Nhˆa
.
nx´et 1.1 T`u
.
D
-
i
.
nh l´ytrˆen ta thˆa
´
yd¯ˆo
´
iv´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n

t´ınh c´othˆe
’
chı
’
n´oi d¯ˆe
´
nnghiˆe
.
mx´ac d¯i
.
nh trˆen to`an khoa
’
ng (a, b).
Du
.
´o
.
id¯ˆay ch´ung ta quy u
.
´o
.
ckhin´oi vˆe
`
nghiˆe
.
mcu
’
a phu
.
o

.
ng tr`ınh
tuyˆe
´
nt´ınh t´u
.
cl`an´oi vˆe
`
c´ac nghiˆe
.
mx´ac d¯i
.
nh trˆen khoa
’
ng cu
.
.
cd¯a
.
i
(a, b) nˆe
´
uc´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
aD
-

i
.
nh l´ytrˆen tho
’
am˜an.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
nt´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
Bˆay gi`o
.
ch´ung ta nghiˆen c´u
.
uc´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
ac´ac nghiˆe
.
mphu
.
o
.

ng
tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t.
D
-
i
.
nh l´y1.7Gia
’
su
.
’
A liˆen tu
.
c. Khi d¯´otˆa
.
pho
.
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac nghiˆe
.
m
cu

’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
tlˆa
.
pnˆen mˆo
.
tkhˆong gian tuyˆe
´
nt´ınh n
chiˆe
`
utrˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R.
Ch´u
.

ng minh. Go
.
i N l`atˆa
.
pho
.
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh (1.31). Gia
’
su
.
’
φ, ψ ∈N, α, β ∈ R.Khid¯´o
Chu
.
o
.

ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 19
α
˙
φ(t)=αA(t)φ(t)
= A(t)αφ(t)
β
˙
ψ(t)=βA(t)ψ(t)
= A(t)βψ(t).
Do d¯´oh`am η(t):=αφ(t)+βψ(t)s˜el`anghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t, t´u
.
cl`a N l`akhˆong gian tuyˆe
´

nt´ınh trˆen tru
.
`o
.
ng
sˆo
´
thu
.
.
c R.Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh kh˘a
’
ng d¯i
.
nh sau: Nˆe
´
u φ
k
∈
N,k =1, ···,m l`ahˆe
.
m nghiˆe
.
mcu
’
a (1.31). Khi d¯´ohˆe

.
n`ay d¯ˆo
.
c
lˆa
.
ptuyˆe
´
nt´ınh khi v`achı
’
khi tˆo
`
nta
.
i t
0
∈ (a, b) sao cho hˆe
.
c´ac
vecto
.
φ
k
(t
0
), ∈ R
n
,k =1, ···,m l`ad¯ˆo
.
clˆa

.
ptrongR
n
.Thˆa
.
tvˆa
.
y, nˆe
´
u
φ
k
,k =1, ···,m l`ahˆe
.
c´ac v´ec to
.
phu
.
thuˆo
.
ctuyˆe
´
nt´ınh trong N,
th`ır˜or`ang t`u
.
d¯i
.
nh ngh˜ıa suy ra v´o
.
imo

.
i t
0
∈ (a, b)hˆe
.
c´ac v´ec to
.
φ
k
(t
0
),k =1, ···,m l`ahˆe
.
c´ac v´ec to
.
phu
.
thuˆo
.
ctuyˆe
´
nt´ınh trong
R
n
.Tach´u
.
ng minh d¯iˆe
`
ukiˆe
.

nd¯u
’
b˘a
`
ng c´ach chı
’
ra r˘a
`
ng nˆe
´
utˆo
`
nta
.
i
t
0
∈ (a, b)v`ac´ac sˆo
´
α
k
,k =1, ···,m khˆong d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
tb˘a
`
ng khˆong
sao cho


m
k=1
α
k
φ(t
0
)=0th`ı

m
k=1
α
k
φ =0.Nhu
.
ng d¯iˆe
`
un`ay suy
ra t`u
.
d¯i
.
nh l´ytˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tb˘a
`
ng c´ach x´et b`ai to´an Cauchy kˆe

´
t
ho
.
.
pv´o
.
i (1.31), tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
ic´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nband¯ˆa
`
u t
0
,x
0
=0.T`u
.
kh˘a
’
ng d¯i

.
nh trˆen n´oi riˆeng suy ra r˘a
`
ng dimN = n.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.2 Gia
’
su
.
’
{φ
k
,k =1, ···,n} l`ahˆe
.
n nghiˆe
.
md¯ˆo
.
clˆa
.
p
tuyˆe
´
nt´ınh cu
’
a phu
.

o
.
ng tr`ınh (1.31). Khi d¯´omatrˆa
.
nvuˆong c´oc´ac
cˆo
.
tlˆa
.
pbo
.
’
ic´ac v´ec to
.
φ
k
cu
’
a R
n
d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆo
.
tmatrˆa

.
nco
.
ba
’
n
cu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
nnhˆa
´
t (1.31).
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n X(t)bˆa

´
tk`ytho
’
am˜an phu
.
o
.
ng
tr`ınh vi phˆan sau d¯ˆay trong khˆong gian R
n×n
dY
dt
= A(t)Y (t),Y∈ R
n×n
. (1.33)
Ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
.
tnghiˆe
.
mbˆa
´
tk`y Y (t)cu
’

aphu
.
o
.
ng tr`ınh ma trˆa
.
n (1.33)
´u
.
ng v´o
.
imˆo
.
thˆe
.
n nghiˆe
.
mcu
’
a (1.31). D
-
ˆe
’
Y (t)l`amatrˆa
.
nco
.
ba
’
nth`ı

d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`ad¯u
’
l`a detY (t) =0.C´othˆe
’
c´o nhiˆe
`
u ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n.
Ch´ung ta s˜ex´et ho
.
c´ac ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nsaud¯ˆay (X(t, s))
t,s∈(a,b)
d¯u

.
o
.
.
c
d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau: X(t, s)=X(t)X
−1
(s), trong d¯´o X(t)l`amˆo
.
t
ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nn`ao d¯´o. Ta s˜ech´u
.
ng minh r˘a
`
ng ho
.
(X(t, s))
t,s∈(a,b)
khˆong phu
.

thuˆo
.
cv`ao ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n X(t)b˘a
`
ng c´ach ch´u
.
ng minh
mˆe
.
nh d¯ˆe
`
sau:
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
1.1 Ma trˆa
.
n Y (t):=X(t, s) l`anghiˆe
.
mcu
’
ab`ai to´an
Cauchy

20 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at

˙
Y = A(t)Y
Y (s)=I.
(1.34)
Nhu
.
d¯˜a nhˆa
.
nx´et o
.
’
trˆen Y (t)l`amˆo
.
tnghiˆe
.
mcu
’
a (1.33). R˜or`ang
Y (s)=X(s, s)=X(s)X
−1

(s)=I.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.3 Ho
.
c´ac ma trˆa
.
n (X(t, s))
t,s∈(a,b)
d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`ac´ac
ma trˆa
.
nCauchyliˆen kˆe
´
tv´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa

`
nnhˆa
´
t (1.31).
T`u
.
d¯i
.
nh ngh˜ıa v`alˆa
.
pluˆa
.
no
.
’
trˆen ta c´o
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
1.2 Tˆo
`
nta
.
iduynhˆa
´
tho
.
hai tham sˆo
´

c´ac ma trˆa
.
n
khˆong suy biˆe
´
n (X(t, s))
t,s∈(a,b)
liˆen kˆe
´
tv´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
t
(1.31) tho
’
am˜an c´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nsau:
1. X(t, t)=I, ∀t ∈ (a, b);
2. X(t, s)X(s, r)=X(t, r), ∀t, s, r;
3. Mˆo

.
tnghiˆe
.
m x(t) bˆa
´
tk`ycu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
t (1.31)
tho
’
am˜an
x(t)=X(t, t
0
)x(t
0
), ∀t, t
0
∈ (a, b).
Cˆong th´u
.
c Liouville
Gia

’
su
.
’
X(t)l`a ma trˆa
.
nlˆa
.
pbo
.
’
ihˆe
.
n nghiˆe
.
mbˆa
´
tk`y. Trong ch´u
.
ng
minh trˆen ta d¯˜ach´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
cr˘a
`
ng detX(t) =0 ∀t ∈ (a, b)khi

v`achı
’
khi tˆo
`
nta
.
i t
0
∈ (a, b)saochodetX(t
0
) =0.Thu
.
.
crakh˘a
’
ng
d¯i
.
nh n`ay c´othˆe
’
l`am ma
.
nh lˆen nhiˆe
`
ub˘a
`
ng d¯i
.
nh l´ysau:
D

-
i
.
nh l´y1.8(Cˆong th´u
.
c Liouville) Gia
’
su
.
’
{φ
1
, ···,φ
n
} l`ahˆe
.
n
nghiˆe
.
mcu
’
a (1.31). Khi d¯´omatrˆa
.
n X(t) c´oc´ac cˆo
.
tl`ac´ac v´ec to
.
φ
1
(t), ···,φ

n
(t) tho
’
am˜an
detX(t)=detX(t
0
)e

t
t
0

n
j=1
a
jj
(ξ)dξ
, (1.35)
trong d¯´o A(t)=(a
ij
(t)), t
0
∈ (a, b).
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’

φ
k
(t)=(φ
1k
(t), ···,φ
nk
)v`a X
ik
l`a phˆa
`
n
b`ud¯a
.
isˆo
´
cu
’
a phˆa
`
ntu
.
’
φ
ik
trong khai triˆe
’
nd¯i
.
nh th´u
.

c detX(t)theo
cˆo
.
tth´u
.
k.Khid¯´otheot´ınh chˆa
´
tcu
’
ad¯i
.
nh th´u
.
ctac´o
detX(t)=
n

i=1
X
ik
(t)φ
ik
(t) (1.36)
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo

’
ng qu´at 21
vˆa
.
y
∂
∂φ
ik
detX = X
ik
.
Ta s˜esu
.
’
du
.
ng cˆong th´u
.
c vi phˆan h`am ho
.
.
psau:
˙z(t):=
g(y
1
(t), ···,y
m
(t))
dt
=

m

k=1
∂
∂y
k
g(y
1
(t), ···,y
m
(t)) ˙y
k
(t).
R˜or`ang det : R
n×n
→ R
n
.Dod¯´o
detX(t)
dt
=
det(φ
ij
(t))
dt
=

i,j
∂det
∂φ

ij
˙
φ
ij
(t)
=

i,j
X
ij
(t)
˙
φ
ij
(t)
=

i,j
X
ij
(t)
n

k=1
a
ik
(t)φ
kj
(t)
=


i,k
a
ik
(t)
n

j=1
X
ij
(t)φ
kj
(t).
Theo t´ınh chˆa
´
tcu
’
ad¯i
.
nh th´u
.
c
n

j=1
X
ij
(t)φ
kj
(t)=


detX(t), nˆe
´
u i = k
=0, nˆe
´
u i = k
Vˆa
.
yth`ı
d
dt
detX(t)=

i
a
ii
(t)detX(t), ∀t ∈ (a, b). (1.37)
Dˆe
˜
thˆa
´
y detX(t)tho
’
am˜an

˙y(t)=

i
a

ii
(t)y(t), ∀t ∈ (a, b)
y(t
0
)=detX(t
0
)
.
D`ung t´ınh duy nhˆa
´
tnghiˆe
.
m, ta thˆa
´
y y(t)l`ah`am sau
detX(t)=y(t)=detX(t
0
)e

t
t
0

i
a
ii
(s)ds
.
22 Chu
.

o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
1.2.2. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tv`acˆong th´u
.
c
biˆe
´
nthiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Gia
’
su
.

’
φ
0
l`amˆo
.
tnghiˆe
.
mn`ao d¯´ocu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n
nhˆa
´
t (1.30). Khi d¯´otac´od¯i
.
nh l´ysau:
D
-
i
.
nh l´y1.9Mˆo
.
tnghiˆe
.
mbˆa

´
tk`ykh´ac cu
’
a (1.30) l`atˆo
’
ng cu
’
a φ
0
v`amˆo
.
tnghiˆe
.
mn`ao d¯´ocu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
t (1.31).
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.

’
φ(t)l`anghiˆe
.
mbˆa
´
tk`ycu
’
a (1.30). D
-
˘a
.
t
ψ(t)=φ(t) − φ
0
(t). B˘a
`
ng c´ach thˆe
´
tru
.
.
ctiˆe
´
pdˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng ψ(t)l`a

nghiˆe
.
mcu
’
a (1.30).
Vˆa
.
yth`ıd¯ˆe
’
t`ım d¯u
.
o
.
.
ctˆa
´
tca
’
c´ac nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong
thuˆa
`
n nhˆa

´
t, ta chı
’
cˆa
`
nt`ım mˆo
.
tnghiˆe
.
mriˆeng n`ao d¯´ov`asaud¯´ob`ai
to´an quy vˆe
`
viˆe
.
ct`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t. Mˆo
.
t
trong c´ac c´ach t`ım nghiˆe

.
mriˆeng cu
’
a (1.30) l`asu
.
’
du
.
ng cˆong th´u
.
c
sau:
Cˆong th´u
.
cbiˆe
´
nthiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Nhu
.
ta d¯˜abiˆe
´
tmˆo
.
tnghiˆe
.
mbˆa
´

tk`ycu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
d¯ˆe
`
uc´othˆe
’
t`ım d¯u
.
o
.
.
cnˆe
´
ubiˆe
´
tmˆo
.
tnghiˆe
.
mco
.

ba
’
n X(t). Thˆa
.
tvˆa
.
y,
nghiˆe
.
mbˆa
´
tk`yc´oda
.
ng x(t)=X(t)C, trong d¯´o C ∈ R
n
l`amˆo
.
tv´ec
to
.
h˘a
`
ng n`ao d¯´o. Ngu
.
`o
.
itac´othˆe
’
b˘a
´

t tru
.
´o
.
cc´ach t`ım nghiˆe
.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tb˘a
`
ng c´ach coi h˘a
`
ng sˆo
´
C = C(t),
t´u
.
cl`a“biˆe
´
nthiˆen h˘a
`

ng sˆo
´
C”thˆe
´
n`ao d¯´od¯ˆe
’
y(t)=X(t)C(t)s˜el`a
nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t. D
-
ˆe
’
l`am d¯iˆe
`
un`ay ta
vi phˆan y(t)v`athˆe
´
v`ao phu
.

o
.
ng tr`ınh th`ıd¯u
.
o
.
.
c
˙y(t)=
˙
X(t)C(t)+X(t)
˙
C(t)
= A(t)X(t)C(t)+X(t)
˙
C(t)
= A(t)y(t)+X(t)
˙
C(t)
= A(t)y(t)+f(t).
Do d¯´o X(t)
˙
C(t)=f(t). Vˆa
.
yth`ı C(t)=C
1
+

t
t

0
X
−1
(s)f(s)ds.
Thay v`ao biˆe
’
uth´u
.
ct`ım y(t)tac´o
y(t)=X(t)(C
1
+

t
t
0
X
−1
(s)f(s)ds),
trong d¯´o C
1
l`ah˘a
`
ng sˆo
´
.Nˆe
´
uc´othˆem d¯iˆe
`
ukiˆe

.
nn`ao d¯´oth`ıh˘a
`
ng sˆo
´
n`ay ho`an to`an x´ac d¯i
.
nh. Ch˘a
’
ng ha
.
n, nˆe
´
u X(t
0
)=I th`ı C
1
= y(t
0
).
Vˆa
.
yth`ıtac´o
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo

’
ng qu´at 23
D
-
i
.
nh l´y1.10Mˆo
.
tnghiˆe
.
mbˆa
´
tk`ycu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n
nhˆa
´
t y(t) luˆon tho
’
am˜an cˆong th´u
.
cbiˆe
´
nthiˆen h˘a

`
ng sˆo
´
sau d¯ˆay:
y(t)=X(t, t
0
)y(t
0
)+

t
t
0
X(t, s)f(s)ds, ∀t, t
0
∈ (a, b). (1.38)
1.3. H
ˆ
E
.
PHU
.
O
.
NG TR
`
INH C
´
OH
ˆ

E
.
S
ˆ
O
´
H
˘
A
`
NG S
ˆ
O
´
V
`
A
TU
ˆ
A
`
NHO
`
AN
1.3.1. H`am ma trˆa
.
n
D
-
ˆe

’
nghiˆen c´u
.
uc´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
nt´ınh c´ohˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng sˆo
´
ta s˜ed¯i
.
nh ngh˜ıa v`anghiˆen c´u
.
umˆo
.
tsˆo
´
h`am ma trˆa
.
n, trong
d¯´od¯˘a
.

cbiˆe
.
t quan tro
.
ng l`ah`am e
A
v`a LnA.
Chuˆo
˜
imatrˆa
.
n
X´et d˜ay c´ac ma trˆa
.
n A
k
∈ R
n×n
,k =1, 2, ··· v`achuˆo
˜
ima
trˆa
.
n

∞
k=1
A
k
.Chuˆo

˜
id¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆo
.
itu
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´
inˆe
´
uchuˆo
˜
isˆo
´

∞
k=1
A
k
 < ∞.Tru
.
`o

.
ng ho
.
.
pd¯˘a
.
cbiˆe
.
tkhiA
k
= a
k
A
k
, trong d¯´o
a
k
∈ C v`a A ∈ R
n×n
ta c´othˆe
’
´ap du
.
ng c´ac tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
cu

’
a
chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
ad¯ˆe
’
d¯u
.
o
.
.
cc´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nd¯u
’
cho su
.
.
hˆo
.
itu
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´

i.
Gia
’
su
.
’
h`am sˆo
´
f(z)l`amˆo
.
th`am biˆe
´
nph´u
.
cl`atˆo
’
ng cu
’
achuˆo
˜
il˜uy
th`u
.
ahˆo
.
itu
.
tuyˆe
.
td¯ˆo

´
iv´o
.
ib´an k´ınh hˆo
.
itu
.
r = ∞,t´u
.
cl`ac´oda
.
ng
f(z)=
∞

k=0
a
k
z
k
, (1.39)
trong d¯´ochuˆo
˜
ibˆen pha
’
ihˆo
.
itu
.
tuyˆe

.
td¯ˆo
´
iv´o
.
ib´an k´ınh hˆo
.
itu
.
r = ∞.
Khi d¯´otad¯i
.
nh ngh˜ıa h`am f(A)nhu
.
sau:
f(A):=
∞

k=0
a
k
A
k
. (1.40)
V`ıb´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’

achuˆo
˜
iband¯ˆa
`
u r = ∞ nˆen d¯i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a
ta l`aho
.
.
pl´y, v`a f(A)l`atˆo
’
ng cu
’
achuˆo
˜
ihˆo
.
itu
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´
i.
V´ıdu
.
1.4 V`ı e

z
=

∞
k=0
z
k
k!
c´ob´an k´ınh hˆo
.
itu
.
r = ∞,v´o
.
ima
trˆa
.
n A ∈ R
n×n
bˆa
´
tk`yh`am e
A
luˆon d¯u
.
o
.
.
cd¯i
.

nh ngh˜ıa, v`achob˘a
`
ng
cˆong th´u
.
c
e
A
=
∞

k=0
A
k
k!
.
24 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
Dˆe
˜
d`ang ch´u
.
ng minh d¯u

.
o
.
.
c:
Bˆo
’
d¯ˆe
`
1.1 C´ac kh˘a
’
ng d¯i
.
nh sau d¯´ung:
1. Nˆe
´
u f(A),g(A) l`ac´ac h`am ma trˆa
.
nd¯i
.
nh ngh˜ıa theo c´ach trˆen
th`ı
f(A)g(A)=g(A)f(A);
2. Gia
’
su
.
’
A = SJS
−1

,trongd¯´o S l`amatrˆa
.
nkhˆong suy biˆe
´
n.
Khi d¯´o
f(A)=Sf(J)S
−1
.
Nhˆa
.
nx´et 1.2 Viˆe
.
cmo
.
’
rˆo
.
ng d¯i
.
nh ngh˜ıa h`am f(A) cho c´ac l´o
.
p
h`am f(z) c´oda
.
ng tˆo
’
ng qu´at ho
.
ns˜e cho ph´ep nghiˆen c´u

.
unhiˆe
`
uvˆa
´
n
d¯ˆe
`
th´uvi
.
cu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan n´oi chung. Ch˘a
’
ng ha
.
n, nˆe
´
u
f(z) chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
nch´u
.
atˆa

.
pc´ac gi´atri
.
riˆeng cu
’
a A th`ı
f(A) c´othˆe
’
d¯i
.
nh ngh˜ıa b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c
f(A)=
1
2πi

γ
f(λ)(λI −A)
−1
dλ, (1.41)
trong d¯´o γ l`achutuyˆe
´
nd¯´ong d¯o
.
n, d¯i
.
nh hu

.
´o
.
ng du
.
o
.
ng trong miˆe
`
n
d¯ang x´et bao quanh tˆa
.
pc´ac gi´atri
.
riˆeng cu
’
a A.Nh˘a
´
cla
.
ir˘a
`
ng h`am
f :Ω z → (f
1
(z), ···,f
N
(z)) ∈ C
N
d¯u

.
o
.
.
cgo
.
il`achı
’
nh h`ınh nˆe
´
u
c´ac h`am to
.
ad¯ˆo
.
f
k
(z) l`achı
’
nh h`ınh. H`am ρ(A)  λ → (λI −A)
−1
∈
C
n×n
c´othˆe
’
ch´u
.
ng minh d¯u
.

o
.
.
cl`achı
’
nh h`ınh theo λ.Dod¯´ot´ıch phˆan
(1.42), d¯u
.
o
.
.
chiˆe
’
unhu
.
l`at´ıch phˆan cu
’
ada
.
ng vi phˆan bˆa
.
cnhˆa
´
ttheo
chu tuyˆe
´
nd¯´ong γ s˜ekhˆong phu
.
thuˆo
.

cv`ao c´ach cho
.
ncu
.
thˆe
’
chu
tuyˆe
´
n γ.
Bˆo
’
d¯ˆe
`
1.2 Nˆe
´
u A, B l`a hai ma trˆa
.
n giao ho´an, th`ı e
A+B
= e
A
e
B
.
Ch´u
.
ng minh. Theo d¯i
.
nh ngh˜ıa ta c´o

e
A+B
=
∞

k=0
(A + B)
k
k!
.
M˘a
.
tkh´ac do t´ınh hˆo
.
itu
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´
inˆen
e
A
e
B
=
∞

k=0
A

k
k!
∞

j=0
B
j
j!
=
∞

n=0

j+k=n
A
k
k!
B
j
j!
Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at 25
=

∞

n=0
1
n!

j+k=n
n!
k!j!
A
k
B
j
=
∞

n=0
(A + B)
n
n!
= e
A+B
.
Do d¯´ov´o
.
imo
.
i A ∈ R
n×n
ho

.
(e
tA
)
t∈R
l`amˆo
.
t nh´om c´ac ph´ep biˆe
´
n
d¯ˆo
’
ituyˆe
´
nt´ınh trong R
n
.
Gia
’
su
.
’
A ∈ R
n×n
. Ma trˆa
.
n Ln A ∈ R
n×n
d¯u
.

o
.
.
cd¯i
.
nh ngh˜ıa l`a
ma trˆa
.
nsaochoe
B
= A.Ngayca
’
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd¯o
.
ngia
’
n nhˆa
´
tch´ung
ta c˜ung thˆa
´
ysu
.

’
tˆo
`
nta
.
icu
’
a Ln A l`akhˆong duy nhˆa
´
t. Tuy nhiˆen ta
s˜echı
’
quan tˆam d¯ˆe
´
nsu
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t ma trˆa
.
nnhu

.
thˆe
´
.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
1.3 Nˆe
´
u A khˆong suy biˆe
´
nth`ıtˆo
`
nta
.
i Ln A.
Ch´u
.
ng minh. C´ohaic´ach ch´u
.
ng minh. C´ach th´u
.
nhˆa
´
tdu
.
.
atrˆen
viˆe

.
cd¯´u
.
avˆe
`
da
.
ng chuˆa
’
n Jordan. B`ai to´an quy vˆe
`
viˆe
.
cch´u
.
ng minh
mˆo
.
tˆoJordanc´od¯u
.
`o
.
ng ch´eo l`ac´ac phˆa
`
ntu
.
’
kh´ac 0 luˆon c´o loga-
rithm. Gia
’

su
.
’
J = λE
r
+ Z, trong d¯´o E
r
l`amatrˆa
.
nd¯o
.
nvi
.
r × r,
Z l`a ma trˆa
.
nl˜uy linh Z
k
=0, ∀k ≥ r.Khid¯´oc´othˆe
’
chı
’
ra
Ln J = Ln λ ·E
r
+
∞

k=1
(−1)

k+1
1
k
Z
k
λ
.
C´ach kh´ac d`ung t´ıch phˆan ph´u
.
cnhu
.
sau: Cho
.
nchutuyˆe
´
nJordan
d¯´ong d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng bao quanh tˆa
.
pc´ac gi´a tri
.

riˆeng cu
’
a A
nhu
.
ng khˆong bao quanh gˆo
´
cto
.
ad¯ˆo
.
.Khid¯´o
Ln A =
1
2πi

γ
Ln λ ·(λI − A)
−1
dλ, (1.42)
trong d¯´o Ln z = ln |z|+ iarg z +2kπi, k ∈ Z.Nˆe
´
u ma trˆa
.
n A
khˆong suy biˆe
´
nth`ıh`am du
.
´o

.
idˆa
´
ut´ıch phˆan (1.42) chı
’
nh h`ınh trong
miˆe
`
ngi´o
.
iha
.
nbo
.
’
ichutuyˆe
´
nd¯´ong γ.
D
-
i
.
nh l´y1.11(D
-
i
.
nh l´y
´
Anh xa
.

phˆo
’
) Gia
’
su
.
’
f(z) l`ah`am chı
’
nh
h`ınh trˆen mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
Ω ch´u
.
a σ(A) cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.

cv`a
f(A) d¯u
.
o
.
.
cd¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
trong (1.41). Khi d¯´o
σ(f(A)) = f(σ(A)). (1.43)
26 Chu
.
o
.
ng 1. L´ythuyˆe
´
ttˆo
’
ng qu´at
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
λ ∈ σ(A). D
-

ˆo
´
iv´o
.
i ζ ∈ Ωd¯˘a
.
t
g(ζ)=



f(ζ)−f(λ)
ζ−λ
, nˆe
´
u ζ = λ
f

(λ), nˆe
´
u ζ = λ.
Khi d¯´o g chı
’
nh h`ınh trˆen Ω v`a f(A) −f(λ)I = g(A)(A −λI). Nˆe
´
u
f(λ) ∈ ρ(f(A)) (trong d¯´o ρ(f(A)) := {z ∈ C : z ∈ σ(A)}), th`ı
f(A) −f(λ)I c´ongu
.
o

.
.
cliˆen tu
.
c, v`adod¯´o(A −λI)c˜ung vˆa
.
y. D
-
iˆe
`
u
n`ay mˆau thuˆa
˜
nv´o
.
igia
’
thiˆe
´
t λ ∈ σ(A). Vˆa
.
yth`ı f(λ) ∈ σ(f(A)).
Bˆay gi`o
.
gia
’
su
.
’
λ ∈ σ(f(A)). Nˆe

´
u λ ∈ f(σ(A)), th`ı h(ζ)=
(f(ζ) −λ)
−1
l`ah`am chı
’
nh h`ınh trˆen mˆo
.
tlˆan cˆa
.
nn`ao d¯´ocu
’
a σ(A),
ch˘a
’
ng ha
.
nΩ

.
´
Ap du
.
ng c´ac kˆe
´
tqua
’
trˆen cho c´ac h`am chı
’
nh h`ınh

trˆen Ω

ta c´o h(A)(f(A) − λI)=I.D
-
iˆe
`
un`ay mˆau thuˆa
˜
nv´o
.
igia
’
thiˆe
´
t λ ∈ σ(f(A)). Vˆa
.
yth`ı λ ∈ f(σ(A)).
V´ıdu
.
1.5 Nˆe
´
u f(z)=e
z
ta c´o σ(e
A
)=e
σ(A)
.
Ch´ung ta s˜ethˆa
´

yquanhˆe
.
trˆen c´o vai tr`onhu
.
thˆe
´
n`ao khi nghiˆen
c´u
.
ud´ang d¯iˆe
.
utiˆe
.
mcˆa
.
ncu
’
anghiˆe
.
m trong c´ac mu
.
ccuˆo
´
i.
1.3.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh c´ohˆe
.

sˆo
´
h˘a
`
ng sˆo
´
Ta x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
nt´ınh c´ohˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng sˆo
´
sau
dx
dt
= Ax + f(t), (1.44)
trong d¯´o f l`ah`am liˆen tu
.
ctrˆen (a, b). Tru
.
´o
.

chˆe
´
ttax´et phu
.
o
.
ng
tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
dx
dt
= Ax. (1.45)
D
-
i
.
nh l´y1.12x(t)=e
(t−t
0
)A
x
0
l`anghiˆe
.
mduynhˆa
´
tcu

’
ab`ai to´an
Cauchy

˙x = Ax
x(t
0
)=x
0
Ch´u
.
ng minh. Ta chı
’
cˆa
`
nch´u
.
ng minh cho tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p t
0
=0.
Thˆa
.
yvˆa

.
y, Ta c´o
lim
∆t→0
e
∆tA
− I
∆t
= lim
∆t→0
1
∆t
∞

k=1
[∆tA]
k
k!
= A.