Tổng hợp kiến thức toán THCS

Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
A. Các tập hợp số cơ bản
N =
Z =
Q =
R =
1. Biểu diễn trên trục số
- Trục nằm ngang
- Trục thẳng đứng
2. Quan hệ giữa các tập hợp số
N

Z

Q

R
I

R
Tập hợp các số thực lấp đầy trục số
Ngoài ra còn các kí hiệu: N
*
, Z
*
, Q
*
, R
*
, Z
+

, Z
-
, Q
+
, Q
-
, R
+
, R
-
.
b. giá trị tuyệt đối
1. Định nghĩa:
C1: Giá trị tuyệt đối của số x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.
C2:
x neỏu x 0
x
x neỏu x 0


=

<

2. Tính chất:
0x
,
xx =
,
xx

,
yxyx ++
,
yxyx
,
yxyx =
,
yxyx :: =
c. các phép tính và tính chất của các phép tính
1. Phép cộng:
- Cộng 2 số cùng dấu
- Cộng 2 số khác dấu
Tính chất: Giao hoán, KH, cộng với 0, cộng với số đối.
2. Phép trừ: Là phép tính ngợc của phép tính cộng a - b = a + (-b)
3. Phép nhân:
- Nhân 2 số cùng dấu
- Nhân 2 số khác dấu
Tính chất: Giao hoán, KH, nhân với 1, nhân với số nghịch đảo, phân phối.
4. Phép chia: Là phép tính ngợc của phép tính nhân a : b = a .
b
1
( b

0).
Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ
5. Phép nâng lên lũy thừa
* Định nghĩa:
* Các công thức:
6. Phép khai căn (bậc hai)
* Định nghĩa:

=
0a
ax






=

ax
x
2
0
* Định Lí: 0

a < b


a
<
b
* Các công thức:
1)
2

A A=
, (
A
)
2
= A (A
0
)
Nm hc: 2010 - 2011
1
Phần I:
Các tập hợp số cơ bản và các phép tính
Số học và đại số
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
2)
.AB A B=
(với A
0

và B
0

)
3)
A A
B
B
=
( với A
0

và B
0
>
)
4)
=
2
a b a b
( với B
0

)
5)
=
2
a b a b
( với A
0

và B
0

)

=
2
a b a b
(với A
0

và B
0

)
6)
=
1A
AB
B b
(với A.B

0 và B

0 )
7)
=
A A B
B
B
( với B > 0 )
8)
( )
=


m
2
C A B
C

A b
A B
(với A

0 và A

B
2
)
9)
( )
=


mC A B
C
A B
A B
(với A

0 , B

0 và A

B )
d. Thứ tự thực hiện các phép tính:
- Biểu thức không có dấu ngoặc
- Biểu thức có dấu ngoặc
e. Quy tắc dấu ngoặc:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc

- Quy tắc đa vào trong dấu ngoặc
f. Quy tắc chuyển vế:
a. tính chất chia hết của tổng và hiệu
Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng (hiệu) đều chia hết cho cùng
một số thì tổng (hiệu) chia hết cho số đó.
Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng không chia hết cho môt số, còn các số
hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng (hiệu) không chia hết cho số đó.
Một số tính chất khác:
a

m; a + b

m

b

m
a

m; a - b

m

b

m
a

m

ab

m
b. dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9.
c. ớc và bội ( trong N và Z)
1. Phép chia hết và phép chia có d.
* Số TN (hoặc số nguyên) a chia hết cho số b khác 0 nếu có số q sao cho a = bq
* Số TN (hoặc số nguyên) a chia cho số b khác 0 đợc thơng là q và d r khi đó a
= bq + r (0 <
r
<
b
)
* Khi số a chia hết cho số b ta nói a là bội của b, còn b là ớc của a.
2. Cách tìm Ư và B
* Muốn tìm bội của một số khác 0 ta nhân số đó lần lợt với
1
,
2
,
* Muốn tìm Ư của một số a


1
ta lần lợt chia a cho
1
,
2
, ,

a.
d. số nguyên tố và hợp số (trong N)
Nm hc: 2010 - 2011
2
Phần II:
tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ớc là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ớc.
e. ƯC, BC, ƯCLN, BCNN.
1. Ước chung của 2 hay nhiều số là ớc của tất cả các số đó.
2. BC của 2 hay nhiều số là B của tất cả các số đó.
3. ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC
Cách tìm ƯCLN:
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
- Lập tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất
4. BCNN của 2 hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các BC
Cách tìm BCNN:
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
- Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất
5. Hai số a và b là nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN(a, b) = 1
6. Số chính phơng là số bằng bình phơng của môt số tự nhiên.
1. Định nghĩa:
b
a
/ a, b

Z; b

0

Số nguyên cũng đợc coi là phân số: a =
1
a
2. Phân số bằng nhau:
bcad
d
c
b
a
==
3. Tính chất cơ bản của phân số:
mb
ma
b
a
.
.
=
(m

Z; m

0)

nb
na
b
a
:
:

=
(n

ƯC(a, b))
4. Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho một ƯC khác
1
của chúng.
5. Quy đồng mẫu (với mẫu dơng)
Tìm BC (BCNN) làm MC
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu
Nhân cả tử và mẫu của mỗi PS với TSP tơng ứng.
6. So sánh 2 phân số
- Cùng mẫu dơng
- Không cùng mẫu
7. Cộng 2 phân số
- Cùng mẫu
- Không cùng mẫu
8. Tính chất của phép cộng
9. Phép trừ: Là phép toán ngợc của phép toán cộng
10. Phép nhân phân số:
bd
ac
d
c
b
a
=.
11. Tính chất của phép nhân
12. Phép chia phân số: Là phép toán ngợc của phép toán nhân
c

d
b
a
d
c
b
a
.: =
Nm hc: 2010 - 2011
3
Phần III:
Phân số
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
13. PhÐp n©ng lªn lòy thõa:
n
n
n
b
a
b
a
=)(
14. Ba bµi to¸n c¬ b¶n vỊ ph©n sè:
* T×m gi¸ trÞ ph©n sè cđa mét sè cho tríc: Mn t×m
n
m
cđa b, ta tÝnh b.
n
m
* T×m mét sè biÕt gi¸ trÞ mét ph©n sè cđa nã: Mn t×m mét sè biÕt

n
m
cđa nã
b»ng a, ta tÝnh a:
n
m
* T×m tØ sè cđa 2 sè: Mn t×m tØ sè cđa 2 sè a vµ b, ta tÝnh a:b
Bài tập
Bài 1/ Tính :
a)
3 7
5 5
 
+ −
 ÷
 
; b)
7 1 16
4
3 3 3
 
− + −
 ÷
 
; Đáp số : a)
4
5
−
; b)
10

3
−
Bài 2/ Tính :
a)
3 9 4
7 5 3
 
+ − −
 ÷
 
; b)
3 2
0,5
4 3
   
− + − + −
 ÷  ÷
   
;
c)
1 2 1
1 3
3 5 4
   
− − + −
 ÷  ÷
   
; d)
5 1 7
3

4 2 10
 
− − −
 ÷
 
; e)
3 4 1 5
2 7 2 8
 
   
− − − +
 ÷  ÷
 
   
 
Đáp số : a)
284
105
−
; b)
23
12
−
; c)
91
60
−
; d)
81
20

; e)
179
56
.
Bài 3/ Tìm x, biết:
a) x +
1 7
5 3
=
; b)
2 5
x
7 4
+ = −
; c)
11 13
x
7 3
− =
; d)
12 9
x
5 4
− = −
;
e)
4 6
x
3 5
− − = −

; f)
2 1 4
x
3 2 5
 
− − − = −
 ÷
 
; g)
4 2 3 5
x 1 2
7 3 4 6
−
   
− − − + =
 ÷  ÷
   
Đáp số : a)
32
15
; b)
43
28
−
; c)
124
21
; d)
93
20

; e)
2
15
−
; f)
59
30
−
; g)
349
84
−
.
Bài 4/ Thực hiện phép tính một cách thích hợp:
a)
7 2 4 3 3 2 3
7 4 3
5 3 5 8 5 3 8
     
+ − − + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
     
b)
1 1 3 1 2 7 4
2 9 5 2006 7 18 35
       
− + − − − + − − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.

c)
1 3 3 1 1 1 2
3 4 5 2007 36 15 9
− + + − + −
d)
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 2006.2007
+ + + +
Đáp số : a) 6; b)
1
2006
; c)
1
2007
; d)
1 2006
1
2007 2007
− =
Bài 5/ Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông sau:
Năm học: 2010 - 2011
4
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
a)
1 3 2 1 2 1
1 2
3 4 5 7 5 4
   
+ − < < + − −

 ÷  ÷
   
;
b)
7 3 1 2 1 2
3 4 5 3 4 7
   
+ − > > + − +
 ÷  ÷
   
;
Đáp số : a)số 0 hoặc số 1; b) số 1 hoặc số 2.
Bài 6/ Một kho gạo còn 5,6 tấn gạo. Ngày thứ nhất kho nhập thêm vào
5
7
12
tấn gạo.
Ngày thứ hai kho xuất ra
5
8
8
tấn gạo để cứu hộ đồng bào bò lũ lụt ở miền Trung. Hỏi
trong kho còn lại bao nhiêu tấn gạo?
Đáp số :
527
120
tấn.
Bài 7/ Tìm một số hữu tỉ, biết rằng khi ta cộng số đó với
5
3

7
được kết quả bao nhiêu
đem trừ cho
22
5
thì được kết quả là 5,75.
Đáp số :
901
140
Bài 8/ Tính:
a)
4 21
.
7 8
 
−
 ÷
 
; b) 1,02.
10
3
 
−
 ÷
 
; c) (-5).
4
15
−
;

d)
8 12
:
5 7
−
 
−
 ÷
 
; e)
2006 0
.
2007 2008
−
   
−
 ÷  ÷
−
   
Đáp số: a)
3
2
−
; b)
17
5
−
; c)
4
3

; d)
14
15
; e) 0.
Bài 9/ Tính:
a)
1 1 1 1 143
2 1 . 2 1 :
4 3 3 4 144
   
− −
 ÷  ÷
   
; b)
17 3 1 4 22
. :
5 4 2 3 5
− −
   
+ +
 ÷  ÷
   
c)
1 9 12 8
. . : 2
3 8 11 11
−
   
−
 ÷  ÷

   
; d)
1 1 2
2 3 :
2 3 5
   
+ − +
 ÷  ÷
   
Đáp số: a) 1; b)
83
48
−
; c)
3
20
; d)
165
2
Bài 10/ Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
a)
( )
13 5 25
. . . 64
25 32 13
−
   
−
 ÷  ÷
−

   
; b)
1 25 26
. .
5 13 45
   
− −
 ÷  ÷
   
c)
9 5 17 5
. .
13 17 13 17
−
   
− +
 ÷  ÷
   
; d)
7 2 2 2
. 2 1 .
5 3 5 3
− −
     
−
 ÷  ÷  ÷
     
Đáp số: a) -10; b)
2
9

; c)
10
17
−
; d)
14
5
−
Bài 11/ Tính giá trò của biểu thức:
Năm học: 2010 - 2011
5
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
a) A = 5x + 8xy + 5y với x+y
2
5
; xy =
3
4
.
b) B = 2xy + 7xyz -2xz với x=
3
7
; y – z =
5
2
; y.z = -1
Đáp số: a) A = 8; b) B =
6
7
−

Bài 12/ Tìm x ∈ Q, biết:
a)
7 3 3
x
12 5 4
−
 
− + =
 ÷
 
; b)
2006
2007.x x 0
7
 
− =
 ÷
 
c) 5(x-2) + 3x(2-x) = 0; d)
2 5 3
: x
3 2 4
+ =
Đáp số: a) x=
29
15
−
; b) x= 0 hoặc x =
2006
7

; c) x=2 hoặc x =
5
3
; d) x = 30
Bài 13/ Gọi A là số hữu tỉ âm nhỏ nhất viết bằng ba chữ số 1, B là số hữu tỉ âm lớn
nhất viết bằng ba chữ số 1. Tìm tỉ số của A và B.
Đáp số: A = -111; B = -
1
11
⇒ tỉ số của A và B là A:B = -111:
1
11
 
−
 ÷
 
=1221
Bài 14/ Cho A =
( )
5 4 7
0,35 .
12 3 5
−
 
− + − +
 ÷
 
; B =
3 4 5 1
:

7 5 6 2
   
− + −
 ÷  ÷
   
Tìm tỉ số của A và B.
Đáp số: A:B =
17
80
:
39
35
=
119
624
Bài 15/ Tính nhanh:
a)
2006 2006 13
: .
2007 2007 17
 −
   
−
 ÷  ÷
 
   
 
; b)
252 173 2006
. :

173 252 2007
 −
   
−
 ÷  ÷
 
   
 
Đáp số: a)
17
13
; b)
2007
2006
Bài 16/ Tính nhanh:
a)
2006 3 2006 2
. .
2007 5 2007 5
+
; b)
1004 5 1004 1 1004 1
. .
2007 4 2007 4 2007 2
− −
   
+ −
 ÷  ÷
   
Đáp số: a)

2006
2007
; b)
2008
2007
−
1. §Þnh nghÜa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số:
d
c
b
a
=
(a:b = c:d)
a, d gọi là Ngoại tỉ. b, c gọi là trung tỉ.
2. TÝnh chÊt:
Năm học: 2010 - 2011
6
PhÇn IV:
tØ lƯ thøc. tÝnh chÊt dÉy tØ sè b»ng nhau
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
TÝnh chÊt 1 (tÝnh chÊt c¬ b¶n):
bcad
d
c
b
a
=⇔=
TÝnh chÊt 2: ad = bc (a, b, c, d
≠
0)

⇔
a c a b b d c d
; ; ;
b d c d a c a b
= = = =
Mét sè tÝnh chÊt kh¸c: ………………………
Ngoµi ra TLT cßn cã c¸c tÝnh chÊt cđa ®¼ng thøc
3. TÝnh chÊt cđa dÉy tØ sè b»ng nhau: ………………….
Bài tập
Bài 1:Thay tỉ số các số bằng tỉ số của các số nguyên:
7 4
:
3 5
; 2,1: 5,3 ;
2
: 0,3
5
; 0,23: 1,2
Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?
a)
15
21
và
30
42
; b) 0,25:1,75 và
1
7
; c) 0,4:
2

1
5
và
3
5
.
Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết các tỉ lệ
thức đó: 3; 9; 27; 81; 243.
Bài 4: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a)
x 0,15
3,15 7,2
=
; b)
2,6 12
x 42
- -
=
; c)
11 6,32
10,5 x
=
; d)
41
x
10
9
7,3
4
=

; e) 2,5:x = 4,7:12,1
Bài 5: Tìm x trong tỉ lệ thức:
a)
x 1 6
x 5 7
-
=
+
; b)
2
x 24
6 25
=
; c)
x 2 x 4
x 1 x 7
- +
=
- +
Bài 6: Tìm hai số x, y biết:
x y
7 13
=
và x +y = 40.
Bài 7 : Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
(Với b,d ≠ 0) ta suy ra được :
a a c

b b d
+
=
+
.
Bài 8 : Tìm x, y biết :
a)
x 17
y 3
=
và x+y = - 60 ; b)
x y
19 21
=
và 2x-y = 34 ; c)
2 2
x y
9 16
=
và x
2
+ y
2
=100
Bài 9 : Ba vòi nước cùng chảy vào một bĨ cã dung tích 15,8 m
3
từ lúc không có nước
cho tới khi ®Çy bĨ. Biết rằng thời gian chảy được 1m
3
nước của vòi thứ nhất là 3 phút,

vòi thứ hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu níc.
HD : Gọi x,y,z lần lượt là số nước chảy được của mỗi vòi. Thời gian mà các vòi
đã chảy vào hồ là 3x, 5y, 8z. Vì thời giản chảy là như nhau nên : 3x=5y=8z
Bài 10 : Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4. Biết rằng tổng số
điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10 ?
Năm học: 2010 - 2011
7
PhÇn V:
Sè thËp ph©n. quy íc lµm trßn sè
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
1. NÕu mét ph©n sè tèi gi¶n víi mÉu d¬ng mµ mÉu kh«ng cã íc nguyªn tè kh¸c 2
vµ 5 th× ph©n sè ®ã viÕt ®ỵc díi d¹ng sè thËp ph©n h÷u h¹n
2. NÕu mét ph©n sè tèi gi¶n víi mÉu d¬ng mµ mÉu cã íc nguyªn tè kh¸c 2 vµ 5
th× ph©n sè ®ã viÕt ®ỵc díi d¹ng sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn
3. Sè v« tØ lµ sè viÕt ®ỵc díi d¹ng sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tn hoµn
4. Quy íc lµm trßn sè:
TH1: NÕu ch÷ sè ®Çu tiªn trong phÇn bá ®i nhá h¬n 5 th× ta gi÷ nguyªn phÇn cßn
l¹i. Trong trêng hỵp sè nguyªn th× thay c¸c ch÷ sè bÞ bá ®i b»ng c¸c ch÷ sè 0
TH2: NÕu ch÷ sè ®Çu tiªn trong phÇn bá ®i lín h¬n hc b»ng 5 th× ta céng thªm 1
vµo ch÷ sè ci cïng cđa phÇn cßn l¹i. Trong trêng hỵp sè nguyªn th× thay c¸c
ch÷ sè bÞ bá ®i b»ng c¸c ch÷ sè 0
1. §¹i lỵng TLT
a. §Þnh nghÜa: NÕu ®¹i lỵng y liªn hƯ víi ®¹i lỵng x theo c«ng thøc y = kx
(k lµ h»ng sè kh¸c 0) th× y tØ lƯ thn víi x theo hƯ sè tØ lƯ k.
b. TÝnh chÊt:
• NÕu 2 ®¹i lỵng tØ lƯ thn víi nhau th×:
- TØ sè 2 gi¸ trÞ t¬ng øng kh«ng ®ỉi:
k
x
y

x
y
x
y
====
3
3
2
2
1
1
- TØ sè 2 gi¸ trÞ bÊt k× cđa ®¹i lỵng nµy b»ng tØ sè 2 gi¸ trÞ t¬ng øng
cđa ®¹i lỵng kia:
2
1
2
1
y
y
x
x
=
;
3
1
3
1
y
y
x

x
=
; …………
2. §¹i lỵng TLN
a. §Þnh nghÜa: NÕu ®¹i lỵng y liªn hƯ víi ®¹i lỵng x theo c«ng thøc y =
x
k

hay x.y = k (k lµ h»ng sè kh¸c 0) th× y tØ lƯ nghÞch víi x theo hƯ sè tØ lƯ k.
b. TÝnh chÊt:
• NÕu 2 ®¹i lỵng tØ lƯ nghÞch víi nhau th×:
- TÝch 2 gi¸ trÞ t¬ng øng kh«ng ®ỉi:
kyxyxyx ====
332211
- TØ sè 2 gi¸ trÞ bÊt k× cđa ®¹i lỵng nµy b»ng nghÞch ®¶o tØ sè 2 gi¸
trÞ t¬ng øng cđa ®¹i lỵng kia:
1
2
2
1
y
y
x
x
=
;
1
3
3
1

y
y
x
x
=
; …………
Bài tập
Bài : Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, hoàn thành bảng sau:
x 2 5 -1,5
y 6 12 -8
Bài : Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và khi x = 5, y = 20.
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x.
b) Tính giá trò của x khi y = -1000.
Bài tập 3: Cho bảng sau:
x -3 5 4 -1,5 6
Năm học: 2010 - 2011
8
PhÇn VI:
§¹i lỵng tlt. ®¹i lỵng tln
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
y 6 -10 -8 3 -18
Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Vì
sao?.
Bài tập 4: Tìm ba số x, y, z, biết rằng chúng tỉ lệ thuận với các số 5, 3, 2 và x–y + z =
8.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Biết rằng
µ
µ
µ
A,B,C

tỉ lệ với ba số 1, 2, 3. Tìm số đo của
mỗi góc.
Bài tập 6: Ba lớp 7A, 7B, 7C đi lao động trồng cây xanh. Biết rằng số cây trồng được
của mỗi lớp tỉ lệ với các số 3, 5, 8 và tổng số cây trồng được của mỗi lớp là 256 cây.
Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Bài tập 7: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch, hoàn thành bảng sau:
x 3 9 -1,5
y 6 1,8 -0,6
Bài tập 8: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch và khi x = 2, y = -15.
c) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x.
d) Tính giá trò của x khi y = -10.
Bài tập 9: Cho bảng sau:
x -10 20 4 -12 9
y 6 -3 -15 5 -7
Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghòch không? Vì
sao?.
Bài 10: Tìm ba số x, y, z, biết rằng chúng tỉ lệ thuận với các số
3 3 1
; ;
16 6 4
và x + y + z =
340.
Bài 11: Ba đội máy cày cùng cày trên ba cánh đồng như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành
công việc trong 3 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 5 ngày, đội thứ ba hoàn
thành công việc trong 9 ngày. Biết rằng mỗi máy cày đều có năng suất như nhau và
tổng số máy cày của ba đội là 87 máy. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu chiếc máy cày?
Bài 12: Tìm hai số dương biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ nghòch với 35,
210, 12.
1. Hµm sè
* NÕu ®¹i lỵng y phơ thc vµo ®¹i lỵng thay ®ỉi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cđa

x ta luôn xác đònh được chỉ một giá trò tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x
và x gọi là biến số (gọi tắt là biến).
* Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm hằng.
Năm học: 2010 - 2011
9
PhÇn VII:
Hµm sè vµ ®å thÞ cđa hµm sè
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
* Hµm sè có thể được cho bằng b¶ng hc b»ng c«ng thøc
* KÝ hiƯu: y = f(x), cßn f(a) lµ …
2. MỈt ph¼ng täa ®é:
* MỈt ph¼ng täa ®é lµ g×?
* MỈt ph¼ng täa ®é dïng ®Ĩ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm trªn mỈt ph¼ng
* Täa ®é cđa ®iĨm trong mỈt ph¼ng täa ®é
3. §å thÞ cđa hµm sè
+ Tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) thì được gọi là đồ thò
của hàm số y = f(x).
+ Đồ thò hàm số y = f(x) = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và
điểm (1; a).
+ Để vẽ đồ thò hàm số y = ax, ta chỉ cần vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm là
O(0; 0) và A(1; a).
Bài tập
Bài 1 : Hàm số f được cho bởi bảng sau:
x -4 -3 -2
y 8 6 4
a) Tính f(-4) và f(-2)
b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?
Bài 2 : Cho hàm số y = f(x) = 2x
2
+ 5x – 3. Tính f(1); f(0); f(1,5).

Bài tập 3: Cho đồ thò hàm số y = 2x có đồ thò là (d).
a) Hãy vẽ (d).
b) Các điểm nào sau đây thuộc (d): M(-2;1); N(2;4); P(-3,5; 7); Q(1; 3)?
Bài tập 4: Cho hàm số y = x.
a) Vẽ đồ thò (d) của hàm số .
b) Gọi M là điểm có tọa độ là (3;3). Điểm M có thuộc (d) không? Vì sao?
c) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt Ox tại A và Oy tại B. Tam giác
OAB là tam giác gì? Vì sao?
Bài tập 5: Xét hàm số y = ax được cho bởi bảng sau:
x 1 5 -2
y 3 15 -6
a) Viết rõ công thức của hàm số đã cho.
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghòch biến? Vì sao?
Bài tập 6: Cho hàm số y =
1
3
x.
a) Vẽ đồ thò của hàm số.
b) Gọi M là điểm có tọa độ là (6; 2). Kẻ đoạn thẳng MN vuông góc với tia Ox (N
∈ Ox). Tính diện tích tam giác OMN.
Năm học: 2010 - 2011
10
PhÇn VIII:
®¬n thøc
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
1. §Þnh nghÜa: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm 1 sè, 1 biÕn hc 1 tích giòa c¸c
số với các biến.
2. Thu gän ®¬n thøc: Lµ viÕt ®¬n thøc díi d¹ng tÝch chØ gåm 1 sè víi c¸c biÕn mà mỗi
biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến chỉ được viết
một lần).

3. Bậc của đơn thức có hệ số khác 0: là tổng số mũ của tất cả các biến có trong
đơn thức đó. Muốn xác đònh bậc của một đơn thức, trước hết ta thu gọn đơn thức
đó.
Số 0 là đơn thức không có bậc. Mỗi số thực kh¸c 0 coi là một đơn thức bËc 0.
4. Nh©n 2 ®¬n thøc: Ta nh©n hƯ sè víi nhau vµ nh©n c¸c phÇn biÕn víi nhau.
5. Đơn thức đồng dạng: là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Mọi
số thực đều là các đơn thức đồng dạng với nhau.
6. Cộng (trừ ) các đơn thức đồng dạng: ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ
nguyên phần biến.
Bài tập
* BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. GÍÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 1 : Tính giá trò biểu thức
a. A = 3x
3
y + 6x
2
y
2
+ 3xy
3
tại
1 1
;
2 3
x y= = −
HD: Thay
1 1
;
2 3
x y= = −

vào biểu thức 3x
3
y + 6x
2
y
2
+ 3xy
3

Ta được 3.
3
1 1
.
2 3
−
   
 ÷  ÷
   
+ 6.
2 2
1 1
.
2 3
−
   
 ÷  ÷
   
+ 3.
3
1 1

.
2 3
−
   
 ÷  ÷
   
= -
1
8
+
1
6
-
1
18
=
1
72
−
Vậy
1
72
−
là giá trị của biểu thức trên tại
1 1
;
2 3
x y= = −
b. B = x
2

y
2
+ xy + x
3
+ y
3
tại x = –1; y = 3
HD: Thay x = –1; y = 3 vào biểu thức x
2
y
2
+ xy + x
3
+ y
3
Ta được (-1)
2
.3
2
+ (-1).3 + (-1)
3
+ 3
3
= 9 -3 -1 + 27 = 32
Vậy 32 là giá trị của biểu thức trên tại x = –1; y = 3
Bài 2 : Tính giá trị của biểu thức: A = x
2
+ 4xy - 3y
3
với x = 5; y = 1

HD: Thay x = 5 ; y = 1 vào biểu thức x
2
+ 4xy - 3y
3
Ta được 5
2
+ 4.5.1 -3.1
3
= 25 + 20 - 3 = 42
Vậy 42 là giá trị của biểu thức trên tại x = 5 ; y = 1
Năm học: 2010 - 2011
11
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
Bài 3 : Giá trị của biểu thức 2x
2
y + 2xy
2
tại x = 1 và y = –3
HD: Thay x = 1 ; y = -3 vào biểu thức 2x
2
y + 2xy
2
Ta đđược 2.1
2
.(-3) +2.1(-3)
2
= -6 + 18 = 12
Vậy 12 là giá trị của biểu thức trên tại x = 1 ; y = -3
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức

2x
2x3x2
M
2
+
−+
=
tại: x = -1
HD: Thay x = -1 vào biểu thức
2x
2x3x2
M
2
+
−+
=
Ta được
2
2.( 1) 3( 1) 2
( 1) 2
M
− + − −
=
− +
= 2 – 3 – 2 = -3
Vậy -3 là giá trị của biểu thức trên tại x = -1
Bài 5: Xác định giá trị của biểu thức để các biểu thức sau có nghĩa:
a/
2x
1x

2
−
+
; b/
1x
1x
2
+
−
;
HD: a) Để biểu thức
2x
1x
2
−
+
có nghĩa khi x
2
– 2
≠
0 => x
≠

2±
b) Để biểu thức
1x
1x
2
+
−

có nghĩa khi x
2
+1
≠
0 mà x
2
+1
≠
0 với mọi x nên biểu
thức trên có nghĩa với mọi x
Bài 6: Tìm các giá trị của biến để biểu thức (x+1)
2
(y
2
- 6) có giá trị bằng 0
HD: để biểu thức (x+1)
2
(y
2
- 6) = 0 thì
(x+1)
2
= 0 => x + 1 = 0 => x = -1
hoặc y
2
– 6 = 0 => y =
6±
* ĐƠN THỨC . TÍCH CÁC ĐƠN THỨC
Bài 1 : Trong các biểu thức sau, biểu thức nào gọi là đơn thức?
3x

2
; -15x; 55; -14; 12x+3; -8x
4
y
6
z
5
;
2 4
3x y 2x
5x 1
+
+
.
HD: Đơn thức : 3x
2
; -15x; 55; -14; -8x
4
y
6
z
5
Khơng là đơn thức : 12x+3;
2 4
3x y 2x
5x 1
+
+
Bài 2 : Thu gọn và chỉ ra phần hệ số, phần biến và bậc của các đơn thức sau :
a/ -5x

2
y
4
z
5
(-3xyz
2
) ; b/ 12xy
3
z
5
(
1
4
x
3
z
3
)
HD: a/ -5x
2
y
4
z
5
(-3xyz
2
) = (-5).(-3) x
2
.x.y

4
.y.z
5
.z
2
= 15x
3
y
5
z
7
Hệ số : 15 ; biến : x
3
y
5
z
7
; bậc : 15
b) 12xy
3
z
5
(
1
4
x
3
z
3
) = 12.

1
4
x.x
3
.y
3
.z
5
.z
3
= 3x
4
y
3
z
8
Hệ số : 3 ; biến : x
4
y
3
z
8
; bậc : 15
Năm học: 2010 - 2011
12
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
Bài 3 : Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số, phÇn biến .
A=
3 2 3 4
5 2

. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
; B=
( )
5 4 2 2 5
3 8
. .
4 9
x y xy x y
   
− −
 ÷  ÷
   
HD: A=
3 2 3 4
5 2
. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
=
2 3 3 4 8 5

5 2 1
. .
4 5 2
x x x yy x y− = −
Hệ số :
1
2
−
; phÇn biến : x
8
y
5
; bậc : 13
B=
( )
5 4 2 2 5
3 8
. .
4 9
x y xy x y
   
− −
 ÷  ÷
   
=
5 2 4 2 5
3 8
. . . . . . .
4 9
x x x y y y

 
− −
 ÷
 
=
8 11
2
. .
3
x y
Hệ số :
2
3
; phÇn biến : x
8
y
11
; bậc : 19
Bài 4 : Tìm tích của các đơn thức rồi chỉ ra phần biến, phần hệ số, bậc của đơn thức kết
quả :
a/ 5x
2
y
3
z và -11xyz
4
; b/ -6x
4
y
4

và
2
3
-
x
5
y
3
z
2
.
HD: a/ Tích x
2
y
3
z và -11xyz
4
= 5x
2
y
3
z .(-11xyz
4
) = -55. x
3
y
4
z
5
Hệ số :-55 ; biến : x

3
y
4
z
5
; bậc : 12
b/ Tích -6x
4
y
4
và
2
3
-
x
5
y
3
z
2
. = -6x
4
y
4
.(
2
3
-
x
5

y
3
z
2
) = 4. x
9
y
7
z
2
Hệ số : 4 ; biến : x
9
y
7
z
2
; bậc : 18
Bài tập 5 : Cho hai đơn thức A = -120x
3
y
4
z
5
và B = -
5
18
xyz.
a/ Tính tích của A và B rồi xác đònh phần biến, phần hệ số, bậc của biểu thức kết
quả.
b/ Tính giá trò của biểu thức kết quả khi x = -2 ; y= 1 ; z = -1

HD: a) A.B = -120x
3
y
4
z
5
.( -
5
18
xyz.) = 33
1
3
x
4
y
5
z
6
Hệ số : 33
1
3
; biến : x
4
y
5
z
6
; bậc : 15
b) Thay x = -2 ; y= 1 ; z = -1 vào biểu thức 33
1

3
x
4
y
5
z
6
Ta đđược 33
1
3
.(-2)
4
.1
5
(-1)
6
= 533
1
3
x = -2 ; y= 1 ; z = -1
Vậy 533
1
3
là giá trị của biểu thức trên tại

Bài 6: Thu gọn các đơn thức trong biểu thức đại số.
Năm học: 2010 - 2011
13
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
a/

( ) ( )
3
242323
yxaxaxz
2
1
ybx5axy
11
6
.yx
9
7
C
+






−−+






=

HD:

3 2 3 2 4 6 3
7 6 1
. 5. .
9 11 2
C ax xy y abx xy z axx y
 
 
= + − − +
 ÷
 ÷
 
 

=
4 5 3 4 6 3
14 5
33 2
ax y abx y z ax y+ +
b/
( ) ( ) ( )
( )
22223
n99n2
2
34
zyax4,0.yx15
x2.x8yx
6
1
.yx3

D
−−
−+






=
(với axyz ≠ 0)


10 7
5 4 2
3
. 16
2
6
x y
D
ax y z
−
=
Bài 7: Tính tích các đơn thức rồi cho biết hệ số và bậc của đơn thức đối với tập hợp các
biến số (a, b, c là hằng)
a)
5
243
zyx)1a(

2
1






−−
=
5 15 20 10
1
( 1)
32
a x y z
− −
Hệ số :
5
1
( 1)
32
a− −
; phÇn biến : x
15
y
20
z
10
; bậc : 45
b/ (a

2
b
2
xy
2
z
n-1
) .(-b
3
cx
4
z
7-n
) = - a
2
b
5
cx
5
y
2
z
6
Hệ số : - a
2
b
5
c ; phÇn biến : x
5
y

2
z
6
; bậc : 13

c/
3
2523
zyax
3
5
.yxa
10
9






−






−
=
3 3 2 15 6 3

9 125
.
10 27
a a x x yy z
 
 
− −
 ÷
 ÷
 
 
=
6 17 7 3
1
4
6
a x y z

Hệ số :
6
1
4
6
a
; biến :
17 7 3
x y z
; bậc : 27
* ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG. TỔNG VÀ HIỆU CÁC ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài tập 8 : Phân thành nhóm các đơn thức đồng dạng trong các đơn thức sau :

-12x
2
y ; -14 ; 7xy
2
; 18xyz ; 13xyx ;-0,33 ; -2yxy ; xyz ; x
2
y ; -xy
2
; 17
HD: Các đơn thức đồng dạng : -12x
2
y ; x
2
y và 13xyx ;
7xy
2
và xy
2

Năm học: 2010 - 2011
14
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
-14 ; -0,33 và 17
18xyz ; -2yxy và xyz
Bài tập 9 : Tính tổng của các đơn thức sau :
a/ 12x
2
y
3
x

4
và -7x
2
y
3
z
4
; b/ -5x
2
y ; 8x
2
y và 11x
2
y.
HD: a) 12x
2
y
3
x
4
+ (-7x
2
y
3
z
4
) = (12 – 7 ) x
2
y
3

z
4
= 5 x
2
y
3
z
4

b) -5x
2
y + 8x
2
y + 11x
2
y = (-5 + 8 + 11) x
2
y = 14 x
2
y
Bài tập 10 : Tự viết 3 đơn thức đồng dạng rồi tính tổng của ba đơn thức đó.
HD: Ba đơn thức đồng d¹ng: -7x
4
y
5
z
6
;
1
3

x
4
y
5
z
6
;
2
3
x
4
y
5
z
6
Tổng = -7x
4
y
5
z
6
+
1
3
x
4
y
5
z
6

+
2
3
x
4
y
5
z
6
= ( -7 +
1
3
+
2
3
)x
4
y
5
z
6
= -6 x
4
y
5
z
6

Bài tập 11 : Cho ba đơn thức : A = -12x
2

y
4
; B= -6 x
2
y
4
; C = 9 x
2
y
4
.
a) Tính A.B.C và A+B ; A+C ; B+C ; A-B ; A-C ; B-C.
b) Tính giá trò của biểu thức B-A và C-A biết x = -2; y = 3.
Giải :
a) A.B.C = -12x
2
y
4
.( -6 x
2
y
4
) .( 9 x
2
y
4
) = 648. x
6
y12.
A+B = -12x

2
y
4
+ ( -6 x
2
y
4
) = -18x
2
y
4

A + C = -12x
2
y
4
+ 9 x
2
y
4
= -3x
2
y
4

B + C = -6x
2
y
4
+ 9 x

2
y
4
= 3 x
2
y
4
A - B = -12x
2
y
4
+ 6 x
2
y
4
= -6x
2
y
4
A - C = -12x
2
y
4
- 9 x
2
y
4
= -21x
2
y

4

B - C = -6x
2
y
4
- 9 x
2
y
4
= -15x
2
y
4
b) Thay x = -2 ; y= 3 vào biểu thức -6x
2
y
4
Ta được -6. (-2)
2
.3
4
= -1944
Vậy -1944 là giá trị của biểu thức trên tại x = -2 ; y= 3
Bài tập 12: Điền đơn thức thích hợp vào ô trống:
a/ 6xy
3
z
2
+ = -7 xy

3
z
2
; b/ - 6x
3
yz
5
- =
3
2
x
3
yz
5
.
I. ®a thøc.
1. Định nghĩa: Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng được
gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Năm học: 2010 - 2011
15
PhÇn IX:
®a thøc. céng, trõ, nh©n, chia ®a thøc
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
2. Thu gọn đa thức: là viết đa thức dưới dạng khơng còn 2 đa thức nào đồng dạng.
3. Bậc của đa thức: là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn.
* Một số khác 0 là đa thức bậc 0.
* Số 0 là đa thức khơng có bậc.
4.Đa thức một biến: là tổng của các đơn thức của cùng một biến. Do đó mỗi một số
cũng được coi là đa thức của cùng một biến.
+ Người ta thường sắp xếp đa thức 1 biến theo lũy thừa tăng hoặc giảm.

+ Bậc của đa thức một biến khác đa thức không (sau khi đã thu gọn) là số mũ lớn nhất
của biến có trong đa thức đó.
+ Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số đi cùng phần biến có số mũ lớn nhất. Hêï số tự do
là số hạng không chứa biến.
+ Người ta thường dùng các chữ cái in hoa kèm theo cặp dấu ngoặc (trong đó có biến)
để đặt tên cho đa thức một biến.
Ví dụ: A(x) = 3x
3
+ 5x + 1. Do đó giá trò của đa thức tại x = -2 là A(-2).
+ Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm
của đa thức đó. Một đa thức khác đa thức 0 có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm hoặc khơng có
nghiệm. Đa thức bậc n có không quá n nghiệm.
Bài tập
Bài 1: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1
a/ Tìm nghiệm của f(x); g(x)
b/ Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x)
c/ Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ?
Giải :
a ) Cho 5x – 7 = 0 => x =
7
5

Vậy
7
5
là nghiệm của đa thức f(x)
Cho 3x + 1 = 0 => x =
1
3
−

Vậy
1
3
−
là nghiệm của đa thức g(x)
b) h(x) = f(x) - g(x) = 5x – 7 - 3x - 1 = 2x - 8
Cho 2x - 8 = 0 => x = 4
Vậy 4 là nghiệm của đa thức h(x)
c) Vậy với x = 4 thì f(x) = g(x)
Bài 2: Cho đa thức f(x) = x
2
+ 4x - 5
Số -5 có phải là nghiệm của f(x) khơng?
Giải :
Ta có f(-5) = 25 – 20 - 5 = 0
Vậy -5 là nghiệm của đa thức f(x)
Năm học: 2010 - 2011
16
Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định

Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/ f(x) = x(1-2x) + (2x
2
-x + 4)
b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
c/ h(x) = x (x -1) + 1
Giải :
f(x) = x( 1 - 2x ) + (2x
2

- x + 4) = x - 2x
2
+ 2x
2
- x + 4 = 4
vậy f( x) = 4
≠
0 với mọi x
Vậy đa thức f(x) vô nghiệm
Bài 4: Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 làm nghiệm.
a/ mx
2
+ 2x + 8; b/ 7x
2
+ mx - 1; c/ x
5
- 3x
2
+ m
Giải :
a/ Để 1 là nghiệm của mx
2
+ 2x + 8 nên m + 2 + 8 = 0 => m = -10
b/ Để 1 là nghiệm của 7x
2
+ mx - 1 nên 7 + m – 1 = 0 => m = -6
c/ Để 1 là nghiệm của x
5
- 3x
2

+ m nên 1 - 3 + m = 0 => m = 2
Bài 5: Cho đa thức f(x) = x
2
+mx + 2
a/ Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm
b/ Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m
Giải :
a/ Để f(x) nhận -2 làm một nghiệm thì 4 - 2m + 2 = 0 => m = 3
b/ x
2
+ 3x + 2 = 0 => x
2
+ x + 2x + 2 = 0 => x( x + 1 ) + 2(x + 1)
( x + 1)( x + 2 ) = 0 => x = -1 hoặc x = -2
Bài 6 Cho đa thức P(x) = 5x −
1
2

a. Tính : P(1) , P(−
3
10
)
b. Tìm nghiệm của đa thức trên
Giải :
a) P(1) =
9
2
; P(−
3
10

) = -2
b) Cho 5x −
1
2
= 0 => x = -
9
2
Vậy nghiệm của P(x) là -
9
2
Bài 7 Cho P(x) = x
4
− 5x + 2x
2
+ 1 và Q(x) = 5x +
3
2
x
2
+ 5+
1
2
x
2
+ x
4
.
a. Tìm M(x) = P(x) + Q(x) .
b. Chứng tỏ M(x) không có nghiệm.
Giải :

M(x) = P(x) + Q(x) = ( x
4
− 5x + 2x
2
+ 1 ) + (5x +
3
2
x
2
+ 5+
1
2
x
2
+ x
4
)
= 2x
4
+ 4x
2
+ 5 + 6
Năm học: 2010 - 2011
17
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
Vì 2x
4

≥
0 => 4x

2

≥
0 nên 2x
4
+ 4x
2
+ 5 + 6
≥
0
Vậy M(x) khơng có nghiệm
Bài 8 : Kiểm tra xem trong các số -2; -1; 2; 1; 3; -4 số nào là nghiệm của đa thức:
F(x) = 3x
3
– 2x
2
+ x
3
– 3x + 3
Giải :
F(-2) = -31 => -2 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(-1) = 0 => -1 là nghiệm của f(x)
F(2) = 21 => 2 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(1) = 2 => 1 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(3) = 8 => 3 khơng phải là nghiệm của f(x)
. F(-4) = -273 => -4 khơng phải là nghiệm của f(x)
Bài 10: Tìm nghiệm của các đa thức:
a) f(x) = 2x + 5. c) h(x) = 6x – 12.
b) g(x) = -5x -
1

2
. d) k(x) = ax + b (với a, b là các hằng số)
II. céng, trõ, nh©n, chia ®a thøc
1. Cộng, trừ đa thức:
+ Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức cùng với dấu của
chúng rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có).
+ Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của
chúng rồi viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại. Sau đó thu gọn
các hạng tử đồng dạng của hai đa thức (nếu có).
Bài tập
• ĐA THỨC. CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC
Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức:
3x
2
; 5x
2
-4xy; 18; -9xy + 3y
3
;
2
2
4x y 2xy
y 5
+
+
; 0; -2
1
5
HD: Đa thức : 3x
2

; 5x
2
-4xy; 18; -9xy + 3y
3
; 0; -2
1
5
Bài 2: Thu gọn các đa thức sau và xác đònh bậc của đa thức kết quả:
M = 2x
2
y
4
+ 4xyz – 2x
2
– 5 + 3x
2
y
4
– 4xyz + 3 – y
9
.
= (2x
2
y
4
+ 3x
2
y
4
) + ( 4xyz – 4xyz ) – 2x

2
– y
9
+ (-5 + 3 )
= 5x
2
y
4
– 2x
2
– y
9
– 2
Bậc của đa thức là 9
Bài 3 : Tính giá trò của các đa thức :
a) 5x
2
y – 5xy
2
+ xy tại x = -2 ; y = -1.
Năm học: 2010 - 2011
18
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
b)
1
2
xy
2
+
2

3
x
2
y – xy + xy
2
-
1
3
x
2
y + 2xy. Tại x = 0,5 ; y = 1.
HD: a) Thay x = -2 ; y = -1 vào 5x
2
y – 5xy
2
+ xy
Ta được 5.(-2)
2
.(-1) - 5(-2)(-1)
2
+ (-1).(-2) = -8
Vậy -8 là giá trị của biểu thức 5x
2
y – 5xy
2
+ xy tại x = -2 ; y = -1.
b)
1
2
xy

2
+
2
3
x
2
y – xy + xy
2
-
1
3
x
2
y + 2xy
= (
1
2
xy
2
+ xy
2
) + (
2
3
x
2
y -
1
3
x

2
y) + (– xy + 2xy )
=
3
2
xy
2
-
1
3
x
2
y + xy
Thay x = 0,5 =
1
2
; y = 1 vào
3
2
xy
2
-
1
3
x
2
y + xy
Ta được
3
2

.
1
2
.1
2
-
1
3
.(
1
2
)
2
.1 +
1
2
.1 =
3
4
-
1
12
+
1
2
=
14 7
12 6
=
Vậy

7
6
là giá trị của biểu thức
3
2
xy
2
-
1
3
x
2
y + xy tại x = 0,5 ; y = 1.

Bài 4 : Tính tổng của 3x
2
y – x
3
– 2xy
2
+ 5 và 2x
3
-3xy
2
– x
2
y + xy + 6.

ĐS : 2x
2

y + x
3
– 5xy
2
+ xy + 11
Bài 5 : Cho đa thức A = 5xy
2
+ xy - xy
2
-
1
3
x
2
y + 2xy + x
2
y + xy + 6.
a) Thu gọn rồi xác đònh bậc của đa thức kết quả.
b) Tìm đa thức B sao cho A + B = 0
c) Tìm đa thức C sao cho A + C = -2xy + 1.
HD:
a) A = (5xy
2
- xy
2
) + ( xy + 2xy + xy ) + (-
1
3
x
2

y + x
2
y

) + 6
= 4 xy
2
+ 4xy +
2
3
x
2
y + 6 bậc của đa thức là 3
b) vì B + A = 0 nên B là đa thức đối của đa thức A
=> B = -5xy
2
- xy + xy
2
+
1
3
x
2
y - 2xy - x
2
y - xy - 6.
c) Ta có A + C = -2xy + 1.
Nên 4 xy
2
+ 4xy +

2
3
x
2
y + 6 + C = -2xy + 1.
C = -2xy + 1. – (4 xy
2
+ 4xy +
2
3
x
2
y + 6 )
Năm học: 2010 - 2011
19
Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
= -6xy - 4 xy
2
-
2
3
x
2
y - 5
Bài 6. Cho hai đa thức: P(x) = 2x
4
− 3x
2
+ x −
3

2
và Q(x) = x
4
− x
3
+ x
2
+
5
3

a. Tính M (x) = P(x) + Q(x)
b. Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc của đa thức N(x).
Baøi 7 : Cho ña thöùc :
A = 4x
2
– 5xy + 3y
2
; B = 3x
2
+ 2xy - y
2
Tính A + B; A – B ; B – A
HD:
A + B = (4x
2
– 5xy + 3y
2
) + (3x
2

+ 2xy - y
2
)
= (4x
2
+ 3x
2
) + (-5xy + 2xy ) +( 3 y
2
- y
2
)
= 7x
2
- 3xy + 2y
2

A - B = (4x
2
– 5xy + 3y
2
) - (3x
2
+ 2xy - y
2
)
= (4x
2
- 3x
2

) + (-5xy - 2xy ) +( 3 y
2
+ y
2
)
= x
2
- 7xy + 4y
2

B - A = (3x
2
+ 2xy - y
2
) - (4x
2
– 5xy + 3y
2
)
= (3x
2
- 4x
2
) + (2xy + 5xy ) +( - y
2
-3 y
2
)
= -x
2

+- 7xy - 4y
2

Baøi 8 : Tìm ña thöùc M,N bieát :
a. M + (5x
2
– 2xy) = 6x
2
+ 9xy – y
2
b. (3xy – 4y
2
)- N= x
2
– 7xy + 8y
2
ĐS : M = x
2
+ 11xy - y
2

N = -x
2
+10xy -12y
2

Bài 9 : Cho ña thöùc
A(x) = 3x
4
– 3/4x

3
+ 2x
2
– 3 B(x) = 8x
4
+ 1/5x
3
– 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
HD:
A(x) + B(x) = 11x
4
– 11/15x
3
+ 2x
2
- 9x -13/5
A(x) - B(x) = -5x
4
– 19/15x
3
+ 2x
2
+ 9x -17/5
B(x) - A(x) = 5x
4
+ 19/15x
3
- 2x
2

- 9x +17/5
Bài 10 : Hãy viết các đa thức dưới dạng tổng của các đơn thức rồi thu gọn.
a/ D = 4x(x+y) - 5y(x-y) - 4x
2
b/ E = (a -1) (x
2
+ 1) - x(y+1) + (x +y
2
- a + 1)
ĐS : D = 5y
2
- xy
E = ax
2
- x
2
+ y
2
- xy

Bài 11: Xác định a, b và c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất
Năm học: 2010 - 2011
20
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
A = ax
2
- 5x + 4 + 2x
2
– 6 = (a + 2 )x
2

- 5x - 2
B = 8x
2
+ 2bx + c -1 - 7x = 8x
2
+ ( 2b – 7 )x + c – 1
HD: Để A và B là hai da thức đồng nhất thì
a + 2 = 8 => a = 6 ; 2b – 7 = -5 => b = 1 ; c - 1 = -2 => c = -1

Bài 12: Cho các đa thức :
A = 16x
4
- 8x
3
y + 7x
2
y
2
- 9y
4
B = -15x
4
+ 3x
3
y - 5x
2
y
2
- 6y
4

C = 5x
3
y + 3x
2
y
2
+ 17y
4
+ 1.Tính A+B-C
HD: A + B – C = x
4
- 10x
3
y - x
2
y
2
- 32y
4
- 1
Bài 13: Cho đa thức M(x) = -9x
5
+ 4x
3
– 2x
2
+ 5 x – 3. Tìm đa thức N(x) là đa thức
đối của đa thức M(x).

HD: N(x) = 9x

5
- 4x
3
+ 2x
2
- 5 x + 3.
Bài 14: Tính giá trị của các đa thức sau biết x - y = 0
a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - 5
b/ N = x (x
2
+ y
2
) - y (x
2
+ y
2
) + 3
HD:
M = 7( x - y ) + 4a( x – y ) – 5
Vì x – y = 0 nên giá trị của biểu thức M là -5
N = x.x
2
+ x.y
2
- yx
2
- y.y
2
+ 3
= x

2
( x – y ) + y
2
(x – y ) + 3 = 3
Bài 15 : Tìm đa thức A biết: A+ (3x
2
y −2xy
3
) = 2x
2
y − 4xy
3
A = ( 2x
2
y − 4xy
3
) – ( 3x
2
y −2xy
3
) = (2x
2
y - 3x
2
y) + (-4xy
3
+ 2xy
3
)
A = -x

2
y - 2xy
3
Bài 16. Cho đa thứcA = −2xy
2
+ 3xy + 5xy
2
+ 5xy + 1
a. Thu gọn đa thức A.
b. Tính giá trị của A tại x =
1
2
; y = − 1.
HD:
a) A = 3xy
2
+ 8xy + 1
b) Thay x =
1
2
; y = − 1 vào biểu thức 3xy
2
+ 8xy + 1
Ta được 3.
1
2
.(-1) + 8.
1
2
.(-1) + 1 =

3
2
- 4 + 1 = -
3
2
Vậy -
3
2
là giá trò của biểu thức trên tại 3xy
2
+ 8xy + 1
Bài 17: Cho đa thức f(x) = 2x
3
– x
5
+ 3x
4
+ x
2
-
1
2
x
3
+ 3x
5
– 2x
2
– x
4

+ 1.
Năm học: 2010 - 2011
21
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
a) Thu gọn và xác đònh bậc của đa thức trên.
b) Xắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
c) Tính f(1); f(-1)
HD:
a) 2x
3
– x
5
+ 3x
4
+ x
2
-
1
2
x
3
+ 3x
5
– 2x
2
– x
4
+ 1
= (– x
5

+ 3x
5
) + (3x
4
– x
4
) + (2x
3
-
1
2
x
3
) +( x
2
– 2x
2
) + 1
= 2 x
5
+ 2x
4
+
3
2
x
3
- x
2
+ 1 Bậc 5

b) 2 x
5
+ 2x
4
+
3
2
x
3
- x
2
+ 1
c) f(1) =
17
2
; f(-1) = -
3
2

Bài 18: Cho A(x) = 3x
5
+ 2x
4
– 4x
3
+ x
2
– 2x + 1
và B(x) = -x
4

+ 3x
3
– 2x
2
+ x
3
– 3x + 2 – 3x
4
.
a) Thực hiện thu gọn (nếu có) các đa thức trên.
b) Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x).
HD:
a) B(x) = -x
4
+ 3x
3
– 2x
2
+ x
3
– 3x + 2 – 3x
4
.
= (-x
4
– 3x
4
) + ( 3x
3
+ x

3
) -2x
2
– 3 x + 2
= -4x
4
+ 4x
3
-2x
2
– 3 x + 2
Bài 19:
Cho đa thức P(x) = 2x
3
+ 2x – 3x
2
+ 1
Q(x) = 2x
2
+ 3x
3
– x – 5
Tính: a. P(x) + Q(x)
b. P(x) – Q(x)
HD:
a ) P(x) + Q(x) = 5x
3
– x
2
+ x – 4

b) P(x) – Q(x) = -x
3
– 5
2
+ 3x + 6
Bài 20 (2 điểm) Cho đa thức M = x
2
+ 5x
4
− 3x
3
+ 4x
2
+ x
4
+3x
3
−x + 5
và đa thức N=x −5x
3
− 2x
2
−8x
4
+ 4x
3
−x+5.
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến;
b. Tính M + N, M − N ;
HD:

a) M = x
2
+ 5x
4
− 3x
3
+ 4x
2
+ x
4
+3x
3
−x + 5
= 6x
4
+ 5x
2
− x + 5
N = x − 5x
3
− 2x
2
−8x
4
+ 4x
3
− x + 5.
= −8x
4
- x

3
− 2x
2
+ 5.
b) M + N = −2x
4
- x
3
+ 3x
2
- x + 10
M – N = 14x
4
+ x
3
+ 7x
2
- x
Năm học: 2010 - 2011
22
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
Baứi 21 : Tớnh ủa thửực h(x) sao cho h(x) = g(x) f(x):
a) f(x) = x
2
+ 2x 1 vaứ g(x) = x + 3.
b) f(x) = x
4
3x
3
+ 2x 1 vaứ g(x) = - 5x

4
+ 3x
3
2 x
2
5x + 3
HD:
a) h(x) = g(x) f(x) = -x
2
- x + 4
b) h(x) = g(x) f(x) = -6x
4
+ 6x
3
2 x
2
- 7x 1 + 4
Bi 22: Cho f(x) + g(x) = 6x
4
- 3x
2
- 5
f(x) - g(x) = 4x
4
- 6x
3
+ 7x
2
+ 8x - 9
Hóy tỡm cỏc a thc f(x) ; g(x)

HD:
Ta cú f(x) + g(x) + f(x) - g(x) = 10x
4
- 6x
3
+ 4x
2
+ 8x 14
2f(x) = 10x
4
- 6x
3
+ 4x
2
+ 8x 14
f(x) = 5x
4
- 3x
3
+ 2x
2
+ 4x 7
g(x) = ( 6x
4
- 3x
2
5 ) - (5x
4
- 3x
3

+ 2x
2
+ 4x 7)
= x
4
+ 3x
3
- 5x
2
- 4x + 2
Bi 23: Cho f(x) = ax
3
+ 4x(x
2
- x) + 8
g(x) = x
3
- 4x(bx +1) + c- 3
Trong ú a, b, c l hng.Xỏc nh a, b, c f(x) = g(x)
HD:
f(x) = ax
3
+ 4x(x
2
- x) + 8 = ( a + 4 )x
3
- 4x
2
+ 8
g(x) = x

3
- 4x(bx +1) + c- 3 = x
3
4bx
2
- 4x + c- 3
f(x) = g(x) thỡ a + 4 = 1 => a = -3
4b = 4 => b = 1
c - 3 = 8 => c = 11
2. Nhân đa thức:
* Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn n thc vi a thc ta ly n thc nhõn vi tng hng t ca a thc.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lu ý đến dấu của
hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: - 2a
2
b.( 3ab
3
- 4a
2
b) = -2a
2
b.3ab
3
- 2a
2
b.(- 4a
2
b) = - 6a
3

b
4
+ 8a
4
b
2
.
* Nhõn a thc vi a thc
+ Nhõn a thc vi a thc, ta nhân mi hng t ca a thc ny lần lợt vi tng
hng t ca a thc kia.(rồi thu gọn nếu có thể)
(A + B)(C - D) = A.C A.D + B.C B.D .
Bài tập áp dụng: Tính:
a/ -
2
1
x(2x
2
+ 1) = b/ 2x
2
(5x
3
- x -
2
1
) =
c/ 6xy(2x
2
- 3y) = d/ (x
2
y - 2xy)(-3x

2
y) =
e/ (2x + y)(2x - y) = f/ (xy - 1)(xy + 5) =
3. Chia đa thức:
* Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Nm hc: 2010 - 2011
23
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
a
m
: a
n
= a
m - n
ví dụ: x
3
: x
2
= x
* Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia n thc cho n thc , ta chia h s cho h s , chia luỹ thừa cùng cơ số
vi nhau.
+ Ví dụ: 15x
3
y : (-3x
2
) = 15:(-3).x
3
:x

2
.y:y
0
= - 5x y
* Chia đa cho đơn thức :
Chia a thc cho n thc, ta ly tng hng t ca a thc b chia chia cho n thc.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi chia lu ý đến dấu của
hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: (- 2a
2
b + 6ab
3
- 4a
2
b
2
) : 2ab = - a + 3b - 2ab.
* Chia a thc mt bin ó sp xp:
+ Chia h/t bc cao nht ca a thức b chia, cho h/tử bc cao nht của a thc chia
+ Tìm đa thức d thứ nhất,
+ Chia h/t bc cao nht ca a thức d , cho h/tử bc cao nht của a thc chia,
+ Tìm đa thức d thứ hai,
Dừng lại khi hạng tử bậc cao nhất của đa thức d có bậc bé hơn bậc của hạng tử bậc
cao nhất của đa thức chia .
2x
4
- 13x
3
+ 15x
2

+ 11x - 3
2x
4
- 8x
3
- 6x
2
- 5x
3
+ 21x
2
+ 11x - 3
- 5x
3
+ 20x
2
+ 10x
- x
2
- 4x - 3
- x
2
- 4x - 3
0
x
2
- 4x - 3
2x
2
- 5 x + 1

Phộp chia ht v phộp chia cú d.
A = B.Q + R (R = 0 hoc bc ca R nh hn bc ca B)
III. Hng ng th c đáng nhớ:
-BèNH PHNG CA MT TNG : (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
-BèNH PHNG CA MT HIU : (A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
-HIU HAI BèNH PHNG : A
2
- B
2
= (A +B)(A - B)
-TNG HAI LP PHNG : A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
)
-HIU HAI LP PHNG : A

3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
-LP PHơNG CA MT TNG : (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
-LP PHNG CA MT HIU : (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)

2
= b/ (3x + 1)
2
= c/ (x + 3y)
2
=
d/ (x - 7)
2
= e/ (5 - y)
2
= f/ ( 2x - 1)
2
=
g/ x
2
- (2y)
2
= h/ x
2
- 1 = i/ 4x
2
- 9y
2
=
k/ x
3
- 1 = l/ 8 + x
3
= m/ 8x
3

+ 27 =
n/ ( x +1)
3
= p/ ( x - 2)
3
=
IV. Phõn tớch a thc thnh nhõn t :
1. Phng phỏp t nhõn t chung
Nm hc: 2010 - 2011
24
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.
+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thơng của
các hạng tử tơng ứng với nhân tử chung
Ví dụ: a/ 12x
2
- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x - 1).
b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
2. Phng phỏp dựng hng ng thc
+ Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:
Dạng 3 hạng tử: A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B

2
= (A - B)
2

Ví dụ: x
2
+ 2x +1 = x
2
+ 2.x.1 +1
2
= (x + 1)
2

D ng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là bình ph ơng của một biểu thức:
A
2
- B
2
= (A + B)(A - B)
Ví dụ: x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
Dạng hai hạng tử với phép tính cộng, mỗi hạng tử là lập ph ơng của một biểu thức
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B

2
)
Chú ý: Bình bình phơng thiếu của hiệu
Ví dụ: x
3
+ 1 = (x +1)(x
2
- x +1)
Dạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập ph ơng của một biểu thức
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ: x
3
- 1 = (x - 1)(x
2
+ x + 1).
3. Phng phỏp nhúm nhiu hng t
(Thờng dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
+ Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
+ áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ: 2x
3
- 3x

2
+ 2x - 3 = ( 2x
3
+ 2x) - (3x
2
+ 3) = 2x(x
2
+ 1) - 3( x
2
+ 1)
= ( x
2
+ 1)( 2x - 3)
4. Phng phỏp tỏch hng t
5. Phng phỏp thờm, bt hng t
6. Phi hp nhiu phng phỏp
+ Trớc hết nghĩ đến phơng pháp đặt nhân tử chung.
+ Tuỳ đó để sử phơng pháp hằng dẳng thức hoặc nhóm hạng tử
+ Có thể đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ: 3xy
2
- 12xy + 12x = 3x(y
2
- 4y + 4) = 3x(y - 2)
2

Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:
1/ 2x
2
- 5xy 2/ x

3
- 1 3/ -3xy
3
- 6x
2
y
2
+18y
2
x
3
4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x
2
6/ 1- 2y + y
2

7/ x
2
- 4 8/ 10x-25 - x
2
9/ x
2
+2x+1- y
2
10/ 2xy- x
2
- y
2
+16 11/ 25x - x
3

12/ 10x
2
+ x
3
+ 25x
13/ x
2
+7x + 6 14/ x
2
+ 8x - 9 15/ x
3
+1.
Nm hc: 2010 - 2011
25
Phần X:
Phân thức. cộng, trừ, nhân, chia phân thức