ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC THAM KHẢO SỐ 1 MÔN TOÁN NĂM 2010

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 THAM KHẢO SỐ 1
MÔN TOÁN
Bài 1: Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x= + + + +
có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của
tham số m sao cho (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có
diện tích bằng
8 2
.
Bài 2:
1) Giải phương trình:
cos2 5 2(2 -cos )(sin -cos )x x x x+ =
2) Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
8 27 18
4 6
x y y
x y x y
+ =



+ =

Bài 3:
1) Tính tích phân I =
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx
π
π
× +
∫
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
Bài 4: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 60
0
, ABC và SBC là các tam giác đều
cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có
phương trình

3
1
12
1 −
==
− zyx
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và
khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
Bài 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ ABC có diện tích bằng
3
2
; trọng tâm
G của
∆
ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC.
Bài 7: a) Tìm các số thực b, c để phương trình z
2
+ bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một
nghiệm.
b) Tính giới hạn của dãy số sau: U
n
=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 1 1 1 , 1.
n
x x x x x+ + + + <

Bài 8: a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +
b) Tìm số tự nhiên n sao cho:
1 2 2009
1. 2 .2
n
n n n
C C nC n+ + + =
.
Hết
1
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
1) ( Các bước khảo sát HS tự thực hiện)
Bảng biến thiên:

+ Hàm số luôn đồng biến, điểm uốn:
2 52
;
3 27
U
 
−
 ÷

 
2)
Phương trình hoành độ điểm chung của (C
m
) và d là:
=

+ + + + = + ⇔ + + + = ⇔

= + + + =

3 2 2
2
0
2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0
( ) 2 2 0 (2)
x
x mx m x x x x mx m
g x x mx m
(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác
0.
≤ − ∨ ≥

∆ = − − >

⇔ ⇔

 
≠ −
= + ≠


/ 2
1 2
2 0
( )
2
(0) 2 0
m m
m m
a
m
g m
.
Mặt khác:
− +
= =
1 3 4
( , ) 2
2
d K d
Do đó:
∆
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2
1
8 2 . ( , ) 8 2 16 256

2
KBC
S BC d K d BC BC
2 2
( ) ( ) 256
B C B C
x x y y⇔ − + − =
với
,
B C
x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
⇔ − + + − + = ⇔ − = ⇔ + − =
2 2 2 2
( ) ( 4 ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128
B C B C B C B C B C
x x x x x x x x x x
2 2
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
m m m m m
±
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =
(thỏa ĐK (a)). Vậy
1 137
2
m
±
=

Bài 2:
1) Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
- 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos -sin -1
cos -sin 5( cos -sin 2)
x x
x x loai vi x x
=

⇔

= ≤

2
2
2 sin( ) 1 sin( ) sin ( )
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k
π
π
π π π
π π

= +

⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈


= +

2) Từ (1) ⇒ y ≠ 0
Hệ ⇔
3
3
3
3
2
2
27
3
8 18
(2 ) 18
4 6
3 3
1
2 . 2 3
x
x
y
y
x x
x x
y y
y y

 


+ =
+ =

 ÷

 
 
⇔
 
 
 
+ =
+ =
 ÷



  
Đặt a = 2x; b =
3
y
. Ta có hệ:
3 3
3
18
1
( ) 3
a b
a b
ab

ab a b
+ =
+ =


⇔
 
=
+ =


ĐS: Hệ đã cho có 2 nghiệm
3 5 6 3 5 6
; , ;
4 4
3 5 3 5
   
− +
 ÷  ÷
   
+ −
2
Bài 3:
1) Ta có: I =
2
2
6
1
sin sin
2

π
π
× +
∫
x x dx
=
2
2
6
3
cos (cos )
2
π
π
−
− ×
∫
x d x
. Đặt
3
cos cos
2
x t
= ×

Đổi cận: Khi
2
x cos
6 2 4
t t

π π
= ⇒ = ⇒ =
; khi
x cos 0
2 2
t t
π π
= ⇒ = ⇒ =
.
Do vậy:
2
2
4
3
sin
2
I tdt
π
π
= ×
∫
=
( )
3
2
16
π
+
.
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
(1)
* Đk
[-1;1]x ∈
, đặt t =
2
1 1
3
x+ −
;
[-1;1]x ∈ ⇒
[3;9]t ∈
Ta có: (1) viết lại
2
2 2
2 1
( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1
2
t t
t m t m t m t t m
t
− +
− + + + = ⇔ − = − + ⇔ =

−
Xét hàm số f(t) =
2
2 1
2
t t
t
− +
−
, với
[3;9]t ∈
. Ta có:
2
/ /
1
4 3
( ) , ( ) 0
3
( 2)
t
t t
f t f t
t
t
=

− +
= = ⇔

=

−

Lập bảng biến thiên
t 3 9
f
/
(t) +
f(t)

48
7
4
Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệm
[-1;1]x ∈
⇔ (2) có nghiệm
[3;9]t ∈
⇔
48
4
7
m≤ ≤
Bài 4:
Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM.
Suy ra: SM =AM =
3
2
a
;
·
0

60AMS
=
và SO ⊥ mp(ABC)
⇒ d(S; BAC) = SO =
3
4
a
Gọi V
SABC
- là thể tích của khối chóp S.ABC
⇒ V
S.ABC
=
3
3
1
.
3 16
ABC
a
S SO
∆
=
(đvtt)
Mặt khác, V
S.ABC
=
SAC
1
S .d(B;SAC)

3
∆
∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA =
a 3
2
⇒
2
13 3
16
SAC
a
S
∆
=
Vậy: d(B; SAC) =
.
3
3
13
S ABC
SAC
V
a
S
∆
=
(đvđd).
3
C
S

O
M
A
B
Bài 5:
*Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d
và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
HIAH ≥
=> HI lớn nhất khi
IA ≡
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
làm véctơ pháp tuyến.
Mặt khác,
)31;;21( tttHdH ++⇒∈
vì H là hình chiếu của A trên d nên
. 0 ( (2;1;3)AH d AH u u
⊥ ⇒ = =
uuur r r
là véc tơ chỉ phương của d)
)5;1;7()4;1;3( −−⇒⇒ AHH

Vậy: (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
⇔
7x + y – 5z –77 = 0
Bài 6:
Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) =
5 2
2

ABC
a b S
AB
∆
− −
=
⇒
8(1)
5 3
2(2)
a b
a b
a b
− =

− − = ⇔

− =

; Trọng tâm G
( )
5 5
;
3 3
a b+ −
∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)
Từ (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r =
3
2 65 89
S

p
=
+ +
Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒
3
2 2 5
S
r
p
= =
+
.
Bài 7:
a) Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z
2
+ bx + c = 0 ( b, c ∈ R), nên ta có :
( ) ( ) ( )
2
0 2
1 1 0 2 0
2 0 2
b c b
i b i c b c b i
b c
+ = = −
 
+ + + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔
 
+ = =
 

b) Ta có:
( )
( )
( ) ( )
1
2
2
2 2 2
1
1 1 1 1 , 1.
1
n
n
x
x x x x x
x
+
−
+ + + + = <
−
Do đó: limU
n
=
( )
( )
( ) ( )
1
2
2

2 2 2
1 1
lim 1 1 1 1 lim , 1.
1 1
n
n
x
x x x x x
x x
+
−
+ + + + = = <
− −
Bài 8: a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +
Ta có :
3 2 2
8 1 (2 1)(4 2 1) 2 1
cauchy
c c c c c+ = + − + ≤ +
⇒
2
3
2 1

8 1
a a
c
c
≥
+
+
Tương tự,
2 2
3 3
;
2 1 2 1
8 1 8 1
b b c c
a b
a b
≥ ≥
+ +
+ +
Ta sẽ chứng minh:
2 2 2
1 (1)
2 1 2 1 2 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +
( HS tự chứng minh BĐT này)
b) Xét nhị thức:
( )

0
1 .
n
n
k k
n
k
x C x
=
+ =
∑
.
Lấy đạo hàm hai vế ta có,
( )
1
1
1
1
n
n
k k
n
k
n x kC x
−
−
=
+ =
∑
. Cho x = 1 ta được đẳng thức sau:

1 2 1 1 2009 1 2009
1. 2. . .2 .2 .2 2 2 2010
n n n n
n n n
C C n C n n n n
− − −
+ + + = ⇒ = ⇔ = ⇔ =

4