Đề thi thử Đại học, Cao đẳng môn Toán 2010 docx

. THI TH I HC, CAO NG NM 2010
Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ).
PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH
PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH
(7 im)
(7 im)
Cõu I (2 im) Cho hàm số
1
12
+

=
x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
)2;1(I
tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
Cõu II (2 im) :
1. Gii h phng trỡnh:
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y

+ + + =

+ = + +

.
2.Gii phng trỡnh :
01cossin2sinsin2
2
=++ xxxx
.
Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn
3
6
cotx
I dx
sinx.sin x
4


=


+
ữ


Cõu IV (1 im) Cho hỡnh chúp ct tam giỏc u ngoi tip mt hỡnh cu bỏn kớnh r cho trc. Tớnh th tớch
hỡnh chúp ct bit rng cnh ỏy ln gp ụi cnh ỏy nh.
Cõu V (1 im) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48

22
++=++ xxmx
.
PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trỡnh chun.
Cõu VI.a (2 im)
1. Cho

ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM:
2 1 0x y+ + =
v phõn giỏc trong CD:
1 0x y+ =
. Vit phng trỡnh ng thng BC.
2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

.Gi

l ng thng qua im A(4;0;-1) song
song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

, hóy vit phng
trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht.
Cõu VII.a (1 im) Với x,y là các số thực thuộc đoạn
[ ]
0;1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
1 1 2 9
3
2 1 1
1
xy
P
xy x y xy
x y
+
= + + +
+ + + +
+ +
2. Theo chng trỡnh nõng cao.
Cõu VI.b (2 im) 1) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn
2 2
( ): 2 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 5 0C x y x+ + =
cựng i qua M(1; 0). Vit phng trỡnh ng
thng qua M ct hai ng trũn

( ), ( ')C C
ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB.
2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d :
z
y
x =


=
1
2

và d :
1
5
3
2
2

+
==
z
y
x
.
Viết phơng trình mặt phẳng
)(

đi qua d và tạo với d một góc
0

30
Cõu VII.b (1 im) Cho a, b, c l ba cnh tam giỏc. Chng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b

+ + + + <
ữ
+ + + + + +

Ht
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng
năm 2010
Hớng dẫn chấm môn toán
Cõu Phn Ni dung
I
(2,0) 1(1,0)
Lm ỳng, cỏc bc theo S kho sỏt hm s cho im ti a.
2(1,0)
. Tập xác định :
1x
.

1
3
2
1

12
+
=
+

=
xx
x
y
,
2
)1(
3
'
+
=
x
y
,
Bảng biến thiên:
Tiệm cận đứng :
1
=
x
, tiệm cận ngang
2=y
2. Nếu
)(
1
3

2;
0
0
C
x
xM








+

thì tiếp tuyến tại M có phơng trình
)(
)1(
3
1
3
2
0
2
00
xx
xx
y
+

=
+
+
hay
0)1(3)2()1()(3
0
2
00
=++ xyxxx
. Khoảng cách từ
)2;1(I
tới tiếp tuyến là
( )
2
0
2
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
9
6
)1(9
16
19

)1(3)1(3
++
+
=
++
+
=
++
+
=
x
x
x
x
x
xx
d
. Theo bất đẳng thức
Côsi
692)1(
)1(
9
2
0
2
0
=++
+
x
x

, vây
6d
. Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
( )
3131)1(
)1(
9
0
2
0
2
0
2
0
==++=
+
xxx
x
.
Vậy có hai điểm M :
( )
32;31
+
M
hoặc
( )
32;31
+

M
Cõu í Ni dung
1
1) CõuII:2. Gii phng trỡnh:
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
=+=++ xxxxxxxx
.

22
)3cos2()1(cos8)1cos2( == xxx
. Vậy
5,0sin =x
hoặc
1cossin
=
xx
.
Với
5,0sin =x
ta có


kx 2
6
+=
hoặc


kx 2

6
5
+=
Với
1cossin
=
xx
ta có






==






=
4
sin
2
2
4
sin1cossin

xxx

, suy ra


kx 2
=
hoặc


kx 2
2
3
+=
2
Dễ thấy
0y ≠
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2
1
4
1 4
.
( ) 2 7 2
1
( ) 2 7
x
x y

y
x y xy y
y x y x y
x
x y
y

+
+ + =


+ + + =

⇔
 
+ = + +
+


+ − =


2
1
,
x
u v x y
y
+
= = +

ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
  
⇔ ⇔
 

− = + − = = − =
  
+) Với
3, 1v u= =
ta có hệ:
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
= =
  
+ = + = + − =

⇔ ⇔ ⇔

  

= − =
+ = = − = −

  
.
+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:
2 2 2
1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
  
+ = + = + + =
⇔ ⇔
  
+ = − = − − = − −
  
, hệ này vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.= −x y
Câu Phần
Tính
( )
( )
3 3
6 6

3
2
6
cot cot
2
sinx sinx cos
sin xsin
4
cot
2
sin x 1 cot
x x
I dx dx
x
x
x
dx
x
π π
π π
π
π
π
= =
+
 
+
 ÷
 
=

+
∫ ∫
∫
Đặt 1+cotx=t
2
1
sin
dx dt
x
⇒ = −
Khi
3 1
1 3;
6 3
3
x t x t
π π
+
= ⇔ = + = ⇔ =
V y ậ
( )
3 1
3 1
3 1
3
3 1
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3

t
I dt t t
t
+
+
+
+
−
 
= = − = −
 ÷
 
∫
Gi H, H l tõm ca cỏc tam giỏc u ABC, ABC. Gi I, I l trung im ca AB, AB. Ta cú:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH






Suy ra hỡnh cu ni tip hỡnh chúp ct ny tip xỳc vi hai ỏy ti H, H v tip xỳc vi mt bờn (ABBA) ti im
Gi x l cnh ỏy nh, theo gi thit 2x l cnh ỏy ln. Ta cú:

1 3 1 3

' ' ' ' ' ;
3 6 3 3
x x
I K I H I C IK IH IC= = = = = =
Tam giỏc IOI vuụng O nờn:
2 2 2 2
3 3
' . . 6r
6 3
x x
I K IK OK r x= = =
Th tớch hỡnh chúp ct tớnh bi:
( )
' . '
3
h
V B B B B= + +
Trong ú:
2 2 2
2 2
4x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h= = = = = =
T ú, ta cú:
2 2 3
2 2
2r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.

3 2 2 3
V

ữ
= + + =
ữ

Nhận xét : 10x
48
2
++ x
= 2(2x+1)
2
+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(
02)
1
12
()
1
12
2
2
2
=+
+

+

+
+
x
x
m
x
x
.
Đặt
t
x
x
=
+
+
1
12
2
Điều kiện : -2< t
5
. Rút m ta có: m=
t
t 22
2
+
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
(
]

5,2
, ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4 < m
VIa
1
Điểm
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ −
.
Suy ra trung điểm M của AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ −
 
 ÷
 
.
( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ −
 

∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ −
 ÷
 
Từ A(1;2), kẻ
: 1 0AK CD x y⊥ + − =
tại I (điểm
K BC∈
).
Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + =
.
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =

⇒

− + =

.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của

( )
1;0K −
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+
= ⇔ + + =
− +

2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng
∆
, thì
( ) //( )P D
hoặc
( ) ( )P D⊃
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có
IH AH⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, ,d D P d I P IH

H P

= =


∈


Trong mặt phẳng
( )
P
,
IH IA≤
; do đó
axIH = IA H Am ⇔ ≡
. Lúc này (P) ở vị trí (P
0
) vuông góc với IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P
0
) là
( )
6;0; 3n IA= = −
r uur
, cùng phương với
( )
2;0; 1v = −
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P

0
) là:
( ) ( )
2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + =
.
+ Ta cã :
1
(*)
2 1
xy x y
xy x y
+ +
≥
+ + +
.
ThËt vËy:
( ) ( ) ( ) ( )
(*) 1 1 2xy x y x y xy⇔ + + + ≥ + +
( ) ( )
1 1 0x y⇔ − − ≥

§óng víi x,y thuéc
[ ]
0;1
Khi ®ã
1 1 1
1(1)
2 1 1 1
xy x y
xy x y x y x y

+ +
+ ≥ + =
+ + + + + + +
+ V×
[ ]
; 0;1 0 1x y xy∈ ⇒ ≤ ≤
2
1 2 1(2)
1
xy
xy
⇒ + ≤ ⇒ ≥
+
+Tong tù:
( )
( )
3
3
9
0 2 1 9 1(3)
1
x y x y
x y
≤ + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ ≥
+ +
Tõ (1);(2);(3) Ta cã :
3P
≥
VËy , MinP=3 khi x=y=1
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và

1, ' 3R R= =
, đường thẳng (d) qua M có
phương trình
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠
.
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có:
2 2 2 2
2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = −
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = −
,
.IA IH>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d
a b a b
⇔ − = ⇔ − =
+ +
2 2
2 2
2 2
36

35 36
a b
a b
a b
−
⇔ = ⇔ =
+
Dễ thấy
0b ≠
nên chọn
6
1
6
= −

= ⇒

=

a
b
a
.
Kiểm tra điều kiện
IA IH>
rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
2
.Đờng thẳng d đi qua điểm
)0;2;0(M
và có vectơ chỉ phơng

)1;1;1( u
Đờng thẳng d đi qua điểm
)5;3;2(' M
và có vectơ chỉ phơng
)1;1;2(' u
.
Mp
)(

phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
n
vuông góc với
u
và
2
1
60cos)';cos(
0
==un
. Bởi vậy nếu đặt
);;( CBAn =
thì ta phải có :





=
++
+

=+
2
1
6
2
0
222
CBA
CBA
CBA






=
+=






+++=
+=
02
)(632
22
222

CACA
CAB
CCAAA
CAB
Ta có
0)2)((02
22
=+= CACACACA
. Vậy
CA =
hoặc
CA =2
.
Nếu
CA =
,ta có thể chọn A=C=1, khi đó
2=B
, tức là
)1;2;1(=n
và
)(

mp
có phơng trình
0)2(2 =++ zyx
hay
042
=++
zyx
Nếu

CA =2
ta có thể chọn
2,1 == CA
, khi đó
1=B
, tức là
)2;1;1( =n
và
)(

mp
có phơng trình
02)2( = zyx
hay
1,00
Vỡ a, b, c l ba cnh tam giỏc nờn:
a b c
b c a
c a b
+ >


+ >


+ >

.
t
( )

, , , , 0 , ,
2 2
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ +
= = = > + > + > + >
.
V trỏi vit li:
2
3 3 2
a b a c a
VT
a c a b a b c
x y z
y z z x x y
+ +
= + +
+ + + +
= + +
+ + +
Ta cú:
( ) ( )
2
2
z z
x y z z x y z z x y
x y z x y
+ > + + < + >
+ + +
.

Tng t:
2 2
; .
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +
Do ú:
( )
2
2
x y z
x y z
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
.
Tc l:
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b

+ + + + <
ữ
+ + + + + +