DE ON CAP TOC 2010 CO DAP AN

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số
2)2()21(
23
++−+−+= mxmxmxy
(1) m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2. Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:
07 =++ yx
góc
α
, biết
26
1
cos =
α
.
Câu II (2 điểm)
1. Giải bất phương trình:
54
4
2
log
2
2
1
≤−







− x
x
.
2. Giải phương trình:
( )
.cos32cos3cos21cos2.2sin3 xxxxx −+=++
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I
( )
∫
++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
x
.
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB
2a=
. Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn:

IHIA 2−=
, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng
0
60
.Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn:
xyzzyx ≤++
222
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+
+
+
+
+
=
222
.
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ).
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình
01 =++ yx

,
trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P):
x + y + z - 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA
2
+ MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VII.a (1 điểm)
Cho khai triển:
( )
( )
14
14
2
210
2
2
10
121 xaxaxaaxxx ++++=+++
. Hãy tìm giá trị của
6
a
.
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), các đường thẳng ∆
1
: x + y – 3 = 0 và đường thẳng ∆
2

:
x + y – 9 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆
1
và điểm C thuộc ∆
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
2 .Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P)
01 =+−+ zyx
,đường thẳng d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
−
=
− zyx

Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng
∆
nằm trong (P), vuông góc với d và cách
I một khoảng bằng
23
.
VII.b:( 1 điểm). Tính giá trị biểu thức:

0 2 2 4 2 1004 2008 1005 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
3 3 ( 1) 3 3
k k
S C C C C C C= − + + + − + + −
Hết


__________________________

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN, Khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề.
1

ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
MÔN:TOÁN, Khối A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.
Câu ý Nội dung Điểm
I(2đ) 1(1đ
)
Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x
3
− 3x
2
+ 4
a) TXĐ: R

b) SBT
•Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
0,25
•Chiều biến thiên:
Có y’ = 3x
2
− 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2
x
−∞
0 2
+∞
y’
+ 0 − 0 +
y
−∞
4
0
+∞
Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), nghịch biến trên (0 ; 2).
0,25
•Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= y(0) = 4;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y
CT

= y(2) = 0.
0,25
c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0)
Tâm đối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1đ) Tìm m
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
tiếp tuyến có véctơ pháp
)1;(
1
−= kn
d: có véctơ pháp
)1;1(
2
=n
Ta có






=
=
⇔=+−⇔
+
−
=⇔=

3
2
2
3
0122612
12
1
26
1
.
cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn
α
0,5
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình:
1
/
ky =

(1) và
2
/
ky =
(2) có nghiệm x
⇔






=−+−+
=−+−+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx
⇔




≥∆

≥∆
0
0
2
/
1
/
0,25
2
có nghiệm
1
I
2
2
-1
4
0 x
y
có nghiệm
⇔




≥−−
≥−−
034
0128
2
2

mm
mm
⇔






≥−≤
≥−≤
1;
4
3
2
1
;
4
1
mm
mm
⇔
4
1
−≤m
hoặc
2
1
≥m
0,25

II(2đ) 1(1đ
)
Giải bất phương trình
Bpt






≤
−
≤
−≤
−
≤−
⇔







≤
−
≥−
−
⇔
)2(3

4
2
log2
)1(2
4
2
log3
9
4
2
log
04
4
2
log
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
x
x
x
x
x

x
x
x
0,25
. Giải (1): (1)
5
16
3
8
0
4
165
0
4
83
8
4
2
4 ≤≤⇔







≤
−
−
≥

−
−
⇔≤
−
≤⇔ x
x
x
x
x
x
x
0,25
. Giải (2): (2)
9
4
17
4
0
4
49
0
4
417
4
1
4
2
8
1
≤≤⇔








≤
−
−
≥
−
−
⇔≤
−
≤⇔ x
x
x
x
x
x
x
0,25
Vậy bất phương trình có tập nghiệm













5
16
;
3
8
9
4
;
17
4

.
0,25
2(1đ) Giải PT lượng giác
Pt
)1cos2()12(cos)cos3(cos)1cos2(2sin3 +−−+−=+⇔ xxxxxx
)1cos2(sin2cossin4)1cos2(2sin3
22
+−−−=+⇔ xxxxxx
0)1sin22sin3)(1cos2(
2
=+++⇔ xxx
0,5
•

1)
6
2sin(22cos2sin301sin22sin3
2
−=−⇔−=−⇔=++
π
xxxxx

π
π
kx +−=⇔
6
0,25
•
)(
2
3
2
2
3
2
01cos2 Zk
kx
kx
x ∈







+−=
+=
⇔=+
π
π
π
π
Vậy phương trình có nghiệm:
π
π
2
3
2
kx +=
;
π
π
2
3
2
kx +−=
và
π
π
kx +−=
6
(k
)Z∈
0,25

III(1đ) 1(1đ
)
Tính tích phân.
I
( )
∫
++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
x
.
3
IV
•Đặt
dttdx
x
dx
dtxt )1(
21
211 −=⇒
+
=⇒++=
và

2
2
2
tt
x
−
=
Đổi cận
x 0 4
t 2 4
0,25
•Ta có I =
dt
t
t
tdt
t
ttt
dt
t
ttt
∫∫ ∫






−+−=
−+−

=
−+−
4
2
2
4
2
4
2
2
23
2
2
24
3
2
1243
2
1)1)(22(
2
1
=









++−
t
tt
t 2
ln43
22
1
2
0,5
=
4
1
2ln2 −
0,25
(1đ) Tính thể tích và khoảng cách
•Ta có
⇒−= IHIA 2
H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH
BC = AB
2

a2=
; AI=
a
; IH=
2
IA
=
2
a

AH = AI + IH =
2
3a
0,25
•Ta có
2
5
45cos.2
0222
a
HCAHACAHACHC =⇒−+=
Vì
⇒⊥ )(ABCSH
0
60))(;( ==
∧∧
SCHABCSC
2
15
60tan
0
a
HCSH ==
0,25
•
6
15
2
15
)2(

2
1
.
3
1
.
3
1
3
2
.
aa
aSHSV
ABCABCS
===
∆
0,25
•
)(SAHBI
SHBI
AHBI
⊥⇒



⊥
⊥

Ta có
22

1
)(;(
2
1
))(;(
2
1
))(;(
))(;( a
BISAHBdSAHKd
SB
SK
SAHBd
SAHKd
===⇒==
0,25
4
H
K
I
BA
S
C
V (1đ) Tim giá trị lớn nhất của P

xyz
z
zxy
y
xyx

x
P
+
+
+
+
+
=
222
.
Vì
0;; >zyx
, Áp dụng BĐT Côsi ta có:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
222
222
++≤
=











++=
xyzxyz
222
4
1

0,25









++
≤









++
=








+++++≤
xyz
zyx
xyz
xyzxyz
yxxzzy
222
2
1
2
1111111
4
1
2
1
2
1
=









≤
xyz
xyz
0,5
Dấu bằng xảy ra
3===⇔ zyx
. Vậy MaxP =
2
1
0,25
PHẦN TỰ CHỌN:
Câu ý Nội dung Điểm
VIa(2đ) 1(1đ
)
Viết phương trình đường tròn…
KH:
022:;01:
21
=−−=++ yxdyxd

1
d
có véctơ pháp tuyến
)1;1(

1
=n
và
2
d
có véctơ pháp tuyến
)1;1(
2
=n
• AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ chỉ phương
)1;1(
1
=n
⇒
phương trình AC:
03 =−− yx
.

⇒∩=
2
dACC
Tọa độ C là nghiệm hệ:
)4;1(
022
03
−−⇒



=−−

=−−
C
yx
yx
.
0,25
• Gọi
);(
BB
yxB
⇒

)
2
;
2
3
(
BB
yx
M
+
( M là trung điểm AB)
Ta có B thuộc
1
d
và M thuộc
2
d
nên ta có:

)0;1(
02
2
3
01
−⇒





=−−+
=++
B
y
x
yx
B
B
BB
0,25
• Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng:
022
22
=++++ cbyaxyx
. Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta
có






−=
=
−=
⇔





−=+−−
−=+−
−=+
3
2
1
1782
12
96
c
b
a
cba
ca
ca
⇒
Pt đường tròn qua A, B, C là:
0342
22

=−+−+ yxyx
. Tâm I(1;-2) bán kính R =
22
0,5
2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)
5
•Gọi
Ocban ≠= );;(
là véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
• d(C;(P)) =
0141623
)2(
2
3
22
222
=+−⇔=
+−+
+
⇔ caca
ccaa
ca






=
=
⇔
ca
ca
7
0,5
•TH1:
ca =
ta chọn
1== ca
⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0

TH2:
ca 7
=
ta chọn a =7; c = 1 ⇒Pt của (P):7x+5y+z+2=0
0,25
VII.a (1 đ) Tìm hệ số của khai triển
• Ta có
4
3
)12(
4
1
1
22
++=++ xxx
nên

( )
10121422
10
)21(
16
9
)21(
8
3
)21(
16
1
)1(21 xxxxxx +++++=+++
0,25
• Trong khai triển
( )
14
21 x+
hệ số của
6
x
là:
6
14
6
2 C

Trong khai triển
( )
12

21 x+
hệ số của
6
x
là:
6
12
6
2 C

Trong khai triển
( )
10
21 x+
hệ số của
6
x
là:
6
10
6
2 C
0,5
• Vậy hệ số
.417482
16
9
2
8
3

2
16
1
6
10
66
12
66
14
6
6
=++= CCCa
0,25
VI.b(2đ) 1(1đ
)
Tìm tọa độ của điểm C
• Gọi tọa độ của điểm
)
3
;
3
1();(
CC
CC
yx
GyxC +⇒
. Vì G thuộc d
)33;(3304
33
13 +−⇒+−=⇒=−+







+⇒
CCCC
CC
xxCxy
yx
•Đường thẳng AB qua A và có véctơ chỉ phương
)2;1(=AB

032: =−−⇒ yxptAB
0,25
•
5
11
5
3332
5
11
);(
2
11
);(.
2
1
=

−−+
⇔=⇔==
∆
CC
ABC
xx
ABCdABCdABS





=
−=
⇔=−⇔
5
17
1
1165
C
C
C
x
x
x
0,5
6
• TH1:
)6;1(1 −⇒−= Cx
C

TH2:
)
5
36
;
5
17
(
5
17
−⇒= Cx
C
.
0,25
2(1đ) Viết phương trình của đường thẳng
• (P) có véc tơ pháp tuyến
)1;1;1(
)(
−=
P
n
và d có véc tơ chỉ phương
)3;1;1(. −−=u

)4;2;1()( IPdI ⇒∩=
• vì
∆⇒⊥∆⊂∆ dP);(
có véc tơ chỉ phương
[ ]
)2;2;4(;

)(
−−==
∆
unu
P

)1;1;2(2 −−=
0,25
• Gọi H là hình chiếu của I trên
∆
)(QmpH ∈⇒
qua I và vuông góc
∆
Phương trình (Q):
0420)4()2()1(2 =+−+−⇔=−−−+−− zyxzyx
Gọi
11
)()( dQPd ⇒∩=
có vécto chỉ phương
[ ]
)1;1;0(3)3;3;0(;
)()(
==
QP
nn
và
1
d
qua I






+=
+=
=
⇒
tz
ty
x
ptd
4
2
1
:
1

Ta có
);;0()4;2;1(
1
ttIHttHdH =⇒++⇒∈
•



−=
=
⇔=⇔=
3

3
23223
2
t
t
tIH

0,5
• TH1:
1
7
1
5
2
1
:)7;5;1(3
−
−
=
−
=
−
−
∆⇒⇒=
zyx
ptHt
TH2:
1
1
1

1
2
1
:)1;1;1(3
−
−
=
+
=
−
−
∆⇒−⇒−=
zyx
ptHt
0,25
VII.b 1 đ Giải phương trình trên tập số phức.
ĐK:
iz ≠
• Đặt
zi
iz
w
−
+
=
ta có phương trình:
0)1)(1(1
23
=++−⇔= wwww










−−
=
+−
=
=
⇔



=++
=
⇔
2
31
2
31
1
01
1
2
i

w
i
w
w
ww
w
0,5
• Với
011 =⇔=
−
+
⇒= z
zi
iz
w
7
• Với
333)31(
2
31
2
31
−=⇔−−=+⇔
+−
=
−
+
⇒
+−
= zizi

i
zi
izi
w
• Với
333)31(
2
31
2
31
=⇔−=−⇔
−−
=
−
+
⇒
−−
= zizi
i
zi
izi
w
Vậy pt có ba nghiệm
3;0 == zz
và
3−=z
.
0,5

1. B ∈ ∆

1
⇔ B(a; 3 –a) . C ∈ ∆
2
⇔ C(b; 9-b)
∆ ABC vuông cân tại A ⇔
2 2
. 0AB AC
AB AC

=


=


uuur uuur

0,5
⇔
2 2
2ab - 10a - 4b + 16 = 0 (1)
2a - 8a = 2b 20b 48 (2)


− +

a = 2 không là nghiệm của hệ trên.
0,5
(1) ⇔ b =
5a - 8

a - 2
. Thế vào (2) tìm được a = 0 hoặc a = 4
0,5
Với a = 0 suy ra b = 4.
Với a = 4 suy ra b = 6.
0,5
Via 2.Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 1; 1; 1)
+) MA
2
+ MB
2
= 2MI
2
+ IA
2
+ IB
2
Do IA
2
+ IB
2
không đổi nên MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất khi MI

nhỏ nhất
⇔ M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
1

+) Phương trình đường thẳng MI :
x-1 y-1 z-1
= =
1 1 1
. 0,5
M là giao điểm của MI và mặt phẳng (P).
Từ đó tìm được M(2; 2; 2)
0,5
VIIb Ta có:
( ) ( )
( )
2010 2010
0 2 2 4 2 1004 2008 1005 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
1 3 1 3 2 3 3 ( 1) 3 3 3
k k k
i i C C C C C C+ + − = − + + + − + + −
Mà
( ) ( )
2010 2010
2010 2010
2010 2010 -2010 -2010
1 3 1 3 2 ( os in ) 2 os in
3 3 3 3
i i c s c s
π π π π
 
+ + − = + + +
 ÷
 

=
( )
2010 2010
2.2 os670 2.2c
π
=
Vậy S = 2
2010

Hết
VI.b 2đ
8

9