Đề cương môn học: Cơ học và sức bền vật liệu doc

§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Đề cương môn học
Cơ học và
sức bền vật
liệu
- 1 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
MỤC LỤC
Phần 1: cơ học vật rắn
CHƯƠNG 1:
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1.1. Các khái niệm cơ bản.
1.1.1. Vật rắn tuyệt đối.
Trong cơ học, vật thể được biểu diễn dưới hai dạng mô hình:
Chất điểm (Hạt).
Hệ chất điểm (Cơ hệ).
* Chất điểm: - Là điểm hình học mang khối lượng xác định.
- Vật thể có kích thước bỏ qua được so với kích thước đặc trưng
cho chuyển động của nó được gọi là chất điểm.
Ví dụ: Trái đất có thể xem như là một chất điểm khi xét chuyển động
của nó xung quanh hệ mặt trời ( R
TĐ
= 6.10
6
m

, R
MT
= 7.10
8
m

, d
TĐ-MT
=
15.10
10
m

).
- 2 -
Đề cơng môn học: Cơ học và sức bền vật liệu
* H cht im: L tp hp cỏc cht im m v trớ v chuyn ng ca mi
cht im thuc h ph thuc vo nhng cht im cũn li.
* Vt rn tuyt i: L mt c h trong ú khong cỏch gia hai cht im bt
k luụn luụn khụng i.
Nh vy, vt rn tuyt i (vt rn) ch l mt h cht im, mt dng
tru tng ca vt rn thc. Hay núi cỏch khỏc, ch l mụ hỡnh gn ỳng ca
vt rn thc. Vt rn thc bao gi cng b bin dng ớt hay nhiu khi chu cỏc
tỏc ng bờn ngoi.
n gin, vt rn tuyt i thng c gi tt l vt rn.
1.1.2. Chuyn ng c hc - H quy chiu - Trng thỏi cõn bng.
* Vt th c nghiờn cu trong c hc lý thuyt l mt phn ca vt
cht tng quỏt, luụn trng thỏi chuyn ng v c gi l chuyn ng c
hc.
Chuyn ng c hc ca vt rn l s thay i v trớ ca vt (hay mt
phn ca vt) theo thi gian so vi mt vt khỏc c chn. Vt khỏc c
chn lm mc nghiờn cu chuyn ng c gi l h quy chiu. Vi mi
chuyn ng cn xỏc nh mt h quy chiu nht nh (mt vt rn khỏc)
d dng xỏc nh v trớ ca vt chuyn ng.
Vic la chn h quy chiu rt quan trng, vỡ n lt nú, h quy chiu ny

li cú th chuyn ng so vi mt h quy chiu (vt) khỏc. H quy chiu c
gi l c nh khi nú khụng cú chuyn ng so vi mt h quy chiu quy c
v c gi l ng khi nú chuyn ng so vi h quy chiu quy c.
tin nghiờn cu, ta thng gn vo h quy chiu mt h trc ta
(Oxyz).
* Trng thỏi cõn bng: L trng thỏi khụng chuyn ng so vi mt h quy
chiu (quy c) ó cho. Cõn bng ca vt rn (h cht im) s xy ra khi tt
c cỏc cht im ca nú trng thỏi cõn bng.
1.1.3. Lc.
* Hin tng:
- 3 -
Đề cơng môn học: Cơ học và sức bền vật liệu
Hai chic xe A v B, B ang ng yờn cũn A chuyn ng tin li gn
xe B v õm vo B. Sau khi va chm ta thy c hai xe A v B chuyn ng.
Vy nguyờn nhõn no khin xe B ang ng yờn li chuyn ng?
T nhng quan sỏt, kinh nghim v thc nghim ta thy nguyờn nhõn
ca s bin i trng thỏi chuyn ng c hc hay s di ch ca vt th
chớnh tỏc dng tng h gia cỏc vt th. Do ú:
* Lc l i lng c trng s o s tỏc dng tng h c hc gia cỏc vt
th.
+ Cỏc yu t ca lc: Thc nghim chng t rng lc c c trng
bi ba yu t: im t, hng (phng, chiu), tr s.
- im t: L phn t vt cht thuc vt m qua ú tỏc dng tng h
c truyn n vt.
- Hng ca lc: L hng chuyn ng m lc ú gõy ra cho vt.
- Tr s ca lc (cng ca lc): L s o tỏc dng mnh yu ca lc
so vi lc c chn lm chun gi l n v lc. n v lc l Niutn ký
hiu l N. Ngoi ra cũn dựng KN, MN 1N = 10
-3
KN = 10

-6
KN
+ Biu din lc.
Ngi ta dựng vộct biu din c trng ca
lc gi l vộct lc. VD: N, F , P
Hỡnh 1.1.1
- Vộct lc cú gc ti im t ca lc, hng trựng vi hng ca lc, di
t l vi tr s ca lc.
1.1.4. Cỏc khỏI nim khỏc.
1.1.4.1. H lc.
H lc l tp hp cỏc lc cựng tỏc dng lờn mt vt rn.
H lc gm cỏc lc
1
F
,
2
F
, ,
n
F
c ký hiu l (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
)

1.1.4.2. Hai h lc tng ng.
Hai h lc c gi l tng ng khi chỳng cựng tỏc dng c hc.
H lc (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
) tng ng vi h lc (
1

,
2

, ,
n

) c ký
hiu l:
- 4 -
A
P

§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
(
1
F

,
2
F
, ,
n
F
) ≅ (
1
φ
,
2
φ
, ,
n
φ
)
1.1.4.3. Hệ lực cân bằng.
Hệ lực cân bằng là hệ lực khi tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi
trạng thái ban đầu của vật có được khi không chịu tác dụng của hệ lực ấy.
Hệ lực (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
) cân bằng được ký hiệu (
1

F
,
2
F
, ,
n
F
) ≅ 0
1.1.4.4. Hợp lực.
Một lực duy nhất tương đương với tác dụng của của hệ lực thì đó được
gọi là hợp lực.
Nếu
R
là hợp lực của hệ lực (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
) thì:

R
≡ (
1
F
,
2

F
, ,
n
F
)
1.1.4.5. Ngẫu lực và hệ ngẫu lực.
- Định nghĩa:
Xét trường hợp đặc biệt khi hai lực
1
F
và
2
F
song song, ngược chiều và
cùng trị số. R = F
1
- F
2
= 0, nhưng hệ (
1
F
,
2
F
) không cân bằng vì
1
F
,
2
F

không
cùng đường tác dụng, như vậy hệ (
1
F
,
2
F
) không có hợp lực. Trong thực tế lực
này có khuynh hướng làm cho vật rắn quay và được gọi là ngẫu lực.
Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, có trị số bằng
nhau nhưng không cùng đường tác dụng.
Ký hiệu: (
1
F
,
2
F
)


Hình 1.1.2
- 5 -
1
F
A
a
2
F
B
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu

Khoảng cách giữa đường tác dụng của hai lực lập thành ngẫu lực được
gọi là cánh tay đòn.
- Các yếu tố của ngẫu lực.
Ngẫu lực có ba yếu tố:
- Mặt phẳng tác dụng là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực.
- Chiều quay của ngẫu lực là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên.
- Trị số mômen của ngẫu lực là tích số giữa trị số của ngẫu lực với cánh
tay đòn:
m = ± F.a
Trong đó: + m: Trị số mômen của ngẫu lực.
+ F: Trị số của lực.
+ a: Cánh tay đòn.
+ Dấu ± biểu thị chiều quay của ngẫu lực:
Lấy dấu + khi ngẫu lực quay thuận chiều kim đồng
hồ.
Lấy dấu - khi ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng
hồ.
- Đơn vị đo của trị số mômen là Niutơn.mét. Ký hiệu: Nm, KNm, MNm
1KNm = 10
3
Nm, 1MN = 10
3
KN.
- Sự tương đương của các ngẫu lực. Hai tính chất của ngẫu lực.
+ Sự tương đương của hai ngẫu lực: Hai ngẫu lực cùng nằm trong một
mặt phẳng, cùng chiều quay và cùng trị số mômen bằng nhau thì tương đương.
+ Tính chất của ngẫu lực:
- Tính chất 1: Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi di chuyển ngẫu
lực trong mặt phẳng tác dụng của nó.
- Tính chất 2: Ta có thể biến đổi trị số của lực và cánh tay đòn của ngẫu lực

miễn là không làm biến đổi trị số mômen của ngẫu lực.
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học.
1.2.1. Tiên đề 1. (Tiên đề hai lực cân bằng)
- 6 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là hai
lực phải cùng đường tác dụng, ngược chiều và có trị số bằng nhau.

F
= -
'F
Hình 1.1.3
1.2.2. Tiên đề 2. ( Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng)
Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không hề thay đổi khi ta thêm
vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau.
Nếu
F
và
'F
là hai lực cân bằng thì: (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
) ≅ (
1

F
,
2
F
, ,
n
F
,
F
,
'F
)
Hoặc nếu hệ lực (
1
F
,
2
F
,
3
F
, ,
n
F
) có hai lực cân bằng (
1
F
,
2
F

) thì:
(
1
F
,
2
F
,
3
F
, ,
n
F
) ≅ (
3
F
, ,
n
F
)
* Hệ quả: (Định lý trượt lực)
Tác dụng của một lực lên một vật rắn không hề thay đổi khi ta trượt lực
trên đường tác dụng của nó.
Giả sử: Lực
A
F
tác dụng lên vật rắn tại A, tại B ta thêm 2 lực (
B
F
,

B
F'
)
cân bằng nhau có cùng đường tác dụng với lực
A
F
và:

B
F
= -
B
F'
=
A
F
Ta có:
A
F
≅ (
A
F
,
B
F
,
B
F'
) ≅
B

F
Như vậy
B
F
chính là
A
F
trượt từ A tới B.
Hình 1.1.4
1.2.3. Tiên đề 3. (Tiên đề hình bình hành lực)
Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó và
được biểu diễn bằng một vectơ chéo hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ
biểu diễn hai lực thành phần.
F
≅ (
1
F
,
2
F
) hay
F
=
1
F
+
2
F
- 7 -
A

B
F
'F
A
B
F
'F
A
B
B
F
B
F'
A
F
F
1
F
2
F
O
Đề cơng môn học: Cơ học và sức bền vật liệu

Hỡnh 1.1.5
1.2.4. Tiờn 4. (Tiờn v lc tỏc dng v phn lc tỏc dng)
Lc tỏc dng v phn lc tỏc dng gia hai vt cú cựng ng tỏc dng,
hng ngc chiu v cú cựng cng .
Hỡnh 1.1.6
1.2.5. Tiờn 5. (Tiờn húa rn)
Mt vt rn bin dng ó cõn bng di tỏc dng ca h lc thỡ khi hoỏ

rn li nú vn cõn bng.
Tiờn cho phộp coi vt bin dng cõn bng l vt rn cõn bng. Nhng
iu kin cõn bng ca vt rn cng l nhng iu kin cn (nhng khụng )
ca vt bin dng cõn bng.
1.2.6. Tiờn 6. (Tiờn gii phúng liờn kt)
+ Vt t do: L vt cú th thc hin c mi di chuyn vụ cựng bộ t v trớ
ang kho sỏt sang nhng v trớ lõn cn (nh qu búng bay trong khụng gian).
+ Vt khụng t do: L vt cú di chuyn theo mt phng no ú b cn tr.
+ Liờn kt: Nhng iu kin cn tr chuyn ng ca vt kho sỏt (Vt A)
c gi l liờn kt t lờn vt (Bn B).
+ Tỏc dng tng h ti liờn kt vt gõy liờn kt tỏc dng lờn vt kho sỏt,
lc ú c gi l phn lc liờn kt. Phn lc liờn kt chớnh l lc lm cn tr
chuyn ng t do ca vt kho sỏt.
* Vt khụng t do ( tc vt chu liờn kt ) cõn bng cú th c xem l vt t
do cõn bng nu gii phúng cỏc liờn kt, thay th tỏc dng ca cỏc liờn kt
c gii phúng bng cỏc phn lc liờn kt tng ng.
- 8 -
N
P
O
'F
F
Đề cơng môn học: Cơ học và sức bền vật liệu
1.3. Liờn kt v phn lc liờn kt.
1.3.1. Liờn kt ta.
Hai vt liờn kt ta khi chỳng trc tip ta lờn nhau thc hin theo cỏc
b mt hoc theo cỏc ng, hoc theo b mt v ng hoc theo im v b
mt hay im v ng l hon ton nhn thỡ phn lc ta cú phng vuụng
gúc vi mt ta
Hỡnh 1.1.7

1.3.2. Liờn kt dõy.
Liờn kt dõy cn tr chuyn ng ca vt kho sỏt theo chiu cng dõy.
Phn lc hng theo phng ca dõy theo chiu t vt kho sỏt i ra.
Phn lc liờn kt ca dõy mm cũn c gi l lc cng dõy.
Hỡnh 1.1.8
1.3.3. Liờn kt bn l phng.
Liờn kt bn l phng cú hai loi: Bn l di ng v Bn l c nh.
a. Bn l di ng.
- 9 -
N
t
t
B
B
A
C
A
C
B
A
C
B
C
Đề cơng môn học: Cơ học và sức bền vật liệu
Bn l di ng cho phộp vt kho sỏt (vt B) quay quanh trc bn l v
di chuyn theo phng song song vi mt ta, cũn cn tr chuyn ng theo
phng vuụng gúc vi mt ta.
Hỡnh 1.1.9
b. Bn l c nh.
Liờn kt bn l c nh ch cho phộp vt kho sỏt (vt B) quay quanh

trc bn l cũn mi di chuyn u b cn tr. Phn lc liờn kt
R
cú tr s v
phng cha bit, cũn chiu thỡ nh. n gin khi tớnh toỏn ta thng
phõn
R
thnh hai thnh phn l
x
R
v
y
R
vuụng gúc vi nhau:
R
=
x
R
+
y
R
Hỡnh 1.1.10
1.3.4. Liờn kt ngm.
Hai vt c ni cng vi nhau to ra liờn kt ngm
Vớ d: inh úng vo tng, ct chụn xung nn, hai thanh thộp c
hn vi nhau Phn lc liờn kt gm 1 ngu lc v mt lc. Khi tớnh toỏn ta
phi phõn tớch lc v ngu lc theo cỏc phng.
- 10 -
B
A
B

N
N
B
N
B
B
A
y
R
x
R
y
R
x
R
R
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.1.11
1.3.5. Liên kết thanh.
Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện
sau: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực tác dụng và bỏ
qua trọng lượng thanh.
Những liên kết tại hai đầu thanh được thực hiện nhờ bản lề trụ, cầu hoặc
tựa. Phản lực liên kết thanh nằm dọc theo đường nối tâm hai khớp bẩn lề.
Hình 1.1.12
1.4. Lý thuyết về mô men lực.
1.4.1. Mô men của lực lấy đối với một tâm (Một điểm).
Thực tế chứng tỏ rằng một lực tác dụng lên vật rắn vừa có khả năng làm
cho vật rắn di chuyển vừa có khả năng làm cho vật rắn quay.
Xét về mômen của một lực đối với một điểm là xét khả năng của lực

làm vật quay quanh điểm đó.
Giả sử vật rắn có thể quay quanh điểm O cố định.
Tác dụng quay mà
F
gây ra cho vật phụ thuộc vào trị số cua lực (F) và
khoảng cách a từ O đến đường tác dụng của lực. Còn chiều quay mà lực gây
- 11 -
B
A
B
R
A
S
S
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
ra cho vật có thể là thuận hay ngược chiều kim đồng hồ. Đại lượng đặc trưng
cho cả tác dụng quay và chiều quay đó được gọi là mômen của một lực đối
với một điểm.
Định nghĩa: Mômen của một lực đối với một điểm là một đại lượng đại
số có giá trị tuyệt đối bằng tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn và có
dấu (+) hay (-) tùy thuộc vào chiều quay của lực
F
quanh tâm O là ngược hay
thuận chiều kim đồng hồ.
o
m
(
F
) = ±F.a
o

m
(
F
): Ký hiệu mômen của lực
F
đối với điểm O
F: Trị số của lực
a: Cánh tay đòn


Hình 1.1.13
* Cách xác định mômen của một lực đối với một điểm:
Từ điểm lấy mômenhạ đường vuông góc đến đường tác dụng của lực để tìm
cánh tay đòn a.
Tính mô men theo công thức, khi xác định chiều quay để lấy dấu cần đứng ở
điểm lấy mômen và vòng theo chiều của lực quanh điểm đó.
* Ví dụ: Xác định mômen của các lực
1
F
và
2
F
đối với các điểm A và
B như hình vẽ.
Biết
1
F
= 10KN;
2
F

= 12KN; α = 30
0
; AC = CD = DB = 2m.

- 12 -
a
O
F
A
B
N
B
D
C
α
I
K
1
F
2
F
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.14
+ Giải:
A
m
(
1
F
) = -F

1
.AI = -F
1
.AC.sinα = -10.2.sin30
0
= -10KNm.
A
m
(
2
F
) = -F
2
.AD = -12.4 = -18KNm.
B
m
(
1
F
) = F
1
.BK = F
1
.CB.sinα = 10.4.sin30
0
= 20KNm.
B
m
(
2

F
) = F
2
.BD = 12.2 = 24KNm.
1.4.2. Mômen của một lực đối với một trục.
a. Định nghĩa.
Cho lực
F
và một trục nào đó, dựng mặt phẳng (P) bất kỳ vuông góc
với trục z và cắt trục tại O. Gọi
'F
là hình chiếu của
F
lên mặt phẳng (P), ta
có định nghĩa:
Mômen của lực
F
đối với trục z là mômen của hình chiếu lực lên mặt
phẳng vuông góc với trục đối với giao điểm của trục và mặt phẳng vuông góc
đó.
aFFm
z
'.)( ±=
Trong đó:
-
)(Fm
z
: Là ký hiệu mômen của lực
F
đối với trục z.

- F’: Là trị số hình chiếu của lực
F
lên mặt phẳng vuông góc với trục z
- a: Khỏang cách từ O đến F’
-
)(Fm
z
có dấu (+) khi nhìn từ chiều dương trục z thấy lực có xu hướng
làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ,

)(Fm
z
có dấu (-) trong trường hợp ngược lại.
- 13 -
P
O
z
a
'F
F
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.1.15
Như vậy: Mômen của lực đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho
tác dụng quay quanh trục do lực đó gây ra.
b. Cách tính mômen của một lực đối với một trục.
Từ định nghĩa ta suy ra cách tính mômen của một lực đối với một trục
như sau:
- Xác định hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục.
(Thuận lợi nhất là lấy mặt phẳng vuông góc với trục chứa điểm đặt lực).
- Từ giao điểm của trục với mặt phẳng vuông góc hạ đường vuông góc

với hình chiếu lực để xác định cánh tay đòn a.
- Tính mômen theo công thức.
c. Các trường hợp đặc biệt.
Khi lực
F
song song với trục z thì:
0)( =Fm
z
vì F’ = 0
Khi lực
F
có đường tác dụng cắt trục z thì:
0)( =Fm
z
vì a = 0
Khi lực
F
nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục z thì:
aFFm
z
.)( ±=
- 14 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
CHƯƠNG 2:
ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC
2.1. Hai đặc trưng hình học cơ bản của hệ lực không gian.
1.5.1. Véc tơ chính của hệ lực không gian.
a. Định nghĩa.
Véc tơ chính của hệ lực, kí hiệu
R

, là tổng hình học của các véc tơ biểu
diễn của hệ lực.
k
n
kn
FFFFR
121

=
∑=+++=
(*)
b. Phương pháp xác định véc tơ chính.
+ Phương pháp hình học:
Để xác định véctơ chính có thể vẽ (trên hình vẽ xét hệ lực gồm bốn
lực) đa giác lực. Muốn vậy, từ một điểm bất kì ta vữ nối tiếp những véctơ
song song cùng chiều và có trị số bằng các véctơ biểu diễn các lực của hệ lực.
Đường gãy khúc nhận được gọi là đa giác lực. Véctơ
OD
được gọi là véctơ
khép kín đa giác lực. Vậy, véctơ chính của hệ lực chính là véctơ khép kín của
đa giác lực.

- 15 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.2.1
Trong trường hợp hệ lực phẳng, đa giác lực là đa giác phẳng, còn
trong trường hợp hệ lực không gian, đa giác lực, nói chung là đa giác ghềnh.
+ Phương pháp giải tích:
Dựa vào công thức (*), véctơ chính có thể được xác định qua các hình
chiếu của nó theo các hình chiếu của các lực của hệ lực trên các trục toạ độ

vuông góc Oxyz.
R’









=+++=
=+++=
=+++=
∑
∑
∑
=
=
=
n
k
kznzzzz
n
k
kynyyyy
n
k
kxnxxxx
FFFFR

FFFFR
FFFFR
1
21
1
21
1
21
'
'
'
Từ đó mô đun và phương chiếu của vec tơ chính được xác định theo
công thức:
z
y
x
RRRR
2
2
2
'''' ++=
cos
α
= R’
x
/R’; cos
β
= R’
y
/R’; cos

γ
= R’
z
/R’
1.5.2. Mômen chính của hệ lực không gian.
a. Định nghĩa.
Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, kí hiệu
0
M
là một
véctơ bằng tổng hình học của các véctơ mô men của các lực thuộc hệ lực đối
với tâm O.
∑ ∑
= =
∧==
n
k
n
k
kkk
FrFmM
1 1
00
)(
(**)
- 16 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.2.2
b. Phương pháp xác định.
+ Phương hình học:

Dựa vào công thức (**) ta thấy ngay rằng véctơ mômen chính của hệ
lực đối với tâm O là véctơ khép kín của đa giác véctơ, có các cạnh là các
véctơ song song cùng chiều và có trị số ( Tương tự xác định véc tơ chính ).
+ Phương giải tích:
Tương tự xác định véc tơ chính.
2.2. Thu gọn hệ lực không gian.
2.2.1. Thu gọn hệ lực về một tâm.
a. Định lý dời lực song song.
* Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không thay đổi ta phải thêm
vào một ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đã cho đối với điểm
mới dời đến.
* Chứng minh:
Giả sử có lực
F
đặt tại A cần phải dời song song lực đó đến điểm B.
- 17 -
A
B
F
A
B
1
F
'F
"F
A
B
1
F
'F

m
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.2.3
Ta thêm vào B hai lực cân bằng nhau
'F
và
"F
sao cho F’ = F” = F, và
đường tác dụng của
F
,
"F
song song với nhau. Khi đó (theo tiên đề 2) ta có:
F
≅ (
F
,
'F
,
"F
)
Nhưng
F
và
"F
tạo thành một ngẫu lực nên ta có:
'F
≅
F
và ngẫu lực (

F
,
"F
) và có cùng trị số với
F
nên có thể coi
'F
là
F

được dời song song từ A đến B.
Ngẫu lực (
F
,
"F
) có mômen
m
= -F.AB
Mặt khác:
B
m
(
F
) = -F.AB
→
m
=
B
m
(

F
).
* Định lý đảo:
Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương đương
với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có mômen đối
với điểm đặt của lực đã cho bằng mômen của ngẫu lực.
Từ địnhlý ta có vị trí của điểm đặt lực tương đương:
F
m
a =
b. Thu gọn hệ lực về một tâm.
Giả sử cần phải thu gọn hệ lực bất kỳ (
1
F
,
2
F
,
3
F
) về tâm O.
Hình 1.2.4
Ta dời song song các lực về O:
1
F
≅
'
1
F
và ngẫu lực

)(
1
1
Fmm
o
=
2
F
≅
'
2
F
và ngẫu lực
)(
2
2
Fmm
o
=
3
F
≅
'
3
F
và ngẫu lực
)(
3
3
Fmm

o
=
- 18 -
A
B
1
F
2
F
3
F
C
O
m
2
'
1
F
'
2
F
'
3
F
O
m
3
m
1
M

0
R
O
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Như vậy hệ lực bất kỳ tương đương với một hệ lực đồng quy ở O và
một hệ ngẫu lực.
Thu gọn hệ lực
'
1
F
,
'
2
F
,
'
3
F
được
R
:
'
1
F
+
'
2
F
+
'

3
F
=
R
Thu gọn hệ ngẫu lực
1
m
,
2
m
,
3
m
được M
O
:
M
O
=
1
m
+
2
m
+
3
m

=
)(

1
Fm
o
+
)(
2
Fm
o
+
)(
3
Fm
o
=
∑
)(Fm
o
R
được gọi là véctơ chính, M
O
được gọi là mômen chính của hệ lực đã cho
đối với điểm O.
Vậy một hệ lực bất kỳ tương đương với một véctơ chính và một mômen
chính.
* Xác định véctơ chính:
Trị số:
∑∑∑
++=
222
)()()(' ZYXR

Hướng:
'
cos
R
X
∑
=
α
,
'
cos
R
Y
∑
=
β
,
'
cos
R
Z
∑
=
γ
.
* Xác định mômen chính:
∑
= )(FmoM
o
Qua các công thức trên ta thấy khi thay đổi tâm thu gọn O thì

R
vẫn như cũ,
còn
o
M
sẽ thay đổi vì cánh tay đòn của các lực đã thay đổi.
→ Véctơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn, còn mômen chính phụ
thuộc vào tâm thu gọn.
c. Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực.
Muốn tìm kết quả gọn nhất của hệ lực đầu tiên ta chọn một tâm O bất
kỳ rồi thu hệ về tâm đó, sau đó căn cứ vào kết quả thu được để xác định dạng
tối giản.
* Có 4 trường hợp sau:
- Trường hợp 1:
- 19 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Thu về tâm bất kỳ có R’ ≠ 0 và M
O
≠ 0. Nếu
0. =MR
: Hệ lực tương
đương với một hợp lực cách tâm thu gọn một khoảng
'R
M
a
o
=
. Nếu
0. ≠MR
:

Hệ lực thu về hệ lực xoắn.
- Trường hợp 2:
Thu về tâm bất kỳ có R’ ≠ 0 và M
O
= 0. Đây là kết quả gọn nhất, trường
hợp hệ tương đương với hợp lực, chỉ khác với trường hợp trên là hợp lực đặt
ngay ở O.
- Trường hợp 3:
Thu về tâm O bất kỳ có R’ = 0, M
O
≠ 0, trường hợp này hệ lực tương
đương với một ngẫu lực. Theo tính chất của ngẫu lực thì ở đây kết quả không
phụ thuộc vào việc chọn tâm O.
- Trường hợp 4:
Thu về tâm O bất kỳ có R’ = 0, M
O
= 0, trường hợp này hệ cân bằng.
* Tóm lại:
Thu hệ lực bất kỳ về dạng tối giản được hoặc là hệ tương đương với
một hợp lực, hoặc là hệ tương đương với một ngẫu lưc, hoặc là hệ cân bằng.
2.2.2. Định lý biến thiên mômen chính, Định lý Va-ri-nhông
a. Định lý biến thiên mômen chính:
Biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm lấy mômen thay đổi từ O
đến O’ bằng mômen của véctơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’.
)'(
'
'
'
→→
→→

=−
OO
OO
RmMM
b. Định lý Va-ri-nhông:
Khi hệ lực có hợp lực R thì mômen
của R với một tâm hay một trục nào đó
bằng tổng mômen của các lực trong hệ lực
lấy đối với tâm hay trục đó.
- 20 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Hình 1.2.5
2.3. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực không
gian.
2.3.1. Điều kiện cân bằng.
Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là vécơ chính và
véctơ mômen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt
tiêu:
R’
O
= 0
M
O
= 0
2.3.2. Các phương trình cân bằng.
a. Hệ lực không gian bất kỳ.
Hệ lực không gian bất kỳ khi tác dụng lên vật rắn có thể làm vật di
chuyển theo ba trục và quay quanh ba trục. Sáu chuyển động độc lập đó được
gọi là sáu bậc tự do của vật rắn trong không gian. Vật rắn cân bằng khi các
chuyển động đó không có hoặc đều, muốn vậy phải có sáu phương trình:

0=
∑
X
0=
∑
Y

0=
∑
Z
0)( =Fm
x

0)( =Fm
y

0)( =Fm
z

Như vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian bất kỳ cân bằng là
tổng hình chiếu của các lực lên các trục và mômen của các lực đối với các trục
đều phải bằng không.
b. Hệ lực không gian song song.
Hệ lực không gian song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực không
gian bất kỳ nên có thể suy ra điều kiện cân bằng cho hệ lực không gian song
song từ hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian bất kỳ.
- 21 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Giả sử có hệ lực không gian song song (
1

F
,
2
F
, ,
n
F
). Chọn hệ trục tọa
độ Oz song song với các lực thì ta có:
0=
∑
X
0=
∑
Y
0)( =
∑
Fm
z
Hình 1.2.6
Do vậy từ điều kiện trên ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian
song song như sau:

0=
∑
Z
0)( =Fm
x
0)( =Fm
y

* Như vậy:
Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song cân bằng là tổng
hình chiếu của các lực lên các trục song song với các lực và tổng mômen của
các lực đối với các trục còn lại đều phải bằng không.
c. Hệ lực không gian đồng quy.
Giả sử có hệ lực không gian đồng quy (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
). Chọ hệ trục tọa
độ có gốc trùng với điểm đồng quy của các lực, khi đó ta luôn có:
0)( =Fm
x
0)( =Fm
y
0)( =Fm
z
Do đó ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng quy:
0=
∑
X
0=
∑
Y

- 22 -
y
x
z
O
1
F

2
F
n
F
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
0=
∑
Z
Vậy điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là
tổng hình chiếu của các lực lên các trục tọa độ đều phải bằng không.
2.4. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng.
2.4.1. Điều kiện cân bằng.
* Định lý: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là vécto
chính và mômen chính của hệ đối với một tâm bất kỳ đều phải bằng không.
0=
o
R
0=
o
M
2.4.2. Các dạng phương trình cân bằng.
a. Hệ lực phẳng bất kỳ.

Hệ lực phẳng bất kỳ khi tác dụng lên vật rắn có thể làm vật di chuyển
tịnh tiến theo hai trục và quay quanh một trục. Ba chuyển động độc lập đó
được gọi là ba bậc tự do của vật rắn trong mặt phẳng.
Vật rắn cân bằng khi các chuyển động đó không có hoặc đều, muốn vậy
phải có ba phương trình cân bằng.
+ Dạng 1:
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu
của các lực lên hai trục tọa độ và tổng mômen của các lực đối với một điểm
bất kỳ nằm trong mặt phẳng của các lực đều phải bằng không.
0=
∑
X
0=
∑
Y
0)( =
∑
Fm
o
+ Dạng 2:
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mômen
của các lực đối với hai điểm A, B bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực và tổng
hình chiếu các lực lên trục Ox không vuông góc với phương AB đều phải
bằng không.

0)( =
∑
Fm
A
- 23 -

§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu

0)( =
∑
Fm
B

0=
∑
X
(x không vuông góc với AB)
+ Dạng 3:
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mômen
của các lực đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng đều phải bằng không.
0)( =
∑
Fm
A
0)( =
∑
Fm
B
0)( =
∑
Fm
C
b. Hệ lực phẳng song song.
Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, vì vậy
có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song từ điều kiện cân
bằng của hệ lực phẳng bất kỳ.

Giả sử có hệ lực phẳng song song (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
). Ta chọn hệ tọa độ
xOy có trục Ox vuông góc với đường tác dụng của các lực. Khi đó, hình chiếu
của các lực lên trục Ox bằng không, nghĩa là
∑
= 0X
không còn phải là
phương trình cân bằng nữa. Đo đó từ điều kiện cân bằng dạng 1 và dạng 2 của
hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra được điều kiện cân bằng dạng 1 và dạng 2 của hệ
lực phẳng song song.
Dạng 1:

0=
∑
Y
0)( =
∑
Fm
o
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là hình
chiếu của các lực lên trục song song và tổng mômen của các lực đối với các
điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng không.

Dạng 2:
0)( =
∑
Fm
A
0)( =
∑
Fm
B
(AB không song song với phương của
lực)
- 24 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng
mômen của các lực đối với hai đỉem không cùng nằm trên đường song song
với đường tác dụng của các lực đều phải bằng không.
c. Hệ lực phẳng đồng quy.
Hệ lực phẳng đồng quy cũng là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng,
vì vậy có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy từ điều
kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ.
Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy (
1
F
,
2
F
, ,
n
F
). Ta chọn hệ tọa độ

xOy có gốc toạ độ O là giao điểm các đường tác dụng của các lực thuộc hệ lực
trên. Khi đó, phương trình mômen của các lực lấy đối với O tự thoả mãn (Do
cánh tay đòn a=0) nên ta có phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy
là:
0=
∑
X
0=
∑
Y

2.5. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ ngẫu lực
phẳng.
2.5.1. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng.
+ Xét ví dụ:
Giả sử hệ gồm 3 ngẫu lực: F
1
=10N, a
1
=2m; F
2
=12N, a
2
=4m; F
3
=8N,
a
3
=1m. Ta cần thu gọn 3 ngẫu lực đó.
Theo tính chất của ngẫu lực ta biến đổi các ngẫu lực đã cho có cùng

cánh tay đòn là 2m.
Ngẫu lực (
1
F
,
1
'F
) không cần biến đổi.
Ngẫu lực (
2
F
,
'
2
F
) thành ngẫu lực có trị số lực là 24N.
Ngẫu lực (
3
F
,
'
3
F
) thành ngẫu lực có trị số lực là 4N.
Thu gọn các lực ơ A và B thành
R
và
'R
ta được:
R = F

2
+ F
3
- F
1
= 24 + 4 - 10 = 18N
R’ = R = 18N
- 25 -