ĐỀ THI HSG CẤP TP MÔN TOÁN(09-10)

Phòng GD-ĐT thành phố Quy nhơn .
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ
-NĂM HỌC 2009-2010. Ngày kiểm tra : 07 / 01 / 2010
MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài : 150 phút
(khơng kể thời gian phát đề)
Câu 1 (4đ) : Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
1 1 1
A +
2 1 1 2 3 2 2 3 2010 2009 2009 2010
= + +
+ + +
b)
2 2 2 2 2 2
B 1 2 3 4 -2008 +2009= − + − +
Câu 2 (4điểm) : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
a)
y x 2 2x 2 x= − − + +
b) Cho hai đa thức :
( )
5 4 3 2
f x x 7x 7x 49x 12x 84= + − − + +
và
( )
2
g x x 2= −
Hãy tính giá trị của tích :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g a .g b .g c .g d .g e
; biết rằng

( )
f x
có thể phân tích thành
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x x a x b x c x d x e= − − − − −
Câu 3 (3điểm) : Cho phương trình
1 1
x 2 x 52a
=
− −
với a là tham số
a) Giải phương trình trên
b) Giả sử
2
a p=
với p là một số ngun tố.
Chứng minh rằng phương trình trên có một nghiệm duy nhất và là một hợp số.
Câu 4 (3 điểm) :
Một tam giác có các cạnh với độ dài 6 ; 8 và 10 . Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội
tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó .
Câu 5 (3điểm) :
Trong hình tròn có diện tích bằng 2010 , người ta lấy 2011 điểm bất kỳ , trong đó khơng có 3
điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích bé hơn 2 . ?
Câu 6 (3 điểm) :
Các cạnh của một tam giác vng có độ dài là các số ngun . Hai trong các số đó là các số
ngun tố và hiệu của chúng bằng 50 . Hãy tính giá trị nhỏ nhất có thể có được của cạnh thứ ba ?
Phòng GD-ĐT Tp Quy nhơn ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS-2009-2010
MÔN TOÁN
Thời gian : 150 phút

Câu 1 (4đ) :
Câu a (2điểm) :
+Nêu được
( )
1 1 1
n n 1 n 1 n n 1 n
= −
− + − −
(0,5đ)
+Suy ra :
1 1 1 1 1 1 2010 1
A . . . +
1 2 2 3 2009 2010 2010
−
= − + − + − =
(1,5đ )
Câu b(2 điểm) :
+Viết lại :
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
B 1 3 2 5 4 . . . + 2009 2008= + − + − + −
(0,5điểm)
+Tính :
B 1 2 3 4 5 . . . +2008+2009= + + + + +
(1,0 điểm)
2009.2010
B
2
=
(0,5điểm)

Câu 2 (4đ) :
Câu a (2điểm) : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y x 2 2x 2 x= − − + +
+Viết được :
2x 2 x 2 x 2x 4 khi x 1
y -2x 2 x 2 x 2x khi 1 x 2
2x 2 x 2 x 4 khi x 2
+ − + + = + ≤ −


= − − + + = − − < <


− − + − + = − ≥

(1,0điểm)
+Vẽ đồ thị (hình vẽ) : (0,5điểm)
+Kết luận : y
max
= 2 khi x = – 1 (0,5điểm)
Câu b)
+Ta có : g(a).g(b).g(c).g(d).g(e) = (a
2
– 2).(b
2
– 2).(c
2
– 2).(d
2
- 2).( e

2
– 2) (0,5điểm)
=
( ) ( ) ( ) ( )
a 2 a 2 . . . . e 2 . e 2− + − +
. (0,5điểm)
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e
   
− − − − − − − − − − − − − − −
   
(0,5điểm)
=
( )
f 2
.
( )
f 2−
Kết quả =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 4 3 2 5 4 3 2
2 7 2 7 2 49 2 12 2 84 2 7 2 7 2 49 2 12 2 84
   
+ − − + + − + − − − − − − +
   
   
= 188 (0,5đ)
y
x

- 2
0
2
2
- 2
- 4
- 1
4
Câu 3 (3 điểm) :
Câu a) Điều kiện
x 2≠
và
x 52a≠
(0,5điểm)
+Phương trình trên tương đương với
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
x 2 x 52a x 2 x 52a
26a 1 x 26a 1 26a 1
− = − ⇔ − = −
⇔ − = + −
(0,5điểm)
+Nếu
1
a
26
≠
thì
x 26a 1= +

Và
1
a
26
=
thì
x 2∀ ≠
đều là nghiệm của phương trình (0,5điểm)
Câu b) Nếu a = p
2
, hiển nhiên
1
a
26
≠
, do đó
2
x 26p 1= +
là nghiệm duy nhất
Ta cần chứng minh với p là số nguyên tố thì
2
x 26p 1= +
là hợp số
*Nhận xét : -Nếu p = 2 , 3 thì x = 26p
2
+ 1 là hợp số
-Nếu
p 2 , 3≠
thì p có thể viết dưới dạng :
3k 1±

Khi đó :
( ) ( )
2 2
x 26 9k 6k 1 1 3 78k 52k 9= ± + + = ± +
cũng là hợp số.
Câu 4 (3điểm) :
+Hình vẽ : (0,5đ)
+Nhận xét : Tam giác ABC vuông, giả sử tại A.
( )
ABC
1
r AB BC AC 12
2
12.r 24 r 2
CJ CI 6 OI 1
= + + =
⇒ = ⇒ =
⇒ = = ⇒ =
S r


(

1,0ñ)

(0,5ñ)
(0,5ñ)
2 2 2 2 2
O'O O'I OI 2 1 5
O'O 5

= + = + =
⇒ =
(0,5đ)
(Nếu HS sử dụng công thức d
2
= R
2
– 2Rr để tính đúng chỉ cho 1 điểm cho toàn bộ câu này .
-Nếu chứng minh được công thức rồi tính thì cho điểm tối đa )
Câu 5 (3 điểm) :
+Chia hình tròn thành 1005 hình quạt tròn bằng nhau .
Suy ra diện tích của mỗi quạt tròn bằng 2 (1,0đ)
+Vì có 2011 điểm nên tồn tại 1 quạt tròn chứa ít nhất 3 điểm ( không thẳng hàng ) (1,0đ)
+Do đó : Tồn tại tam giác (nội tiếp 1 quạt) có diện tích bé hơn 2. (1,0đ)
Câu 6 (3điểm) :
Nhận xét :
+Các cạnh tạo thành một bộba Pytago nên một cạnh góc vuông phải là số chẵn . (0,5đ)
+Do hiệu của hai cạnh bằng 50 và do bất đẳng thức trong tam giác nên một cạnh tam giác vuông
không thể là 2 . Suy ra các số nguyên tố đã cho không thể đều là cạnh góc vuông . (0,5đ)
+ Gọi các số nguyên tố đó là p và q , với q = 50 + p
Cạnh góc vuông là a (có độ dài là số chẵn .
Khi đó : q
2
– p
2
= (q – p).(q + p) = 50(q + p) = 50.(2p + 50) = 100.(p + 25 ) = a
2
(1,0đ)
Suy ra p + 25 phải là số chính phương
Số p nhỏ nhất như thế là 11 . (0,5đ)

và do a
2
= 100 . 36 nên a = 10.6 = 60. (0,5đ)
hết
Quy nhơn , Tháng 01 năm 2010
(Lưu hành nội bộ)
A
B
O ’
I
C
J
r
R
O
6
1 0
8