Đề chuyên Hạ Long 2001-2002

MÔN THI: TOÁN
(CHO KHỐI CHUYÊN TOÁN, TIN)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/7/2001
Bài 1: (2 điểm)
Cho các biểu thức
)1)(1(
22
yxxyA +++=
và
22
11 xyyxB +++=

với x > 0 và y > 0. Hãy tính giá trị của biểu thức B theo A.
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải phương trình: (x
2
- 2x + 4)(x
2
- 3x + 4) - 12x
2
= 0.
Bài 3: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 1.
Chứng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c)
≥
8(1 - a)(1 - b)(1 - c).
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB, bán kính OC vuông
góc với AB. K là một điểm thuộc đoạn AC (K khác A, C). Trên đoạn CB

lấy điểm H sao cho AK = CH. Đường thẳng qua K và vuông góc với AC
cắt AB tại M.
a, Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác KAM và
HBM khi K di chuyển trên AC (K khác A, C).
b, Gọi I là trung điểm của CH, BK cắt OI tại N. Chứng minh rằng
khi K di chuyển trên AC (K khác A, C) thì N luôn nừm trên một đường
tròn cố định.
Bài 5: (1 điểm)
UBND TỈNH QUẢNG NINH
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG TH CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2001-2002
Cho a và b là hai số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 là số chính
phương (số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên
dương). Chứng minh rằng có ít nhất một số nguyên dương c sao cho các
số ac + 1 và bc + 1 cũng là số chính phương.