Đề thi thử đại học, cao đẳng năm 2010 môn toán pdf

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 11
1. (2,5 điểm).

2. Cho hàm số (C) :
2
2 5
1
x x
y
x
− + −
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ
nhất

3. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp
tuyến đến đồ thị (C’) :
196
23
−+−= xxxy
4. (1,5 điểm)
5. Giải phương trình:
( )
3510325.3
22
−=−+

−−
xx
xx
6. Giải hệ phương trình:





=+
=+
2coscos
2sinsin
yx
yx
7. (1,5 điểm)
8. Giải phương trình:
( ) ( )
02coscoslogsincoslog
1
=++− xxxx
x
x
.
9. Giải bất phương trình:
( ) ( )
01311
23
>+++++ xxxx

10. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng
trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
11. (2 điểm)
12. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y +
7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều.
13. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác
định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
14. (2,5 điểm).
15. Tính :
/ 4 1
2
3
0 0
sin
; 2 2
cos
x x
I dx J x x x dx
x
π
= = − +
∫ ∫
16. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.
2
a b c
a bc b ac c ab abc

+ +
+ + ≤
+ + +
3. Cho z =
1 3
i
2 2
− +
, Hãy tính :
1
2 3 2
; z;z ;(z) ;1 z z
z
+ +
(Hết)
HƯỚNG DẪN GIẢI: ( đề số 11 )
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2.5
b
Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
0,75
v1
4 4
1 .
1
y x Y X
x X
= − + − ⇔ = +
−
Với




=
+−=
yY
xX 1
0.25
TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 T = d(M, d) + d(M, d’) =⇒
4 7
| | 4 4
| | | | 2
2 | | 2
2
X Y
X X
X
−
+ = + ≥ =
Dấu "=" xảy ra ⇔
4
| |
| | 2
X
X
= ⇔
4 42 3 3
4
2 1 2
2

X X x= ⇔ = ± ⇔ = ±
0.5
•1 Gọi M(2; m) ∈ d
1
: x = 2. Khi đó đt d ∋ M
⇒ d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với
(C’) ⇔ hệ:
( )



=+−
+−=−+−
kxx
mxkxxx
9123
2196
2
23
có nghiệm
0,25
⇔ 2x
3
-12.x
2
+ 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
•1 Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
•2 Xét hàm số y = 2x
3
-12.x

2
+ 24x - 17 + m
⇒ y’ = 6(x-2)
2
≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có nghiệm
duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến
đồ thị (C’).
0,5
II
1,5
1 Giải phương trình:
0,75

( )
( ) ( ) ( )
015.3315.315.35
3510325.3
2222
22
=−−−+−⇔
−=−+
−−−−
−−
xxxx
xx
x
xx
0.25
( )( )
( )

( )




=−+
=−
⇔
=−+−⇔
−
−
−−
2035
1015.3
03515.3
2
2
22
x
x
x
x
xx
( )
3log2
3
1
log2
3
1

51
55
2
−=+=⇔=⇔
−
x
x
0.25
( )
352
2
+−=⇔
−
x
x
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x
= 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x =
3log2
5
−
và x = 2
0.25
2 Giải hệ phương trình:
0,75
( ) ( )
⇔=+++⇒






=+
=+
22cossincossin
2coscos
2sinsin
yyxx
yx
yx
0.25







+=
+=
⇔







=







−
=






−
⇔=






−+






−
π

π
π
π
π
π
ππ
2
4
2
4
1
4
cos
1
4
cos
2
4
cos
4
cos
ly
kx
y
x
yx
0.25
Thử lại thấy đúng nên:









+=
+=
π
π
π
π
2
4
2
4
ly
kx
là nghiệm của hệ phương trình.
0.25
III
1,5
1 Giải phương trình: . 0,5
( ) ( )
02coscoslogsincoslog
1
=++− xxxx
x
x

Điều kiện:





>+
>−
≠<
02coscos
0sincos
10
xx
xx
x
.
Khi đó Pt






+=⇔−=⇔
2
cos2cossin2cos
π
xxxx
0.25








+−=
+=
⇔







+−−=
++=
⇔
3
2
6
2
2
2
2
2
2
2
2

ππ
π
π
π
π
π
π
k
x
kx
kxx
kxx
.
Kết hợp với điều kiện ta được:
3
2
6
ππ
k
x +−=
(Với k N*).∊
0.25
2 Giải bất phương trình:
0,5
( ) ( ) ( )
02301311
232323
>++++⇔>+++++ xxxxxxxx
023
2

>++⇔ tt
Đặt
3
2
1 −≥+= xxt
0.25
2
3
2 2
1 1
1
3 3
2
t
t x x x
t
t

≥ −


⇔ ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ −

> −




< −



0.25
3
0,5
. Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả
5
10
C
tập con gồm 5 chữ số
khác nhau.
0,25
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5
chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất
cả
5
10
C
= 252 số.
0,25
IV
2.0
1
Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều
1.0
Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB
62/3 =

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
⇒ (Q): x + z + 1 = 0

0,25
Gọi d = (P) n (Q) ⇒





+=
=
−−=
⇔



=++
=−+−
tz
ty
tx
zx
zyx
d
21
22
01
01783
:
⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; 1 + 2t)
0,25
( ) ( ) ( )

( )
2 2
2
2 2
1 2
1 2
3 2 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6
9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2/ 3
2 2 1
2; 2; 3 , ; ;
3 3 3
MC t t t MC t t t
t t t t t t
C C
⇒ = − − + ⇒ = ⇔ + + + + =
⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ = − = −
 
⇒ − − − − −
 ÷
 
uuur
0,25
0.25
2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
1.0
Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) FA = FB ⇒
⇒
4
22

4
22
222222
22
acbCDADAC
FBFA
−+
=
−+
==
0.25
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
2
222
acb −+
0.25
Gọi α là góc tạo bởi AD và BC ta có :
( )
2
|
22
|
.2
||
|,cos|cos
2
2222
222
c
acbc

GFGE
FEGFGE
GFGE
−+
−
=
−+
==
α
2
22
||
c
ba −
=
. Vậy
2
22
||
cos
c
ba −
=
α
0.25
Tương tự nếu gọi β, γ lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
DB, AC ta có:
2
22
||

cos
a
cb −
=
β
,
2
22
||
cos
b
ac −
=
γ
0.25
3 0,5
. Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả
5
9
C
tập con gồm 5 chữ số
khác nhau.
0,25
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5
chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất
cả
5
9
C
= 126 số.

0,25
V 2,5
1
0,5
Đặt:
3 2
cos 1
cos 2.cos
u x du dx
d x
dv v
x x
= =
 
 
⇒
 
= − =
 
 
0,25
/ 4
/ 4
4
0 0
2 2
0
1 1 1
2cos 2 cos 4 2 4 2
x dx

I tgx
x x
π
π
π
π π
⇒ = − = − = −
∫
0,25
2
1,0
1
2
0
2 2J x x x dx= − +
∫
. Đặt: x - 1 = tgt
2
2
1
; 2 2
cos cos
dt
dx x x
t t
= − + =
0 0 0
3 4 3
4 4 4
1 sin

cos cos cos
tgt t dt
J dt dt
t t t
π π π
− − −
+
⇒ = = +
∫ ∫ ∫
0,25
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
1 1
3
4
2
0 0
sin
1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
1 2 2
3cos 3
1 1
1

4
1 1 1 1
t u
J J
t
u u
du
J du
u u u u
π
−
=
− −
= + = − +
− + +
= = =
− + − +
∫ ∫
0,25
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
2 2
1 1 1
2 2 2
1
. 2
4 1 1
1 1
du du du

u u
u u
− − −
 
 ÷
+ +
 ÷
− +
− +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
0,25
( )
( )
0 0
2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2ln 2ln
4 1 1 1 4 1 1
1 2 1 1
2 2ln 2 4ln 2 1 .
4 4
2 1
u u u
u u u u u
− −
 +   + 

= − + = +
 ÷  ÷
− + − − −
   
 
−
= − = + −
 ÷
+
 
0,25
3
1,0
.
2
111
222
abc
cba
abcacbbca
++
≤
+
+
+
+
+
Ta có:
abc
abc

abcabc
cab
cab
cabcab
bca
bca
bcabca
2
11
2
2
11
2
2
11
2
2
2
2
2
2
2
≤
+
⇒≥+
≤
+
⇒≥+
≤
+

⇒≥+
0.5
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1
2 2 2
.
2 2 2
a bc b ca c ab
a bc b ca b ca
b c c a a b
bc ca ab a b c
abc abc abc
⇒ + + ≤ + +
+ + +
+ + +
+ +
+ + + +
= ≤ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5