DE THI THU DH 2010 CO DAP AN CHI TIET

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT 2 NĂM HỌC 2010
MÔN TOÁN KHỐI B, D
Thời gian làm bài: 180 phút
Phần chung (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y =
2 3
2
x
x
−
−
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,
B sao cho AB ngắn nhất.
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
2) Giải phương trình:
( )
2
2 2
1 5 2 4; x x x x R+ = − + ∈
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1 ln
e

x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
Câu IV (1 điểm) Một hình nón đỉnh
S
, có tâm đường tròn đáy là
.O
,A B
là hai điểm trên đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
AB
bằng
a
,
·
·
0
60ASO SAB= =
. Tính theo
a
chiều cao và diện
tích xung quanh của hình nón

Câu V (1 điểm) Cho hai số dương
,x y
thỏa mãn:
5x y+ =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 2
4
x y x y
P
xy
+ −
= +
Phần riêng (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Phần A
Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho đường thẳng
( )d
có phương trình :
0x y− =
và điểm
(2;1)M
. Tìm
phương trình đường thẳng
∆
cắt trục hoành tại
A
cắt đường thẳng

( )d
tại
B
sao cho tam giác
AMB

vuông cân tại
M
2) Trong không gian tọa độ
Oxyz
, lập phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua hai điểm
( )
0; 1;2 ,A −

( )
1;0;3B
và tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
có phương trình:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2x y z− + − + + =
Câu VII (1 điểm) Cho số phức
z
là một nghiệm của phương trình:
2
1 0z z+ + =

.
Rút gọn biểu thức
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
       
= + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Phần B Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho đường tròn
( )
C
có phương trình
( )
2
2
: 4 25x y− + =
và điểm
(1; 1)M −
.
Tìm phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
M

và cắt đường tròn
( )
C
tại 2 điểm
,A B
sao cho
3MA MB=
2) Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình:
1 0x y− − =
. Lập phương trình
mặt cầu
( )
S
đi qua ba điểm
( ) ( ) ( )
2;1; 1 , 0;2; 2 , 1;3;0A B C− −
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
Câu VII (1 điểm) Giải bất phương trình:
( )
( )
2
1 2
2

2
1
2
3
log 1 log 1 6
2
log 1
2 log ( 1)
x x
x
x
 
+ − + −
 ÷
 
≥ +
+ +
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2010
Môn: Toán_ Khối B và DGiải: 1) y=
2 3
2
x
x
−
−
(C)
D= R\ {2}
lim 2 : 2
x

y TCN y
→±∞
= ⇒ =
2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
TCĐ x = 2
y’ =
2
1
0; 2
( 2)
x
x
−
< ∀ ≠
−
BBT
2) Gọi M(x
o
;
0
0
2 3
2
x

x
−
−
)∈ (C) .
Phương trình tiếp tuyến tại M: (∆) y =
2
0 0
2 2
0 0
2 6 6
( 2) ( 2)
x x
x
x x
− +
−
+
− −
(∆ ) ∩ TCĐ = A (2;
0
0
2 2
2
x
x
−
−
)
(∆ ) ∩ TCN = B (2x
0

–2; 2)
0
0
2
(2 4; )
2
AB x
x
−
= −
−
uuur
⇒ AB =
2
0
2
0
4
4( 2) 2 2
( 2)
cauchy
x
x
− +
−
≥
⇒ AB min =
2 2
⇔
0

3 (3;3)
1 (1;1)
o
x M
x M
= →


= →


II 1.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
1,0
TXĐ: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
[ ]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =

⇔ − + + + = ⇔

+ + + =


0,25
+ Với
sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π
− = ⇔ = + ∈
0,25
+ Với
2 2(sin ) sin . 0x cosx x cos x+ + + =
, đặt t =
sin (t 2; 2 )x cosx
 
+ ∈ −
 
được pt : t
2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
= −

⇔

= −


0.25
t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +


⇒ ∈

= − +

Vậy :
( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z
x m
π
π

π π
π
π

= + ∈


= + ∈


= − +


0,25
Câu II.2
(1,0 đ)
( )
2
2 2
1 5 2 4; x x x x R+ = − + ∈
f(x)=(2x-3)/(x-2)
f(x)=2
x(t)=2 , y(t)=t
-2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3

4
5
x
y
Đặt
2 2 4 2
2 4 2( 2 )t x x t x x= + ⇒ = +
ta được phương trình
2
2
1 5 2 8 0
2
t
t t t+ = − ⇔ + − =
4
2
t
t
= −

⇔

=

+ Với t =
−
4 Ta có
2
4 2 4 2
0 0

2 4 4
2( 2 ) 16 2 8 0
x x
x x
x x x x
< <
 
+ = − ⇔ ⇔
 
+ = + − =
 
2
0
2
2
x
x
x
<

⇔ ⇔ = −

=

+ Với t = 2 ta có
2
4 2 4 2
0 0
2 4 2
2( 2 ) 4 2 2 0

x x
x x
x x x x
> >
 
+ = ⇔ ⇔
 
+ = + − =
 
2
0
3 1
3 1
x
x
x
>


⇔ ⇔ = −

= −


ĐS: phương trình có 2 nghiệm
2, 3 1x x= − = −
0,25
0,25
0,25
0,25

III
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
I
1
=
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x
+
∫
, Đặt t =
1 ln x+

,… Tính được I
1
=
4 2 2
3 3
−
0.5
( )
2
2
1
ln
e
I x dx
=
∫
, lấy tích phân từng phần 2 lần được I
2
= e – 2
I = I
1
+ I
2
=
2 2 2
3 3
e − −
0.25
0.25
Câu IV

(1,0 đ)
Gọi I là trung điểm của
AB
, nên
OI a
=
Đặt
OA R=
·
0
60SAB SAB= ⇒ ∆
đều
Tam giác
OIA
vuông tại
I
nên
2 2 2
OA IA IO− =
2
2 2
6
3 2
R a
R a R⇔ − = ⇔ =
2SA a⇒ =
Chiếu cao:
2
2
a

SO =
0,25
0,25
0,25
S
O
A
B
I
Diện tích xung quanh:
2
6
2 3
2
xq
a
S Rl a a
π π π
= = =
0,25
Câu V
(1,0 đ)
Cho hai số dương
,x y
thỏa mãn:
5x y+ =
.
4 2 4 1 4 1
4 2 4 4 2 2
x y x y x y y x y

P
xy y x y x
+ −
= + = + + − = + + + −
Thay
5y x= −
được:
4 1 5 4 1 5 4 1 5 3
2 . 2 .
4 2 2 4 2 4 2 2
y x x y y
P x x
y x y x y x
−
= + + + − = + + + − ≥ + − =
P
bằng
3
2
khi
1; 4x y= =
Vậy Min P =
3
2
Lưu ý:
Có thể thay
5y x= −
sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số
3 5 3 5
( )

(5 ) 4
x x
g x
x x
+ −
= +
−
0,25
0,50
0,25
Câu
AVI.1
(1,0 đ)
A
nằm trên
Ox
nên
( )
;0A a
,
B
nằm trên đường thẳng
0x y− =
nên
( ; )B b b
,
(2;1)M
( 2; 1), ( 2; 1)MA a MB b b⇒ = − − = − −
uuur uuur
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:

2 2 2
( 2)( 2) ( 1) 0
. 0
( 2) 1 ( 2) ( 1)
a b b
MA MB
MA MB
a b b
− − − − =


=
 
⇔
 
=
− + = − + −




uuur uuur
,
do
2b =
không thỏa mãn vậy
2
2 2 2
2 2
1

2 , 2
1
2 , 2
2
2
1
( 2) 1 ( 2) ( 1)
1 ( 2) ( 1)
2
b
a b
b
a b
b
b
b
a b b
b b
b
−

− = ≠
−


− = ≠
−
 
⇔
−

 
−
 
 
− + = − + −
+ = − + −

 ÷

−
 

2 2
2
2
1
2 , 2
1
2
1
4
( 2) ( 1) . 1 0
( 2)
3
a
b
a b
b
b
a

b b
b
b

=

−

− = ≠



=
−
 

⇔ ⇔


 
=


 
− + − − =

 
 



−
  =




Với:
2
1
a
b
=


=

đường thẳng
∆
qua AB có phương trình
2 0x y+ − =
Với
4
3
a
b
=


=


đường thẳng
∆
qua AB có phương trình
3 12 0x y+ − =
0,25
0,25
0,25
0,25