Đề và hưong dan giải môn Toan TP.Hà Nội 2010-2011

kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học :2010-2011
Môn Toán(thi ngày 22/6/2010)
==================================
Bài 1(2,5 điểm):
Cho P =
9&0,
9
93
3
2
3


+


+
+
xx
x
x
x
x
x
x
.
1) Rút gọn P.
2) Tìm giá trị của x để P =
3
1

.
3) Tìm GTLN của P.
Bài 2(2,5 điểm): giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đờng chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều
rộng là 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó?
Bài 3(1,0 điểm):
Cho Parabol (P): y =-x
2
và đờng thẳng (d) y =mx-1
1) CMR với mọi m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi x
1
,x
2
là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để
x
1
2
x
2
+x
2
2
x
1
- x
1
x
2
=3.

Bài 4(3,5 điểm):
Cho (O;R) đờng kính AB =2R và điểm C thuộc đờng tròn đó( C khác A,B). D thuộc
dây BC (D khác B,C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E,tia AC cắt BE tại F.
1) C/minh tứ giác FCDE nội tiếp
2) C/minh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE ,
chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).
4) Cho biết DF =R, chứng minh tgAFB = 2.
Bài 5 (0,5 điểm):
Giải phơng trình x
2
+4x +7 =(x+4)
7
2
+x
===========================================
hớng dẫn giải
GV : Thái Tuấn (Thạch Đà)
Bài 1:
1) P =
( ) ( )
( )( )
3
3
33
93323
+
=
+
++

xxx
xxxxx
2)
3693
3
1
3
3
3
1
==+=
+
= xx
x
P
(thoả mãn ĐKXĐ)
3) P =
1
30
3
3
3
=
+

+x
( Vì x
== 01)0 xP
Max
ĐKXĐ

Bài 2:
Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó là x(m) ,thì chiều dài của mảnh đất
hình chữ nhật đó là x+ 7 (m).
ĐK: 13> x> 0.
Do đờng chéo của mảnh đất hình chữ nhật đó là 13m. Theo định lí Pytago, ta có ph-
ơng trình: x
2
+(x+7)
2
=13
2



<=
=
=+
)(012
5
0607
2
loaix
x
xx
Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó là 5m và chiều dài của mảnh đất hình
chữ nhật đó là 12m.
Bài 3:
1) Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình
-x
2

=mx-1
( )
101
2
=+ mxx
.
Do ac = -1<0 nên phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, suy ra(d)
và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m(đpcm).
2) Theo Vi-et ,ta có :



=
=+
1
21
21
xx
mxx

Suy ra: x
1
2
x
2
+x
2
2
x
1

- x
1
x
2
=3
( )
2313
212121
==+=+ mmxxxxxx
.
Kết luận: m= 2 là giá trị cần tìm.
Bài 4:
1) Ta có: gócACB = góc AEB =90
0
(góc nt chắn nửa đờng tròn)
Suy ra: góc FCD = góc FED =90
0

=+
0
180FEDFCD
tứ giác FCDE nội tiếp.
2) Dễ chứng minh :
( )
DCDBDEDAggDCEDAB ~ =
3) Ta có: góc OCB = góc OBC(do tam giác OBC cân đỉnh O);
mà gócOBC = gócDEC (theo c/m phần 2); Mặt khác tứ giác FCDE nội tiếp (cmt)
nên góc DEC = góc CFD (cùng chắn cung CD). Suy ra: gócOCB = góc CFD
(đpcm).
* Do góc FCD=góc FED =90

0
(cmt) nên I là trung điểm của đoạn FD.
Suy ra: IC=IF =
ICFCDOCIDFCICFOCB
DF
====
0
90)(
2
là tiếp tuyến của
(O;R).
4) Tứ giác FCDE nội tiếp (cmt), nên góc AFB = góc AFE (cùng bù góc CDF).
Từ đó: tg AFB =tgAFE =
DE
BE
EF
AE
=
. Mà
224
4
2
2
2
2
22
22
2
2
2

2
=====
+
+
== tgAFB
EF
AE
R
R
DF
AB
DEEF
BEAE
DE
BE
EF
AE
(đpcm).
F
E
C
D
A B
Bài 5: Đặt y =
xx >+ 77
2
. Ta có phơng trình:
y
2
+4y = (x+4)y

( )( )



=
=
=
xy
y
xyy
4
04
.
* Với y = 4



=
=
=+
3
3
167
2
x
x
x
.
* Với y = x< 0 ,không thoả mãn ĐK. Xét y = x>0 ,ta có : x
2

+7 = x
2
(ptvn).
Kết luận: Phơng trình đã cho có 2 nghiệm là 3 và -3.