Tiếp sức mùa thi ĐH 2010(Mấu chốt)

Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
Các công thức:
Cho A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
), C(x
C
, y
C
):
AB
= (x
B
– x
A
, y
B
– y
A
)
Độ dài đoạn
2 2
B
(x ) ( )

A B A
AB AB x y y= = − + −
uuur

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
MBk=⇔ AM

⇔

-1k
1
1
≠







+
+
=
+
+
=
k
kyy
y
k

kxx
x
BA
M
BA
M
Trung điểm I của AB
⇔








+
=
+
=
2
2
BA
I
BA
I
yy
y
xx
x

Trọng tâm G của tam giác ABC :







++
=
++
=
3
3
cBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
Cho
a
= (a
1
, a
2
),
b

= (b
1,
b
2
)

a
±
b
= (a
1
±
b
1
, a
2

±
b
2
)
k
a
= (ka
1
, ka
2
)
Độ dài vectơ:
2

2
2
1
aaa +=
Hai vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng
phương, cùng chiều, cùng độ dài
a
=
b

⇔




=
=
22
11
ba
ba
Hai vectơ cùng phương :

a
//
b
⇔
a
1
b

2
– a
2
b
1
= 0
Tích vô hướng:

a
.
b
=
),cos( baba


a
.
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2

a
⊥
b

⇔
a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0
Góc giữa 2 vectơ:
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.
),cos(
bbaa
baba
ba
++
+
=
Cho tam giác ABC có

AB
= (a
1
, a
2
);
AC
= (b
1
, b
2
)
Diện tích tam giác ABC tính bằng công thức S =
1221
2
1
baba −
Bài tập :
1. Cho A(2, 2), B(-1, 3), C(3, -2)
)1,1(b );,1( mmma −+=−=
a) C/m ABC là một tam giác, tính chu vi và diện tích của nó
b)Tìm D sao cho
042 =−+ DCDBDA

c) Tìm E sao cho EACB là hình bình hành, tìm tâm của hbh này
d) Tìm F đối xứng với A qua G (G là trọng tâm tam giác ABC)
25
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
e) Tìm các đỉnh của tam giác MNP biết rằng A, B, C lần lượt là trung điểm của MN,
NP, PM.

2. Cho tam giác ABC có A(1, -1), B(5, -3), C trên Ox, trọng G trên Oy, tìm tọa độ điểm C
3. Cho tam giác ABC có A(2,6), B(- 3,-4), C(5, 0)
a) C/m tam giác ABC vuông , tìm trực tâm H ? tâm I và bk đường tròn ngoại tiếp
b) Tìm đỉnh thứ tư của hình chữ nhật có 3 đỉnh là A, B, C
4. Cho A(1,5), B(-4 , -5), C(4, -1). Tính tọa độ chân các đường phân giác trong và ngoài
của góc A. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Đs: (1, -5/2 ); (16, 5); (1, 0)
5. Tam giác ABC biết A(4,1), B(2,6), C( -5, 3)
a) Tính diện tích tam giác
b) Tính góc A của tam giác
c) Tìm D trên Ox sao cho ABCD là hình thang
6. Cho 2 vectơ
)1,1(b );,1( mmma −+=−=
. Chứng tỏ góc giữa 2 vectơ này không phụ
thuộc vào m
7. Cho A(2, 6); B(3,1). Tìm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông cân tại C
8. Cho ABC là tam giác đều, có B nằm trên đường thẳng y = 3, điểm C trên Ox, và
A(1, 1). Tìm B, C ?
9. Diện tích hình bình hành ABCD là 12 đơn vò, A(-1, 3); B(- 2, 4). Tâm của hbh trên Ox,
Tìm C, D
10. Cho 2 vectơ
(2 1;4 3 ), (3 2;1)a m m b m= − − = −
r r
a) Tìm m để 2 vecto này bằng nhau
b) Tìm m để 2 vectơ này cùng phương
c) Tìm mđể 2 vectơ này vuông góc
26
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
ĐƯỜNG THẲNG y
Tóm tắt giáo khoa: d

• Phương trình tổng quát của đường thẳng d: Ax + By + C = 0
Vectơ pháp tuyến:
( , );n A B=
r

α
tg
α
= k
x
Vectơ chỉ phương :
a ( , )B A= −
r
Nếu B
0≠
thì hệ số góc của d là k =
B
A−
x = c
Nếu B = 0 thì d không có hệ số góc, khi đó d có dạng: Ax + C = 0 ( hoặc x = c ) và d //
Oy
• Phương trình tham số của d:
a
20
10



+=
+=

tayy
taxx
=(a
1
, a
2
) là vecto chỉ phương
• Phương trình d qua M(x
0
, y
0
) có hsgóc k: y = k(x – x
0
) + y
0
• Phương trình d qua 2 điểm A, B: (x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B
– x
A
)
Nếu A(a, 0)
∈

Ox; B(0, b)
∈
Oy thì d:
1=+
b
y
a
x
gọi là phương trình đoạn chắn

d: Ax + By + C = 0
• Khoảng cách từ M(x
0
, y
0
) đến d: Ax + By + C = 0 M

d
(M, d)
=
22
00
BA
CByAx
+
++

• khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d’: Ax + By + C’ = 0
d
(d,d’)

=
22
'
BA
CC
+
−


• Phương trình 2 đường phân giác của góc giữa d
1
và d
2
là:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++

±=
+
++

• Góc giữa 2 đường thẳng d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Cos(d
1
, d
2
) =
2
2
2

2
2
1
2
1
2121
. BABA
BBAA
++
+
• Nếu d
1
: y = k
1
x + b
1
d
2
: y = k
2
x + b
2
thì + tg(d
1
, d
2
) =
21
12
1 kk

kk
+
−
+ d
1
// d
2

⇔
k
1
= k
2
+ d
1

⊥
d
2

⇔
k
1
.k
2
= - 1
27
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
Bài tập:
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng d (ở cả 3 dạng tham số, chính tắc và tổng quát ) trong

các trường hợp sau:
a) d qua A( 1, -2) và có vectơ chỉ phương
a
= (3 , 4)
b) d qua A( 1, -2) và có vectơ pháp tuyến
n
= ( -3, 4)
c) d qua A( 1, -2) và N( 2, 3)
d) d qua A( 1, -2) và có hệ số góc k = 2
e) d qua A( 1, -2) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 45
0
f) d qua A( 1, -2) và song song với đường thẳng phân giác thứ nhất
g) d qua A( 1, -2) và song song với Oy;
h) d qua A( 1, -2) và song song Ox
i) d qua A( 1, -2) và vuông góc với đường thẳng d’: 3x + 2y – 1 = 0
j) d qua A( 1, -2) và song song với đường thẳng d’: 3x + 2y – 1 = 0
k) Sử dụng chùm đường thẳng để tìm phương trình đường d qua giao điểm của 2 đường
thẳng 2x – y + 5 = 0; 3x + 2y – 3 = 0 và:
i) song song với đường thẳng x + 5y + 9 = 0 ( đs: 7x + 35y – 98 = 0)
ii) vuông góc với đường thẳng x + 3y + 1 = 0 (đs: 35x – 7y + 56 = 0 )
iii) qua M( - 3, -2) (đs: 35x -14y + 77 = 0 )
l) d qua M(3, 1) và cắt Ox tại A ; cắt Oy tại B sao cho OA = 2OB
m) d qua N(2, - 1) và cắt Ox tại A ; cắt Oy tại B sao cho AB =
13

n) d qua K(3, 1) và tạo với Ox; Oy một tam giác có diện tích bằng 1
Bài 2. KHOẢNG CÁCH
a) Tính khoảng cách từ M(1, - 4) đến d: 3x – 4y – 10 = 0
b) Tính khoảng cách từ M(1, - 4) đến d:
1

2
x t
y t
= +


= −

c) Tính khoảng cách từ M(3, - 1) đến d :
3
1
x u
y
= +


= −

d) Tìm m để khoảng cách từ M(2, 1) đến d: x – y + m = 0 bằng 2
e) Tìm m để khoảng cách từ M(2, 1) đến d:
1
2
x mt
y t
= +


= −

bằng 2

f) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d: 4x – 3y – 1 = 0 & d’: 4x – 3y + 16 = 0
g) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d:
3
1
x u
y u
= +


= − −

& d’:
3
4
x u
y u
= +


= −

Bài 3. KHOẢNG CÁCH Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trương
hợp sau:
o) d qua A( 1, -2) và cách B(- 1, 3) một khoảng bằng 2
p) d cách d’: 4x + 3y + 5 = 0 một khoảng bằng 2
( đs: 4x + 3y + 15 = 0; 4x + 3y – 5 = 0)
q) d qua A( -2,3) và cách đều 2 điểm ( 5 , -1); ( 3, 7) ( đs: 4x + y + 5 = 0; y = 3 )
28
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
r) d cách đều 2 đường thẳng: 3x – 4y + 12 = 0; 3x – 4y – 10 = 0 ( đs: 3x – 4y + 1 =

0)
s) d cách đều 2 đường thẳng : x + 2y – 3 = 0; 2x + y + 6 = 0
(đs: -x + y – 9 = 0 ; x+ y + 1 = 0)
Bài 4. Góc
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
d: 2x – y + 1 = 0 & d’: x - 2y – 1 = 0
d: 3x + 4y – 1 = 0 & d’: 3x – 4y + 5 = 0
d: 4x – y = 0 & d’:
2
3
x t
y t
= −


=

d:
1
1
x t
y t
= −


= − +

& d’:
1
2

x u
y u
= +


= +


d:
1
1
x t
y t
= −


= − +

& d’:
2
1
x
y u
=


= − +

b) Lập phương trình của d qua A(1, 2) và tạo với d’: 2x – y = 0 một góc 45
0

c) Lập phương trình của d qua A(1, 2) và tạo với d’: x – y + 4 = 0 một góc 45
0
d) Lập phương trình của d qua A(1, 2) và tạo với d’:
1
2 3
x t
y t
= +



= −


một góc 60
0
Bài 5. PHÂN GIÁC
a) Viết phương trình các đường phân giác của góc giữa
d: 2x + y – 1 = 0 & d’: 2x + 4y + 1 = 0
b) Tìm d là phân giác góc nhọn của 2 đường thẳng: 7x + y + 6 = 0; x – y + 2 = 0
( đs: 3x – 4y + 4 = 0)
t) Tìm d là phân giác trong góc A của tam giác ABC với A( 2, 0); B( 4, 1); C(1, 2)
(đs: 3x – y – 6 = 0)
u) Tìm d là phân giác ngoài góc C của tam giác ABC , phương trình các cạnh là
(AB): x – y + 4 = 0
(AC): 7x + y – 12 = 0
(BC): 5x + 5y + 4 = 0 ( đs: x – 2y – 8 = 0)
v) Tìm d là phân giác góc lớn nhất trong tam giác ABC với A(1, 4); B(0, 2); C(2, 1)
w) d đối xứng với đường thẳng d’: 3x + 4y – 12 = 0 qua I( 0, - 1) ( đs: 3x + 4y + 20 = 0 )
x) d đối xứng với đường thẳng d’: 3x + 4y – 12 = 0 qua đường thẳng 3x + 4y + 2 = 0

( đs: 3x + 4y + 16 = 0 )
y) d đối xứng với d
1
: x + y – 1 = 0 qua d
2
: x – 3y + 3 = 0 ( đs: 7x – y + 1 = 0)
z) Tìm d và d’ lần lượt qua A( 0,4), B( 5 ,0) nhận d
1
: 2x – 2y + 1 = 0 làm phân giác
Bài 6. Tam giác ABC có A(2, 6); B(- 3, -4); C( 5, 0)
a) Tìm toạ độ chân các đường cao hạ từ A, B, C của tam giác
b) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BC tìm A’
c) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác
29
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
d) Viết phương trình các đường trung trực của 3 cạnh
e) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác. C/m G,
H, I thẳng hàng.
f) Viết phương trình các đường phân giác trong
g) Tìm tọa độ tâm K đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 7. Cho A(8, 0); B(0, 6); M(9, 3)
a) C/m đường tròn đường kính AB đi qua M
b) Gọi A’B’M’ là tam giác đối xứng của tam giác ABM qua đường thẳng
∆
: x + y = 0,
tìm A’, B’, M’
c) C/m hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh của tam giác OAB thẳng hàng
( đs: M
1
( 9, 0); M

2
( 0, 3); M
3
(
5
3
,
5
36
) )
Bài 8. Hình bình hành có 4 cạnh lần lượt qua P(1, 4); Q(9/2, 3); R(8,2); S( -1/2, 3). Tâm
của hbh là I( 3/2, 2). Tìm phương trình các cạnh
Bài 9. Hình chữ nhật có 2 đỉnh đối nhau là (5, 1), ( 0,6), một cạnh có phương trình:
x + 2y – 12 = 0. Tìm phương trình các cạnh còn lại.
Bài 10. Cho Tam giác ABC có BC: x – y + 2 = 0, 2 đường cao BH: 2x – 7y – 6 = 0, và
BK: 7x –2y – 1 = 0. Viết phương trình 2 cạnh còn lại
Bài 11. Hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng : 3x – 4y + 6 = 0, 3x – 4y – 4 = 0. Tính
diện tích của hình vuông. Biết thêm I(1, 1) là tâm của hình vuông, tìm phương trình
các cạnh của hình vuông.
Bài 12. Viết phương trình 4 cạnh của 1 hình vuông biết 2 cạnh song song lần lượt qua
M(2,1), N(3,5); 2 cạnh còn lại lần lượt đi qua P( 0,1), Q(-3, -1)
(đs: có 2 hv với phương trình 4 cạnh là: x – 3y + 1 = 0, x - 3y + 12 = 0
3x + y – 1 = 0 , 3x + y + 10 = 0
và : 7x + y – 15 =0 , 7x + y – 24 = 0
x – 7y + 7 = 0, x – 7y – 4 = 0 )
Bài 13. Tìm phương trình 4 cạnh hình chữ nhật biết 4 cạnh liên tiếp lần lượt qua P(1, 4),
R(-4, 1), Q(- 1, 0), S(6 , -1) và 1 cạnh có độ dài 10cm.
Bài 14. Cho tam giác ABC có A(5,5); đường cao và trung tuyến từ đỉnh C lần lượt là
x + 3y – 8 = 0 ; x + 5y – 14 = 0. Tìm phương trình các cạnh tam giác.
( đs: 3x – y – 10 = 0; x – 3y + 10 = 0; x + y – 2 = 0)

Bài 15. Cho tam giác ABC có B(1,2); đường phân giác trong góc A: x – y – 3 = 0;
trung tuyến từ đỉnh C : x + 4y + 9 = 0. Tìm phương trình các cạnh.
(đs: x –2y = 0, 5x + 2y – 9 = 0; x – 2y – 9 = 0 )
Bài 16. Cho tam giác ABC cân, phương trình cạnh đáy: 3x – y + 5 = 0, phương trình cạnh
Bên: x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình cạnh còn lại biết nó đi qua M(1, -3).
(đs: 2x + 11y +31 = 0 )
Bài 17. Cho tam giác ABC có A(2, -3), B(3, -2), trọng tâm G nằm trên đường thẳng :
x – y – 8 = 0, diện tích tam giác bằng . Tìm đỉnh C ? đs : C(1, -1), C( -2, -10)
Bài 18. Tam giác ABC có M(0,4) là trung điểm cạnh BC, 2 cạnh kia có phương trình
2x + y – 11= 0 và x + 4y – 2 = 0.
30
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
a) Tìm các đỉnh A, B, C
b) Tìm điểm N trên BC sao cho diện tích tam giác ABN bằng 1,5 lần diện tích tam
giác ABC đs: B(2,7), C(6, 1)
Bài 19. Tam giác cân có 2 cạnh bên là 2x – y – 2 = 0, 2x + 4y – 7 = 0. Tìm phương trình
cạnh đáy biết nó qua P( 3,1). (đs: 2x – 6y + 3 = 0 v 6x + 2y - 11 = 0)
Bài 20. Tam giác cân có cạnh bên: x + 2y – 1 = 0, cạnh đáy: 3x – y + 5 = 0, Tìm phương
trình còn lại biết nó qua N(1 ,-3). ( Đs: 2x + 11y + 31 = 0 )
Bài 21. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2, -1), 2 đường phân giác trong là x –2y + 1 = 0 ,
x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC. ( đs: 4x – y + 3 = 0 )
Bài 22. Cho tam giác ABC có B(3, 5), C( 4, -3), một đường phân giác trong: x + 2y – 8 = 0.
Tìm phương trình các cạnh.
Bài 23. Cho A(0, 1), B(-2, 5), C(4, 9). Lập phương trình các cạnh thoi nội tiếp trong tam giác
ABC sao cho A là 1 đỉnh hình thoi, 2 cạnh của hình thoi trùng với AB, AC; một đỉnh
nằm trên BC. (đs: AB, AC, 6x + 3y -19 = 0, 6x – 3y + 19 = 0)
Bài 24. Hình thoi có đường chéo: x + 2y – 7 = 0, một cạnh có phương trình x + 7y – 7 = 0,
một đỉnh (0, 1). Tìm phương trình các cạnh.
Bài 25. Viết phương trình các cạnh của tam giác có 1 đỉnh (1, 3), 2 đường trung tuyến :
x – 2y + 1= 0 và y – 1 = 0.

Bài 26. Tam giác có 1 đỉnh (3 ,-1), phương trình đường trung tuyến và phân giác trong kẽ từ
2 đỉnh khác nhau lần lượt là : x – 4y + 10 = 0, 6x + 10y – 59 = 0. tìm phương trình
các cạnh
Bài 27. Hình vuông có tâm (2, 3), một cạnh có phương trình x - 2y –1 = 0. Tìm phương trình
các đườmg chéo và các cạnh còn lại.
(C).
Bài 28. Hình vuông ABCD có A, B thuộc d: y = x + 8, D, C thuộc (P): y = x
2
. Tính diện tích
hình vuông. Đs: 18 hoặc 242.
Bài 29. Cho A( 1, 2), B(2, 5) và M thuộc d: x – 2y – 2 = 0.
a) Tìm GTNN của ( AM + BM);
MBMA +
đs: 5, 3
b) Tìm GTLN, GTNN của
MBMA −
đs: 0 ,

ĐƯỜNG TRÒN
31
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
Tóm tắt giáo khoa:
• Phương trình đường tròn ( C ):
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
hoặc F(x, y) = x

2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
tâm I(a, b); R =
cba −+
22
với đk: a
2
+ b
2
– c > 0
• Phương tích của M đối với (C): P
M/ (C)
= F(x
M,
y
M
)
• Trục đẳng phương:
hai đường tròn (C ): F(x, y) = x
2
+ y
2
–2ax – 2by + c = 0 tâm I(a, b), bk R
(C’ ): G(x, y) = x
2
+ y
2
–2a’x – 2b’y + c’ = 0 tâm J(a’, b’), bk R’

Tập các điểm có cùng phương tích đối với cả 2 đường tròn là đường thẳng, gọi là trục
đẳng phương, có phương trình: F(x, y) = G(x, y)
Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm và đi qua các điểm chung, nếu có
• Vò trí tương đối: ( C) và (C’ ) không cắt, ngoài nhau
⇔
IJ > R + R’
( C) và (C’ ) tiếp xúc ngoài nhau
⇔
IJ = R + R’
( C) và (C’ ) cắt nhau
⇔
'R R−
< IJ < R + R’
( C) và (C’ ) tiếp xúc trong nhau
⇔
'R R−
= IJ
( C) và (C’ ) không cắt, chứa trong nhau
⇔
'R R−
> IJ
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x
0
, y
0
) thuộc (C):
(x –a)(x
0
– a) + (y – b)(y
0

– b) = R
2

hoặc xx
0
+ yy
0
– a(x + x
0
) – b(y + y
0
) + c = 0
• Các tiếp tuyến khác ta dùng điều kiện để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn là
d
(I, d)
= R
Bài tập:
1. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có đường kính AB với A( 1, 2), B(-3, 6)
b) (C) có tâm I(1, 2) và tiếp xúc với d: 3x – 4y – 26 = 0
c) (C) qua 3 điểm A( 4, -2), B(5,5), C(6, -2)
d) (C) có tâm trên Ox và qua 2 điểm A(3,1), B(5, 5)
e) (C) qua A(2,1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ
f) (C) qua 2 điểm (2, 3), ( -1,1) và có tâm trên d: x – 3y – 11 = 0
g) (C) qua 2 điểm (4,0), (2, 0) và tiếp xúc với đường phân giác thứ nhất
h) (C) qua ( 1,0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng x + y – 2 = 0, x + y + 3 = 0
i) (C) có tâm trên d: 4x – 3y – 2 = 0, và tiếp xúc với cả 2 đường thẳng: x + y + 4 = 0,
7x – y + 4 = 0
j) (C) qua N(9,9) và tiếp xúc với Ox tại P(6, 0)
k) (C) có r = 1, tiếp xúc với trục Ox, tâm nằm trên d: x + y – 3 = 0.

l) (C) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC với A(8,0), B(0,6) đs: (x –2)
2
+ (y –2)
2
=
4
m) (C) luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng d: (1 – m
2
)x + 2my + m
2
- 4m + 1 = 0
đs: x
2
+ (y – 2)
2
= 1
32
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
n) (C) qua A(1,-2) và 2 giao điểm của
d: x – 7y + 10 = 0 và (C’): x
2
+ y
2
–2x + 4y – 20 = 0
2. Cho ( C
m
) : x
2
+ y
2

– 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0
a) Tìm m để ( C
m
) là đường tròn
b) Tìm quỹ tích các tâm I của ( C
m
). Vẽ quỹ tích đó.
c) Tìm m để ( C
m
) tiếp xúc với Oy
d) Tìm m để ( C
m
) có bán kính bằng 4
e) Tìm m để ( C
m
) cắt Ox theo một dây cung có độ dài 12 (đs: m = 6)
f) Tìm m để diện tích hình tròn (C
m
) có diện tích bằng 16
π
3. Cho A(3,1), B(0,7), C(5,2). M là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
c/m khi đó trọng tâm G của tam giác MBC cũng chạy trên một đường tròn. Viết phương
trình đường tròn đó. Đs: (x - )
2
+ (y - )
2
=
4. Cho ( C
m
): x

2
+ y
2
– 2mx + 2(m + 1)y – 12 = 0
a) Tìm quỹ tích các tâm của đường tròn trên đs: y = - x - 1
b) Tìm m sao cho ( C
m
) có R nhỏ nhất đs: m =
c) Khi m = 2, tìm khoảng cách ngắn nhất giữa ( C
2
) và d: 3x – 4y + 12 = 0 đs: 1
5. Cho ( C): x
2
+ y
2
– 4x + 2y – m
2
+ 6m = 0, và d: 3x + 4y – 12 = 0
a) Với m nào thì ( C) là đường tròn ?
b) Khi (C ) là đường tròn, biện luận theo m số giao điểm của (C ) và d
6. Lập phương trình các tiếp tuyến của (C): x
2
+ y
2

– 4x – 4y – 1 = 0 biết:
a) tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với Ox
b) tiếp tuyến của (C) vuông góc với d: 6x + 4y – 1 = 0
c) tiếp tuyến của (C) song song với đường phân giác thứ II
d) tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 1

e) tiếp tuyến của (C) qua A(5, -1)
f) tiếp tuyến của (C) qua B( 6,7)
g) tiếp tuyến của (C) cách gốc O một khoảng bằng 2
đs:
0
3
744
3
74
=
±
+−
±
yx
h) tiếp tuyến của (C) tạo với d: y = 2x + 4 một góc 45
0
đs:
3
4
10
3
1
y v81033 +±=+±−= xxy
i) tiếp tuyến của (C) tạo với 2 trục toạ độ một tam giác cân
đs: x
023y - x v0423 =±=−±+ y
7. Cho (C
1
): x
2

+ y
2
+ 6x + 8y + m + 10 = 0; Và (C
2
): x
2
+ y
2
– 4x – 2y + m –5 = 0 . Khi
Chúng là đường tròn , biện luận theo m số giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
8. Viết phương trình các phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn:
(C ): x
2
+ y
2
- 6x + 5 = 0; ( C’): x
2
+ y
2
–12x - 6y + 44 = 0
đs: có 4 tiếp tuyến chung x = 5, y = 2,
)17933(
8
1
)179(
8

1
±−±= xy
33
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
9. Cho 2 đường tròn ( C
1
): x
2
+ y
2
– 4x + 2y – 4 = 0 có tâm I,
( C
2
): x
2
+ y
2
– 10x -6y + 30 = 0 tâm J
a) C/m 2 đường tròn tiếp xúc nhau, tìm toạ độ tiếp điểm H
b) Gọi d là tiếp tuyến chung không qua H, Tìm giao điểm K của d và IJ. Viết phương
trình đường tròn (C) qua K và tiếp xúc với cả 2 đường tròn trên tại H
Đs: H(, ), K(11,11),(C): (x - )
2
+ (y - )
2
= 1250
10. Cho (C): x
2
+ y
2

– 6x – 4y –3 = 0 và M(5, 3)
a) Tìm phương tích của M đối với (C)
b) Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (C) theo dây cung AB có độ dài:
ngắn nhất ? dài nhất ? tính các độ dài đó ?
(đs: a): -11, b) min(AB) = 2khi d: 2x + y – 13 = 0; max(AB) = 8 khi d:x –2y + 1 = 0
11. Cho ( C
1
): x
2
+ y
2
– 2x – 4y – 4 = 0; (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x – 2y – 14 = 0
a) C/m 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tính độ dài AB.
b) Viết phương trình đường thẳng qua AB
c) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và C(0,1)
d) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm trên đường phân giác thứ II
12. Cho (C): x
2
+ y
2
– 4x – 4y – 5 = 0 và d: 5x – y + 5 = 0
a) C/m d cắt (C) tại 2 điểm A, B. tính độ dài AB
b) Viết phương trình của đường tròn (C’) qua A, B và có tâm trên Ox
Đs: (C’): x

2
+ y
2
– 24x – 25 = 0
13. Cho (C): (x – 1)
2
+ (y +3)
2
= 9 và điểm A(2, 1). Qua A vẽ 2 tiếp tuyến tới (C) tại 2 tiếp
điểm T
1
, T
2
. Viết phương trình đường thẳng qua T
1
,T
2
và tính độ dài T
1
T
2
?
Đs: (T
1
T
2
): x + 4y + 2 = 0, T
1
T
2

= 2
17
89
14. Cho (C) có tâm I(2, -1), R = 2; d: x – my + 4m = 0.
a) C/m d qua 1 điểm cố đònh
b) Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B
c) Tìm quỹ tích trung điểm K của AB
Đs: điểm có đònh M(0, 4) ,
21
885
21
885 +−
≤≤
−−
m
, K thuộc 1 cung tròn của
(C’): (x – 1)
2
+ (y – 3/2)
2
= 13/4 , phần nằm trong (C)
15. Cho (C): (x –1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và d: x + my – m = 0.
a) C/m d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B. tìm m để AB dài nhất ? ngắn nhất ?
b) Tìm quỹ tích trung điểm H của AB
c) Khi m = 1, tìm giao điểm A, B. Tìm trên (C) điểm N sao cho S
NAB

= S
IAB
, I là tâm của
(C)
Đs: a): m = -1, m = 1, b) H thuộc (x – ½)
2
+ (y – 3/2 )
2
= ½ ,
c) N(
)22.12(),22,12 +−+−++ N
16. Cho ( C) có tâm I(1,1), R = và M(4 ,3). Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) tại
2 điểm A, B sao cho:
a) M là trung điểm của AB đs: 3x + 2y -18 = 0
34
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
b) AB nhỏ nhất đs: 3x + 2y -18 = 0
c) AB lớn nhất đs: - 2x + 3y – 1 = 0
d) AB = 4 đs : y = (x – 4) + 3 và x –4 = 0
e) MA = 2MB đs: y =
3)4(
3
326
+−
±−
x
17. Cho (C): x
2
+ y
2

= 1, d: Ax + By + 1 = 0
a) Tìm điều kiện giữa A, B để d tiếp xúc với ( C)
b) M, N thuộc ( C), x
M
= -1, y
N
= 1. Khi d tiếp xúc với (C), tìm A, B để tổng khoảng cách
từ M, N đến d nhỏ nhất Đs: A
2
+ B
2
= 1; A =
2
2
, B =-
2
2
18. Cho (C
m
): x
2
+ y
2
+ 2mx - 2(m + 1)y – 4m – 4 = 0
Chứng tỏ có 2 đường tròn (C
m
) tiếp xúc với d: 3x + 4y + 2 = 0
(đs: m = -1 , m = )
19. Cho (C): x
2

+ y
2
– 1 = 0 và (C
m
): x
2
+ y
2
– 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0. Chứng minh có 2
đường tròn (C
m
) tiếp xúc với (C) ứng với 2 giá trò của m. Viết phương trình tiếp tuyến
chung của 2 đường tròn này
đs: m = -1, m = 3/5 ; tiếp tuyến chung : 2x + y – 2
53±
= 0
20. Hai họ đường tròn (C
m
): x
2
+ y
2
- 2mx + 2(m + 1)y - 1 = 0 và
( C’
m
): x
2
+ y
2
–x + (m –1)y + 3 = 0. Tìm phương trình trục đẳng phương

của (C
m
) và (C’
m
). Chứng tỏ khi m thay đổi, các trục đẳng phương đó đi qua một điểm
cố đònh. Đs: điểm cố đònh: (4/7 , 8/7)
21. Cho (C): x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 4 = 0, A(3, 5). Các tiếp tuyến của (C) là AM, AN. Viết
phương trình đường MN và tính đoạn MN
Đs: 3x + 4y – 11 = 0, MN =
22. Cho họ đường thẳng d: (x – 1)cost +(y – 1)sint – 4 = 0 (t là tham số). Tìm tập hợp tất cả
các điểm trong mặt phẳng mà d không đi qua với mọi t. Suy ra d tiếp xúc với một đường
tròn cố đònh. Đs: (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
< 16; d tiếp xúc với (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 16
23. Cho (C): x
2
+ y
2
–16x – 4 = 0 và (C’): x
2

+ y
2
– 4x – 6y + 8 = 0.
a) C/m 2 đường tròn cắt nhau tại A, B. viết phương trình đường thẳng AB và tính độ dài
AB
b) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt 2 đường tròn theo 2 dây cung có tổng độ
dài lớn nhất
(Đs: a) AB: 2x -y + 2 = 0, AB =
5
58
, b) x + 2y – 4 = 0 hoặc x + 2y –12 = 0 )
24. (dùng đường tròn ) Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
a)





=+
=+
myx
yx
2cos2cos
2
1
sinsin
đs :
4
7
2

1
≤≤
−
m
b)





<+
=+
myx
yx
22
1
đs: m > /2
35
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
c)
mmxx −+=− 24
2
đs: m
0m v
3
4
≥
−
≤
25. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả: c + d = 6 và a

2
+ b
2
= 1
C/m: c
2
+ d
2
– 2ac – 2bd
≥
3 - 2
( HD: xét M(c,d) trên d: x + y – 6 = 0 và
N(a, b) trên (C) : x
2
+ y
2
= 1 . Tìm min( MN ) = ?)
26. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả: a
2
+ b
2
– 2a –2b +1 = 0
: c
2
+ d
2
+ 36 = 12(c + d)
C/m:
725)()(725
22

+≤−+−≤− dbca

27. Cho hệ phương trình :
2 2
1 2 0
2 4 4 0
mx y m
x y x y
− + − =


+ − − − =


a) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn luôn có 2 nghiệm (x
1
, y
2
), (x
2
, y
2
)
b) Tìm m để biểu thức E = (x
1
– x
2
)
2
+ (y

1
– y
2
)
2
đạt GTLN, GTNN ? tính GTLN, GTNN
đó
28. C/m các cặp đường thẳng d, d’sau cắt nhau và tập các giao điểm của chúng là một
đường tròn cố đònh:
a) d: 2mx –( m + 1)y + 1 – 3m = 0; d’: (3m +1)x + (m - 1)y + 2 - 6m = 0
b) d: ( m + 1)x – my + 2m + 1 = 0; d’ : mx + (m + 1)y – 5m – 2 = 0
đs:a) x
2
+ y
2
– x – 3y = 0; b) (x – 1)
2
+ (y - )
2
= 17
ELIP
Tóm tắt giáo khoa:
Cho trước 2 điểm F
1
và F
2
cố đònh sao cho đoạn F
1
F
2

= 2c > 0
Elip là tập hợp các điểm M thoả: MF
1
+ MF
2
= 2a, (a > c )

x = - x = a
2
= b
2
+ c
2
y tâm sai : e = < 1
b bán kính qua tiêu:
-a fF a
x
r
1
= MF
1
= a + e.x
M
. r
2
= MF
2
= a - e.x
M

-b
36
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
(a > b > 0) y
a y = đường chuẩn
-b b x a
2
= b
2
+ c
2

M tâm sai: e = c/a < 1
r
1
= MF
1
= a + ey
M

r
2
= MF
2
= a - ey
M

-a y = -

(E):
1
2
2
2
2
=+
a
y
b
x
(a > b > 0)
• Tiếp tuyến của (E)
a) Tiếp tuyến tại M thuộc (E) có phương trình:
1

2
0
2
0
=+

b
yy
a
xx
(tách đôi toạ độ)
b) Điều kiện để d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E):
1
2
2
2
2
=+
βα
yx
là
22222
CBA =+
βα

Bài tập:
1. Cho (E
1
): 4x
2
+ 9y
2
= 36. Xác đònh tất cả các yếu tố của (E) : toạ độ các đỉnh, tiêu điểm,
trục lớn , trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai ? phương trình các đường chuẩn, hình chữ nhật cơ sở.
Vẽ (E
1

) và các yếu tố đó. Tương tự với (E
2
): 16x
2
+ 9x
2
= 144
2. Lập phương trình của (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Một tiêu điểm (12, 0) và tâm sai e = 12/13
b) (E) qua 2 điễm (3, 2); (3, 2)
c) 2 tiêu điểm trên Ox, trục nhỏ = 6 và (E) qua (-2, 2)
d) tiêu điểm trên Ox, (E) qua (, 1) và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là 6
e) phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là x +4 = 0, x – 4 = 0, y + 3 = 0, y – 3 = 0
f) một đỉnh trên trục lớn là (0,5), phương trình đường tròn ngoại tiếp hcn cơ sở là
x
2
+ y
2
= 41
g) trục nhỏ bằng 4 phương trình 2 đường chuẩn: y +5 = 0, y – 5 = 0
h) tiêu điểm trên Oy, tâm sai e =
2
2
, khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là 8
37
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
i) tiêu điểm trên Ox, (E) qua điểm M(8, 12), bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng 20.
j) (E) tiếp xúc với cả 2 đường thẳng d: 3x – 2y – 20 = 0, d’: x + 6y – 20 = 0
3. Tìm tâm sai của (E) biết :
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới 1 góc vuông

b) Khoảng cách giửa 2 đỉnh trên 2 trục bằng tiêu cự
c) Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 2 lần tiêu cự
4. Tìm điểm M trên (E): x
2
+ 9y
2
= 9 thoả:
a) Có bán kính qua tiêu điểm: MF
1
= 3MF
2

b) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông
c) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 120
0

d) M là giao điểm của (E) với đường thẳng d qua gốc O có hệ số góc k = - 1
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (E):
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 16x
2
+ 4y
2
= 64 tại điểm M có y
M
= 3
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 4x
2
+ y
2
= 17 tại các giao điểm của (E) và d:

x – 2y = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 16x
2
+ 4y
2
= 64,
biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - 2. Tìm toạ độ tiếp điểm
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 9x
2
+ 25y
2
= 225 biết tiếp tuyến song song với
đường d: 4x + 5y + 3 = 0. Tìm toạ độ tiếp điểm đs: 4x + 5y
±
25 = 0
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 4x
2
+ 9y
2
= 36 biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng 3x – 4y – 7 = 0. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Đs: 4x + 3y
±
6 = 0,
13
18
,
13
6
( ±±

)
f) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 4x
2
+ y
2
–4 = 0 biết tiếp tuyến lập với trục
hoành một góc 60
0
đs:
±
x – y
±
= 0
g) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 9x
2
+ 16y
2
– 144 = 0 biết tiếp tuyến hợp với
đường d: x – 2y + 1 = 0 một góc 45
0
(đs: 3x – y
±
3 = 0 va ø2x +3y
±
= 0)
h) 4x
2
+ 9y
2
– 36 = 0 biết tiếp tuyến qua điểm (3, - 4), tìm tọa độ tiếp điểm.

Đs: x = 3, x + 2y + 5 = 0; (3, 0), (, )
i) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E):4x
2
+ 5y
2
= 20 và (E’): 5x
2
+ 4y
2
= 20
Đs: x
±
y
±
3 = 0
6. Cho (E): 16x
2
+ 25y
2
= 100 và d: y = x + b
a) Tìm b để d và (E) có điểm chung
b) Khi d cắt (E) tại 2 điểm A, B tìm b để AB dài nhất
c) Quỹ tích trung điểm I của AB
Đs: a)
2
41
2
41
≤≤− b
;b) b = 0; c) y = phần nằm trong (E)

7. Cho (E): 5x
2
+ 16y
2
= 80 và 2 điểm A(-5, -1), B(-1, 1).
a) Xét vò trí tương đối của đường AB và (E)
b) Tìm các phương trình tiếp tuyến của (E) song song với AB
c) Điểm M di động trên (E), tìm GTLN của diện tích tam giác MAB
38
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
Đs: a) d cắt (E), b) x –y
±
6 = 0, c) max(S
MAB
) = 9
8. Cho (E): 9x
2
+ 4y
2
= 36 và 2 điểm A(1, ), B(, 1)
a) Xét vò trí tương đối của đường AB với (E)
b) Các điểm M, N di động lần lượt trên (E) và đường thẳng AB. Tìm M, N để MN nhỏ
nhất, tính giá trò nhỏ nhất đó
c) Tính GTLN, GTNN của diện tích tam giác ABM
( Đs: a)AB: 4x – 5y + 20 = 0, không cắt, b) M(, ) min(MN) =
41
3
,
c) max(S) = khi M(,), min(S) = khi M(, ) )
9. Cho (E): x

2
+ 4y
2
= 4 và điểm A








−
4
23
,
8
23
a) Tìm diểm trên (E) sao cho tiếp tuyến tại đó đi qua A
b) Điểm N di chuyển trên (E). Tìm giá trò nhỏ nhất của độ dài doạn AN
Đs: (

4
26
,
2
26
);
2
2

,2








−−± 
10. Chứng minh các tính chất của (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
a) d là một tiếp tuyến của (E), c/m tích các khoảng cách từ 2 tiêu điểm đến d là một
hằng số
b) C/m nếu 2 tiếp tuyến của (E) song song thì 2 tiếp điểm tương ứng đối xứng nhau qua
gốc O và ngược lại, 2 điểm trên (E) đối xứng nhau qua O thì tiếp tuyến tại đó song
song nhau
c) C/m tích các khoảng cách từ 1 tiêu điểm 2 tiếp tuyến song là một hằng số
d) F
1
, F

2
là 2 tiêu điểm, M thuộc (E), C/m:
• F
1
M.F
2
M + OM
2
= a
2
+ b
2
• b
≤
OM
≤
a
• (F
1
M – F
2
M)
2
= 4(OM
2
– b
2
)
e) d là một tiếp tuyến của (E) , d cắt 2 đường x = - a, x = a tại M, N. C/m các tam giác
F

1
MN, F
2
MN vuông tại F. Tìm phương trình của d sao cho diện tích tam giác F
1
MN
nhỏ nhất
f) Gọi M là giao diểm của d: y = kx với (E), tính OM theo k, a, b. Gọi B, A là 2 điểm
trên (E) sao cho OA vuông góc OB, C/m:
i i)
22
11
OBOA
+
có giá trò không đổi
ii) AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh
ii iii) Tính GTLL, GTNN của diện tích tam giác OAB và độ dài AB
( Đs: OM
2
=
222
222
)1(
akb
kba
+
+
, i) A thuộc d: y = kx thì B thuộc d’: y = x,

22

11
OBOA
+
=
22
22
ba
ba +
, ii) đường tròn tâm O, r =
22
ba
ab
+
; iii) S
min
= r
2
, S
max
=
39
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
MN
min
= 2r, MN
max
=
22
ba +

g) Tìm quỹ tích các điểm nhìn (E) dưới một góc vuông
Đs: x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
h)
11. Quỹ tích các điểm là (E)
a) Cho đường d: 3x + 25 = 0 và F(-3, 0). Tìm quỹ tích những điểm M thoả : 5FM = 3MK
với K là hình chiếu của M lên d
b) Cho A(3cost, 0), B(0, sint), khi t thay đổi, tìm tập hợp các điểm M thoả: 2
05 =+ MBAM
c) Tìm tập hợp các điểm M có tọa độ thoã:

R t
t1
4t
y
t1
2t-1
2x
:M ;
cos10
12sin4
:
2
2

2
2
∈







+
=
+
=



=
−=
ty
tx
M
d) Tìm tập các tâm đường tròn x
2
+ y
2
–2xcost - 2ysint + 3cos
2
t + sintcost = 0
e) Cho C

m
: x
2
+ y
2
-mx + m
2
– 1 = 0 , tìm tập hợp các điểm M sao cho chỉ có một
đường tròn trong họ C
m
đi qua
đs: a) 16x
2
+ 25y
2
= 400,b) 25x
2
+ 9y
2
= 100,
c) 25(x+1)
2
+ 16(y – 2)
2
= 400 và 4(x +1)
2
+ 9y
2
= 36
d) x

2
+ 4y
2
- 4 = 0
12. Cho (E): 4x
2
+ 9y
2
= 36
a) Lập phương trình đường thẳng d qua M(1,1) và cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho AM =
BM
b) Lập phương trình đường thẳng d qua N(0, -1) và cắt (E) sao cho AN = BN
Đs: y = (x –1) + 1; x + 1 = 0
13. Lập phương trình các cạnh hình vuông ngoại tiếp (E): 3x
2
+ 6y
2
= 18
Đs: y =
±
x
±
3
14. Cho (E): x
2
+ 16y
2
= 16, (E’): 4x
2
+ 9y

2
= 36
a) C/m (E) và (E’) có 4 điểm chung cùng nằm trên một đường tròn, viết phương trình
đường tròn đó
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (E) và (E’)
Đs: x
2
+ y
2
= ;
±
x- y
±
15. Cho (E) có một tiêu điểm là F( -, 0), tâm O, độ dài trục lớn là 6
a) Lập phương trình của (E)
b) d là một tiếp tuyến di động của (E), d cắt 2 trục Ox, Oy tại 2 điểm A, B. Tìm GTNN
của S
OAB
Đs: 8x
2
+ 18y
2
= 144; min(S
OAB
) = 12
16. Cho (E): 4x
2
+ 9y
2
= 36, d là một tiếp tuyến di động của (E), d cắt 2 đường x =

±
3 tại 2
điểm M(3, m) và N(-3, n)
40
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
a) C/m: m.n = 4
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN
c) C/m tam giác FMN vuông. Tìm GTNN của S
FMN
, F là một trong 2 tiêu điểm
d) Tìm GTNN của tứ giác có 4 đỉnh M, N, A(-3, 0), B(3, 0)
( Đs: b) quỹ tích I: x
2
+ 9y
2
= 1 bỏ đi 2 điểm ? c) min(S
FMN
) = 4; min(S
ABMN
) = 12)

HYPEBOL
Tóm tắt giáo khoa:
Cho 2 điểm cố đònh F
1
, F
2
, F
1
F

2
= 2c, Hypebol là tập các điểm M thỏa:

aMFMF 2
21
=−
(c > a > 0 )
F
1
, F
2
: 2 tiêu điểm ; F
1
F
2
= 2c: tiêu cự ; MF
1
, MF
2
: bán kính qua tiêu




(H):
1
2
2
2
2

=−
b
y
a
x
(H):
1
2
2
2
2
=−
b
x
a
y

c
2
= a
2
+ b
2
; tâm sai e = > 1 ; c
2
= a
2
+ b
2
; tâm sai e = > 1

tiệm cận: y =
±
x tiệm cận : x =
±
y
đường chuẩn: x =
±
đường chuẩn: y =
±
41
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
bán kính qua tiêu điểm : bán kính qua tiêu điểm :
r
1
= MF
1
=
a ex
M
+
r
1
= MF
1
=
a ey
M
+

r

2
= MF
2
=
a - ex
M
r
2
=
a ey
M2
−=MF
tiếp tuyến tại M(x
0
, y
0
)
(H)∈
tiếp tuyến tại M(x
0
, y
0
)
(H)∈
có pt:
- = 1 - = 1
Tổng quát (H) : - =
±
1 . Điều kiện để d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H):
A

2
m
2
– B
2
n
2
=
±
C
2

Hyprbol liên hợp của (H): - = 1 là (H’) : - = - 1
Hypebol vuông là hypebol có 2 tiệm cận vuông góc nhau, tức là a = b

Bài tập:
1. Cho (H): 9y
2
– 4x
2
= 36. Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai, phương trình tiệm cận,
đường chuẩn, trục thực, trục ảo? Vẽ (H) và các yếu đó. Tương tự với (H’): 4x
2
– y
2
= 1
2. Lập phương trình của (H) có tâm O, 2trục là Ox, Oy:
a) Qua 2 điểm P(4, ), Q(, -1)
b) Qua A(-2, 2) có 2 tiêm cận là 2x
±

y = 0
c) Qua B(-3,2) phương trình 2 đường chuẩn là 2y
±
1 = 0
d) Trục ảo trên Oy có độ dài 12, tâm sai e = 5/4
e) Tâm sai e = , qua M(3, -5)
f) Trục thưc trên Oy, phương trình các cạnh hcn cơ sở là y
±
1 = 0; 2x
±
1 = 0
g) Một đỉnh trên trục thực là (3, 0) , đường tròn ngoại tiếp hcn cơ sở có phương trình:
x
2
+ y
2
– 16 = 0
h) Một tiêu điểm ( -10, 0 ), phương trình các tiệm cận là 4x
±
3y = 0
i) Qua M(1, )và 2 tiệm cận vuông góc nhau
j) Qua M có hoành độ – 5 và MF
1
= , MF
2
= , F
1
, F
2
là 2 tiêu điểm trên Ox

k) Qua M(6, 3) và góc giữa 2 tiệm cận là 60
0

(Đs: a) x
2
– 2y
2
= 4; b) 4x
2
– y
2
= 4;c) có 2 (H): 3y
2
– x
2
= 3 và 12y
2
– x
2
= 39;
d) - = 1; e) x
2
– y
2
= 16;f) y
2
– 4x
2
= 1;g)7x
2

- 9y
2
= 63;
iii h) 64x
2
– 36y
2
= 100; i) y
2
– x
2
= 4; j) 9x
2
– 16y
2
= 144 ; k) có 2 (H):
iv x
2
– 3y
2
= 9 và 3x
3. Tìm điểm M trên (H): 9x
2
– 16y
2
= 144 thoả:
a) MF
1
= 2MF
2

b) M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông
c) M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc 120
0
Đs:








±±








±±









±
5
33
,
5
78
c) ;
5
9
,
5
344
b);
5
1193
,
5
48
a)
4. Cho (H): x
2
– 4y
2

+ 4 = 0
a) Tìm M trên (H) có tọa độ nguyên
b) D qua A(4, 1) cắt (H) tại 2 điểm M, N sao cho AM = AN, tìm M, N
42
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
5. Cho (H): x

2
– 4y
2

– 4 = 0, tìm trên (H) 2 điểm M, N sao cho tam giác AMN đều với A là
đỉnh trên trục thực có hoành độ dương Đs: (14,
±
4)
6. Cho (H): 5x
2
– 4y
2
– 20 = 0 và d: x – y + m = 0
a) C/m d luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau (x
M
< x
N
)
b) Tìm m để 3MF
1
= NF
2
đs: m =
33
5158 ±−
7. Lập phương trình tiếp tuyến của (H):
a) (H): 25y
2
– 16x
2

= 9 tại điểm N có x
N
= - 1
b) (H): x
2
– 4y
2
= 20, tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với d: 2x – y – 10 = 0.
Đs: 3x – 4y – 10 = 0; 7x + 4y – 30 = 0
c) (H): x
2
– 4y
2
= 20, tiếp tuyến có hệ số góc k = ¾ , tìm toạ độ tiếp điểm
đs:3x – 4y
±
10 = 0
d) 5x
2
– y
2
= 4, tiếp tuyến song song với d: 3x + y – 5 = 0, tìm toạ độ tiếp điểm
đs:3x + y
±
5
54
= 0
e) (H): 4x
2
– 5y

2
= -20, tiếp tuyến vuông góc với d: 3x + 2y – 5 = 0. Tìm tiếp điểm
đs: 2x – 3y
±
4 = 0 tại (
±
5/2 ,
±
3)
f) (H): x
2
– 4y
2
= 4, tiếp tuyến tạo vơí d: x – 2y –1 một góc 45
0

đs: 3x – y
±
3= 0
g) (H): 25x
2
– 16y
2
= - 400, tiếp tuyến xuất phát từ A(4,1). Tìm tiếp điểm
đs: x – y – 3 = 0 tại (, )và 3x + 4y – 16 = 0 tại (-3, )
h) (H): x
2
– 2y
2
= 4, tiếp tuyến xuất phát từ B(2,3)

đs:x – 2 = 0 và 11x – 12y + 14 = 0
i) (H): 5x
2
– 4y
2
= 20, tiếp tuyến cách tâm của (H) một khoảng bằng
đs: 2tiếp tuyến:
±
2x
±
y – 9 = 0
j) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (H): 3x
2
– 4y
2
= 12 và(H’): 3y
2
– 4x
2
= 12
Đs: 2tiếp tuyến: x
±
y
±
1 = 0
k) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (H): 7x
2
– 4y
2
= 28 và (E): x

2
+ 3y
2
= 3
Đs: 2tiếp tuyến: 2x
±
y
±
5 = 0
l) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (H): 7x
2
– 2y
2
= 14 và (C): x
2
+ y
2
= 1
Đs : 2 tiếp tuyến: 2x
±
y
±
3 = 0
8. Cho (H): 2x
2
– y
2
+ 4 = 0.
a) C/m từ A(-1, 1) có thể vẽ được 2 tiếp tuyến tới (H) và 2 tiếp tuyến này vuông góc
nhau. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng qua 2 tiếp điểm. Đs:

b) Tìm những điểm trên trục hoành mà từ đó kẽ được 2 tiếp tuyến tới (H) vuông góc
nhau đs: (
±
, 0)
9. Lập phương trình (H):
a) Tiêu điểm trên Ox, tiếp xúc với d: 3x – 4y – 10 = 0 tại điểm có hoành độ bằng 6
Đs: x
2
– 4y
2
= 20
b) Trục thực Ox, phương trình các tiệm cận là y =
±
x và phương trình 1 tiếp tuyến là
5x –6y - 8 = 0 Đs: x
2
– 4y
2
= 4
43
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
c) (H) tiếp xúc cả 2 đường thẳng: 5x – 6y - 16 = 0; 13x – 10y – 48 = 0
đs: x
2
– 4y
2
= 16
d) (H) qua N(,3) và tiếp xúc với d: 9x + 2y – 15 = 0
đs: 9x
2

– y
2
= 45; - = 1
10. Chứng minh một số tính chất của (H): - = 1
a) C/m hình chiếu vuông góc của một tiêu đểm lên các tiệm cận nằm trên đường chuẩn
tương ứng
b) Tích các khoảng cách từ một tiêu điểm đến 2 tiệm cận là một hằng số
c) OM
2
– MF
1
.MF
2
= a
2
– b
2
(M thuộc (H) )
d) (MF
1
+ MF
2
)
2
= 4(OM
2
+ b
2
)
e) Đường thẳng d qua O cắt (H) tại 2 điểm M, N. C/m tiếp tuyến tại M, N song song

nhau
f) C/m nếu 2 tiếp tuyến của (h) song song nhau thì 2 tiếp điểm tương ứng đối xứng
nhau qua gốc O
g) C/m tích các khoảng cách từ một tiêu điểm đến một tiếp tuyến tuỳ ý của (H) là một
hằng số
h) D là một tiếp tuyến của (H) tại T, D cắt 2 tiệm cận tại M, N. C/m T là trung điểm
của MN và S
OMN
không đổi
i) C/m tập hợp các điểm nhìn (H) dưới một góc vuông (các điểm mà từ đó vẽ được 2
tiếp tuyến vuông góc tới (H) ) là đường tròn x
2
+ y
2
= a
2
– b
2
nếu a > b bỏ đi 4 điểm
nằm trên 2 tiệm cận
11. Tập hợp các điểm là (H):
a) Cho A(-2,0), B(2, 0) và d: 2x – 3 = 0
• Tìm tập hợp những điểm P sao cho PB = 2PK với K là hình chiếu vuông góc của P
lên d đs: x
2
– 3y
2
= 3
• Tìm tập các điểm M sao cho các đường thẳng AM, BM có tích các hệ số góc
bằng 4 Đs: 4x

2
– y
2
= 16
b) Cho (C) : (x + 2)
2
+ y
2
= 1 và M(2, 0), tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C’) qua
M và tiếp xúc với (C) đs: 15x
2
– y
2
= 15/4
c) Tìm tập hợp các tâm đường tròn (C): x
2
+ y
2
–2xtgt - y + sint – 1 = 0
Đs: y
2
– 9x
2
= 9
d) Cho F(-3, 0) và d: 3x + 4 = 0 tìm tập các điểm M sao cho 2MF = 3d
(M,d)
e) Đs: 5x
2
– 4y
2

= 20

12. Cho (H): 4x
2
– 9y
2
= 36 và d: 2x – y – 2 = 0
a) C/m d không cắt (H)
b) Điểm M chuyển động trên (H), tìm M để khoảng cách từ M đến d nhỏ nhất, tính
khoảng cách nhỏ nhất đó
c) C/m khi đó tiếp tuyến tại M song song với d
Đs: M(
)
2
2
,
4
29
; min[d(
M, d)
] =
5
224 −
44
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
13. Vẽ đường cong (C): y =
9
2
+x
và d: 4x – 5y - 32 = 0. Tính khoảng cách từ M(a, b)

đến d theo a , Tính khoảng cách ngắn nhất giữa (C) và d. đs: min[d
(C, d)
] =
PARABOL
Tóm tắt giáo khoa:
Đònh nghiã : đường thẳng cố đònh
∆
, điểm F
∆∉
,
Parabol là tập các điểm M thoả:
(M, )
MF d
∆
=
F : tiêu điểm ;
∆
: đường chuẩn ; p = d(F,
∆
) : tham số tiêu ; FM: bán kính qua tiêu
v
vi
vii



(p): y
2

= 2px (P): x

2
= 2p y
tiếp tuyến tại 1 điểm M(x
0
,y
0
):
y.y
0
= p(x + x
0
); x.x
0
= 2(y + y
0
)
Điều kiện để d: AX + By + C = 0 tiếp xúc với (P):
2AC = pB
2
2BC = pA
2


(P): y
2
= -2px (P): x
2
= - 2py
tiếp tuyến tại một điểm M(x
0

, y
0
) thuộc (P):
y.y
0
= -p(x + x
0
) x.x
0
= - p(y + y
0
)
Điều kiện để d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P):
2AC = -pB
2

2BC = -pA
2

45
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
Bài tập:
1. Xác đònh tham số tiêu, tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn, vẽ (P) và các yếu tố
đó :
a) (P): y
2
– 4x = 0
b) (P): 2y
2
+ 9x = 0

c) (P): y = x
2

d) (P): 2x
2
+ y = 0
2. Lập phương trình các (P):
a) Tiêu điểm F( -2, 0), đỉnh O, Ox là trục
b) Đỉnh O, qua A(-2, 2), Ox là trục
c) Đỉnh O, Ox là trục, và (P) chắn đường thẳng d: x +2y = 0 một đoạn có độ dài 4
d) Đỉnh O, Ox là trục, khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn 2
e) Đỉnh O, đường chuẩn là 2x – 7 = 0
f) Đỉnh O, trục Ox, một dây cung của (P) vuông góc với Ox có độ dài 8 và khoảng cách
từ đỉnh đến dây đó bằng 1. Đs: y
2
=
±
16x
3. Cho (P): y
2
= -4x
a) Tìm M trên (P) có bán kính qua tiêu điểm bằng 10 và tung độ dương. Tìm N trên (P)
sao cho tam giác OMN vuông tại O đs: (-9, 6); (, )
b) Tìm 2 điểm A, B trên (P) sao cho tam giác OAB đều đs: ( -12,
±
4)
4. Lập phương trình các cạnh tam giác nội tiếp trong (P): y
2
= 8x biết rằng một đỉnh của
tam giác trùng với 1 đỉnh (P), trực tâm trùng với tiêu điểm

Đs:
±
2x + y = 0; x – 10 = 0
5. Cho (P): x
2
= 4y, và d: x – 2y + 4 = 0
a) Tìm các giao điểm A, B của (P) và d Đs: A(-2, 1); B(4,4)
b) Tìm điểm M trên (P), phần nằm giữa A, B sao cho tổng diện tích 2 phần hình phẳng
giới hạn bỡi (P) và 2 dây MA, MB nhỏ nhất
( Hd: gọi M(x , ),
bcaddcbaMA −===
2
1
S , ),(MB );,(
MAB
, tìm x để S
MAB
lớn
nhất. đs: M(1, ¼ )
6. Tìm M trên (P): y
2
= 64x gần đường thẳng d: 4x + 3y + 86 = 0 nhất
Đs: (9, -24)
7. Lập phương trình tiếp tuyến của (P):
a) (P): x
2
= 36y tại điểm N có x
N
= 6
b) (P): x

2
+ 2y = 0 tại điểm M có y
M
= - 2
c) (P): y
2
= 8x song song với đường d: 2x – y – 5 = 0, tìm tiếp điểm
đs: 2x – y + 1 = 0, M(1/2 , 2)
d) (P): x
2
+ 2y = 0 có hệ số góc k = 2, tính tọa độ tiếp điểm
đs: 2x – y + 2 = 0, (-2, -2)
e) (P): x
2
= 36y, xuất phát từ A(9, 2), viết phương trình đường thẳng qua 2 tiếp điểm
46
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
đs: 2x – 3y -12 = 0, x – 3y – 3 = 0; T
1
T
2
: x - 2y – 4 = 0
f) (P): y
2
= 8x, C/m từ A( -2, m) có thể vẽ được 2 tiếp tuyến tới (P) và 2 tiếp tuyến đó
vuông góc nhau. C/m khi m thay đổi, đường thẳng qua 2 tiếp điểm luôn qua 1 điểm
cố đònh. Đs: điểm cố đònh là tiêu điểm
F
g) Tổng quát, C/m rằng từ những điểm trên đường chuẩn luôn có tể vẽ được 2 tiếp tuyến
tới (P) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau. Và đường thẳng qua 2 tiếp điểm luôn qua

tiêu điểm F
8. Tìm tập hợp điểm.
a) Cho d: x + 2 = 0 và F(2, 0). Tìm tập các tâm I đường tròn qua F và tiếp xúc với d
b) Điểm M di động trên (P): y
2
= 4x, tìm tập hợp các trung điểm I của MN với N(1,–2)
Đs: (x –1/2)
2
= 2(y + 1)
c) Đường thẳng d qua tiêu điểm F của (P): y
2
= 4x và cắt (P) tại 2 điểm M, N. Tìm quỹ
tích trung điểm I của MN đs: y
2
= 2(x-1)
9. Cho (P): y
2
= 2px ( p > 0 ) có tiêu điểm F, đường chuẩn
∆
, tiếp tuyến d của (P) tại M cắt
Ox, Oy lần lượt tại N, I
a) C/m: I là trung điểm của NM, FI
⊥
d và điểm đối xứng của F qua I nằm trên
∆
b) D cắt
∆
tại K , đường thẳng qua F và vuông góc Ox cắt d tại L. C/m: FK = FL
10. Viết phương trình đường thẳng d cắt (P): y
2

– 4y – 8x – 4 = 0 tại 2 điểm A, B sao cho
M(0, 4) là trung điểm của đoạn AB đs: 2x – y + 4 = 0
11. M là điểm thuộc (P): y
2
= 64x, N là điểm thuộc d: 4x + 3y + 46 = 0
a) Tìm M, N để đoạn MN ngắn nhất đs: M(9, -24), N(,)
b) C/mr khi đó tiếp tuyến tại M của (P) song song với d và MN
⊥
d
12. Cho (P): y = x
2
và A(3, 0). Điểm M thuộc (P) có hoành độ x
M
= a, tính độ dài AM, xác
đònh a để AM ngắn nhất. Khi đó C/m AM
⊥
d là tiếp tuyến của (P) tại M
Đs: a = 1
Đs: r =
2
6
);0
2
3
6 xb);
2
6
,
2
3

,
2
7
cy =+±








±


HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
47
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
Tóm tắt giáo khoa:
Cho A(x
A
, y
A
, z
a
), B(x
B
, y
B

, z
B
), C(x
C
, y
C
, z
C
):
AB
= (x
B
– x
A
, y
B
– y
A
, z
B
-z
A
)
Độ dài đoạn
2 2 2
B
(x ) ( ) ( )
A B A B C
AB AB x y y z z= = − + − + −
uuur

a
= (a
1
, a
2
, a
3
);
b
= (b
1
, b
2
, b
3
)
độ dài vectơ
2
3
2
2
2
1
aaaa ++=


a
±

b
= (a
1
±
b
1
, a
2

±
b
2
, a
3

±
b
3
)
Tích vô hướng
a
.
b
= a
1
b
1
+ a
2
b

2
+ a
3
b
3

=
),cos(. baba

a
⊥
b

⇔
a
.
b
= 0

a
//
b

3
1 2
2
1 3
a
a a
b b b

⇔ = =

a
=
b

⇔

1 1
2 2
3 3
a b
a b
a b
=


=


=


Góc giữa 2 vectơ
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
a b a b a b
a b

a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r r
Tích có hướng
c
= [
a
,
b
] =









b b
a a
,
b b
a a
- ,
b b
a

21
21
31
31
32
32
a

Tính chất:





⊥
⊥
b

c
ac
ứng dụng: 1.
],[
2
1
ACABS
ABC
=
∆

2.

].,AB[
6
1
ADACV
ABCD
=

3. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:

'].,AB[ AAADV =
4. 3 vectơ
wvu ,,
đồng phẳng
].,u[ =⇔ wv
0

Bài tập:
48
Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN
1. Trong không gian Oxyz cho các vectơ:
a)
)1,1,1();1,0,2();1,2,1( −==−= cba
tìm
v
sao cho
.
2.
3.
4.








=
=
=
cv
bv
av
b)
)1,2,2();1,4,8( −== ba
, tìm
v
sao cho:
.
phang ,,







=
⊥
dongbav
bv

av
c)
)1,3,2();2,1,3();3,2,1( −=−== cba
, c/m chúng không đồng phẳng, phân tích vectơ

)4,4,6(=d
theo 3 vectơ trên
d)
)1,5,5();8,8,1();7,3,9( −==−= cba
, c/m chúng đồng phẳng
2. Cho A(1, 1, 1); B( -1, 1, 0); C(3, 1, - 1)
a) Tìm điểm M trên Oy cách đều 2 điểm A, B
b) Tìm điểm N trên mặt phẳng Oxz cách đều 3 điểm A, B, C
3. Cho A(1, 1, 1), B(5, 1, -2), C(7, 9,1)
a) C/m ABC là một tam giác, tính diện tích
b) Phân giác trong của góc A cắt BC tại D, tìm tọa độ D đs: D(, , -1)
c) Tính độ dài đường cao ứng với cạnh BC
d) Tính cosA ?
e) Tìm E sao cho ABCE là hình bình hành
4. Cho A(1, -1, 1), B(3, 1, -2), C(-1, 2, 4), D(5, -6 , 9)
a) C/m: D nằm ngoài mp (ABC), tính thể tích tứ diện ABCD đs:
b) Tìm trọng tâm G của tứ diện ABCD
c) Tìm các điểm B’, C’ sao cho ABC.DB’C’ là hình lăng trụ có ABC là một đáy, tính
thể tích của lăng trụ này
Đs: B’(7, -4, 6); C’(3, -3, 12), V = 70
5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1,0,1), B’(2,1,2), D’(1,-1,1), C(4,5,-5). Tìm các
đỉnh còn lại và tính thể tích của nó ?
6. Cho tam giác C(0,-4,1), D(-1,1,-3), E(1,-2,3). Tính độ dài trung tuyến, đường cao, đường
phân giác trong xuất phát từ đỉnh E của tam giác
Đs:

50
609
;
42
377
;
2
37

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Tóm tắt giáo khoa:
49