Chuyen de BDT on thi DH

Chuyªn ®Ò : bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc
1)
a b c 3
; a,b,c 0
b c c a a b 2
+ + ≥ >
+ + +
2)
2 2 2
a b c a b c
; a,b,c 0
b c c a a b 2
+ +
+ + ≥ >
+ + +
3)
a b c
3; a,b,c lµ ba c¹nh tam gi¸c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
4)
a b c d
2; a,b,c 0
b c c d d a a b
+ + + ≥ >
+ + + +
5)
( ) ( ) ( ) ( )
abc 1 a 1 b 1 c 1; a,b,c 0;1+ − − − < ∈

6)
b c c a a b
a b c 3; a,b,c 0 : abc 1
a b c
+ + +
+ + ≥ + + + > =
7)
3
x y z x y z
1 1 1 2 1 ; x,y,z 0
y z x
xyz
 
 
+ +
  
+ + + ≥ + >
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
  
 
 
8)
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
; a,b,c 0
b c a

b c a
+ + ≥ + + >
9)
2 2 2
a b c 3
; a,b,c 0 : a b c 3
2
1 b 1 c 1 a
+ + ≥ > + + =
+ + +
10)
2 2 2 2
a b c d
2 a,b,c, d 0 : a b c d 4
1 b 1 c 1 d 1 a
+ + + ≥ > + + + =
+ + + +
11)
2 2 2 2
a b c d
2 a,b,c, d 0 : a b c d 4
1 b c 1 c d 1 d a 1 a b
+ + + ≥ > + + + =
+ + + +
12)
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d a b c d
a,b,c, d 0
4

a b b c c d d a
+ + +
+ + + ≥ >
+ + + +
13)
2 2 2
2 2 2
a b c
1; a,b,c 0 : a b c 3
a 2b b 2c c 2a
+ + ≥ > + + =
+ + +
14)
2 2 2
3 3 3
a b c
1; a,b,c 0 : a b c 3
a 2b b 2c c 2a
+ + ≥ > + + =
+ + +
15)
2 2 2
a 1 b 1 c 1
3; a,b,c 0 : a b c 3
b 1 c 1 a 1
+ + +
+ + ≥ > + + =
+ + +
16)
1 1 1

1; a,b,c 0 : abc 1
2 a 2 b 2 c
+ + ≤ ≥ =
+ + +
17)
( )
3 a b c
a b c
; a,b,c 0
2
b c c a a b
+ +
+ + ≥ >
+ + +
18)
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
a b c 9
; a,b,c 0
4 a b c
b c c a a b
+ + ≥ >
+ +
+ + +
19)
3 3 3
a b c
1; a,b,c 0 : a b c 1
a 2b b 2c c 2a

+ + ≥ > + + =
+ + +
20)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
3; a,b,c 0
2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c
+ + ≥ >
+ − + − + −
21)
3 3 3
a b c a b c b c a c a b; a,b,c 0 : abc 2+ + ≥ + + + + + > =
22)
3 6
1 ; a,b,c 0 : abc 1
a b c ab bc ca
+ ≥ > =
+ + + +
23)
2 2 2
2 2 2
1 x 1 y 1 z
2; x,y,z 1
1 y z 1 z x 1 x y
+ + +
+ + ≥ > −
+ + + + + +
24)
( )
ab bc ca 1

a b c ; a,b,c 0
a b 2c b c 2a c a 2b 4
+ + ≤ + + >
+ + + + + +
25)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y z
1; x, y, z 0
x x y x z y y z y x z z x z y
+ + ≤ >
+ + + + + + + + +
26)
5 5 5 5
2a b 2b c 2c a 3 3; a,b,c 0,a b c 3+ + + + + ≤ ≥ + + =
27)
( )
6
2 3
a b c 432ab c ; a,b,c 0+ + ≥ >
28)
3a 3b 3c 3d 28561
2 2 2 2 ; a,b,c, d 0
5b 5c 5d 5a 625
    
+ + + + ≥ >
 ÷ ÷ ÷ ÷
    
29)
4
1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 9 ; a,b,c, d 0,a b c d 1
a b b c c d d a
    
+ + + + + + + + ≥ > + + + ≤
 ÷ ÷ ÷ ÷
    
30)
2 1 2 1 2 1 2 1 2401
a b c d ; a,b,c,d 0,abcd 16
b c c d d a a b 16
    
+ + + + + + + + ≥ > ≥
 ÷ ÷ ÷ ÷
    
31)
3 3 2 2
1 1 1
20; a,b 0,a b 1
a b a b b a
+ + ≥ > + ≤
+
32)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 81
; a,b,c 0 : a b c 1
ab bc ca 2
a b b c c a
+ + + + + ≥ > + + ≤
+ + +
33)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5 5 5
2a b a c a 2b c b a b 2c a c b c 3 6; a,b,c 0 : a b c 3+ + + + + + + + ≤ > + + =
34)
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a 9
; a,b,c 0
2abc 2
c ab a bc b ac
+ + + + +
+ + + ≥ >
+ + +
35)
( ) ( ) ( )
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 1
; a,b,c 0 : ab bc ca 1
12
a b b c c a
+ + ≥ > + + =
+ + +
36)
3 3 3
2 2 2
a b c 1 1 1
27 84; a,b,c 0 : a b c 3

ab bc ca
b c a
 
+ + + + + ≥ > + + ≤
 ÷
 
37)
( )
3 3 3 3 2 2 2 2
1
6 a b c d a b c d ; a,b,c, d 0 : a b c d 1
8
+ + + ≥ + + + + > + + + =
38)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
; a,b,c 0
b c d
b c a
+ + ≥ + + >
39)
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b b c c c c a a a 2a bc b 2b ac c 2c ab; abc 0+ + + + + + + + ≥ + + + + + ≥
40)
4 4 4 4
a b c d a b c d
; a,b,c, d 0
b c d a b c d a
       

+ + + ≥ + + + >
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
41)
a b c 3
; a,b,c 0 : abc 1
2
b ac c ab a bc
+ + >
+ + +
42)
1 1 1 9
; a,b,c 0 : a b c 1
1 ab 1 bc 1 ca 10
+ + > + + =
+ + +
43)
( )
ab bc ca
1 1 1 2 a b c ; a,b,c 0 : a b c 1
c a b
+ + + + + + + > + + =
44)
3 3 3
a b b c c a a b c; a,b,c 0 : abc 1+ + + + > =
45)
2 2 2
a b c 3
; a,b,c 0 : ab bc ca 1
2

a 1 b 1 c 1
+ + > + + =
+ + +
46)
4 4 4
a b b c c a
1; a,b,c 0 : ab bc ca 3abc
2a b 2b c 2c a
+ + > + +
+ + +
dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức.
Chú ý các tính chất sau:

( )
2
a b 0
;
2 2 2
A B C 0+ + +
;
2 2 2
A B C 0 ,( 0)+ + + + > >
; Tích các số không âm
là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng
hằng đẳng thức .
Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
a)
2
2 2
a b a b

2 2
+ +


ữ

b)
3
3 3
a b a b
2 2
+ +


ữ

c)
2 2
a b 2ab+
c)
2 2 2
a b b ab bc ca+ + + +
d)
( )
2 2 2
a b c 3 2 a b c+ + + + +
e)
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + + + +

f)
2 2
a b 1 ab a b+ + + +
Bài 2 : Chứng minh các BĐT sau:
a)
2 2 2
a b c 2ab 2ac 2bc+ + +
b)
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
+ + +
c)
2 2
a 2b 2ab 2a 4b 2 0+ + +
d)
2 2
a 5b 4ab 2a 6b 3 0+ + + >
e)
( )
4 4 2 2
x y z 1 2x xy x x 1+ + + + +
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau:
a)
( )
2 2 2
ab bc ca a b c 2 ab bc ca+ + + + + +
b)

( ) ( ) ( )
abc a b c b c a c a b + + +
c)
( )
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 a b b c c a a b c 0+ + >

d)
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
a b c b c a c a b 4abc a b c + + + + +

e)
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b a b b c b c c a c a 0 + +
f)
( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3
a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc+ + + + + + + + > + + +
Bài 4 : Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 + >
với mọi số thực x.
Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
P x xy y 3x 3y 1998= + + +
Bài 6 : Cho abc=2 và
3

a 72>
. CMR:
2
2 2
a
b c ab bc ca
3
+ + > + +
.
Bài 7 : CMR:
a) Nếu
2 2
a b 2+
thì
a b 2
+
b) Với a b thì
3 2 2 3
2
a ab a b b
b
a b
+



c) Nếu
x 1, y 1
thì
x y 1 y x 1 1 xy +

d) Nếu
0 x y z<
. CM:
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z

+ + + + +
ữ ữ

e) Nếu
2 2 2
a b c 1+ + =
thì :
1
ab bc ca 1
2
+ +
.
f) Cho a > 0. CMR:
5 2
a a 3a 5 0 + >
Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 a b b c c a+ + + + +
Bài 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 a 1 b 1 c+ + +

bằng bình phơng của một số thực
( a, b, c là các số thực).
Bài 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng :
2 2 2 2
2
a b c d ab bc cd d 0
5
+ + + + =
.
Bài 11 : Cho các số dơng a, b, c. CMR:
a b c
1 2
b c a c a b
< + + <
+ + +
.
Bài 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện :

ap 2bn cm 0 + =
và
2
ac b 0 =
. CMR:
2
mp n 0
.
Bài 13 : Cho các số dơng thỏa mãn: a> b và
c ab
. CMR:
2 2 2 2

a c b c
a c b c
+ +

+ +
.

dùng các bđt:
( )
1
a 2, a 0
a
+ >
;
( )
a b
2, a.b 0
b a
+ >
Bài 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dơng)
a)
( )
1 1
a b 4
a b

+ +
ữ

b)

( )
1 1 1
a b c 9
a b c

+ + + +
ữ

c)
( )
( )
2 2 2
a b c a b c 9abc+ + + +
d)
bc ac ab
a b c
a b c
+ + + +
e)
a b c 3
b c a c a b 2
+ +
+ + +
f)
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
+ +
+ +
+ + +

g)
4 4 4 9
a 2b c 2a b c a b 2c a b c
+ +
+ + + + + + + +
;
h)
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
+ + + +
i)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
+ + + +

Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
( )
4x 1 4 x
P , x 0
x
+ +
= >
b)
( )

2
x 2x 1
Q , x 2
x 2
+ +
= >
+
c)
2
2
1
T a 4 a
a a 1
= + +
+
.
Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
4 2
x
U
x x 1
=
+ +
.
Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số .
Bài 17 : Tìm GTNN của :
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2

f x, y x y 1 x 1 y 2= + + +
b)
( )
2 2 2
f x, y x y x 2xy 4x 1= + +
c)
( )
2 2
2 2
4y 4x 6xy
f x, y
x y
+
=
+
.
Bài 18 : Tìm GTLN của :
a)
( )
2
f x 3 4x x= +
b)
( ) ( ) ( )
f x x 3 15 x=
c)
( )
2
2 2
3x 4xy
f x, y

x y
+
=
+
Bài 19 : Tìm GTNN của :
a)
( ) ( )
2
x 4x 4
f x x 0
x
+ +
= >
b)
( ) ( )
3
2
x 1
f x x 0
x
+
= >
c)
( ) ( )
x 5
f x 0 x 1
1 x x
= + < <

d)

( )
f x tgx cot gx= +
(x là góc nhọn)
Bài 20 : Tìm GTLN của :
a)
( ) ( ) ( )
f x 2x 1 3 5x=
b)
( ) ( ) ( )
3
f x 1 x 1 x= +
c)
( )
2
x
f x
x 2
=
+
d)
( )
( )
2
3
2
x
f x
x 2
=
+

e)
( ) ( ) ( )
2 2
f x a x a x 0 x a= +
Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN của :
a)
( ) ( )
f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5= +
b)
( )
( )
2
f x 3x 4 3 x 3 x 3= +
c)
( )
( )
o o
f x 3sin x 4cos x 2 0 x 180= + + < <
Bài 22 : Cho
( )
2 2
x y 2, x 0, y 0+ = > >
. Hãy tìm :
a) GTNN của :
1 1
A
x y
= +
b) GTLN của :
( )

B x y xy= +
c) GTLN của :
2
C xy=
Bài 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của :
a)
2 2
A x y= +
b)
4 4
B x y= +
c)
( ) ( )
C x 1 4y 3= + +
d)
2 2
D x y x 9 y y 9 x= + + + + +
Bài 24 : Cho 2 số thực dơng a và b. Tìm GTNN của :
a)
( ) ( )
( )
a x b x
y , x 0
x
+ +
= >
b)
b
y ax , x 0
x

= + >
c)
( )
b
y ax , x a
x a
= + >
+
d)
y 2 x 1 x 2 x 3= + +
e)
y x 1 x 2 x 3 x 4= + + +
bất đẳng thức Côsi 0985.873.128
Câu 1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: a + b + c = 3. CMR:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định:
20 20
y sin x cos x= +
Câu 3: Cho x, y là các số thực dơng thỏa mãn: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:
x y
P
1 x 1 y
= +

Câu 4: Cho a, b, c dơng thỏa mãn: abc=1. Tìm GTNN của:
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
P
a b a c b a b c c a c b

= + +
+ + +
Câu 5: Cho x, y,, z là các số thực dơng. CMR:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 x 2 y 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
+ + + +
+ + +
Câu 6: CMR nếu
a,b,c 0
a b c 1
>
+ + =



thì
b c 16abc+
.
Câu 7: CMR với mọi x, y, z dơng ta có:
2 2 2
1 1 1 x y z
2xyz
x yz y zx z xy
+ +
+ +
+ + +
Câu 8: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn
x y z 3+ +
. CMR:

2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
+ + + +
+ + +
+ + +
Câu 9: CMR với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=0 ta có:
a b c a b c
8 8 8 2 2 2+ + + +
Câu 10: Cho x, y là hai số thực dơng thỏa mãn:
x y 1+
. Tìm GTNN của:
2 2
1 1
P 4xy
xy
x y
= + +
+
Câu 11: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức:
x y z
P
x 1 y 1 z 1
= + +
+ + +
Câu 12: Cho x, y, z dơng thỏa mãn:
x y z 1+ +
. CMR:
2 2 2

2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
+ + + + +
.
Câu 13: Cho x, y, z dơng thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
+ +
+ + + + + +
.
Câu 14: Cho x, y, z dơng thỏa mãn xyz=1. CMR:
3 3 3 3 3 3
1 x y 1 y z 1 z x
3 3
xy yz zx
+ + + + + +
+ +
Câu 15: Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
2
y 9
1 x 1 1 256

x
y
+ + +


ữ
ữ


.
Câu 16: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
x y z
3 4 3 4 3 4 6+ + + + +
.
Câu 17: Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn
3
a b c
4
+ + =
. CMR:
3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3+ + + + +
Câu 18: Cho x, y, z thỏa mãn:
x y z
3 3 3 1

+ + =
. CMR:
x y z x y z
x y z y z x z x y

9 9 9 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
+ + +
+ +
+ +
+ + +
Câu 19: Cho hai số dơng x, y thỏa mãn điều kiện
x y 4+
. Tìm GTNN của:
2 3
2
3x 4 2 y
A
4x
y
+ +
= +
.
Câu 20: Cho
a 2, b 3,c 4
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ab c 4 bc a 2 ca b 3
F
abc
+ +
=
.
Câu 21: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 2 2 2

3 3 3 2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + + +
.
Câu 22: Cho a, b, c dơng. Chứng minh rằng:
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
.
Câu 23: Cho x, y, z dơng. Chứng minh rằng:
( )
4 4 4
3 3 3
x y z 1
x y z
y z z x x y 2
+ + + +
+ + +
Câu 24: Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn: xyz = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
+ +
+ + +
.
Câu 25: Chứng minh với ba số dơng a, b, c bất kì thì:
3 3 3

3 3 3
a b c a b c
b c a
b c a
+ + + +
Câu 26: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:
2 2 2
3a 3b 3c 4abc 13+ + +
Câu 27: Cho bốn số dơng a, b, c, d. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
a b c d 1 1 1 1
b c d a a b c d
+ + + + + +
Câu 28: CMR với ba số dơng a, b, c tuỳ ý ta có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
+ +
+ + + + + +
Câu 29: Cho x, y, z là các số thực dơng. Tìm GTNN của:
x 1 y 1 z 1
P x y z
2 yz 2 zx 2 xy


= + + + + +
ữ ữ
ữ

Câu 30: Cho a, b, c dơng. Chứng minh rằng:
1)
( )
2
2 2 2
4 a b
a b c
a b c
b c a a b c

+ + + + +
+ +
2)
2 2 2
b c c a a b 1 1 1
a b c
a b c
+ + +
+ + + +
3)
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 27
b a b c b c a c a
2 a b c
+ +
+ + +

+ +
4)
( )
2 2 2
a b c 2 ab ac+ + +
5)
( )
( )
3 3 3
2
2 2 2
2 a b c
9 a b c
33
abc
a b c
+ +
+ +
+
+ +
Câu 31: Cho a, b, c > 0 thoả mãn:
abc 1
. CMR:
1 1 1
1
1 a b 1 b c 1 c a
+ +
+ + + + + +
Câu 32: Cho a, b, c > 0:
abc 1=

. CMR:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c 3
a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4
+ +
+ + + + + +
Câu 33: Cho a, b, c > 0:
a b c 3+ + =
. CMR:
a b c ab bc ca+ + + +
Câu 34: Cho a, b, c, d dơng. CMR:
3 3 3 3
1 1 1 1 a b c d
abcd
a b c d
+ + +
+ + +
Câu 35: Cho
a,b 0 : a b 2 + =
. CMR:
( )
2 2 2 2
a b a b 2+
Câu 36: Cho a, b, c > 0:
a b c 1+ + =
. CMR:
2 2 2
1 1 1 1
30
ab bc ca

a b c
+ + +
+ +
Câu 37: Cho a, b, c > 0:
2 2 2
a b c 1+ + =
. CMR:
1
a b c 4 3
abc
+ + +
C©u 38: Cho a, b, c > 0:
a b c 1+ + =
. CMR:
2 2 2
a b c 2 3abc 1+ + + ≤