GỢI Ý ĐỀ CHUYÊN TOÁN HÀ NỘI 2010 -2011

Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên THPT
amsterdam chu văn an hà nội
Năm học `2010 -2011
Môn Toán Ngày thi 23/6/2010 Thời gian 150 phút
Bài I. (2 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n
3
+ 11n chia hết cho 6.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n
4
3n
2
+ 1 là số nguyên tố
Bài II. (2 điểm)
Cho phơng trình: (m
2
+ 2m + 2)x
2
(m
2
2m + 2)x 1 = 0
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho.
1) Tìm các giá trị của m để : x
1
2

+ x
2
2
= 2x
1
x
2
(2x
1
x
2
1)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x
1
+ x
2
Bài III. (2 điểm)
1) Cho a bất kì, chứng minh rằng:
2010
2010
2010
2
2009
a
a
+
>
+
2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn ph ơng trình:
y

2
x(x 2)(x
2
2x + 2) = 0
Bài IV( 3 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn . Đ ờng tròn đ-
ờng kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F.
1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đ ờng tròn (O;R) là tâm
của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF.
2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đ ờng tròn đờng
kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B.
Chứng minh OA. OB = R
2
.
3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đ ờng
tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đ ờng thẳng qua F và vuông góc với đ -
ờng thẳng EN tại điểm P, d cắt đ ờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác
F). Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng:
PN . PK + QN . QK
2
3
2
R
Bài V. (1 điểm)
Giải phơng trình: x
8
x
7
+ x
5

x
4
+ x
3
x + 1 = 0
===***===
M ộ t s ố g ợ i ý đ ề c h u y ê n A m s t e r d a m , C h u V ă n A n 2 3 . 6 . 20 1 0
Bài I. (2 điểm)
3) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n
3
+ 11n chia hết cho 6.
4) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n
4
3n
2
+ 1 là số nguyên tố
Gợi ý :
1)
A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh
2)
B =(n
2
n - 1).(n
2
+ n - 1)
n
2
n 1 < n
2

+ n 1. để B là số nguyên tố thì n
2
n 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn
Bài II. (2 điểm)
Cho phơng trình: (m
2
+ 2m + 2)x
2
(m
2
2m + 2)x 1 = 0
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho.
3) Tìm các giá trị của m để : x
1
2
+ x
2
2
= 2x
1
x
2
(2x
1
x

2
1)
4) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x
1
+ x
2
Gợi ý :
1)
dễ có phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
Theo vi et :







++

=
++
+
=+
22
1
22
22
2
21
2

2
21
mm
xx
mm
mm
xx
thay vào , tìm đợc m
2)
S =
22
22
2
2
++
+
mm
mm
.
Sau đó xét hiệu S (
223
) và hiệu S (
223 +
) ta tìm đợc max, min.
Hoặc dùng ph ơng pháp đenta
Bài III. (2 điểm)
3) Cho a bất kì, chứng minh rằng:
2010
2010
2010

2
2009
a
a
+
>
+
4) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn ph ơng trình:
y
2
x(x 2)(x
2
2x + 2) = 0
Gợi ý :
1)
200921)2009(2010
201020102010
+++=+ aaa
. Suy ra điều phảI chứng minh
Dấu bằng không xẩy ra.
2. Đặt (x - 1)
2
= t 0 phơng trình có dạng : y
2
(t- 1)(t + 1) = 0
Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ớc số
Bài IV( 3 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn . Đ ờng tròn đ-
ờng kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F.
4) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đ ờng tròn (O;R) là tâm

của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF.
5) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đ ờng tròn đờng
kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B.
Chứng minh OA. OB = R
2
.
6) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đ ờng
tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đ ờng thẳng qua F và vuông góc với đ -
ờng thẳng EN tại điểm P, d cắt đ ờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác
F). Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng:
PN . PK + QN . QK
2
3
2
R
Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)
1)
Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đờng tròn (O), từ đó dễ chứng minh đợc
cung EI = cung FI của đờng tròn (O). Dễ dàng chứng minh đ ợc EI, FI, MI
là các đờng phân giác của tam giác MEF.
2)
Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh đ ợc : OA.OB = OH.OM = OE
2
.
3)
Ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp MEF và MEF đều có cạnh bằng
3R
.
Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ
EK.

Ta có PN. PK + QN.QK = 2.S
K P N Q
KN.QP dấu bằng khi KN PQ. (*)
Mà N là trực tâm EKF, nên KN = 2. IH = R (1)
Ta có KPQ đồng dạng với KEF , nên
2
1
==
KE
KP
EF
PQ
PQ =
2
3R
(2)
Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh.
dấu bằng khi KN PQ hay N, I trùng nhau
Bài V. (1 điểm)
Giải phơng trình: x
8
x
7
+ x
5
x
4
+ x
3
x + 1 = 0

Gợi ý :
Nếu x 1Thì VT = (x
8
x
7
) + (x
5
x
4
) + (x
3
x) + 1 1 không có nghiệm
Nếu 1> x > 0Thì VT = (x
5
x
7
) + (x
3
x
4
) + (1 x) + x
8
> 0 không có nghiệm
Nếu x 0 thì VT > 1 không có nghiệm
Vậy pt vô nghiệm
Lời giải trên là cá nhân, không phải là đáp án, nếu có gì sơ xuất mong
đợc trao đổi. Nguyễn Đức Trờng, THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội.
D Đ 098 453 0263