Lời giải câu 5 đề thi Toán vào ĐH khối A năm 2009

LỜI GIẢI CÂU 5 ĐỀ THI MÔN TOÁN TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC NĂM 2009
Trong đề thi tuyển sinh Đại học năm 2009 có bài toán sau:
Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,x y z
thoả mãn
( ) 3x x y z yz+ + =
, ta có
3 3 3
(x+y) (x+z) 3(x+y)(x+z)(y+z) 5(y+z)+ + ≤
(1).
Ngoài cách giải của đáp án, tôi xin trình bày một số cách giải khác để các bạn cùng tham
khảo:
Bài giải:
Cách1:(Biến đổi tương đương):
Biến đổi điều kiện đã cho dưới dạng:
2
( ) 3x x y z yz+ + =
(*)
(1)
⇔
2
3 2 2 2 3 3 2
3 ( ) 3 ( ) 3( )[ ( ) ]x x y z x y z y z y z x x y z yz+ + + + + + + + + + +
3
5( ) 0y z− + ≤
⇔
2 2 2 2 3 3
2 [ ( )]+x ( ) 3 ( ) 12( )x x x y z y z x y z y z y z yz+ + + + + + + + +
3
5( ) 0y z− + ≤
⇔

6xyz
2 2 2 3 3
+x ( ) 3 ( ) 12( )y z x y z y z y z yz+ + + + + + +
3
5( ) 0y z− + ≤
⇔
2 2 3
( ) 3 ( ) ( )x y z x y z y z+ + + + +
+9
( )
y z yz+
3
5( ) 0y z− + ≤
⇔
2
3 ( ) 9x x y z yz+ + +
2
4( )y z− +
0≤
2 2
4 6 ( ) 4( ) 0x x y z y z⇔ + + − + ≤
2 2
2 3 ( ) 2( ) 0x x y z y z⇔ + + − + ≤
( ) ( )
2 2 2 0x y z x y z− − + + ≤
(2)
Nếu
2x y z> +
, ta có :
( )

2
( ) ( ) 3
2 2 4
y z
y z y z
x x y z y z
+
+ +
+ + > + + =
3yz≥
.
Không thoả mãn điều kiện :
( ) 3x x y z yz+ + =
.
Vậy
2x y z≤ +
Mặt
≠
,
, , 0x y z >
nên (2) đúng
(1)⇒
đúng, dấu "=" xảy ra khi
x y z= =
Cách 2:( Sử dụng hàm số)
Chứng minh giống cách 1, ta có :
0
2
y z
x

+
< ≤
Với
0
2
y z
x
+
< ≤
,
, 0y z >
Xét hàm số:
( )f x =

3 3
(x+y) (x+z) 3(x+y)(x+z)(y+z)+ +

Có
2 2
'( ) 3( ) 3( ) 3( )( ) 3( )( ) 0f x x y x z x z y z x y y z= + + + + + + + + + >
Do đó,
( )f x
luôn đồng biến. Mặt khác
( )f x
là hàm số liên tục nên
với
0
2
y z
x

+
< ≤
, ta có
( )
2
y z
f x f
+
 
≤
 ÷
 
. Lại có:
3
( ) (2 ) 3( )( )(2 ) 3( )( )( )
2
y z
f x y z x y x z x y z x y x z y z
+
= + + − + + + + + + + +
=
3 3 2
8( ) 6 ( )( ) 8( ) ( )(3 3 ( ) 3 )y z x x y x z y z y z x x y z yz+ − + + = + − + + + +
3 2
8( ) ( )(3 3 ( ) 3 )y z y z x x y z yz= + − + + + +
3 2
8( ) 4( )[ ( )]y z y z x x y z= + − + + +
( )
2
2

3
( )
8( ) 4( )[ ]
4 2
y z
y z
y z y z
+
+
= + − + +
3 3 3
8( ) 3( ) 5( )y z y z y z= + − + = +
Suy ra
( )
3
( ) 5f x y z≤ +
(đpcm). Dấu "=" xảy ra khi
x y z= =