CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH pptx

Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH
- Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ
không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích.
- Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ
học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên
cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng.
Bài 1.
Phân loại cơ hệ, liên kết đặt vào cơ hệ
Xét cơ hệ N chất điểm
k
M
chuyển động hệ qui chiếu Oxyz.
Vị trí của cơ hệ được xác định bởi 3N thành phần xác định vị trí
1
i i i
x ,y ,z ; i ,N=
.
Vận tốc của các điểm thuộc cơ hệ xác định bởi 3N thành phần vận tốc
1
i i i
x ,y ,z ; i ,N=
& &
&
.
I. Khái niệm về cơ hệ
1. Cơ hệ tự do
Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các thành phần xác định vị trí và vận tốc lấy giá
trị bất kỳ trong không gian qui chiều.
Ví dụ: Hệ mặt trời, mỗi hành tinh được coi là 1 chất điểm
2. Cơ hệ không tự do

Nếu các thành phần xác định vị trí hay vận tốc của cơ hệ chịu một số điều
kiện ràng buộc nào đó do các vật thể khác gây nên thì cơ hệ gọi là cơ hệ không tự
do.
3. Liên kết đặt vào cơ hệ
Những điều kiện ràng buộc về vị trí hay vận tốc thuộc hệ do các thành
phần khác gây nên gọi là liên kết đặt vào cơ hệ.
Về mặt toán học, các liên kết này được biểu thị bởi các đẳng thức hay bất
đẳng thức gọi là các phương trình liên kết hay bất phương trình liên kết.
( )
( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1
0
0
N N N
N N N N N N
f x ,y ,z , ,x ,y ,z
g x ,y ,z , ,x ,y ,z ,x ,y ,z , ,x ,y ,z
α
α
≥
≥
& & & &
& &
1,m
α
=
, m là số liên kết.
Ví dụ:
1. Khi mô tả chất điểm A luôn nằm trên mặt đường nằm ngang dùng pt

0
A
y =
.
2. Khi chất điểm M nằm trong mặt phẳng Oxy, treo trên dây OM=l và dây luôn
căng, không giãn, được biểu diễn bằng phương trình
2 2
M M
x y l+ =
.
24/11/08
1
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Hình 1
3. Hệ mô tả bởi hình trên chịu liên kết mô tả bởi phương trình
2
A B C
x y y l+ + =
, với l là chiều dài dây nối các vật.
II. Phân loại liên kết đặt vào cơ hệ
1. Liên kết giữ, không giữ
• Liên kết giữ là các liên kết được mô tả bằng những đẳng thức thì
chúng gọi là các liên kết giữ
0f
α
=
hay
0g
α
=

.
• Liên kết không giữ là các liên kết được viết dưới dạng bất đẳng thức
0f
α
≥
hay
0g
α
≥
. Liên kết không giữ tùy trường hợp gọi là các liên kết giữ nếu
xảy ra dấu “=” và coi là liên kết không giữ nếu xảy ra dấu bất đẳng thức.
2. Liên kết dừng, không dừng
• Liên kết dừng nếu phương trình liên kết không chứa rõ hiển thời gian t
(Sclêônôm). Nghĩa là
0
f g
,
t t
α α
α
∂ ∂
= = ∀
∂ ∂
• Liên kết không dừng nếu phương trình liên kết có chứa thời gian t
(Rêônôm). Nghĩa là
0
f g
,
t t
α α

α
∂ ∂
= ≠ ∀
∂ ∂
3. Liên kết Hôlônôm, phi Hôlônôm
• Liên kết Hôlônôm (liên kết hình học) nếu trong phương trình liên kết
chỉ chứa các thành phần vị trí. Phương trình liên kết
0 1f , ,m
α
α
≥ =
.
• Liên kết phi Hôlônôm nếu trong phương trình liên kết chứa các thành
phần vị trí và vận tốc. Phương trình liên kết
0 1g , ,m
α
α
≥ =
.
24/11/08
2
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Bài 2.
Khái niệm về bậc tự do,
Tọa độ suy rộng của cơ hệ
1. Bậc tự do của cơ hệ
Mỗi cơ hệ tại mỗi thời điểm có vô số di chuyễn khả dĩ. Vì hệ chịu liên kết
nên các di chuyễn này không độc lập với nhau.
Bậc tự do của cơ hệ chính là số di chuyển khả dĩ độc lập của cơ hệ.
Xét trường hợp cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của m liên kết.

Số bậc tự do của cơ hệ và được xác định như sau:
• Nếu cơ hệ chuyển động trong không gian Oxyz
3n N m= −
(1.a)
• Nếu cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng
2n N m= −
(1.b)
• Nếu cơ hệ chuyển động trên đường thẳng
n N m= −
(1.c)
2. Tọa độ suy rộng
Tọa độ suy rộng là tập hợp tất cả các thông số cần thiết, độc lập và đủ để
xác định vị trí của cơ hệ trong không gian. Tọa độ suy rộng có thể là tọa độ
Descartes của các chất điểm thuộc cơ hệ, góc quay, các tọa độ cong… Tùy
trường hợp ta có thể chọn tọa độ nào để bài toán xác định vị trí của cơ hệ đơn
giản nhất.
Ký hiệu tọa độ suy rộng là
1 2 3
q ,q ,q
Bản chất vật lý của tọa độ suy rộng là bất kỳ, do đó thứ nguyên của nó
không phải chỉ là độ dài như tọa độ Descartes.
Đạo hàm theo thời gian của tọa độ suy rộng
i
q
&
gọi là vận tốc suy rộng.
Số tọa độ suy rộng
1
j
q , j ,n=

bằng với số bậc tự do của cơ hệ.
Vị trí của cơ hệ được xác định nhờ các tọa độ suy rộng, nên giữa tọa độ
Descartes của chất điểm và tọa độ suy rộng có sự liên hệ với nhau:
( ) ( ) ( )
1
k k j k k j k k j
x x t,q , y y t,q , z z t,q , j ,n= = = =
(2.a)
hoặc ở dạng vector

( )
1
k k j
r r t,q , j ,n
= =
r r
(2.b)
Ví dụ
1. Bánh xe đống chất bán kính R, chuyển động lăn không trượt trên đường
thẳng 0x nằm ngang (như hình vẽ).
24/11/08
3
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Xét chuyển động của bánh xe, Bánh xe chuyển động song phẳng, xác định
nó bởi 3 tham số
( )
0 0
, ,x y
ϕ
, nhưng bánh xe là cơ hệ không tự do, nó chịu các

liên kết được mô tả bởi phương trình
0
0 0
y R
x R
ϕ α
=


− =

x
y
A
O
Vậy số bậc tự do của cơ hệ là: n = 3 – 2 =1.
2. Cơ cấu tay quay thanh truyền 0AB được xem là hai chất điểm chuyển
động trong mặt phẳng xy, chịu các liên kết cho bởi các phương trình
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
A A
B A B A
B
x y r
x x y y l
y h

+ =



− + − =


= −


x
y
F
A
O
B
h
l
r
ϕ
ψ
Vậy số bậc tự do của cơ hệ: n=2.2-3=1.
Ta có thể chọn tọa độ suy rộng là góc quay
ϕ
của OA.
24/11/08
4
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Bài 3.
Di chuyển thực, di chuyển khả dĩ
Xét cơ hệ N chất điểm chuyển động trong không gian Oxyz chịu m liên
kết hôlônôm, giữ

( )
0 1
k
f t;r , ,m
α
α
= =
r
(1)
1. Di chuyển thực
Tại thời điểm t, giả sử các chất điểm ở vị trí xác định bởi
k
r
r
thỏa mãn các
phương trình liên kết (1). Trong khoảng thời gian
( )
t,t dt+
, dưới tác dụng của
các lực ngoài, chất điểm thực hiện một dịch chuyển
k k
dr r dt=
r r
&
gọi là di chuyển
thực trong khoảng thời gian
( )
t,t dt+
.

Lấy vi phân (1) theo thời gian, ta được
1
0
N
k
k
k
f f
df dt dr
t r
α α
α
=
∂ ∂
= + =
∂ ∂
∑
r
r
(2)
Nghĩa là, di chuyển thực trong khoảng thời gian
( )
t,t dt+
phải thỏa mãn phương
trình (2).
2. Di chuyển khả dĩ (di chuyển ảo)
Tại thời điểm t cố định, mỗi chất điểm có thể ở vô số các vị trí thỏa mãn
các phương trình liên kết, mà vị trí thực của nó chỉ là một trong số chúng. Gọi
k
r

r
%
là vị trí vô cùng gần với vị trí thực
k
r
r
. Ký hiệu
( )
k k k
r x, y, z r r
δ δ δ δ
= −
r
r r
%
(gọi là
biến phân của
k
r
r
), ta có
( )
( )
1
0
N
k
k
k
f

f t;r f t;r r
r
α
α α
δ
=
∂
− = =
∂
∑
r
r r
%
r
(3)
Các gia số
k
r
δ
r
gọi là di chuyển khả dĩ của cơ hệ và thỏa mãn công thức (3).
Vậy, di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập các di chuyển vô cùng bé mà các
chất điểm của cơ hệ có thể thực hiện được từ vị trí khảo sát sang vị trí lân cận mà
vẫn thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét.
Note:
• Khái niệm chuyển khả dĩ hoàn toàn khác với khái niệm di chuyển
thực. Di chuyển thực là di chuyển mà các chất điểm thực hiện trong khoảng thời
gian
( )
t,t dt+

, còn di chuyển khả dĩ đơn thuần là các gia số
k
r
δ
r
vô cùng bé thỏa
mãn các phương trình (3), được tính tại thời điểm cố định t.
• Khi liên kết là dừng ta có di chuyển thực vô cùng bé trùng với một
trong các di chuyển khả dĩ.
24/11/08
5
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Bài 4.
Lực suy rộng
1. Định nghĩa lực suy rộng
Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực chủ động
k
F
r
. Giả sử cơ
hệ có n bậc tự do.
Công của lực chủ động trên di chuyển khả dĩ
k
r
δ
r
gọi tắt là công khả dĩ (công ảo)
xác định như sau:
1 1
N N

k k k
k k
A A F r
δ δ δ
= =
= =
∑ ∑
r
r
(1)
với
( )
1 2k k n
r r t,q ,q , ,q=
r r
, ta có
( )
1 2
1
n
k
k k n i
i
i
r
r r t,q ,q , ,q q
q
δ δ δ
=
∂

= =
∂
∑
r
r r
(2)
Thế (2) vào (1), ta được
1 1 1 1
1 1 1
N n N n
k k
k i k i
k i k i
i i
n N n
k
k i i i
i k i
i
r r
A F q F q
q q
r
F q Q q
q
δ δ δ
δ δ
= = = =
= = =
   

∂ ∂
= =
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 
∂
= =
 ÷
∂
 
∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
r r
r r
r
r
(3)
với
1 1
N N
k k k k
i k kx ky kz
k k
i i i i
r x y z
Q F F F F
q q q q= =
 
∂ ∂ ∂ ∂

= = + +
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∑ ∑
r
r
(4)
gọi là lực suy rộng thứ i của cơ hệ.
2. Phương pháp thực hành xác định lực suy rộng
i
Q
ứng với tọa độ suy
rộng
i
q
nào đó
Do tất cả các
1
j
q , j ,n
δ
=
uur
đều độc lập với nhau, để xác định
i
Q
ứng với
tọa độ suy rộng
i

q
nào đó, ta cho độ dời ảo
0
i
q
δ
≠
còn tất cả các
0
j
q , j i
δ
= ≠
,
sau đó tính công
i
A
δ
của tất cả các lực tác dụng trên di chuyển khả dĩ
i
q
δ
. Ta
được,
( )
1
i k i i i
k
A A q Q q
δ δ δ

=
= =
∑
(5)
Hệ số của
i
q
δ
trong (5) cho ta lực suy rộng
i
Q
cần tìm.
Trong trường hợp tất cả các lực tác động lên cơ hệ đều có thế, nghĩa là tồn
tại hàm thế
Π
sao cho
k
k
F
r
Π
∂
= −
∂
r
r
. Khi đó ta có
1 1
N N
k k

i k
k k
i k i i
r r
Q F
q r q q
Π Π
= =
∂ ∂ ∂ ∂
= = − = −
∂ ∂ ∂ ∂
∑ ∑
r r
r
r
(6)
24/11/08
6
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Ví dụ
Cơ cấu tay quay thanh truyền 0AB được xem là hai chất điểm chuyển
động trong mặt phẳng xy. Tác dụng lên tay quay OA ngẫu lực M và lực
F
r
lên
con chạy B. Xác định lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng
ϕ
.
Giải
Ta tính công khả dĩ của các ngẫu lực M và lực

F
r
tác
dụng lên hệ
B
A M F x
δ δϕ δ
Σ = +
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
cos cos ; sin sin
1
sin sin
1
cos sin
cos sin
sin cos
sin
sin
B
B

B
x r l r l h
r h
l
l r h
l
x r l r h
r h r
x r
l r h
ϕ ψ ϕ ψ
ψ ϕ
ψ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕδϕ
δ ϕδϕ
ϕ
= + = −
⇒ = +
⇒ = − +
= + − +
+
= − −
− +
(g) ⇒
( )
( )
2
2
cos sin

sin
sin
r r h
A M F r
l r h
ϕ ϕ
δ ϕ δϕ
ϕ
 
 
+
 
 
= − +
 
 
− +
 
 
 
∑
Vậy
( )
( )
2
2
cos sin
sin
sin
r h

Q M Fr
l r h
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
 
+
 
= − +
 
− +
 
Bài 5.
24/11/08
7
x
y
F
A
O
B
h
l
r
ϕ
M
Ψ
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Nguyên lý di chuyển khả dĩ

1. Liên kết lý tưởng
Các liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công của các phản lực liên kết
trên các di chuyển khả dĩ đều bằng không, nghĩa là
1 1
0
N N
k k k
k k
A R r
δ δ
= =
= =
∑ ∑
r
r
(1)
trong đó
k
R
r
- Phản ản lực liên kết đặt lên chất điểm thứ k.

k
r
δ
r
- Di chuyển khả dĩ của chất điểm thứ k.
Trong thực tế, các liên kết vật rắn bỏ qua ma sát, tính đàn hồi của vật liệu
được coi là liên kết lý tưởng.
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Phát biểu: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng
và lý tưởng cân bằng là tổng công của các lực chủ động tác dụng lên cơ hệ trên
mọi di chuyển khả dĩ bất kỳ bằng không.
1 1
0
N N
k k k
k k
A F r
δ δ
= =
= =
∑ ∑
r
r
(2)
trong đó
k
F
r
là lực hoạt động tác dụng lên chất điểm thứ
k
M
thuộc cơ hệ,
k
r
δ
r
là di chuyển khả dĩ của chất điểm thứ
k

M
. Phương trình (2) còn gọi là
phương trình công khả dĩ.
3. Phương trình cân bằng trong tọa độ
Giải sử cơ hệ có n bậc tự do, chọn các tọa độ suy rộng
1 2 n
q ,q , ,q
. Ta có
phương trình (2), nguyên lý di chuyển khả dĩ, trở thành
1 1 1
0
N N n
k k k i i
k k i
A F r Q q
δ δ δ
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
r
r
(3)
với
1
N
k
i k
k
i
r

Q F
q=
∂
=
∂
∑
r
r
lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng
i
q
. Vì các
i
q
độc lập
nên ta chọn
i
q
δ
là độc lập và tùy ý. Từ (), ta có
0
i
Q =
(4)
Ta được n phương trình cân bằng dạng (), gọi là phương trình cân bằng dạng tọa
độ suy rộng.
Nếu các lực tác dụng là lực có thế, ta có phương trình cần bằng
0
i
i

Q
q
Π
= − =
∂
(5)
Với
( )
i
q
Π Π
=
- Hàm thế năng của lực tác dụng.
Note:
Ưu điểm của định luật công khả dĩ là khi giải bài toán cân bằng cơ học, ta
không cần quan tâm đến các phản lực liên kết (liên kết là lý tưởng). Do đó nó rất
thuận lợi cho giải các bài toán tìm điều kiện cân bằng. Khi gặp các bài toán tìm
24/11/08
8
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
phản lực, hay liên kết là không lý tưởng ta phải áp dụng nguyên lý giải phóng
liên kết hay thành phần không lý tưởng tương ứng và coi các phản lực này như
lực tác dụng.
Ví dụ
Xác định quan hệ giữa các lực
vaøP Q
r
r
đđể cơ cấu Culit cân bằng tại vị trí
khảo sát. Biết OC = R ; OK = l .

Giải
Xét cơ hệ. Bỏ qua ma sát giữa các ổ trục nó là hệ Holomom, giữ, dừng và
lý tưởng.
Hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng là ϕ
y
x
ϕ
A
C
Q
K
P
B
O
Các lực tác dụng lên cơ hệ
,P Q
r
r
Áp dụng nguyên lý công khả dĩ khi hệ cân bằng, ta được
0
Q P
A Q r P r
δ δ δ
= + =
r
r
r r
0
x Q y Q x P y P
Q x Q y P x P y

δ δ δ δ
⇒ + + + =
Với
( )
1 1
2
cos sin sin
sin cos cos
sin ; cos
0 ;
; tan
cos
const
Q Q
Q Q
x y
x y
P B A P A A A
x OC x OC R
y OC y OC R
Q Q Q Q
P P P
l
y y y l l AB y y y l y
ϕ δ ϕδϕ ϕδϕ
ϕ δ ϕδϕ ϕδϕ
ϕ ϕ
δ δ ϕ δ δϕ
ϕ
= ⇒ = − = −

= ⇒ = =
= = −
= =
= = + = = ⇒ = = ⇒ =
⇒

( )
2
2
sin sin cos cos 0
cos
0
cos
l
Q R Q R P
Pl
QR
ϕ ϕδϕ ϕ ϕδϕ δϕ
ϕ
δϕ
ϕ
− − + =
 
− + =
 ÷
 

⇒

2 2

0
cos cos
Pl Pl
Q QR Q
R
ϕ
ϕ ϕ
= − + = ⇒ =
Bài 5.
24/11/08
9
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
PHƯƠNG TRÌNH TỒNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC
(NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT – LAGRANGE)
1. Phương trình tổng quát động lực học
Xét cơ hệ N chất điểm
k
M
có khối lượng
k
m
chuyển động trong không
gian Oxyz chịu liên kết Hôlônôm, giữ, lý tưởng. Giả sử chất điểm
k
M
chịu tác
dụng của các lực chủ động
k
F
r

và phản lực liên kết
k
R
r
.
Áp dụng nguyên lý d’Alambert ta có
0
qt
k k k
F R F+ + =
r r r
(1)
Nhân vô hướng hai vế phương trình (1) với
k
r
δ
r
và rồi lấy tổng theo k, ta có
( )
1 1
0
N N
qt
k k k k k
k k
A F R F r
δ δ
= =
= + + =
∑ ∑

r r r
r
(2)
Vì liên kết là lý tưởng
1
0
N
k k
k
R r
δ
=
=
∑
r
r
, (2) trở thành
( )
1
0
N
qt
k k k
k
F F r
δ
=
+ =
∑
r r

r
hay
( )
1
0
N
k k k k
k
F m W r
δ
=
− =
∑
r r
r
(3)
Phương trình (3) gọi là phương trình tổng quát động lực học.
Hoặc viết dưới dạng tọa độ Descarst Oxyz là

( )
( )
( )
1
0
N
kx k kx kx ky k ky ky kz k kz kz
k
F m W r F m W r F m W r
δ δ δ
=

 
− + − + − =
 
∑
(4)
Phát biểu. Nếu cơ hệ chuyển động và chịu liên kết lý tưởng thì tổng công của tất
cả lực chủ động và lực quán tính trên di chuyển khả dĩ bất kỳ bằng không.
Trường hợp cơ hệ ở trạng thái cân bằng
0
k
W =
r
, ta có
1 1
0
N N
k k k
k k
A F r
δ δ
= =
= =
∑ ∑
r
r
(5)
Phương trình (5) chính là nguyên lý di chuyển khả dĩ
2. Ví dụ.
1. Một sợi dây không dãn, không trọng lượng mắc qua hai ròng rọc cố
định A, B, trên dây có ròng rọc di động C (hvẽ). Bỏ qua ma sát và khối lượng của

các ròng rọc. Tính gia tốc của các vật.
24/11/08
10
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Giải
Hệ gồm các vật
1 2 3
m ,m ,m
. Các vật
chuyển động theo phương thẳng
đứng, chọn trục tọa độ như hình vẽ.
Các lực chủ động tác dụng lên các
vật lên cơ hệ là trọng lượng của các
vật.
Áp dụng phương trình tổng quát
động lực học
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
0m g m x x m g m x x m g m x x
δ δ δ
− + − + − =
&& && &&
(a)
Phương trình liên kết (lý tưởng)
1 2 3
2x x x const+ + =
(b)
Chọn tọa độ suy rộng là
1 3
x ,x

, từ (a) ta có
( ) ( )
3 1 3 3 1 2
1 1
2 2
x x x , x x x
δ δ δ
= − + = − +
&& && &&
Thay vào phương trình (a), ta được
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3 1
3 2 3 2 2 2 1 3
2 4
2 4 0
m m g m m x m x x
m m g m m x m x x
δ
δ
+ − + −
 
 
+ + − + − = 
 
&& &&
&& &&
Vì các chuyển dịch
1 3
x , x

δ δ
độc lập và bất kỳ, nên
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3
3 2 3 2 2 2 1
2 4 0
2 4 0
m m g m m x m x
m m g m m x m x
+ − + − =
+ − + − =
&& &&
&& &&
Giải hệ phương trình trên, ta được
1 2 3
x ,x ,x
&&&& &&
.
2. Người ta vắt qua ròng rọc cố định O một sợi dây mềm nhẹ, chiều dài l,
trên một đầu dây treo vật nặng M
1
có khối lượng m
1,
còn đầu kia của dây treo
ròng rọc M
2
có khối lượng m
2
. Vắt qua ròng rọc M

2
sợi dây mềm nhẹ chiều dài l
2
2 vật có khối lượng tương ứng là m
3
, m
4
. Xem liên kết là lý tưởng
24/11/08
11
1
m
O
A
B
C
1
x
2
x
3
x
2
m
3
m
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
Giải
Đưa vào hệ trục Oy thẳng đứng hướng xuống. Lực tác
dụng lên cơ hệ là trọng lực của các vật.

Phương trình tổng quát động lực học
( )
( )
( )
( )
1
1
0
0
N
N
x y z
F m a r
F m x x F m y y F m z z
ν ν ν ν
ν
ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν
ν
δ
δ δ δ
=
=
− =
 
⇒ − + − + − =
 
∑
∑
r
r r

&& &&
&&
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3 4 4 4 4
0
m g m y y m g m y y
m g m y y m g m y y
δ δ
δ δ
⇔ − + − +
− + − =
&& &&
&& &&
Các di chuyển khả dĩ
δ
y
1
,
δ
y
2
,
δ
y
3
,
δ

y
4
không độc lập về hệ không tự do với phương trình liên kết tương
ứng là
( )
( )
1 2 1
3 2 4 2 2
y y l
y y y y l
+ =



− + − =


1 2 3 4 2
0 ; 2 0y y y y y
δ δ δ δ δ
⇒ + = + − =
Ta chọn hai di chuyển khả dĩ độc lập là
2 4
y , y
δ δ
. Vậy
1 2 3 2 4
; 2y y y y y
δ δ δ δ δ
= − = −

Thế vào ta được
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 4 4
2 0m g y y m g y y m g y y y m g y y
δ δ δ δ δ
− − + − + − − + − =
&& && && &&
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 3 3 2
4 4 3 3 4
2
0
m g y m g y m g y y
m g y m g y y
δ
δ
⇒ − − + − + − + 
 
+ − − − = 
 
&& && &&
&& &&
Vì
δ
y

3
,
δ
y
4
là tùy ý nên
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 3 3
4 4 3 3
2 0
0
m g y m g y m g y
m g y m g y
− − + − + − =


− − − =


&& && &&
&& &&
Hơn nữa
1 2
3 4 2
0
2 0
y y

y y y
+ =


+ − =

&& &&
&& && &&

24/11/08
12
M
1
m g
1
y
M
3
m g
3
M
4
m g
4
m g
2
M
2
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
( ) ( ) ( )

( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
3 4 3 4 1 2 3 4
1 2
4 4 3 4 1 2 3 4
2
3 4 3 4 1 2 3 4
3 3 4 4
3 4 4 4 3 4 1 2 3 4
4 2 3
2 2
1
2
2 2
2
m m m m m m m m
y y g
m m m m m m m m
m m m m m m m m
y m m m g
m m m m m m m m m m
y y y
− + + − − −
= − =

− − + + +
 
− + + − − −
= − +
 
+ − − + + +
 
 
= −
&& &&
&&
&& && &&
Bài 7.
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II
Ta chỉ xét cơ hệ chịu liên kết Hô lô nôm, giữ, lý tưởng có n bậc tự do.
1. Phương trình Lagrange loại II
• Trường hợp tổng quát
1
j
j j
d T T
Q , j ,n
dt q q
 
∂ ∂
− = =
 ÷
 ÷
∂ ∂
 

&
• Trong trường hợp lực có thế
0 1
j j
d L L
, j ,n
dt q q
 
∂ ∂
− = =
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
&
L T V= −
gọi là hàm Lagrange (là hiệu giữa động năng T và thế năng V
của cơ hệ)
• Chú ý
Phương trình Lagrange loại II được ứng dụng phổ biến để nghiên cứu
chuyển động của các cơ hệ hôlônôm, lý tưởng.
2. Quy trình thiết lập phương trình Lagrange loại II
o Bước 1. Xét tính chất liên kết
o Bước 2. Xác định số bậc tự do n của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và
chọn tọa độ suy rộng.
o Bước 3. Xác định biểu thức động năng.
o Bước 4. Tính các lực suy rộng
i
Q
hoặc thế năng V.

o Bước 5. Tính
j j
T T d
, ,
q q dt
∂ ∂
∂ ∂
&
hoặc tính
L T V= −
j
L
q
∂
∂
,
j
L
q
∂
∂
&
.
o Bước 6. Viết phương trình Lagrange II, và giải chúng (nếu cần).
3. Ví dụ
24/11/08
13
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của con lắc eliptic gồm vật
A chuyển động trên mặt phẳng ngang nhẵn, và treo vào A con lắc toán học B có

khối lượng A, độ dài l.
2. Bánh xe được xem là đĩa tròn đồng chất trọng lượng P, bán kính R có
thể lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng 1 góc
α
với phương nằm ngang.
Gắn vào trục O của bánh xe đồng chất OA trọng lượng Q, chiều dài OA=l có thể
quay không ma sát quanh O (như hình vẽ). Hệ đang đứng yên, OA thẳng đứng
hướng xuống. Thả cho chuyển động. Xác định tại thời điểm thả:
a. Gia tốc tâm O
b. Gia tốc thanh OA
O
α
C
A
l
Giải
Xét hệ gồm bánh xe và thanh OA. Hệ có hai bậc tự do
Chọn tọa độ suy rộng
1
S OO=
,
ϕ
là góc lệch của thanh OA với phương thẳng
đứng
Ta có
cos
sin
O
O
x s

y s
α
α
=


=

và
cos sin
2
sin cos
2
C
C
l
x s
l
y s
α ϕ
α ϕ

= +




= +



O
α
C
A
x
O
y
P
Q
ϕ
s
24/11/08
14
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
cos ; sin
1 1
cos cos ; sin sin
2 2
cos
4
O O
O O O
C C
C C C
x s y s
v x y s

x s y s
l
v x y s ls
α α
α ϕ ϕ α ϕ ϕ
ϕ ϕ α ϕ
= =
⇒ = + =
= + = −
⇒ = + = + + +
& & &
& & &
& &
& & & &
& &
& & & &
Động năng của cơ hệ

2 2 2 2
0
1 1
2 2 2 2
O O C C C
P Q
T v J w v J w
g g
= + + +
Do bánh xe lăn không trượt
;
O

O C
v s
w w
R R
ϕ
= = =
&
&

Và chú ý:
2 2
;
2 12
C C
PR Ql
J J
g g
= =
Ta có:
( )
2
2 2 2
3
cos
2 2 6 2
P Q Ql Ql
T s s s
g g g g
ϕ ϕ α ϕ
= + + + +

& &
& & &
( )
( ) ( )
2
3
cos ; 0
2 2
cos ; sin
3 2 2
T P Q Ql T
s s
s g g g s
T Ql Ql T Ql
s
g g g
ϕ α ϕ
ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂
= + + + =
∂ ∂
∂ ∂
= + + = − +
∂ ∂
&
& &
&
& & &
&

&
Tính lực suy rộng Q
s
và Q
ϕ
:
k O C
k
A P y Q y
δ δ δ
= +
∑
Với :
sin ; sin sin
2
O C
l
y s y s
δ δ α δ δ α αδϕ
= = −
Vậy
( )
sin sin sin sin sin
2 2
k
k
l Ql
A P s Q s P Q s
δ δ α δ α αδϕ α δ αδϕ
 

= + − = + −
 ÷
 
∑
Suy ra
( )
sin ; sin
2
s
Ql
Q P Q Q
ϕ
α α
= + = −
Phương trình Lagrange loại hai đối với cơ hệ có dạng
;
s
d T T d T T
Q Q
dt s s dt
ϕ
ϕ ϕ
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
− = − =
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 

 
&
&
Thay kết quả vào ta được
24/11/08
15
Bài giảng cơ sở cơ học giải tích
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3 2
cos sin sin
2 2 2
cos sin
3 2 2
P Q Ql Ql
s P Q
g g g
Ql Ql Ql
s
g g
ϕ α ϕ ϕ α ϕ α
ϕ α ϕ α
+

+ + − + = +





+ + = −


&& &
&&
&&
&&
TÍnh
vaø
O OA
a s
ε ϕ
= =
&&
&&
Tại thời điể, bắt đầu chuyển động, khi đó
0; 0s
ϕ ϕ
= = =
&
&
( )
2
3 2
cos sin
2 2
cos 0
3 2
O OA

OA O
P Q Ql
a P Q
g g
Ql Ql
a
g g
ε α α
ε α
+

+ = +


⇒


+ =


Giải ra cho
vaø
O OA
a s
ε ϕ
= =
&&
&&
, ta được
( ) ( )

( )
( )
2 2
2
4 sin 4 sin
6 4 3 cos 6 3 sin
6 sin cos
6 3 sin
O
OA
g P Q g P Q
a
P Q Q P Q Q
g P Q
l P Q Q
α α
α α
α α
ε
α
+ +
= =
+ − + +
+
= −
+ +
24/11/08
16