Điện từ sinh học/Mô hình nguồn trường ( phần 1 ) ppt

Điện từ sinh học/Mô hình nguồn trường ( phần 1 )
Các mô hình nguồn
Đơn cực
Điều kiện đầu:
Nguồn: Đơn cực trong vùng cố định
Bộ dẫn: Vô hạn, thuần nhất
Cấu hình nguồn đơn giản nhấtlà nguồn điểm hay đơn cực. Nếu chúng ta
coi một nguồn dòng điểm của đại lượng I
o
nằm trong một môi trường dẫn
điện đồng chất vô hạn và có độ dẫn σ, thì khi đó các dòng chảy phải đồng
đều và hướng tỏa ra. Do đó, đối với một mặt cầu đồng tâm có bán kính
bất kì r, mật độ dòng J ngang qua bề mặt này phải đồng đều và sẽ bằng I
o

chia đều trên diện tích bề mặt. Đó là:
(8.1)
Bởi vì dòng luôn cùng phương với bán kính nên mật độ dòng được biểu
diễn dưới dạng vector là:
(8.2)
Trong đó là vector đơn vị theo hướng bán kính r, có gốc tại nguồn điểm.
Liên quan đến trường dòng điện được xác định bằng công thức 8.2 là một
trường điện thế vô hướng Φ. Bởi vì các dòng điện hướng tâm tại mọi vị
trí nên tại mỗi vị trí không có sự biến thiên của điện thế dọc theo phương
nằm ngang, như vậy điện thế tại những điểm cùng cách điểm nguồn một
bán kính r là bằng nhau. Những mặt đẳng thế là các mặt cầu đồng tâm
xung quanh nguồn điểm, điện thế giảm dần theo sự tăng lên của giá trị r.
Sự biến thiên của điện thế vô hướng tạo ra điện trường :
(8.3)
Theo định luật Ohm,ta có:
(8.4)

Áp dụng công thức 8.3 và 8.4 vào công thức 8.2 ta được:
(8.5)
Để thỏa mãn công thức 8.5, chỉ có thành phần theo phương của r của
có thể đáp ứng. Ta có:
(8.6)
Lấy tích phân theo r ta được:
(8.7)
Theo công thức trên ta thấy, Φ là hằng số trên bề mặt khi mà r không đổi.
Giá trị điện thế tỉ lệ nghịch với bán kính (với gốc tại nguồn đơn cực) và
khi r tiến tới ∞ thì điện thế bằng 0.
Không phải luôn luôn thuận tiện nếu đặt gốc tọa độ tại nguồn điểm
(ví dụ như xét nhiều nguồn). Trong trường hợp này, việc cần làm là phân
biệt sự kết hợp của các nguồn điểm, chúng ta làm điều này bằng cách sử
dụng các điểm trường. Khi đó trong công thức 8.7, r được cho bởi:
(8.8)
Trong đó mỗi nguồn đơn cực được đinh vị tại (x,y,z) trong khi điểm
trường tại (x’,y’,z’).
Trường được mô tả bởi công thức 8.7 cho một điểm nguồn dòng là
đồng nhất với trường tĩnh điện của một điện tích, thay thế I
o
bởi Q
o
(đại
lượng điện tích), σ thay thế bởi ε (hằng số điện môi) và thay thế bởi .
Kết quả này không có gì đáng ngạc nhiên bởi vì nếu những sự chuyển đổi
trên được thực hiện thì những công thức áp dụng cho dòng điện chuyển
đổi ăn khớp với những công thức trong tĩnh điện. Những giải thích cho
các vấn đề trong tĩnh điện có thể được chuyển đổi để giải thích cho các
vấn đề tương đương cho dòng điện.
Những điều đã nêu ở trên là một ví dụ của tính đối ngẫu. Nó có thể

là một công cụ hữu hiệu khi đã có một tài liệu tổng quát tồn tại. Đôi khi
nó có thể có những hạn chế. Ví dụ, một chất có độ dẫn suất bằng 0 nhưng
hằng số điện môi có thể không bao giờ nhỏ hơn hằng số điện môi của
chân không. Ngoài ra, một hệ có thể thể có một điện tích điểm, còn có hệ
thậm chí không có một nguồn điểm vật lý.
Người đọc có thể ngạc nhiên vì sao lại có một sự quan tâm đối với
một điểm nguồn dòng khi mà nó không có ý nghĩa thực tế. Một lý do đó
là trong một khu vực có giới hạn, các trường có thể hoạt động như khi
chúng bắt nguồn từ một nguồn (nguồn này được gọi là nguồn tương
đương, tức là không có thật). Thứ hai, một hệ thực tế có 2 điểm nguồn
của 2 cực đối nhau, trong trường hợp này, trường được quan tâm có thể
được tìm thấy bằng cách xếp chồng các điểm nguồn trường. Trường hợp
này sẽ được xem xét trong phần sau.
Lưỡng cực
Điều kiện đầu:
Nguồn: Lưỡng cực trong miền cố định
Bộ dẫn: Vô hạn, đồng chất
Trong điện sinh học có thể không bao giờ tồn tại nguồn dòng đơn cực vì
sự bảo toàn điện tích. Nhưng việc kết hợp nguồn đơn cực âm và dương là
có thể thực hiện được nếu như tổng của chúng có giá trị bằng 0. Cách kết
hợp đơn giản nhất và phản ánh bản chất của điện sinh học, đó là nguồn
lưỡng cực. Nguồn lưỡng cực gồm 2 đơn cực trái dấu nhưng bằng nhau về
trị số I
o
được tách biệt bới một khoảng cách rất nhỏ d. Thật ra, định nghĩa
chặt chẽ đòi hỏi d→0,I
o
→0 và p=I
o
d là hữu hạn.Đại lượng p là moment

lưỡng cực hay đại lượng lưỡng cực.Lưỡng cực là một vector có hướng từ
nguồn điểm âm đến nguồn điểm dương. Thật ra, nếu là chuyển vị từ
điểm nguồn âm sang điểm nguồn dương và là một vector đơn vị theo
phương đó, ta có:
(8.9)
trong đó = vector lưỡng cực.
Một lưỡng cực có hướng bất kì được minh họa trong hình 8.1, ở đó điểm
gốc hệ trục tọa độ được đặt tại đơn cực âm. Nếu đơn cực dương cũng ở
điểm gốc thì trường sẽ bằng 0. Bởi vậy, trường xuất hiện từ sự chuyển
dời của đơn cực dương từ điểm gốc tới vị trí thực của nó (như trong hình
8.1), đó là trường lưỡng cực. Nhưng điều này có thể được tìm ra bằng
cách kiểm tra biểu thức điện thế của đơn cực dương và đánh giá sự thay
đổi điện thế gây ra bởi sự dịch chuyển đơn cực từ điểm gốc tới vị trí
lưỡng cực của nó. Và điều này có thể được tính xấp xỉ bằng cách lấy đạo
hàm bậc nhất của trường điện thế đơn cực theo hệ tọa độ nguồn được
xem xét tại điểm gốc (như trong khai triển chuỗi Taylor). Cụ thể, để tìm
được trường lưỡng cực, lấy tích phân của Φ (như cho bởi công thức 8.7)
theo hướng ( tích phân có hướng) và sau đó nhân với độ lớn của d. Như
vậy thể hiện trường lưỡng cực Φ
d
và căn cứ vào công thức 8.7,ta có:
(8.10)

Hình 8.1. Lưỡng cực của –I
o
tại gốc và nguồn I
o
tại vector bán kính ,
trong đó d→0. Ngoài ra còn minh họa một điểm trường tại vector bán
kính và góc lệch θ.

Đạo hàm có hướng trong công thức 8.10 bằng với thành phần của
gradient theo phương :
(8.11)
Và cuối cùng, từ I
o
d=p, ta có:
(8.12)
Độ chính xác của công thức 8.10 được nâng cao khi d→0, và thực tế, p
thường được xác định trong giới hạn là d→0, I→∞, và p=I
o
d. Do đó,
công thức 8.12 là một biểu thức chặt chẽ cho một lưỡng cực được xác
định bằng toán học.
Nếu các trục tọa độ được định hướng sao cho lưỡng cực hướng dọc theo
trục z và lưỡng cực được đặt tại gốc, sau đó mang phép toán gradient
trong công thức 8.12 ra ngoài:
(8.13)
Trong đó là hướng từ điểm nguồn tới điểm trường, chúng ta thu được
trường cho 1 lưỡng cực:
(8.14)
và:
(8.15)
Trong công thức 8.15, góc lệch θ là góc lệch có định hướng. Các phương
trình sau có thể được xác thực bằng cách chú ý rằng phép toán gradient
(trong công thức 8.13) thực hiên trên hệ tọa độ nguồn trong công thức
8.8.
Một sự so sánh của trường lưỡng cực với trường đơn cực, bằng sự
đối chiếu công thức 8.15 với công thức 8.7, thấy rằng trường lưỡng cực
thay đổi theo (1/r
2

) trong khi trường đơn cực biến đổi theo (1/r). Ngoài ra,
các mặt đẳng thế của trường lưỡng cực không phải là những mặt cầu
đồng tâm, đúng hơn là nó phức tạp hơn bới có nhân tử cosθ. Điện thế
lưỡng cực tối đa cho một giá trị của r nằm trên trục có cực (trục z).