Đáp án môn thi: lý thuyết thông tin ppt

1
đáp án


Ngành đào tạo: Điện tử viễn thông
Hệ đào tạo : Đại học
Môn học : Lý thuyết thông tin Mã số 411 LTT 340A Số ĐVHT: 4

Phần 1: lý thuyết thông tin
Câu 1:
(1 điểm): Định nghĩa lợng thông tin riêng (độ bất định) của một biến
ngẫu nhiên. Xác định các đơn vị đo
- Định nghĩa lợng thông tin riêng (độ bất định)
Lợng thông tin riêng là độ bất định tiềm năng chứa trong một biến cố ngẫu
nhiên
k
x
.
Ký hiệu
(
)
k
I
x


(
)
(
)

kk
Iklnp
x
x
=

- Các đơn vị đo
k1=
()
(
)
kk
Ilnp
x
x
=
(nat)
1
k
ln 2
=

()
(
)
k2k
Ilogp
x
x
=

(bít)
1
k
ln10
=

(
)
(
)
kk
Ilgp
x
x
=
(hart)
1 nat = 1,443 bít
1 hart = 3,322 bít

Câu 2:
(1 điểm) Định nghĩa entropy của nguồn rời rạc
Entropy của nguồn tin rời rạc A là trung bình thống kê của lợng thông tin
riêng của các tin thuộc A
Ký hiệu:
()
1
HA

() ()
1i

HA MIa

=






() () ()
12 s
12 s
aa a
A
pa pa pa

=




(
)
i
0pa 1
()
s
i
i1
pa 1

=
=


() () ()
s'
1ii
i1
HA palogpa
=
=

(bít)

2
Câu 3: (1 điểm) Nêu các tính chất của entropy của nguồn rời rạc
Các tính chất của
()
1
HA
- Khi
()
k
pa 1= ,
()
i
pa 0= với ik

thì
(

)
(
)
11
min
HA HA 0
=
=
- Một nguồn tin rời rạc gồm s dấu đồng xác suất cho entropy cực đại. Ta có
(
)
1
max
HA logs=
- Entropy của nguồn rời rạc là một đại lợng giới nội
(
)
1
0 H a logs

Câu 4:
(1 điểm) Định nghĩa khả năng thông qua kênh rời rạc, nêu các tính chất?
- Định nghĩa: Khả năng thông qua của kênh rời rạc là giá trị cực đại của lợng
thông tin chéo trung bình truyền qua kênh trong một đơn vị thời gian lấy theo
mọi khả năng có thể có của nguồn tin A.
() ()
''
k
AA
C max I A,B v max I A, B

== (bps)
- Các tính chất:
+
'
C0
'
C0= khi A và B là độc lập (kênh bị đứt)
+
'
k
Cvlogs
'
k
Cvlogs= khi kênh không nhiễu

Câu 5
: (2 điểm) Entropy của nguồn rời rạc nhị phân. ý nghĩa của dơn vị đo bít?
- Entropy của nguồn rời rạc nhị phân.
12
aa
A
p1p

=

(
)
(
)
(
)
1
max
H A plog p 1 p log 1 p
=


Khi
1
p1p
2
=
=

(
)
(
)
11
max
HA HA 1bit
=
=

- ý nghĩa: 1 bít là lợng thông tin riêng trung bình chứa trong một biến cố của

một nguồn rời rạc 2 phân đồng xác suất.


()
1
HA
(bits)
p
0
,
5
1
1

3
Câu 6: (2 điểm) Xác định hai trạng thái cực đoan của kênh rời rạc.
- Kênh bị đứt:
Các nguồn tin A và B ở hai đầu thu và phát là độc lập.

()
(
)
ij i
pa b pa=

(
)
(
)
ji i

pb a pa=

(
)
(
)
(
)
ij i j
pab pa pb=
Ta có:
(
)
(
)
j
HAb HA=


()
(
)
HAB HA
=

Nhận xét: Lợng thông tin tổn hao trung bình đúng bằng entropy của
nguồn. Kênh không thể truyền tin đợc
- Kênh không nhiễu:
AB
()

kk
pa b 1
=

(
)
k
HAb 0
=

()
HAB 0
=

Nhận xét: Lợng thông tin tổn hao trên kênh bằng 0

Câu 7:
(2 điểm) Entropy có điều kiện
(
)
HAB: định nghĩa và nêu các tính chất
- Định nghĩa: Entropy có điều kiện về 1 trờng tin A khi đã rõ trờng tin B đợc
xác định theo công thức sau:
()
() ()
st
ij i j
i1 j1
HAB pab logpa b
==

=


- Các tính chất:
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
HAB HA HBA HB HAB=+ =+
+
(
)
(
)
0HAB HA
+
(
)
(
)
(
)
HAB HA HB=+

Câu 8:
(2 điểm) Lợng thông tin chéo trung bình truyền qua kênh rời rạc: định
nghĩa và tính chất
- Định nghĩa:
()
(
)
ij
IA,B MIa,b



=



với
()
(
)
()
ij
ij
i
pa b
Ia,b log
pa
=

4
()
()
(
)
()
st
ij
ij
i1 j1
i
pa b
IA,B pab log
pa
==
=


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
IA,B HA HAB HB HBA= =

- Tính chất:
+
(
)
IA,B 0
+
(
)
(
)
IA,B HA

Câu 9:
(3 điểm) Cho kênh đối xứng nhị phân sau
()
1
p
ap=

(
)
2
1
p
ap
=

(
)
(

)
12 21
1
s
d
p
ba pba p p==
Cho tốc độ truyền tin của kênh
1
k
vT
=

Tính khả năng thông qua
'
C của kênh này.
Giải:

Ta có
() () ()
'
AA
11
CmaxIA,B maxHBHBA
TT
==

Trong đó:
() ()
()()
() ()()()()
()
()()()()
()() () ()()
()()
2t
iji ji
i1 j1
111 11 21 21
212 12 22 22
s sss ss s s
ss s s
HBA pa pb a logpb a
pa pbalogpba pbalogpba
pa pbalogpba pbalogpba
p 1 p log 1 p p logp 1 p p log p 1 p log 1 p
plogp 1 p log1 p
==
=
= +

+


=+ +

= +




Ta thấy
(
)
HBA không phụ thuộc vào xác suất tiên nghiệm của các tin thuộc
nguồn A. Do đó:

() ()
'
A
11
C maxHB HBA
TT
=

Ta có
(
)
(
)
max
A
max H B H B log 2 1bit===
'
max

1
C
T
=
khi
s
p0=
(kênh không nhiễu)
()()
'
ss s s
'
max
C
1 p log p 1 p log 1 p
C
=+ +


2
b
1
b
2
a
1
a
s
p

s
p
(
)
21 d
pb a p=

(
)
12 d
pb a p=

A B
''
max
CC
s
p
0
,
5
1
1

5
Câu 10: (3 điểm) A chọn ngẫu nhiên một trong các số từ 0 đến 7. Tính số câu
hỏi trung bình tối thiểu mà B cần đặt cho A để xác định đợc số mà A đã chọn.
Nêu thuật toán hỏi? Giả sử A đã chọn số 3, hãy đặt các câu hỏi cần thiết?
Độ bất định của số đợc chọn ngẫu nhiên:

() ()
ii
1
Ia logpa log 3bit
8
= = =

Để tìm đợc số đã chọn của A, B phải đặt các câu hỏi cho A để thu đợc đủ
một lợng thông tin cần thiết là 3 bít.
Mỗi câu hỏi của B (dạng lựa chọn) có thể xem là nguồn rời rạc nhị phân, bởi
vậy lợng thông tin nhận đợc sau mỗi câu trả lời tơng ứng là:

(
)
(
)
(
)
HB plogp 1 plog1 p=
Với p : xác suất nhận câu trả lời
đúng

1p : xác suất nhận câu trả lời sai
Vậy số câu hỏi cần thiết n là :
(
)
()
i
Ia
n

HB
=

Số câu hỏi trung bình tối thiểu là:
(
)
()
i
min
max
Ia
n
HB
=


(
)
max
HB
khi
1
p1p
2
= =


min
3bit
n3

1bit
==
lần hỏi
Giả sử A chọn số B. Các câu hỏi b có thể đặt cho A là:
- Câu 1 - Số A chọn lớn hơn 3? Trả lời: Sai
- Câu 2 - Số A chọn lớn hơn 1? Trả lời: Đúng
- Câu 3 - Số A chọn lớn hơn 2? Trả lời: Sai
Vậy số A chọn là 3

Câu 11:
(4 điểm) Một thiết bị vô tuyến điện gồm 16 khối có độ tin cậy nh nhau
và đợc mắc nối tiếp. Ta sử dụng một thiết bị đo để đo tín hiệu ra của các khối.
Giả sử có một khối nào đó bị hỏng. Hãy tính số lần đo trung bình tối thiểu để tìm
đợc khối bị hỏng. Nêu thuật toán đo? Giả sử khối hỏng là khối thứ 6, tìm vị trí
các điểm đo cần thiết?
Theo giả thiết độ bất định của khối hỏng là:

() ()
ii
1
Ia logpa log 4bit
16
= = =

Lợng thông tin nhận đợc sau mỗi phép đo:

(
)
(
)

(
)
HB plogp 1 plog1 p=

6
Với p : xác suất có tín hiệu

1p : xác suất không có tín hiệu
Để xác định đợc khối hỏng (khử hết độ bất định) số phép đo cần thiết n là:

(
)
()
i
min
max
Ia
n
HB
=


(
)
HB max khi
1
p1p
2
= =

(
)
max
HB 1bit=

min
4bit
n4
1bit
==
lần đo
Để n
min
thuật toán đo phải đảm bảo
(
)
HB max Mỗi lần đo phải đo ở
điểm giữa của các khối cần xác định nhằm đảm bảo
1
p1p
2
=
=
.
Giả sử khối hỏng là khối 6. Các phép đo cần thiết là:
- Lần 1: Đo ở đầu ra khối 8: Không có tín hiệu, khối hỏng nằm trong các
khối từ 1
8.
- Lần 2: Đo ở đầu ra khối 4: Không có tín hiệu, khối hỏng nằm trong các

khối từ 5
8.
- Lần 3: Đo ở đầu ra khối 6: Không có tín hiệu, khối hỏng nằm trong khối 5
hoặc 6.
- Lần 4: Đo ở đầu ra khối 5: Có tín hiệu. Vậy khối hỏng là khối 6

Câu 12:
(4 điểm) Trong bộ tú lơ khơ 52 quân (không kể făng teo), A rút ra một
quân bài bất kỳ. Tính số câu hỏi trung bình tối tiểu mà B cần đặt cho A để xác
định đợc quân bài mà A đã rút. Nêu thuật toán hỏi? Giả sử A rút ra 7 quân rô,
hãy nêu các câu hỏi cần thiết?
Độ bất định về quân bài mà A đã rút:

() ()
ii
1
Ia logpa log 6bit
52
= = <

Giả sử B đặt cho A câu hỏi dạng lựa chọn, khi đó lợng thông tin nhận đợc
sau mỗi câu trả lời của A là:

(
)
(
)
(
)
HB plogp 1 plog1 p=

Với p : xác suất nhận câu trả lời là
đúng

1p : xác suất nhận câu trả lời là sai
Số câu hỏi cần thiết để xác định đợc quân bài A đã rút là:
(
)
()
i
Ia
n
HB
=


7
Ta thấy nmin khi
(
)
HB max
(
)
(
)
max
HB HB 1bit== khi
1
p1p
2
=

=
Số câu hỏi trung bình tối thiểu là:
min
log 52 bit
n6
1bit
=
< lần
Thuật toán phải đảm bảo
1
p1p
2
=
=
.
Giả sử A rút ra 7 rô. Các câu hỏi cần thiết có thể nh sau:
- Câu 1: Quân A rút là quân đỏ? Đúng
- Câu 2: Quân A rút là quân cơ? Sai
- Câu 3: Quân A rút có giá trị 7? Đúng (giả sử J = 11, Q = 12, K = 13,
At=1)
- Câu 4: Quân A rút có giá trị 3? Sai
- Câu 5: Quân A rút có giá trị 5? Sai
- Câu 6: Quân A rút là 6 rô? Sai
Vậy quân A rút là 7 rô

Câu 13
:(4 điểm) Trong 27 đồng xu có 1 đồng xu giả nhẹ hơn. Để tìm đợc
đồng xu giả ngời ta sử dụng một cân đĩa thăng bằng. Hãy tính số lần cân
trung bình tối thiểu để xác định đợc đồng xu giả. Nêu thuật toán cân ?
Theo giả thiết độ bất định chứa trong sự kiện đồng xu giả là :

I(x
i
) = - log p(x
i
) = - log 1/27 = log 27 bit
Khi sử dụng cân đĩa thăng bằng, sau mỗi lần cân các sự kiện có thể có là :
- Cân thăng bằng với xác suất p
- Cân lệch trái với xác suất q
- Cân lệch phải với xác suất 1-p-q
Lợng thông tin nhận đợc sau mỗi lần cân :
H(B) = -plog p qlog q (1-p-q)log (1-p-q)
Để xác định đợc đồng xu giả tổng lợng thông tin nhận đợc sau các lần cân
phải không nhỏ hơn độ bất định của đông xu giả. Nh vậy số lần cân cần thiết
là : n = I(x
i
)/H(B)
Để n có giá trị nhỏ nhất thì H(B) phải đạt giá trị cực đại.
Ta có H(B) = H(B)
max
= log 3 khi p = q = 1-p-q = 1/3.
Khi đó n
min
= I(x
i
)/H(B)
max
= log27/log 3 = 3 lần cân.
Thuật toán cân nh sau( đảm bảo p = q = 1-p-q )
- Lần 1 : Chia 27 đồng xu thành 3 phần, mỗi phần có 9 đồng xu. Lấy 2 phần
bất kỳ đặt lên mỗi bàn cân 1 phần . Nếu cân thăng bằng thì đồng xu giả

8
nằm trong 9 đồng xu cha cân. Ngợc lại, tuỳ theo cân lệch trái hay lệch
phải ta cũng xác định đợc phần có chứa đồng xu giả.
- Lần 2 : Chia 9 đồng có chứa đồng xu giả thành 3 phần nh nhau, mỗi phần
có 3 đồng xu. Đặt 2 phần bất kỳ lên 2 bàn cân. Kết quả của phép cân sẽ
giúp ta xác định đợc 3 đồng xu có chứa đông xu giả.
- Lần 3 : Lấy 2 đồng xu bất kỳ trong 3 đồng xu có chứa đồng xu giả đặt lên
2 đĩa cân. Sau lần cân này ta sẽ xác định đợc đồng xu giả.

Câu 14
: (2 điểm) Tính entropie của trờng sự kiện đồng thời ?
Xét 2 trờng sự kiện A và B sau :
()
()
j
i
i
j
b
a
Ai1,0B j1,t
pa
pb



== ==

Khi đó, trờng sự kiện đồng thời
CA.B
=
là :
()
()
ij
ij
ab
Ci,j,i1,0,j1,t
pa pb


===




Theo định nghĩa, entropie của trờng sự kiện đồng thời đợc xác định nh
sau :
()
() ()
st
ij ij
i1 j1
HC pab logpab
==

=



Câu 15:
(2 điểm) Cho kênh nhị phân đối xứng không nhớ sau (hình vẽ).
Hãy tính phân bố xác suất của các tin ở đầu ra?
Biết rằng p(a
1
)=p ; p(a
2
)=1-p.

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ()()()()
()
1111212
2121222
1
pb pa .pb a pa .pb a

pb pa .pb a pa .pb a
1pb
=+
=+
=


Phần 2: lý thuyết m hoá
Câu 1:
(1 điểm): Định nghĩa độ dài trung bình của từ mã ? Phát biểu định lý mã
hoá thứ nhất của Shannon?
Xét phép mã hoá các tin rời rạc sau:
i
n
ii
a
A
1
a
2
b
1
b
S
p
S
p

2
a

(
)
21 d
pb a p=
(
)
12 d
pb a p=
B

9

()
()
i
n
i
i
i
i
a
AV
pa
pa


==

- Định nghĩa: Độ dài trung bình của từ mã là kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên
i
n

()
s
ii
i1
npan
=
=


- Định lý mã hoá thứ nhất của Shannon (đối với mã nhị phân)
Luôn luôn có thể xây dựng đợc một phép mã hoá các tin rời rạc có hiệu quả
mà độ dài trung bình của từ mã có thể nhỏ tuỳ ý, nhng không nhỏ hơn
entropie xác định bởi các đặc tính thống kê của nguồn

(
)
1
nHA

Câu 2:
(1 điểm) Nêu nguyên tắc lập mã tiết kiệm?
Từ định lý mã hoá thứ 1 của Shannon:

() () () ()
ss
ii 1 i i
i1 i1
npanHA palogpa
==
==


ta có:
()
i
i
1
nlog
pa


Nguyên tắc:
Các tin có xác suất xuất hiện lớn đợc mã hoá bằng các từ mã có
độ dài nhỏ và ngợc lại các tin có xác suất xuất hiện nhỏ đợc mã hoá bằng các từ
mã có độ dài lớn.

Câu3:
(1 điểm) Trọng số của từ mã: định nghĩa và tính chất?
- Định nghĩa trọng số của từ mã:
(
)
i
n

i
W


Trọng số của 1 từ mã là số các dấu mã khác không chứa trong từ mã
- Tính chất:
+
(
)
i
n
i
0W 1
+
(
)
(
)
nn nn
ij ij
Wd,+ =

Câu 4:
(1 điểm) Nêu các định lý quy định khả năng phát hiện sai và khả năng
sửa sai của một bộ mã?
- Định lý về khả năng phát hiện sai:
Mã đều nhị phân có độ thừa với khoảng cách Hamming
0
d1>
có khả năng

phát hiện t sai thoả mãn điều kiện
0
td 1

.
- Định lý về khả năng sửa sai:

10
Mã đều nhị phân có độ thừa với khoảng cách Hamming
0
d3 có khả năng
sửa đợc t sai thoả mãn điều kiện:
0
d1
t
2








. Trong đó
[]
x
ký hiệu phần
nguyên của số x.

Câu 5:
(2 điểm) Khoảng cách mã: định nghĩa, tính chất? Định nghĩa khoảng
cách mã tối thiểu?
- Định nghĩa:
Khoảng cách giữa hai từ mã
n
i

và
n
j

là số các dấu mã khác nhau về giá
trị tính theo cùng một thứ tự giữa 2 từ mã này.
Ví dụ:
7
i
0110100=
7
j
1010011
** ***
=


()
77
ij
d, 5 =

- Tính chất:
+
(
)
nn
ij
d, 0
(
)
nn
ij
d, 0 = khi
nn
ij


+
(
)
nn
ij
d, n
+ Tính chất tam giác:
(
)
(
)
(
)
nn nn nn

ij jk ik
d, d, d, +
Định nghĩa khoảng cách mã tối thiểu:
d
0
= min d( a
i
n
, a
j
n
) với mọi i,j

Câu 6:
(2 điểm) Cho mã xyclic
(
)
V- n-k có đa thức sinh
()
3
g x =1+x+x
(
)
n =7, k = 4 . Hãy thiết lập ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã này?
Cho ma trận sinh G.

3
24
235
346

1101000
xx
0110100
xx x
0011010
xxx
0001101
xxx

++



++


=


++



++


1
G=
Ma trận kiểm tra H :
Ta có :

()
()
7
42
x1
xxx1
gx
+
==+++
hx

11

3
75442
54
532
432
42
3
3
1xx1
xxxxxx1
xx1
xxx
xxx1
xxx
xx1
xx1
0

+++
++ +++
++
++
+++
++
++
++
7
x


(
)
()
(
)
()
()
()
deg h x
*1432
*
*
r1 *
234
345
2456
hX X hX x x x 1
hx

x.h x
H

x.hx
1x x x 1011100
H x x x x 0101110
xxxx 0010111


==+++



=





+++



=+++=




+++

Ta có
T
G.H 0=

Câu 7: (2 điểm) hãy thiết lập từ mã hệ thống của bộ mã xyclic (7,4) có đa thức
sinh
()
3
g x =1+x+x tơng ứng với đa thức thông tin
(
)
3
a x = x + x . (Sử dụng
thuật toán 4 bớc).
- Bớc 1:
()
3
ax=x+x
- Bớc 2: Nâng bậc
(
)
(
)
37464
xxx xx

=
+=+

n-k
axx
- Bớc 3: Chia tính d:

()
43
643 3
3
3
xxx1
xxx x1
x
xx1
rx x 1
+
++
++ +
++
=+
6
x

- Bớc 4: Thiết lập từ mã f(x)

(
)
(
)
(
)

()
nk
64
66
axx rx
xxx1 1100101
x x

=+
=+++
f
f
x
x



12
Câu 8: (2 điểm) Cho phân tích
7
x
+1 nh sau

(
)
(
)
(
)
323

1x x 1x x++ + +
7
x+1=1+x
Hãy nêu tất cả các mã xyclic có thể có trên vành
[
]
x
7
2
Z
x+1
.

TT Đa thức sinh g(x) Mã (n, k)
0
d
1
1+x
(
)
7,6
2
2
3
1+x+x
(
)
7,4
3
3

23
1+x +x

(
)
7,4
3
4
24
1+x+x +x
(
)
7,3
4
5
234
1+x +x +x
(
)
7,3
4
6


6
i
i=0
x

(

)
7,1
7
7 1
(
)
7,7
1


Câu 9: (4 điểm) Hãy thực hiện mã hoá Shannon Fano cho nguồn rời rạc A sau:






12345 6 7 8 9 10
aaaaaa aa aa
A=
11111 1 1 1 1 1
4
4 8 8 8 32 32 32 64 64

Đánh giá hiệu quả của phép mã hoá này?
Hãy giải mã cho dãy bít nhận đợc có dạng: 101100111010101


TT
i

a
(
)
p
i
a
Từ mã

i
n
i

i
n
1
1
a 14
0 0 2
2
2
a

14

0 1 2
3
3
a 18
1 0 0 3
4

4
a 18
1 0 1 3
5
5
a

18

1 1 0 3
6
6
a 132
1 1 1 0 0 5
7
7
a 132
1 1 1 0 1 5
8
8
a 132
1 1 1 1 0 5
9
9
a 164
1 1 1 1 1 0 6
10
10
a 164
1 1 1 1 1 1 6

13
- Đánh giá hiệu quả:

()
10
ii
i1
11 1 1
n p a n 2.2. 3.3. 3.5. 2.6.
483264
915 6 25
12.
83232 32
=
==+++
=+ + + =

dấu

() ()
()
10
1i
i1
i
11 1 1 1
H A p a log 2. .log 4 3. log8 3. log 32 2. log 64
pa 4 8 32 64
25

2.
32
=
==+++
=

bit


(
)
1
nHA= phép mã hoá là tối u
-
Giải mã cho dãy bít nhận sau:

43 842
10 1 10 0 111 0 10 1 0 1
aa aaa




Câu 10: (4 điểm) Giả sử từ mã nhận đợc của mã xyclic (7,3) với đa thức sinh
(
)
2
4
g x =1+x+x +x
có dạng sau

(
)
65432
v x =x +x +x +x +x
. Hãy sử dụng
thuật toán chia dịch vòng để tìm đợc từ mã đã phát, biết rằng mã (7, 3) này có
0
d=4.
-
Bớc 1: Chia v(x) cho g(x)

()
54323
643 2 2
5
532
32
0
xxxxxx1
xxxx xx
x
xxxx
rx x x x
++++ ++
+++ +
+++
=++
6
x

- Bớc 2:
()
()
0
d1 41
Wr x 3 t 1,5
22


=>= = =



- Bớc 3: (lần 1)
(
)
6543
x.v x x x x x 1=++++

()
543 3
643 2 2
52
532
3
1
xxx1xx1
xxxx xx
xx1
xxxx

rx x x 1
++++ ++
+++ +
++
+++
=++
6
x


(
)
(
)
1
Wr x 3 t 1=>= Bớc 3

14
- Bớc 3: (lần 2):
(
)
2654
x.vx x x x x 1=++++

()
54 3
643 2 2
532
532
2

xxx1xx1
xxxx xx
xxxx1
xxxx
rx 1
++++ ++
+++ +
++++
+++
=
6
x


(
)
()
2
Wr x 1 t
=
=
-
Bớc 4:

()
(
)
(
)
()

2
654
^
2
22
^
6432
*
xvx r x
xxxx
x
xx
x x x x x 0011101
+
+
++
==
=+++
f
f

Sai ở
5
x đã đợc sửa



Câu 11: (3 điểm) Hãy xác định tập tất cả các từ mã của bộ mã xyclic (7, 3) có đa
thức sinh
(

)
2
34
g x =1+x +x +x .
Cho mã xyclic (7, 3) có
(
)
234
g x =1+x +x +x ma trận sinh:

234
345
2456
1x x x 1011100
G x x x x 0101110
xxxx 0010111

+++



=+++=




+++

Tập
3
28==
k
2 từ mã, trong đó 7 từ mã khác không là tập các tổ hợp tuyến
tính các hàng của ma trận G

(
)
()
()
()()
()
()
()
()
()
()
345
22456
25
2356
2236
246
101110 0
xg x x x x x 0101110
xgxxxxx 0010111
1xgx 1x x x 1110010
1 x g x 1 x x x 1001011
x x g x x x x x 01110 01

1 x x g x 1 x x x 1100101

=+ + +
=+++
+=+++
+=+++
+=+++
++ =++ +
234
g x =1+x +x +x




15
Câu 12: (3 điểm) Phát biểu và chứng minh giới hạn Hamming? Định nghĩa mã
hoàn thiện?
- Giới hạn Hamming.
Với mã tuyến tính (n, k), điều kiện cần để sử đợc t sai là:

t
ink
n
i0
C2

=

Chứng minh: Số các kiểu sai có trọng số i là
i
n
C
Số các kiểu sai có trọng số t là:
t
01 t i
nn n n
i0
CC C C
=
+++=


Số các trạng thái khác nhau của các dấu kiểm tra là:
rnk
22

=
Để sửa đợc sai, mỗi trạng thái của các dấu kiểm tra chỉ đợc gán tối đa
cho 1 kiểu sai.
Vậy để sửa đợc tất cả các kiểu sai có trọng số
t ta có:
t
ink
n
i0
C2

=

-
Định nghĩa mã hoàn thiện.
Mã hoàn thiện là mã (n, k, d) đạt đợc giới hạn Hamming
Ví dụ: Mã (7, 4) có d = 3
Ta có :
d1
t1
2



==





01743
77
CC2 28
178

+ ==
+=

Vậy mã (7, 4) là 1 mã hoàn thiện.

Câu 13: (4 điểm) Cho phân tích của x
15
+1 nh sau :
X
15
+1=(1+x)(1+x+x
2
)(1+x+x
4
)(1+x
3
+x
4
)(1+x+x
2
+x
3
+x
4
)
Hãy nêu tất cả các mã xyclic có độ dài 15 trên vành Z
2
[x]/x
15
+1?

Đặt

(
)
(
)
() ()
2
12
434
34
gX 1X gX 1X X
gX 1XX gX 1X X
=+ =+ +
=+ + =+ +



16
TT §a thøc sinh M· (n,k)
1
()
1
gX
(15,14)
2
()
2
gX

(15,13)
3
()
3
gX
(15,11)
4
()
4
gX
(15,11)
5
()
5
gX
(15,11)
6
12
g.g
(15,12)
7
13
g.g

(15,10)
8
14
g.g
(15,10)
9

15
g.g
(15,10)
10
23
g.g

(15,9)
11
()
24
g.g
(15,9)
12
25
g.g

(15,9)
13
34
g.g
(15,7)
14
35
g.g
(15,7)
15
45
g.g
(15,7)

16
123
g.g.g
(15,8)
17
124
g.g.g
(15,8)
18
125
g.g.g
(15,8)
19
234
g.g.g
(15,5)
20
235
g.g.g
(15,5)
21
134
g.g.g
(15,6)
22
135
g.g.g
(15,6)
23
145

g.g.g
(15,6)
24
245
g.g.g
(15,5)
25
345
g.g.g
(15,3)
26
1234
g.g.g.g
(15,4)
27
1235
g.g.g.g

(15,4)
28
1245
g.g.g.g
(15,4)
29
2345
g.g.g.g
(15,1)
30
1345
g.g.g.g

(15,2)
31 1 (15,15)


17

Câu 14:(3 điểm) Mô tả sơ đồ chức năng thiết bị mã hoá theo phơng pháp chia
cho mã xyclic hệ thống (7,4) có đa thức sinh g(x)=1+x+x
3
. Tìm từ mã đầu ra của
thiết bị này khi đa thức thông tin đầu vào a(x)=1+x
3
.

Mã (7, 4) có
(
)
3
gX 1 X X=+ +








(
)

()
3
nk 6 3
aX 1 X
aX.x X X

=+
=+


Trạng thái các ô nhớ
Xung
nhịp
Vào
1 2 1
Ra
1 1 1 1 0 1
2 0 0 1 1 0
3 0 1 1 1 0
4 1 0 1 1 1
5 0 0 0 1 1
6 0 0 0 0 1
7 0 0 0 0 0

Từ mã ra 0 1 1 1 0 0 1
236
XX X X+ + +

17
ữ
1
V
Vào
1 2
+
3
+
57
ữ

2
V
14
ữ
RA

18
C©u 15: (2 ®iÓm) M« t¶ vµnh ®a thøc víi 2 phÐp to¸n céng vµ nh©n c¸c ®a thøc
theo modulo x
n
+1

Vµnh ®a thøc:

[
]
2
n
Zx
1α+


() () ()
n1
i
ii
i0
X;degXn1;GF2
−
=
=≤−∈
∑
ffxf f
PhÐp céng:
() ()
n1 n1
ii
ii
i0 i0
Xa;Xb
−−
==
==
∑∑

axbx

() () ()
n1
i
i
i0
cX aX bX c
−
=
=+=
∑
x
trong ®ã
iii
cabmod2
=
+
PhÐp nh©n:
(
)
(
)
(
)
(
)
n
aX.bX aX.bXmodX 1=+
Ta cã

ij ijmodn
X.X X
+
=