Thủy Khí Lực Học - Kỹ Thuật Ứng Dụng phần 6 potx

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-




xxx
zyx
v
dx
v
dx
v
dx
hay
vvv
dzdydx
kji
=== 0
(8.22)

8.3.2 Doỡng nguyón tọỳ

Tỏỷp hồỹp caùc õổồỡng doỡng tổỷa lón mọỹt voỡng kờn vọ cuỡng nhoớ taỷo nón mọỹt ọỳng doỡng. Doỡng
chỏỳt loớng chaớy õỏửy trong ọỳng goỹi laỡ doỡng nguyón tọỳ (hỗnh 8 - 5b).


v
1
dS

k

a) b)


Hỗnh 8 - 5

Vóử yù nghộa vỏỳt lyù cuớa doỡng nguyón tọỳ, noù bióứu dióựn phổồng chuyóứn õọỹng cuớa chỏỳt loớng taỷi
mọỹt thồỡi õióứm vaỡ thóứ hióỷn sổỷ phỏn bọỳ caùc veùctồ vỏỷn tọỳc trong mọỹt khoaớng khừc. Caùc tờnh chỏỳt cuớa
doỡng nguyón tọỳ:
- Doỡng nguyón tọỳ cuớa chuyóứn õọỹng khọng dổỡng coù hỗnh daỷng thay õọứi theo thồỡi gian.
- Chỏỳt loớng trong doỡng nguyón tọỳ chố chuyóứn õọỹng doỹc theo doỡng nguyón tọỳ khọng coù hióỷn
tổồỹng chỏỳt loớng chuyóứn õọỹng xión qua doỡng nguyón tọỳ.
- Trón tióỳt dióỷn cuớa doỡng nguyón tọỳ sổỷ phỏn bọỳ caùc thọng sọỳ thuyớ õọỹng giọỳng nhau.
- Chố trong chuyóứn õọỹng dổỡng thỗ quyợ õaỷo vaỡ õổồỡng doỡng truỡng nhau.
ổồỡng doỡng trong chuyóứn õọỹ
ng phúng õổồỹc bióứu dióựn bồới haỡm doỡng
(x,y) maỡ :

x
v
y
v
yx


=

=


(8.23)
Thay (8.23) vaỡo (8.22) :
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-





0;0 ==


+





=






ddy

y
dx
x
hay
x
dy
y
dx
(8.24)

Nghộa laỡ doỹc theo õổồỡng doỡng giaù trở cuớa haỡm sọỳ khọng thay õọứi.
Yẽ nghộa vỏỷt lyù cuớa haỡm doỡng (8.23) laỡ lổu lổồỹng chỏỳt loớng chaớy giổợa hai õổồỡng doỡng
chờnh bũng hióỷu giaù trở cuớa hai õổồỡng doỡng.

y
B
B
dy ds v
v
x

A
-dx A
v
y
x


Hỗnh 8 - 6

Thỏỷt vỏỷy lổu lổồỹng chaớy giổợa tióỳt dióỷn AB cuớa hai õổồỡng doỡng

A
,
B
laỡ :


AByx
B
A
B
A
B
A
ddx
x
dy
y
dxvdyvQ ==


+


==

8.4 Nhổợng khaùi nióỷm doỡng thuyớ lổỷc hổợu haỷn

Doỡng chaớy bở giồùi haỷn bồới caùc thaỡnh rừn laỡ doỡng hổợu haỷn, nhổ doỡng chaớy trong ọỳng troỡn,
trong kónh õóứ coù thóứ aùp duỷng caùc cọng thổùc chuùng ta õổa ra caùc khaùi nióỷm nhổ sau :
- Tióỳt dióỷn ổồùt (kyù hióỷu laỡ S) laỡ mỷt cừt thúng goùc vồùi tỏỳt caớ caùc õổồỡng doỡng. Nóỳu doỡng
õóửu thỗ tióỳt dióỷn ổồùt truỡng vồùi tióỳt dióỷn cuớa doỡng chaớy (hỗnh 8 - 7a). Nóỳu doỡng khọng õóửu - doỡng
thay õọứi dỏửn thỗ noù laỡ mỷt cong khọng gian (hỗnh 8 - 7b).
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-





S

S

Hỗnh 8 - 7

- Chu vi ổồùt (kyù hióỷu laỡ
) : ổồỡng giao tuyóỳn giổợa mỷt cừt ổồùt vaỡ thaỡnh rừn cuớa doỡng
chaớy (hỗnh 8 - 8).





R R



Hỗnh 8 - 8

- Baùn kờnh thuớy lổỷc (kyù hióỷu laỡ R
h
) laỡ tyớ sọỳ giổợa dióỷn tờch ổồùt vaỡ chu vi ổồùt:



S
R
h
= (8.25)
Cỏửn chuù yù rũng baùn kờnh thuớy lổỷc khọng phaới laỡ baùn kờnh cuớa ọỳng troỡn. Thỏỷt vỏỷy :

42 2
.
2
dR
R
R
R
h
===




Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-



- Lỉu lỉåüng (k hiãûu l Q) l lỉåüng cháút lng chy qua tiãút diãûn ỉåït trong mäüt âån vë thåìi
gian. Âäúi våïi dng ngun täú:

dQ = v.dS (8.26)
Cho ton dng :

(8.27)
∫
=
S

dSvQ .
Mún têch phán (8.27) phi biãút âỉåüc quy lût phán bäú váûn täúc trãn tiãút diãûn ỉåït. Nãúu chụng ta
dng khại niãûm váûn täúc trung bçnh trãn tiãút diãûn ỉåït thç lỉu lỉåüng:

Q = v
tb
S (8.28)

suy ra
∫
=
)(
.
1
S
tb
dSv
S
v

8.5 - Khại niãûm vãư chuøn âäüng xoạy:

Chuøn âäüng ca phán täú lng tha mn phỉång trçnh (8.3) thç gi l chuøn âäüng xoạy.
Âỉåìng cong m tiãúp tuún tải mäøi âiãøm ca nọ trng våïi vẹctå váûn täúc gọc ca phán täú lng åí tải
âiãøm âọ gi l âỉåìng xoạy. Váûy âỉåìng xoạy cng chênh l trủc xoạy tỉïc thåìi ca nhỉỵng phán täú
lng nàòm trãn âọ (hçnh 8 - 9a) phỉång trçnh âỉåìng xoạy l :


0. ==
zyx

dzdydx
kji
dsx
ωωω
ω

hay

zyx
dz
dy
dx
ωωω
==
(8.29)

trong âọ ω
x
, ω
y
,ω
z
l nhỉỵng thnh pháưn vẹctå váûn täúc gọc theo cạc trủc toả däü. Chụng l hm ca
khäng gian v thåìi gian .
Táûp håüp nhỉỵng âỉåìng xoạy tỉûa lãn mäüt âỉåìng cong khẹp kên vä cng nh trong mäi
trỉåìng cháút lng tảo thnh äúng xoạy ngun täú. Cháút lng chuøn âäüng trong äúng xoạy gi l såüi
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

xoaùy (H 8.9b). Sồỹi xoaùy coù kờch thổồùc nhoớ nón vỏỷn tọỳc goùc trón tióỳt dióỷn coù giaù trở nhổ nhau. óứ
tờnh cổồỡng õọỹ sồỹi xoaùy chuùng ta phaới xaùc õởnh xircula (coỡn goỹi laỡ lổu sọỳ vỏỷn tọỳc hay lổồỹng xoaùy
kyù hióỷu laỡ ). où laỡ tờch phỏn theo mọỹt õổồỡng cong kheùp kờn cuớa tờch quaợng õổồỡng tờch phỏn vaỡ
hỗnh chióỳu cuớa veùctồ vỏỷn tọỳc lón hổồùng cuớa quaợng õổồỡng õoù :



==
)()(

kk
coxdsvdsv

(8.30)



dS n



1
dS

S ds
v

Hỗnh 8 9


Thay tờch phỏn theo õổồỡng cong kheùp kờn bũng tờch phỏn mỷt :


(8.31)

=
)(
2
S
dS

Cọng thổùc(8.31) laỡ õởnh lyù Stọỳc. Nóỳu mỷt S laỡ hỗnh troỡn thỗ vỏỷn tọỳc chuyóứn õọỹng quay doỹc
theo õổồỡng troỡn baùn kờnh r seợ khọng thay õọứi vaỡ goùc
= 0 . Lổu sọỳ vỏỷn tọỳc laỡ :


2
2
0
2
2.
2

1
.2 RdR


==



Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-



Γ=2.ω.S (8.32)
Trong chuøn âäüng xoạy khäng gian (hçnh 8 - .9d) thç :

‚
∫∫∫∫∫
===Γ
)()()(
2.2.
SSk
dSndSdsv
ωω
(8.33)

ÅÍ âáy k l âỉåìng cong khäng gian khẹp kên giåïi hản màût S. Trong têch phán màût thç
ndSndS ;.= l vẹctå âån vë ca phạp tuún våïi màût S tải âiãøm xẹt. Trãn hçnh 8 - 9b) nãúu åí
thåìi âiãøm xẹt trủc ca vẹctå

ω
thàóng gọc våïi n, nghéa l khi tênh lỉu säú váûn täúc theo âỉåìng cong
khẹp kên k s nàòm trãn bãư màût ca såüi xoạy thç giạ trë ca s bàòng khäng .
‚

∫∫∫∫∫
===Γ
)()()(
cos 2.2.
SSk
dSdSdsv
αωω
(8.34)

Nãúu âỉåìng cong k bao gäưm cạc âỉåìng cong k1,k',k2,k" trãn(hçnh 8 - 9a) hay trãn (hçnh 8 - 9b) thç
lỉu säú váûn täúc cng bàòng khäng. Ta cọ ‚
Γ
2,3
= Γ
4,1
nãn ‚Γ
1,2
= - Γ
3,4
: ngỉåüc hiãưu nhau
nãn chụng triãût tiãu. Nãúu k1,k2 nàòm trãn cạc màût tiãút diãûn ca såüi xoạy v cạc âỉåìng cong cng
chiãưu thç:
‚
Γ
12

= Γ
43
(8.35)

Nghéa l lỉu säú váûn täúc åí táút c cạc tiãút diãûn ca såüi xoạy âãưu cọ giạ trë nhỉ nhau. Kãút håüp våïi
(8.32) ta cọ :

‚
Γ=2.ω
1
.S
1
=2.ω
2
.S
2
= =2.ω.S M = ω.S
(8.36)

trong âọ M gi l mä men xoạy, S l tiãút diãûn ca såüi xoạy.
Tỉì (8.36) suy ra mämen xoạy cọ giạ trë khäng thay âäøi dc theo såüi xoạy. Cạc phỉång
trçnh (8.34) , (8.35) , (8.36) l näüi dung ca cạc âënh l Hemhän vãư chuøn âäüng xoạy ca cháút
lng l tỉåíng.
Såüi xoạy ln ln gáy ra váûn täúc cm ỉïng tải cạc âiãøm trong cháút lng bao quanh nọ. Nọi
cạch khạc cạc såüi xoạy läi cún mäüt mäi trỉåìng cháút lng quanh nọ cng chuøn âäüng våïi váûn
täúc cm ỉïng (hçnh 8 - 10).
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

Sồỹi xoaùy coù veùcto xoaùy
vrot ; mọmen cuớa noù laỡ
2

=M . Phỏn tọỳ dl cuớa sồỹi xoaùy coù lổu
sọỳ vỏỷn tọỳc tổồng ổùng laỡ :
.dl = 2..S dl gỏy ra xung quanh noù trón mọỹt mỷt cỏửu S baùn kờnh r vỏỷn
tọỳc caớm ổùng dv. Tổỡ phổồng trỗnh (8.31) ta co ù:

.dl = S dv = 4 .r
2
.dv
Taỷi õióứm M baùn kờnh cuớa noù taỷo vồùi sồỹi xoaùy mọỹt goùc . Tổỡ phổồng trỗnh trón ta coù thaỡnh phỏửn
sin cuớa phỏn tọỳ sồỹi xoaùy :






d
r
r
dl
dv .
4
sin
4

.
2

=

=





dl
a=r.sin
r
S dl.sin
=r.d d


Hỗnh 8 - 10

vỗ r.d = dl.sin ; maỡ r = a / sin nón :




d
a
dv .sin.
4

=


Tờch phỏn phổồng trỗnh trón vồùi
= 0 õóỳn = ta seợ coù vỏỷn tọỳc caớm ổùng taỷi M do sồỹi xoaùy daỡi vọ
cuỡng gỏy ra:

a
d
a
v
2
.sin
4
0





=

=

(8.37)

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-

Trong âọ a l khong cạch tỉì âiãøm xẹt âãún såüi xoạy. Tỉì (8.37) ta cng suy ra (8.32), trong âọ v l
váûn täú chuøn âäüng ca phán täú lng dc theo âỉåìng trn bạn kênh a. Cäng thỉïc (8.37) cng l
âënh l Biäsava âãø tênh váûn täúc cm ỉïng trong chuøn âäüng xoạy.

8.5 - Chuøn âäüng khäng xoạy ca cháút lng l tỉåíng

Âiãøn hçnh loải chuøn âäüng ny l dng thãú váûn täúc. Tỉì (8.4) suy ra :
z
v
x
v
y
v
z
v
x
v
y
v
x
z
x
z
yy
x
∂
∂
=

∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
;;
(8.38)

Nãúu täưn tải mäüt hm
φ(x,y,z) m

z
v
y
v
x
v
zyx
∂
∂
=
∂
∂

=
∂
∂
=
φ
φ
φ
;; (8.39)

thç
φ l nghiãûm ca (8.38). φ gi l hm thãú váûn täúc. Vi phán ton pháưn ca nọ l :


dz
z
dy
y
dx
x
d
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
φ

φ
φ
φ
(8.40)
(8.40) l cäng ca phán täú do mäüt lỉûc gáy ra dëch chuøn phán täú ny trãn qung âỉåìng ds. Âäúi
våïi dng thãú phàóng thç hm thãú váûn täúc l
φ(x, y). So sạnh (8.23) v (8.39) ta cọ:


xy
v
yx
v
yx
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
ψ
φ
ψ
φ

; (8.41)
Âáy chênh l phỉång trçnh Cäsi-Riãman. Tỉì phỉång trçnh ny ta tháúy âỉåìng dng v
âỉåìng thãú váûn täúc trong chuøn âäüng thãú phàóng trỉûc giao våïi nhau (hçnh 7 - 11)

1−=⋅
ψφ
dx
dy
dx
dy
(8.42)

Báy giåì chụng ta chỉïng minh ràòng dng thãú váûn täúc l dng khäng xoạy.
Thay (8.39) vo (8.18 ). Ta cọ rot v = 0 . Tháûy váûy :

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-




0

2
0

2
0

2
22
22
22
=













=

=
=













=













=

=













=













=
zxxzx

v
z
v
yz
zyz
v
y
v
xyyxy
v
x
v
z
x
y
y
z
x
x
y
z

Hỗnh 7 - 11


$9 - Caùc phổong trỗnh cồ baớn

Caùc phổồng trỗnh naỡy chờnh laỡ sổỷ bióứu dióựn caùc õởnh luỏỷt cồ baớn cuớa cồ hoỹc aùp duỷng cho
chỏỳt loớng.

9.1 - Phổong trỗnh quaù trỗnh

ởnh luỏỷt thổù nhỏỳt cuớa nhióỷt õọng kyợ thuỏỷt cho chỏỳt khờ lyù tổồớng trong quaù trỗnh thuỏỷn
nghởch õổồỹc bióứu dióựn bũng phổồng trỗnh (cho 1kg chỏỳt khờ) :



dp
didpdTcpdvdudsTdq
v
=

+=+==
1

(9.1)

trong õoù s laỡ entrọpi.
Phổong trỗnh traỷng thaùi vióỳt dổồùi daỷng vi phỏn :
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-









d
p
dp
T
dT

hay
T
dT
d
p
dp
=+=
(9.2)

Tổỡ phổồng trỗnh (9.1) suy ra :










+=

1
d
T
p
T
dT
cds
v

Thay giaù trở
T
dT
tổỡ (9.2) phổồng trỗnh traỷng thaùi p=.r.T vaỡ r = c
v
(k-1) ta coù :
















+=




1

.).1( dk
d
p
dp
cds
v
(9.3)

hay:
ds = c
v
[ d (ln p) - k d (ln ) ] (9.4)

Tờch phỏn (9.4) :

=
k
v
p
dcds

ln.









=
kk
v
p
p
css
1
1
1
lnln

(9.5)
Suy ra :

c
ss
k
e
p
p
1
11









=


(9.6)

Phổồng trỗnh (9.2) õổồỹc vióỳt thaỡnh : d (ln p) = d (ln T) + d (ln
) ;. thay vaỡo (9.4) vaỡ tờch phỏn :

[]

=








=+=



1
1
v
ln.lnln
1
1
)1.()k.d(ln - d(ln T)d(ln .cds
k
v
T
drT

k
dkc

Tờch phỏn :
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-













=


1
1
1
1
1
1
1

lnln

k
k
T
T
rss
(9.7)
hay :
r
ss
k
e
T
T
1
1
1
11
.



=


(9.8)

Trong caùc phổồng trỗnh trón chố sọỳ 1 chố traỷng thaùi ban õỏửu.
Trong hóỷ cọ lỏỷp hổợu haỷn bỏỳt kyỡ quaù trỗnh naỡo xaớy ra õóửu theo chióửu tng entrọpi. Vờ duỷ

:trong quaù trỗnh õoaỷn nhióỷt lyù tổồớng
const
p
k
=

. Thay vaỡo phổồng trỗnh (9.7) ta coù :







=






=






+=
2

1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
12
.ln)1(.ln)1(lnln)1(
p
p
T
T
kc
T
T
kc
T
T
kcss
vvv

Nóỳu hóỷ cọ lỏỷp khọng trao õọứi nhióỷt vồùi bón ngoaỡi thỗ (T
2
=T
1
) :








=
2
1
12
.ln
p
p
rss


Vỗ coù tọứn thỏỳt nón p
2
< p
1
suy ra s
2

> s
1
, nghộa laỡ entrọpi luọn luọn tng trong quaù trỗnh thuỏỷn
nghởch.

9.2 - Phổồng trỗnh lión tuỷc

Trong khọng gian baớo lổu (ồớ õoù khọng coù õióứm nguọửm , õióứm huùt vaỡ ồớ õo khọng thổỷc hióỷn
caùc phaớn ổùng hoaù hoỹc tióu hao hay cung cỏỳp chỏỳt loớng) chuùng ta khaớo saùt chuyóứn õọỹng cuớa chỏỳt
loớng chaớy qua khọỳi họỹp coù caùc caỷnh cọỳ õởnh dx,dy,dz trong hóỷ toaỷ õọỹ oxyz (hỗnh 9 - 1).
Sau thồỡi gian dt khọỳi lổồỹng chỏỳt loớng chaớy vaỡo khọỳi họỹp naỡy laỡ m
1
vaỡ chaớy ra laỡ m
2
, khọỳi lổồỹng
chỏỳt loớng coỡn laỷi trong khọỳi họỹp naỡy laỡ : m = m
1
- m
2
.
Tờnh theo phổong x , khọỳi lổồỹng chaớy vaỡo m
1x
= .v
x
dy dz dt ;
chaớy ra :

(
)
dtdzdydx

x
v
vm
x
xx

2








+=