bài tập về dao động điều hòa

Phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ chuyển động
đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời
khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.
π
(cm/s) theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ
độ là VTCB, c dương hướng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
k∆l = mg
⇒ ∆l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ ω =
π===
5105
1,0
25
m
k
(Rad/s)

+ m dao động điều hoá với phương trình
x = Asin (ωt + ϕ)
Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10π
3
(cm/s) <0
Ta có hệ 2 = ASin ϕ →Sin ϕ >0
-10π
3
= 5π.Acosϕ →cosϕ <0
Chia 2 vế tgϕ =
3
1−
⇒ ϕ =
6
5
π
(Rad) → A = 4(cm)
Vậy PTDĐ:
x = 4sin (5πt +
6
5
π
) (cm)
b) Tại VTCB lò xo dãn ∆l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0.
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +
6

5
π
)
⇔ sin (5πt +
6
5
π
) =
2
1
−
∆l
l
0
0(VTCB))
x
- ∆l
•
•
•
5πt +
6
5
π
=
6
7
π
⇒ t =
15

1
(s)
( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều)
Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối lượng m =
400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống
dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược
chiều dương Ox (g = 10m/s
2
)
a. CM vật dđđh.
b. Viết PTDĐ
Lời giải
a. Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 → ∆l =
k
4
(mét)
Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm
→ x = 2,6 - ∆l = 0,026 -
k
4
( mét)
Chiều dương 0x hướng xuống ⇒ x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E =
3
10.25
2
2
1

2
2
1
−
=+ mvkx
(J)
Ta có phương trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1
−
=+−
⇔ k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2
=
k

⇔ 0,026
2

.k
2
- 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM
k = 94,67 (N/m) loại
Vậy k = 250 N/m → ω =
25
4,0
250
==
m
k
(Rad/s)
Tại t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ =
4
3π
Rađ
-25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A =
2
cm
=> k > 153,8 N/m
Vậy phương trình điều hoà là x =
)
4
3
t25sin(2
π
+
(cm)

Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí
cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x
2
là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén).
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x
1
=
1
k
F

−
; x
2
=
2
k
F
−
Vậy x =








+−=−−
2121
11
kk
F
k
F
k
F
Mặt khác F = - kx ⇒
kkk
111
21

=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
→ mx
''
= - k.x hay x
''
= - ωx
2
với ω
2
=
)(
.
21
21
kkm
kk
m
k
+
=
Vật dao động điều hoà theo phương trình
x = Asin (ωt + ϕ)
Vậy vật dao động điều hoà
* Phương trình dao độngω =
10
)2030(12,0
20.30
)(

.
21
21
=
+
=
+
=
kkm
kk
m
k
(Rad/s)
Khi t = 0 x = 10cm>0
v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0
ωAcos ; cosϕ = 0

L
1
L
2
M
A = 10 (cm) ϕ =
2
π

Vậy phương trình dao động là
x = 10sin (10πt +
2

π
) (cm)
2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
→ Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu khối lượng
m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới VTCB 3 cm rồi phóng với
vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phương thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s
2
;
π
2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1. Chọn trục 0x thẳng đứng hướng xuống gốc 0 tại
VTCB
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo.
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ cứng và
chiều dài và bằng
2
1

lực đàn hồi tổng cộng)
F = 2F
0
⇔ -Kx = -2kx
⇒ K = 2k
+ Tại VTCB:
→
P
+
→
P2
=
→
0
Hay mg - 2k∆l
o
= 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn ∆l = x + ∆l
0
Hợp lực:
→
P
+
→→
= FF2
dh
mg - 2k(∆l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx

Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
⇒ x
''
=
x
m
k2
−
→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH
k
0
F
k
0
F
P
+
m
O
•
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)
Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0
- 40
2

= 10
2
Acosϕ ; cosϕ < 0
Biên độ A =
5
200
2.40
3
2
2
=+
cm
Ta có hệ 3 = 5sinϕ sinϕ = 0,6
-40
2
= 10
2
.5.cosϕ cos ϕ = -0,8
→ϕ
≈
2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10
2
t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi như một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
∆l
0
=
05,0

50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + ∆l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối vào 2 giá
chuyển động A, B qua 2 lò xo L
1
, L
2
có độ cứng k
1
= 60N/m, k
2
= 40 N/m. Người ta kéo vật
đến vị trí sao cho L
1
bị dãn một đoạn
∆
l = 20 (cm) thì thấy L
2

không dãn, khi nén rồi thả
nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo.
Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng từ A
→
B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a) CM vật DĐĐH?
b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lượng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cường độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A, B ở thời
điểm t=
2
T
.
Lời giải
a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ như hình vẽ.
+ Khi vật ở VTCB lò xo L
1
dãn ∆l
1
lò xo L
2
dãn ∆l
2
→ ϕ 143,13
0
→
B
A
→
01

F
→
02
F
0
+
x
G
x
Khi đó vật để L
1
dãn ∆l = 2cm ; L
2
khi nén k dãn
thì ∆l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở VTCB.
∆l = ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+→=+++
→→→→→→→
FFFFNP
Hay + K
1
∆l
1

- k
2
∆l
2
= 0 (2)
+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L
1
là (∆l
1
+ x) cm, L2 là (∆l
2
- x)
Tổng hợp lực
→→→→→
=+++ amFFNP
21
Hay - k
1
(∆l
1
+ x) + k
2
(∆l
2
- x) = mx''
⇔ - (k
1
+ k
2
) x = mx''

⇒ x'' =
2
21
.
ω
−=
+
− x
m
kk
với ω2 =
m
kk
21
+
−
Vậy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vật DĐĐH
b) ω =
π
10
1,0
4060
21
=
+
=
+
m
kk
(Rad/s)

+ Biên độ dao động A = ∆l
2
(vì A =
2
2
2
2
0
lxx
∆
==+
ω
)
Giải (1), (2) ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 ∆l
1
= 8cm
60∆l
1
+ 400∆l
2
= 0 ∆l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin ϕ = A

v
0
= ωAcosϕ = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +
2
π
) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==
π
π
ω
π
(s)
Năng lượng
E =
72,0)012.(,100.
2
1
2
1
22
==KA
(J)
c) Vẽ và tính cường độ các lực
→ ϕ =
2

π
→
P
→
0
F
0 (VΠB)
+
x
→
0
T
+ Khi t =
1,0
2
=
T
(s) thì x = 12 sin (10.0,1Π +
2
π
) = -12 (cm)
Vì vậy, tại t =
2
π
vật ở biên độ x = - A
Tại vị trí này lò xo l
1
bị nén 1 đoạn A - ∆l
1
= 12 - 8 = 4 (cm)

Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lượt là
→→
21
,FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (
→→
21
,FF
cùng chiều dương)
Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các hình vẽ
a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng có khối
lượng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối lượng của r
2

và lò xo dây treo k dãn. Khối lượng k đáng kể.
1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật ở
VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng

rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải
1) Hình a
+ Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phương trình lực
→→→
=+ 0
00
FT

→→→
=+ 0
00
PT
Chiều lên ox -T
0
+ K∆l = 0
-T
0
+ mg = 0
⇒ T
0
= k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T
0
= 1N
∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dương hướng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T
0

+ mg = 0
-k∆l + 2T
0
= 0
a
b
→
P
→
0
F
+
x
→
0
T
→
0
T
O
⇒ T
0
= mg = 1 (N)
∆l = 10 (cm)
2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → k∆l - mg = 0
+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + x
F = mg - T
T - k(∆l + x) = 0
→ F = mg - k∆l

0
- kx ⇒ F = -kx
áp dụng định luật II N → - kx = mx
''
=
xx
m
k
.
2
ω
−=−
Với ω =
m
k
→ x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l →
2
1
k∆l - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l +
2
x
mg - T = F
2T - k(∆l +
2
x
) = 0
→ F = mg -
2

1
k∆l -
x
k
4
→ F =
x
k
4
−
Hay
x
k
4
−
= mx
''
→ x =
x
m
k
4
−
= - ω
2
x với ω =
m
k
4
x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà

Bài 7: Một vật có khối lượng m = 400g được gắn trên một
lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50 (N/m) đặt m
1
có khối
lượng 50 g lên trên m. Kích thích cho m dao động theo phương
thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên
độ dao động lớn nhất của m, để m
1
không với khối lượng m
trong quá trình dao động (g = 10m/s
2
)
Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
= ω
2
A)
→ →
m
1
m
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g

Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g ⇔ ω
2
A < g ⇒ A<
2
g
ω
+ ω =
m
k
→ ω
2
=
125
4,0
50
=
→ A <
125
10
= 0,08 (m) = 8cm
→ A
max
= 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động như hình vẽ, khối lượng
lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g, có thể trượt

không ma sát trên mặt phẳng ngang.
1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ. Tính V
TB
của M sau khi nó đi
qũang đường 2cm .
2) Giả sử M đang dao động như câu trên thì có 1 vật m
0
= 50g bắn vào M theo
phương ngang với vận tốc
o
v
. Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra tại thời điểm lò
xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn
o
v
, biết rằng sau khi va chạm m
0
gắn chặt vào M và cùng
dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu của chuyển động
tròn đều của 1 chất điểm như hình vẽ. Khoảng thời gian
vật đi từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian vật
chuyển động tròn đều theo cung M
1

M
2
t =
ω
π
ω
3
=
a
với ω =
2,0
50
=
m
k
= 5
π
(Rad/s)
-> t =
15
1
5
1
.
3
=
π
π
(s)
V

TB
=
)(30 scm
t
S
=
2 - Theo câu 1, M có li độ x
0
= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
M
k
o
v
m
0
M
1
+ ω
2
4

M
2
α
•
•
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc
ω
'
=
05,02,0
50
0
+
=
+ mM
k
= 10
2
(Rad/s)
Lại có v =
2
0
2''
)( xA
−
ω

= 40

2
(m/s)
Từ (1) | v
0
| =
05,0
240).5,02,0(
)(
0
+
=
+
m
vmM
= 200
2
(cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h = 10cm tiết diện
s = 50cm
2
được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi cân bằng một một nửa vật
bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB
theo phương thẳng đứng xuống dưới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua
mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.

2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox như hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có
chiều cao h
0
, lò xo bị dãn 1 đoạn ∆l
0

Phương trình lực : mg- F
0A
- k∆l
0
= 0
→ ∆l
0
=
k
Fmg
A0
−
(1)
Với F
0A
= Sh
0
Dg
→ ∆l

0
=
150
10.10.05,0.10.5010.4,0
34−
−
= 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l
0
+ x
Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
A0
F
0
+x
P
→ x
max
= 4(cm) <
2
h
→ luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
dhA
FFPF
++=
→

F
= mg - S(h
0
+ x) Dg - k(∆l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- k∆l
0
- SDgx - kx
→F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx
''
→ mx
''
= - (SDg + k)x ⇒ x
''
= ω
2
.x với ω
2
=
m
KSDg +
→ x = Asin (ωt + ϕ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =
15010.10.10.50
4,0
22

2
34
+
=
+
=
−
ππ
ω
π
KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200 N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
→ Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'
==Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m.
Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả
nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nang là M = 0,1 (g =

10m/s
2
).
1. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3. Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại ở đây
cơ năng E =
== SFKA
ms
.
2
1
2
µ.mg.S
→ S =
m
mgM
KA
(2
10.02.,1,0.2
1,0.80
.
.
2
1
22
==
)

2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A
1
sau
2
1
chu kì vật đến VT biên độ lớn
A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2
2
= µmg (A
1
+ A
2
) → A
1

- A
2
=
k
mg.2
µ
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A
3
thì A
2
- A
3
=
k
mg.2
µ
Vậy ∆A =
k
mg.4
µ
= const
3 - Thời gian dao động
Tính ∆A: ∆A =
01,0
80
10.2,0.1,0.4
=
(m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện được : n =
10=

A
A
∆
(chu kỳ)
Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s).
Phần II
Con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tương ứng là T
1
; T
2
, tại
nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l
1
+
l
2
, chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l
1

- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính
T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l
.2
1
π
→ l
1
=
g.
4
T
2

2
1
π
(1)
+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2
π
→ l
1
=
g.
4
T
2
2
2
π
(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T

3
= 2Π.
g
ll
21
+
→ l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì T

'
= 2Π.
g
ll
21
−
→ l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2

= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2Π
42,1
10
51,0
=
(s)
T
2
= 2Π
1,1
10
3,0
=
(s)
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một
góc α
0
rồi thả không vận tốc đầu.
1. Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc α suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc α. Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, α
0
= 6
0
; g = 10(m/s
2

);
π
2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tương ứng với li độ α
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của con
lắc tại VT li giác bất kì bằng thế năng của con lắc tại VT
biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
→ v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
với h
0
= l(1 - cosα)
h = l(1 - cosα)

→ v
2
= 2gl (cosα - cosα
0
)
Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0
α−α
Vì cosα = 1- 2sin
2

2
α
khi α<< →cosα =
2
1
2
α
−
Tương tự cos α
0
=
2
1
2
0
α
−
| v | =

)(gl
22
0
α−α
+ Vận tốc cực đại khi α

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl
0
α
+ áp dụng số:
| v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=
π
(m/s) = 33cm/s
I
α
h
0
- h
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc α
+ Định luật 2 N
maTPF =+=

Chiều lên phương dây treo
F
th
= -mg.cosα +T = m
aht
T = mgcosα + m.
l
v
2
= m (gcosα +
l
v
2
)
v
2
= 2gl (α
2
- α
2
) ta được
T = mg (3cosα - 2 cosα
0
) = mg (α
2
0
-
2
3
α

2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, vật ở VTCB
T
max
= mg (α
2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=








+







π
(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2
1
α
2
0
)
Thay số
T
min
= 0,1.10
99,0
150
6
2
1
1

2
=














π
−
(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng m. Khi con
lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v
0
lực cản coi dao
động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng của dây
treo theo li độ góc α.
Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tương ứng với li góc α
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác α

Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1
=+
→ v
2
= v
2
0
- 2gh
v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cosα)
⇒ | v | =
)cos1(gl2v
2
0
α−−
Khi góc α << thì 1 - cosα = 2sin
2

2
α
=
2
2
α
| v | =
22
0
gl2v α−
+ Vận tốc cực đại khi α = 0 → | v
max
| = v
0
, vật ở VTCB
Thay số | v
max
| = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi α = α
0
v
0
= α
0

gk
→ v
min
= 0
* Lực căng dây

amTPF =+=
⇒ = mgcosα + T = m
aht
→ T = mgcosα + m
l
v
2
= m(gcosα +
l
v
2
)
Thay v
2
ở trên
T = mg
2cos3
gl
v
2
0
−α+









+ Khi α nhỏ: cosα = 1 -2sin
2
2
α

= 1 -
2
2
α
T = mg
)
2
3
1
gl
v
(
2
2
0
α−+
I
α
h
l
T
l
0
v
P

l
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, con lắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
= α
0
gl
→ α
2
0
=
gl
v
2
0
→T
min
= mg
)
gl2

v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
−=−+
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2
=
T
min
= 0,1 . 10

)
1.10.2
1
1(
2
−
= 0,95 (N)
Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào
khi đưa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lượt là 9,7926
m/s
2
9,7867 m/s
2
. Bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ. Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại
TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc như thế nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T
1
= 2
1
g
l
.π
= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2

1
g
l
.π


0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
≈==
→T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)
+ Vì T
2
>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy chậm là:
∆t = 24.60.60.
26
T
TT

1
21
=
−
(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
→ T
'
2
= 2
2
'
g
l
.π
= 2 (s)
VT T
1
= T
'
2
⇒
2
'
g
l
=
2
1
'

2
g
g
l
l
g
l
=⇒
Thay số:
→ l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là
∆l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4
T.g
π
nên ∆l = 0,0006.
2
2
11
4
T.g
π

Thay số
∆l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=
π
(m) = 0,6 mm
Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối lượng m =
100 (g), được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s
2
).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dương q = 2,5.10
-4
tạo ra đường trường đều có cường
độ E = 1000 (v/m).
Hãy xác định phương của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ của con
lắc trong các trường hợp.
a) Véctơ
E
hướng thẳng xuống dưới
b) Véctơ
E
có phương nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T

0
= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. ≈π
= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrường đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP =
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trường
+ Coi con lắc dao động trong trường trọng lực hiệu dụng g
'
d
'
EPP +=
= m
'
g
Khi CB dây treo con lắc có phương của
'
P
và chu kì dao động nhỏ được tính theo công thức:

T
'
= 2
'
g
1
.π
a)
E
thẳng đứng xuống dưới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hướng với
E
, tức là thẳng đứng
xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phương thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
⇒ mg
'
= mg + qE
⇒ g
'
= g +
m
qE

+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc
T
'
= 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'
+
π=π
Thay số
T
'
= 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34 −−
+
= 1,8 (s)
b) Trường hợp E nằm ngang
+)
d
E

có phương ⊥ với
P
Khi CB, dây treo lệch góc
δ
so với phương thẳng đứng, theo chiều của lực điện trường.
tg
δ
=
mg
qE
P
F
d
=
β
β
β
β
β
β
VTCB
→ tg
δ
=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34
≈
−

→
δ
~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l
π
Từ hình vẽ:
P
'
=
g
cos
g
g
cos
P
'
⊗>
α
=→
α
Do đó: T
’
= 2

δ=
δ
π cosT
g
cosl
.
0
→ T
'
= T
0
97,114cos2cos
0
≈=δ

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga = 10m/s
2
. Treo
con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây
treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc α
0
= 9
0
a) Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe.
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc theo T
0

.
Lời giải
a) Giải thích hiện tượng:
Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3 lực tác dụng.
+ Trọng lực
gmP =
+ Lực căng dây T
+ Lực quán tính
0
amF −=
Khi con lắc ở VTCB
0FTP
q
=++
q
F
ngược chiều với
0
a
nên ngược chiều với
0
v
+
δ
T
d
F
'
P
P

+
δ
'
P
P
0
a
0
v
Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc α về phía ngược với chiều chuyển động của xe.
tgα =
g
a
mg
ma
P
F
at
==
α<< → tgα
≈
α do đó
a
≈
gα = 10.
9.
180

π
~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP =+=
(Coi con lắc dao động trong trường gia tốc ghd = g
'
)
Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>
α
=⇒

α
=
α
Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức
T = 2
'
g
l
.π
Lại có T
0
= 2
g
l
.π
⇒
α=
α
== cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
Vậy T = T
0
αcos

Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lượng m =
0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc α
0
= 6
0
rồi thả nhẹ cho dao động. Khi
dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi như không đổi sau 100 dao động,
li độ cực đại của con lắc là α = 3
0
coi chu kỳ dao động của con lắc như khi không có lực
cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lượng không đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma sát tối thiểu
là len. (g = 10m/s
2
, Π
2
= 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lượng không đổi
+ Lúc đầu, li giác cực đại là α
0
, cơ năng của con lắc là:
E
0
= mgh
0
= mgl(1 - cosα)
1 - cosα = sin

2
2
2
0
α

→
E
0
=
2
0
mgl
2
1
α
+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là α
1
, cơ năng của con lắc là:
E
1
=
2
0
mgl
2
1
α
→ E
0

- E
1
=
mgl
2
1
(α
2
0
- α
2
1
)
+ Sau nửa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại α
2
, cơ năng của con lắc là:
E
2
=
mgl
2
1
α
2
2
→ E
1
- E
2
=

mgl
2
1
(α
2
1
- α
2
2
)
Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm ∆E
∆E = (E
0
- E
1
) + (E
1
- E
2
) =
mgl
2
1
(α
2
0
- α
2
2
)

∆E =
mgl
2
1
(α
0
- α
2
)(α
0
+ α
2
) = mglα
0
.∆α
+ Công của lực cản:
A
C
= (S
0
+ 2S
1
+ S
2
)F
c
~ 7S
0
R
c

~4α
0
kF
c
→ mglα
0
. ∆α = 4α
0
lF
c
→ ∆α =
mg
F4
c
= const
Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lượng không đổi (đpcm).
2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2
10
1
.2
g
l
. π=π
= 2 (s)
+ Độ giảm năng lượng trong N chu kì là
∆E =
mgl
2

1
α
2
0
-
mgl
2
1
α
2
=
mgl
2
1
(α
2
0
- α
2
)
∆E =
222
2
2
10.08,2)36(
180
.10.5,0.
2
1
−

=−
π
(J)
+ Công suất của động cơ là
2.100
10.08,2
T.N
EΔ
t
EΔ
12−
===
= 1,04.10
-5
W
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nước biển, ở nhiệt độ 10
0
C, một đồng hồ quả lắc trong một
ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ như 1 con lắc đơn thanh treo con lắc có hệ
số nở dài λ = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đưa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t
0
là 6
0
C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ. Giải thích

hiện tượng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nước biển. Coi trái đất là hình cầu có
bán kính R = 6400 km.
Lời giải
1. Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ
Giả sử đồng hồ chạy đúng ở t
0
C với chu kì
T = 2
g
)t1(l
2
g
l
10
λ+
π=π
ở t
1
= 100
0
, chu kì là T
1
= 2
g
)t1(l
10
λ+
π
→
2

1
t1
t1
T
T
11
λ
+≈
λ+
λ+
=
(t
1
- t
x
)
(VT λt
1
<< 1; λt
1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh → T
1
<T → t
1
< t
+ Độ l
0
t chu kì theo t
0

∆T
1
= T
1
- T ~
)tt(
2
T
1
−λ
Thời gian mà đồng hồ chạy sai trong 1 ngày đêm là
∆t = 24.60.60.
)tt(.43200
T
TΔ
1
1
−λ≈
Theo biên độ ∆t = 6,48 (s) → t ~ 17,5
0
C
2 - Khi đồng hồ ở trên đỉnh núi
Chu kì của quả lắc hoat động thay đổi do
+ Nhiệt độ giảm làm chiều dài con lắc giảm -> T giảm
+ Độ cao tăng dần tới gia tốc trọng trường giảm -> T tăng
Hai nguyên nhân đó bù trừ lẫn nhau -> đồng hồ chạy đúng ở độ cao h:
g
h
=
2

)
hR
R
(g
+
Kí hiệu: T
h
: Chu kì ở độ cao h
t
h
: t
0
ở độ cao h
Độ biến thiên chu kì ∆t
h
theo độ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t = t
h
)
R
h
g
g
T
T
h
n
+== 1
→ ∆t
h
= t

h
- T = T
R
h
lại có ∆T
t
=
2
T
t
h
λ
(t
h
- t) (∆t
1
: độ biến thiên theo nhiệt độ)
Vì con lắc đồng hồ chạy đúng nên ∆t
t
+ ∆t
h
= 0
→
0
R
h
T)tt(
2
T
h

=+−λ
→ h =
2
R).tt(
h
−λ
Thay số ta được h = 0,736 km = 736 m
Bài 19:
Một quả cầu A có kích thước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh,
không dãn, chiều dài l = 1m. ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một khoảng
0,8m. Đưa quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với phương thẳng đứng 1 góc α
0
= 60
0
rồi buông cho nó chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua lực cản môi trường (g =
10m/s
2
).
1. Tính lực căng T khi A ở VTCB.
2. Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phương trình quỹ đạo
chuyển động của nó sau đó.
3. Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.
Lời giải
1. Lực căng dây
Định luật bảo toàn cơ nang mgh +
2
1
mv
2
= mgh

0
→ v
2
= 2g(h
0
- h) = 2gl(cosα - cosα
0
)
Định luật 2 N:
amTPF =+=
→ T = mgcos α = ma
ht
→ T = m (gcosα +
l
v
2
)
áp dụng (1) với VT quả cầu từ A đến 0
→ v
2
o
= 2gl(1 - cosα
0
) → | v
0
| =
10
m/s
→ T = m [g + 2g (1 - cosα
0

)] = mg (3 - 2 cosα
0
)
Thay số: T = 0,5.10.(3 - 2cos60
0
) = 10N
2. Chuyển động của quả cầu sau khi dây đứt
+ Khi đến VTCB, vận tốc quả cầu là
0
v
có phương nắm ngang.
+ Nếu tại VT0 dây bị đứt thì chuyên động của m sau khi dây đứt là chuyên động ném ngang.
+ Chọn hệ trục oxy như hình vẽ ta được: quả cầu chuyên dộng theo
phương 0x : chuyển động thẳng đều: x = v
0
t =
t10
(1)
phương oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0
→ y =
2
1
gt
2
= 5t
2
(2)
l
0
v

G
m
A
α
0
H
y
M
x