DE THI THU TN 2009 - CO DAP AN CHI TIET

4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5
1
Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009
Trường THPT Vĩnh Linh
♥
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI NĂM – MÔN TOÁN 12
(NĂM HỌC 2008-2009)
(Thời gian 150 phút)
A.Phần chung cho tất cả các thí sinh:
Câu I : (3 đ)Cho hàm số : y =f(x) =
1
3
x
3
- 2x
2
+ 3x
1. (2đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên.
2. (1đ) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y =m(x-3) tiếp
xúc với (C).
Câu II: (3đ)
1.(1đ)Giải phương trình :
3)1(log)3(log
22
=−+−
xx

2.(1đ)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:y = f(x) =
x
4
– 2x
3
+ x
2

trên đoạn [-1;1]
3.(1đ)Tính tích phân sau: K =
dxxx
∫
+
4
0
2sin)1(
π
Câu III(1đ)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
B.Phần riêng:
B.1: Chương trình chuẩn
Câu IVa (2đ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình : x - 2y + z + 3 = 0.
1(1đ).Tính khoảng cách từ M đến (P), suy ra phương trình mặt
cầu có tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2(1đ).Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và
vuông góc với (P).Tìm toạ độ giao điểm của d và (P).

Câu Va (1đ) Giải phương trình : z
3
– 27 =0
B.2.Chương trình Nâng cao:
Câu IVb(2đ):
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình:
d
1
:
1
3
2
2
1
1 −
=
−
=
− zyx
và d
2
:
2
2
2
x t
y t
z t
= − +



= −


= −

1(1đ).Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
2(1đ).Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
Câu Vb: (1đ) Cho z
∈
C , biết z +z
-1
=
3
. Tính :A= z
2009
+ z
-2009
ĐÁP ÁN
Câu 1:
1.
.TXĐ :R

0.25 đ
.Sự biến thiên:
a. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
lim
x
y
→−∞
= +
∞

lim
x
y
→+∞
= -
∞
0.25 đ
b.Bảng biến thiên:
Ta có: y’ = -x
2
+4x – 3
y’ = 0
⇔
x= 1, x=3.
0.25 đ
-
∞
+
∞
0

-
-
+
0
0
-4
3
y
y'
x
+
∞
-
∞
3
1
Hàm số đồng biến trên khoảng ((0; 3).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-
∞
; 1) và (3; +
∞
) .
0.5 đ
Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x =1
⇒
y
ct
= -
4
3

Hàm số đạt cực đại tại x =3
⇒
y
cđ
= 0
0.25 đ
3.Đồ thị:
.Điểm uốn :
y’’= -2x+4 , y’’ = 0
⇔
x=2
Vậy điểm uốn là U(2;
2
3
−
). Đồ thị nhận
điểm uốn làm tâm đối xứng.
Giao điểm của đồ thị với
trục tung là O(0;0).
Giao điểm của đồ thị với
trục hoành là O(0;0) và điểm (0;3)
0.5 đ
2. Đường thẳng y =m(x-3) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:
3 2
2
1
2 3 ( 3)
3
4 3

x x x m x
x x m

− + − = −



− + − =


⇒
x=3 , x =
3
2
0.5 đ
Với x =3
⇒
m= 0 , phương trình tt : y=0
0.25 đ
Với x =
3
2
⇒
m=
3
4
, phương trình tt : y=
3
4
(x-3)

0.25 đ
Câu II: 1.Giải phương trình :
Doilathe_aicungthe_anhkhac7491
Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009
3)1(log)3(log
22
=−+−
xx
(1)
Giải:
Đk: x > 3
0.25 đ
(1)
⇔
log
2
(x-3)(x-1) = log
2
8
0.25 đ

⇔
(x-3)(x-1) = 8
⇔
x
2
-4x – 5 = 0
⇔
x= -1 (loại) , x= 5
0.5 đ

Vậy phương trình có một nghiệm : x =5
2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:y = f(x) = x
4
– 2x
3
+ x
2
trên đoạn
[-1;1]
Giải:
Ta có : y' = 4x
3
-6x
2
+2x
y'= 0
⇔
x= 0 , x =
1
2
, x = 1
0.5 đ
Suy ra : f(-1) = 4 , f(0) = 0 , f(
1
2
) =
1
16
, f(1) = 0
0.25đ

Vậy, trên đoạn [-1;1] . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là : f(0) = f(1) = 0
Giá trị lớn nhất của hàm số là : f(-1) = 4
0.25 đ
3.Tính tích phân:
K =
dxxx
∫
+
4
0
2sin)1(
π
=
dxx
∫
4
0
2sin
π
+
dxxx
∫
4
0
2sin
π
=
4
0
2cos

2
1
π
x−
+
dxxx
∫
4
0
2sin
π
=
2
1
+ I 0.25 đ
Tính : I =
dxxx
∫
4
0
2sin
π
Đặt



=
=
xdxdv
xu

2sin
=>





−=
=
xv
dxdu
2cos
2
1

0.25 đ
Suy ra: I =
dxxx
∫
4
0
2sin
π
=
4
0
2cos
2
1
π

xx−
+
dxx
∫
4
0
2cos
2
1
π
=
4
0
2sin
4
1
π
x
=
4
1
0.25 đ
Suy ra:
dxxx
∫
+
4
0
2sin)1(
π

=
2
1
+
4
1
=
4
3
0.25 đ
Câu III:
Hình chóp tam đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .
Gọi H là tâm đáy, I là trung điểm của cạnh CD.
Đường cao của hình chóp là SH.
Xét tam giác vuông SHI , ta có :
SH = HI.tan60
0
=
1
2
a.
3
0.25 đ
Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
V =
1
3
a
2
.

1
2
a.
3
=
3
6
a
3
0.25 đ
( hình vẽ 0.5đ)
B.Phần riêng:
B.1: Chương trình chuẩn
Câu IVa. Giải:
1.Khoảng cách từ M(1;2;3) đến mp(P) là: d(M,(P)) =
1 2.2 3 3
3 3 6 6

6 2
1 4 1 6
− + +
= = =
+ +
0.5đ
Mặt cầu có tâm M(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) suy ra bán kính R =
6
2
. Vậy
phương trình mặt cầu là: (x-1)
2

+ (y-2)
2
+(z-3)
2
=
3
2

0.5đ
2.Đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc với (P) nhận véc tơ pháp tuyến của mp(P):

n
r
= (1;-2;1)làm vtcp.
0.25 đ
Suy ra phương trình tham số là:

1
2 2
3
x t
y t
z t
= +


= −


= +


, t
∈
R
0.25 đ
Toạ độ giao điểm H(x;y;z) của mp(P) và đt d là nghiệm của hệ:

1
2 2
3
x 2y z 3 0.
x t
y t
z t
= +


= −


= +


− + + =

⇔
1
2
3
5

2
1
2
x
y
z
t

=


=



=



= −



⇔
H
1 5
( ;3; )
2 2
0.25 đ
Câu Va : Giải phương trình : z

3
– 27 =0
Giải : z
3
– 27 =0
⇔
(z-3)(z
2
+3z +9) = 0
⇔
2
3
3 9 0 (1)
z
z z
=


+ + =

0.5 đ
Doilathe_aicungthe_anhkhac7491
Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009
Giải (1): ta có :
∆
= - 27
z
1
=
3 3 3

2
i− +
, z
2
=
3 3 3
2
i− −

0.5 đ
B.2.Chương trình Nâng cao:
IVb. Chứng minh rằng hai đường thẳng trên chéo nhau:
Đường thẳng d
1
:
1
3
2
2
1
1 −
=
−
=
− zyx
đi qua M( 1;2;3) có véc
tơ chỉ phương là:
u
=( 1,2,1).
0.25 đ

Đường thẳng d
2
:
2
2
2
x t
y t
z t
= − +


= −


= −

đi qua gốc toạ độ O(0;0;0) và có véc tơ chỉ
phương :

u
' = ( 1;-1;-1)
0.25 đ
Ta có:
OM
=(1,2,3)
Suy ra :
[ ]
OMuu ',
= -6

≠
0 suy ra hai đường thẳng trên chéo nhau.
0.5 đ
b. Mặt phẳng chứa d
1
và song song với d
2
đi qua điểm M(1,2,3) và nhận:

[ ]
',uun
=
=(-1;2;-3) làm véc tơ pháp tuyến .
0.25 đ
Suy ra phương trình mặt phẳng là:
-(x-1) +2(y-2) -3(z-3) = 0
0.5 đ
⇔
x -2y + 3z – 6 =0
0.25 đ
Câu Vb: Cho z
∈
C , biết z +z
-1
=
3
. Tính :A= z
2009
+ z
-2009

Giải: Từ z + z
-1
=
3

⇔
z
2
-
3
z + 1 = 0 phương trình này có hai
nghiệm :
z
1,2
=
3 1
2 2
i±
hay : z =cos
6
π

±
sin
6
π
.
0.25 đ
Sử dụng công thức Moa-vrơ , ta có: z

2009
= cos(2009.
6
π
)
±
isin(2009.
6
π
)
0.25 đ
z
-2009
=
2009
1 1
cos 2009. isin(2009. )
6 6
z
π π
=
 
±
 ÷
 
=
cos(2009.
6
π
)

m
isin(2009.
6
π
) 0.25 đ
Suy ra: z
2009
+ z
-2009
= cos(2009.
6
π
)
±
isin(2009.
6
π
) +cos(2009.
6
π
)
m
isin(2009.
6
π
)
= 2cos(2009.
6
π
) =2cos(

5
6
π
+ 167.
2
π
) = 2cos
5
6
π

= -
3
0.25 đ
Vậy : A = -
3
Doilathe_aicungthe_anhkhac7491
a
60
0
I
H
A
B
D
C
S