giai-tich-so-bai-giang-tom-tat.pdf

TRUONG DAI HQC DA LAT
KHOA TOAN - TIN HOC
x) LU ae

GIAI TICH SO

NGUOI BIEN SOAN
LE MINH LUU

5) Da Lat 2009 CR



Ă9 ni .cccccccccccccsccccceecsccceceesceceesssceeetssseeevsrsecentrses 1
Chng 1 Lý thuyt sai s.............................................................. 3
INRâđ
1.2
1.3
1.4
1.5

toi ¡0-:c::iiiiadaidiẳắẳaảảảaaaaa.
Quy tắc thu gọn số...........................................--2c c c2
Chữ số chắc, không chắc .............................................-........-.---Hai bài toán vỀ sai SỐ....................................
c2 Q nQ n HS.
Sai số các phép toán .................................--c.-c
nỌ n nn n n HH
xa

3
3

4
5
5

Chương 2 Xấp xỉ tốt nhất ............................................................. 8
2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn. ....................................... 8

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên fục................................ 12
2.3 Xấp xi tốt nhất trong không gian Hilbert.......................................... 17

Chương 3 Xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy ........................................ 19
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

Bài toán nội suy ..................................----cc
n n nn n n Sn Hn Ỳ
VY nà
Giải hệ đại số tuyến tính để xác định đa thức nội suy .............................
Phương pháp nội suy Lagrange ............................................-...-.-Trường hợp các mốc nội suy cách đều ........................................-....
Sai số của pương pháp nội suy LagTrange_.......................................--Chọn mốc nội suy tỐi Ưu .....................................-..---.-.----c2

Chương 4 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

19
21

22
23
24
26

_................................... 31

4.1 Dùng nội suy Lagrange tính gần đúng đạo hàm ................................... 31
4.2 Tính gần đúng tích phân ............................................-....---------- 32
Chương 5 Giải phương trình phi tuyến

............................................. 37

5.1 Phương pháp đồ thị ..............................................-...--....-..cc<2 37
5.2 Phương pháp chia đôi ...................................................-..-.-e<
<< 37
5.3 Phương pháp lặp đơn ............................................-.-...
{c2
S2 38

5.4
5.5
5.6
5.7

Phương
Phương
Giải đa
Giải hệ

pháp dây cung .............................................-.-..--<.
<< << <<
pháp tiếp tuyến ....................................- nà
thỨC ..................................--QC Q nỌ HS HH HH ky na
hai phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp đơn ....................

40
42
44
46

Chương 6 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính .................................. 47
6.1 Một vài khái niệm cần thiết ........................................--.
sàn 47


Giải tích số

2

6.2 Phương pháp Gauss_...............................................-..
c2
47

6.3
6.4
6.5
6.6
6.7

Phương
Phương
Phương
Phương
Phuong

pháp
pháp
pháp
pháp
phap

căn số....................................-----c cv.
lặp đơn giải hệ đại số tuyến tính..................................--Jacobi ......................................-.-.c2 S2 111112
Seldel..............................................-...-.c.-<
<< <<2
Gauss-Seidel ............ cc ccc cece cece cence eee eens te ceeaeeeseeneeeees

Chương 7 Giải gần đúng phương trình vi phan

51
53
53
55
57

.................................... 59

7.1 Phuong phap x4p xi lién ti€p ....... 0.
eee cee cee cece ee eee eee eeeeeeeeeeseees 59

7.2 Phương pháp chuỗi nguyên ........................................................ 61
7.3 Phương pháp Euler ................................................................2 62

7.4 Phương pháp Euler cải tiến ...........................................-..--.------- 65
7.5 Phương pháp Runge-Kutfa

Tài liệu tham Khao

.......................................................-- 66

................................................................... 68


Giải tích số

3

Chương 1

Lý Thuyết Sai Số
1.1 Các loại sai số
Trên thực tế khi đo một đại lượng hoặc xác định một đại lượng mà ta ký hiệu là a*,

thông thường không xác định được giá trị đúng mà chỉ biết được giá trị gan ding a. Vay
ta đã gặp phải sai số. Có nhiều loại sai số:
1. Sai số thực sự: Đại lượng

A := |a — g*|

gọi là sai số thực sự của a.

2. Sai số tuyệt đối: Nếu biết ^À„ > 0 sao cho
g—Aj¿
thì À„ gọi là sai số tuyệt đối cua a.

3. Sai số tương đối: Đại lượng

gọi là sai số tương đối của a.
1.2 Qui tắc thu gọn số
Gia sử ta có số gần đúng a được viết dưới dạng thập phân

ø = +(Ø,10? +... + 10 +... + đ;_;10?—°)
trong đó Ø; € {0, 1,2,..., 9}, /đ; > 0. Ta muốn thu gọn số ø đến hàng thứ j7. Gọi số ø là
số thu gọn đến hàng thứ 7 của số ø và phần vứt bỏ là /. Đặt:

a = 8,10? +... + „410?! + 8,107.

Trong đó: ổ, bằng đ; + 1 nếu 0,5 x 107 <

< 10? và bằng đ; nếu 0 <

< 0,5 x 10’.

Trường hợp — 0.5 x 10 thì B; = 0; nếu Ø; chan va B, = Ø; + 1 nếu Ø, lẻ. Như vậy
sai số thu gọn là đại lượng Ï}„¿ > 0 thỏa

|ø— a| < Tạ.


Giải tích số

Do

4

a = +(0g10? +... + Ø;10 + p),

ä = +(6;1ữ +... + 10 + đ,10)),
ta có

_

.

.

ja —@| = |(đ; — B;) x 10? +

| < 0.5 x 10.

Vi du: SO 7 ~> 3, 1415 ~ 3, 142 ~ 3, 14.
Chú ý
1. Sai số tuyệt đối không đặc trưng cho độ chính xác của phép đo mà chỉ cho phép ta
hình dung được độ gần nhau giữa giá trị đúng và giá trị gần đúng.
2. Sai số tuyệt đối cùng thứ nguyên với đại lượng đo.
3. Sai số tương đối đặc trưng cho độ chính xác của phép đo và khơng có thứ ngun.
4. Sau khi thu gọn số thì sai số tuyệt đối tăng lên.
Gọi ø* là giá trị đúng, ø là giá trị gần đúng và gọi ø là số sau khi thu gọn cua a thi

|ø”

— ø| < |a”
— a| + |ø — a| < Aa
+ Tạ.
1.3 Chữ số chắc và khơng chắc
Gia sử có số gần đúng ø viết ở dạng

a = +(Ø,10? +... + 10

+... + Ø,_„10?—°).

Với sai số tuyệt đối của a 1a A,. Cho s6 0 < w < 1. Néu A, < w x 10° thi chit s6 2;

gọi là chữ số chắc, ngược lại chữ số 6; gọi là chữ số không chắc.
Chữ số chắc với ¿ = 1 gọi là chắc theo nghĩa rộng. Chữ số chắc với w = 0,56 gọi là
chắc theo nghĩa hẹp.
Chú ý:

e Nếu Ø, là chữ số chắc thì đ;, Vj > ¿ cũng là chữ số chắc.
e Nếu Ø; khơng chắc thì Ø;, Vj < ¿ cũng không chắc.
e Một chữ số là chắc sau khi thu gọn số có thể nó khơng còn là chắc.
Trong kỹ thuật, người ta thường dùng ¿2 = 1 và nếu chữ số là chắc thì sau thu gọn

nó vẫn là chắc (0, 56 < œ < 1).

e Khi tính tốn, ta thường giữ lại các chữ số chắc và lấy phụ thêm từ 1 đến 2 chữ số

khơng chắc và có ký hiệu riêng để chỉ các chữ số không chắc này.


Giải tích số

5

e Sai số tương đối của một số khơng phụ thuộc vào vị trí dấu phẩy của nó (dấu chấm
thập phân).

1.4 Hai bài toán về sai số
Xét số gần đúng viết ở dạng thập phân

a = +(Ø,10? + đ;_¡10?~! +... + /đ;_„10~°).
Có hai bài tốn đặt ra:

Bài tốn 1:
Biết số chữ số chắc của a là +„, tìm sai số tương đối ổ„ của a. Gọi a2 là số a mà sau

khi đời dấu phẩy sao cho chữ số chắc cuối ở hàng đơn vị và toàn chữ số chắc. Ta có

Ø; x 10%~+° < a? < (8; + 1) x 10%—° < 10%,
Vậy

1

Ta. van

(B, + 1) x 101

Nếu khơng biết Ø, thì lấy

1

10° ~

1
Bp X 102-1

SS 9a S BO:

<

~~ 108-1!

.

Bai toan 2:

Biết sai số tương ddéi 1a 6,, tim s6 chit s6 chic y,. Gia sit biét 6, > 0, ta viét
dg = A10~-™ véi 0.1 < A < 1 và m là số nguyên. Dat z„„ là số a nhưng dời dấu chấm
thập phân sao cho z„„ có rn -+ 1 chữ số trước dấu chấm thập phân. Ta có:

Am < (Bp +1) x 10”,
suy ra

Aa = AmO8m = Om0a = A110

Boi vi

< A(B, + 1).

0,2 < À(6; + 1) < 10.

Vậy có hai trường hợp xảy ra
a. Nếu À(đ, + 1) < 1 thì A¿„ < 1 và đm„ có m + 1 chữ số chắc.

b. Nếu À x (Ø, + 1) > 1 thì A„„ < 10 và z„ có m chữ số chắc.


Giải tích số

6

Cuối cùng ta có thể kết luận, néu 6, = Tâm

0.1 <À

< 1vàÀ(Ø, +1)

n + 1 chữ số chắc, ngược lại a có rn chữ số chắc.

< 1 thì øa có

1.5 Sai số các phép tốn
Giả sử phải tìm đại lượng +; theo cơng thức
y=

f(t1, 22,

wey

En):

Goi x7, y*,7 = 1,2,...,n va 2%, y,7 = 1,2,...,n la cdc giá trị đúng và gần đúng. Nếu ƒ
khả vi liên tục ta có
ly — y" |
—

S

=

|f (21,

Of

(x1,

—

115 Lp)

— Ff (23,

1

€)|

saey Ơ;, sang In)

Ox

Me

i

—

2,

6 day 0; € [x;, x7],i = 1,2, ...,n. Ta c6 thé coi (do f kha vi lién tuc va x* kha gan z,),
Of (L1, +++, 9iy En) |

| OF (@1, --) Ln)

Do đó
Ay

va

6,

_

—

Of (x1,

7

5

lơ

A

os ;#n)
Asi

“.|Oln
f (x1, ..., Ln)

=—* =
2.
"yl

Ox;

——

Am.
‘

a. Sai số phép tính cộng, trừ:
y = ƒ(Œđ1,a...,nu) — »
i=1

Of (a1, Lo... Ln)
Ox;

i=l

Gia sit A,,, = max,_z7_{Az,}, và chữ số chắc cuối của z„„ ở hàng thứ k, (Àz„ =

10). Ta có:

Ay > Asm = 10%.

Do đó khi làm phép cộng, trừ nên qui tròn các z; đến mức giữ lại l hoặc 2 chữ số

bên phải hàng thứ k.

Chú ý: Khi trừ hai số gần nhau cần lấy các số với nhiều chữ số chắc vì khi trừ hai
số gần nhau kết quả mất chính xác.


Giải tích số

7

b. Sai số phép tốn nhân, chỉa:
Giả sử

=.

+

1) ---3

#p+1:

+

Dp

---; Ÿn

Khi đó

__

i

f(x,

05 Lp, wus En):

p

Iny =

)

n

lnz; —

¡=1

)

In x;

3—=p+l

SUY Ta
i=1

Néu 62m = max;_7,{0xi} va s6 chit s6 chic cla z,, la k thi dy > 6z,, và số chữ
số chắc của + không vượt quá k. Vi vay khi làm phép toán nhân, chia ta chỉ cần
lấy k + 1 hoặc k + 2 chữ số là đủ.
c. Sai số phép lũy thừa, khai căn và nghịch đảo:
Cho

—= z',œ € R,
by = |

đìn
dx.

A, = |aléz.

e Néu a > 1 thi dy > ôz tức là phép lũy thừa làm giảm độ chính xác.
e Néu 0 < a < 1 thi dy < dz tic 1a phép khai căn làm tăng độ chính xác.
e Néu a = —1 thi dy = dz va phép nghịch đảo có độ chính xác khơng đổi.


Giải tích số

8

Chương 2

Xấp Xỉ Tốt Nhất
2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn. 7 C X là đa tạp tuyến tính đóng của
X va f € X. Bai todn dat ra hay tim phan tu f* € L sao cho:

| f—F

|= inf lg — FI).

Dinh ly 2.1.1 Néu L la không gian con hữu hạn chiều của X thi voi moi f € X luôn tôn
tai f* € L théa

| f—F* |= inf lg —

FI).

(Phần tử f* gọi là phẩn tử xấp xỉ tốt nhất ƒ trên L).
Chứng minh: Xét

@={øe€L:|
ø |< 2 || ƒ lÙ c +.

Dễ thấy ©) là tập đóng, giới nội trong khơng gian hữu hạn chiều nên 2 14 Compact.

Xét hàm ó(g) :=|| ƒ — ø ||:
Ta có

lj(ø) — oh) = || ƒ — ø[ — Z = ° II

Sll(Œ—ø)— —) lEllh— øl[:

Do ø là hàm liên tục trên tập Compact © nên hàm ở đạt cực tiểu trên ©. Từ đó

l/⁄/c@: 2Œ) = min
ó(9).
gE
Mặt khác: Nếu ø € 7 \ © tức là g khơng thuộc 2 thi

lø—Zl>IIøzl=
l7 Ì
>2l|ƒII— l7 lIElƒ IEllZ
- ?|
(ở đây 0 chỉ phần tử không của không gian X). Bởi vậy Vợ € L\Q, thi|| g— ƒ ||>|| ƒ—® ||,
tức là
inf
—h||>||
f-—@||.

inf lg

Suy ra

hl2I f-8 |

Iƒ— # IE mè lÍ #—øl


Giải tích số

9
<|| f-—@ || < mt
inf lIø—h|
—h ||.

Do đó

|| #—F* I= min | fg I.

Định lý được chứng minh.

Chú ý: Sinh viên có thể tham khảo một chứng minh khác sau đây khi (trong định lý
trên) đã biết cơ sở của khơng gian tuyến tính 7, để thấy rõ hơn ý nghĩa vấn đề.
Giả sử {ø, ga, ..., g„} là các phần tử độc lập tuyến tính trong X. Đặt (bao tuyến tinh
của các phần tử {øì, ga,..., g„} trong X)
#101; 0a;...; 0u} != {>

i=1

agi,

a € R}.

Dễ thấy #{ø, øa,.... g„} là khơng gian con tuyến tính hữu hạn chiều trong X.
L = #†{q@. øa,.... g„}. Xét phiến hàm

Đặt

n

Fo(c) =|

Gợi

||,

= (œi,œa,..., c„) € R”.

i=l

Kí hiệu | c |= (0%, c?)? va dat K = {c € R”, |c |= 1} thi K C R® 1a tap compact

trong khơng gian hữu hạn chiều. Do Ƒo(c) là hàm liên tục trên tập compact nên đạt cực

tiểu tại cọ € K tức là

0
Fo(co) = min Fo(c).

Boi m khong thé 14 0 vi m = 0 thi Fo(co) = S77, coigi = 0, tttc 1a co; = 0, Vi. Diéu
nay kéo theo | cọ |— 0 là mâu thuẫn (vì cọ € K). Xét ham
n

F() =||Ư_ sø
i=1

— f I.

Nếu ƒ c L thì lấy ƒ” = ƒ. Nếu ƒ khơng thuộc L thì

inf F(c)=a>0;

cE Rr
nr

F(e) =|LƯ_„
%ø — ƒ lI>Ì deg I—llZI
=1

n

G.

=|¢|l| S> a
— | c|
=1

l - I f l.


Giải tích số

10

Dat c= (4,
Z,..., r7) thì
lel? Jel? °°"? la

, tức là c C J. Từ trên ta có

Fc) =|¢| Fol) | fF |3 m|e[— 7Í:
Dé thay rang m | c | — | f || 00 khi | c |— oo. Theo dinh nghĩa giới hạn, tồn tại

M >0, Vec R*, |e|>
M thì

Bởi quả cầu đóng

F(c)>a+1.

"

B(0,M) := {ce R", |c|< M}

là tap compact trong R”. Hon nifa Ƒ'(c) là hàm liên tục nên nó đạt cực trị trên 500, M).

Tức là tồn tại ê € B(O, M) sao cho Ƒ'(ê) = œ. Lấy
n

i=1

dé thay f* la phan tir x4p xi tot nhat f trong L.
Vi du: Xét X = L,[0, 1]. xét hé ham {gp = 2°,g, = 2’,g2 = 2, ...,9n = 2”}. Dat
LD := £91, 92; +5 Int = So ai’, a
¡=0

cR}

là tap các đa thức thực bậc không quá n va L là không gian con hữu hạn chiều của

Laj0, 1|. Theo Định lý 2.1.1 với mọi ƒ € La|0, 1| luôn tồn tại đa thức bặc không quá ø
la Q* sao cho

| f — QF |[z2[0,1)= min Il ƒ — ø |[rzto Tức là

(ic )~@(ø)f4z)` =mp ( Í Irú)- a(e\Pae)

Định nghĩa 2.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là lơi chặt (ngặt)
nếu V+,t € X,

| z lÍ=El| z l|E 1,l|z + ø |l= 2

thìz — 9.
Định lý 2.1.3 Nếu X là khơng gian lôi chặt và L là không gian con hữu hạn chiều
của X thì phần tử xấp + tốt nhất ƒ” là duy nhất.
Chứng minh: Đặt

ø = min || ƒ — ø


Giải tích số

11

có hai trường hợp xảy ra
1) Trường hợp ø = 0 > ƒ € L và ƒ* = ƒ. Tức ƒ” là duy nhất.
2) Trường hợp ø Z 0 thì f ¢ L va ø > 0. Giả thiết phản chứng, tồn tại ƒ7 và ƒfÿ, ƒ* # ƒÿ

đều là xấp xỉ tốt nhất ƒ. Khi đó

Taco:

l/—/l=e
Iƒ—/#ll=e
9 <|
--fii+.LAF ti jgye I#-#IL
LA 1
th}

_

I-#I2

#*

_

#*

_—8.,868_—

=naTta=®
Suy ra

|,

fees

2

Từ đó phần tử iri) cũng là phần tử xấp xi tốt nhất ƒ trên 7. Bây giờ ta xét hai phần

tử trong X là

5 và 2, Dễ kiểm tra rằng
|

và hơn nữa

ra
f-

FoR
f-

| = | ——~— | = 1,

f-fi

f-ff

0

0

,_,

2f-Uf+ fe)

| ———
+ ——= lÌ =l—————

ƒ-

= 2 | ————
0

Bởi X là lồi chặt nên

0

1.2

||=-|lf0

|

fief |= —2.0 =2
0

/-f _Í-B
0

Q

Vay ff = /ƒã và định lý được chứng minh.
Chú ý:
a. Nếu X là lồi chặt thì với hai điểm khác nhau trên mặt cầu đơn vị, đoạn thẳng nối

hai điểm đó khơng có điểm chung nào khác với mặt cầu trừ chính hai điểm này (ý nghĩa
hình học của khơng gian lồi chặt).

b. Không gian hữu hạn chiều 7#? và không gian Hilbert là lồi chặt.

c. Không gian Co¡¡ (không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, 1|) không lồi chặt. Thật
vậy, chỉ cần lấy phan tity (x) — 1,1/2() = z, ta có \, yo © Cio, và ||

|| = 1, |Ìa|| = 1.

Hơn nữa, dễ thấy | y: + yo ||= mazzeo.j|1 + «| = 2 nhưng ¿¡ Z yo, vay không gian


Giải tích số

Clo,1]

12

khơng lồi chặt.

d. Nếu tồn tại phần tử xấp xỉ tối nhất ƒ” của ƒ ta đặt ||ƒ — f*|| := En(f).
2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên tục Ca
Ký hiệu CI„„¡ là không gian các hàm liên tục trên [ø, 6| và Ù là tập mọi đa thức bậc
không quá 0.

Định lý 2.2.1 (Wallee' - Poussin) Gid sứ ƒ € Cian) va Qn € L. Nếu tôn tại n + 2

điểm phân biệt

sao cho

q € #ọ < #1 <... < #„ 1 SỦ,

sign{(—1)'(f
(z:) — Qn(a:))} = const,i = 0,1,2,...,.n+1,

thi

ø:= i=0,n+1
mìn |ƒ(¡) — Qa(4)| S Ea(4),

6 day E,(f) = mingez | ƒ —
Chứng minh: Nếu:

||

¡:— min |ƒ(œ) — Qa(ø)| = 0,
1—0,n+1

thì định lý là hiển nhiên.
Nếu ¿ > 0 ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại

E„(ƒ) min |ƒ(œi) — Qa()|
Xét P c L là xấp xi tốt nhất ƒ trên L. Khi đó:

| f—P |= En(f) <_min_|f(xs)
-— Qn(x2)]i=—0,n-+1
Ta có

IP() — ƒ(œ)| <|LP— ƒ
< mịn |ƒ(z¿) — Qa(:)|

Suy ra

sign|Q(a¡) — P(m,)]
= siøn{|Q(z;) — ƒ(z¿j)| + [ƒ(%¿) — P(œ;)]}


Giải tích số

13

= sign(Q(ai) — ƒ(z;)],¿ = 0, 1,2,...,m + 1.
Từ đó đa thức bậc øœ là (Q„ — P) đổi dấu œ + 2 lần trên {a, b] nên nó có ít nhất (n + 1)
nghiệm, vậy Q„(z) = P(z).
Xét

p=

nm |ƒ) — Qn(mi)| > rela,
max |f(r) — Qn(x)|

i=0,n+1

> min_|f(#;) — Qu(ai)| = p.
41=0,n+

Điều nay là mâu thuẫn va định lý được chứng minh.

Định lý sau đây là khá quan trọng về phần tử xấp xỉ tốt nhất trong C(„„ vì rằng ngồi
việc nó chỉ ra được phần tử xấp xỉ tốt nhất của ƒ liên tục mà nó cịn cho ta cách xác định

đa thức xấp xi tốt nhất Q,(z).

Dinh ly 2.2.2 (Chebyshev) Diéu kiện cần và đủ để Q„ là đa thức bậc không quá n

xấp xỉ tốt nhất của ƒ

Cu, là tôn tại (n + 2) điểm phân biệt,
g € #ọ < #1 <... < #„.1 € Ö,

sao cho

.

ƒ(¡) — Qa() = a(—1)' | ƒ — Q ||,
¿—=0,1,2,..,n +1,øœ = +1.

(Với œ = 1 hoặc œ = —1 và không phụ thuộc vào ¡. Day diém {x;}"75 được gọi là dấy

điểm Chebyshev.)

Định lý này có chứng minh khá phức tạp. Chứng minh chi tiết sinh viên có thể tìm

trong các tài liệu tham khảo. Dưới đây chỉ trình bày ngắn gọn để người đọc hình dung ý
tưởng và kỹ thuật của phương pháp chứng minh.

a. Điều kiện đủ: Đặt

=|| ƒ — @› ||:

„= min |ƒ(¡) — Qa())|:
4=0,n+1

Từ giả thiết và Định lý Wallee'-Poussin ta có

=u= mìn |ƒ(s) — Qa(øi)
< En(7) || ƒ — Qa ||= "

En(†) =|| ƒ — @» | :


Giải tích số

14

Tức là @)„ là đa thức xấp xi tốt nhất ƒ.
b. Điều kiện cần. Ta xây dựng n + 2 điểm Chebyshev như sau

v =| f — Qe |= En(ƒ).
Dat g = f — Q, va lay
Yo

=

4,

yi = min{g :|| ø() ||= v}.
Không mất tổng quát, xem

g(y1) = VD.

yo = min {y: 9(y) = —v};
ye [yi 5]

eee eee

Ym=

eee eee

min

€[Wm_—1.Ù]

eee eee eee ee eee

eee

{g: g()
= (—1)”r}.

Như vậy ta đã xây dựng được day {„}„—; bằng quy nạp. Nếu ?n < n + 2 thì bằng cách
xây dựng các dãy phù hợp người ta chứng minh được rằng trường hợp này không xảy

ra. Vậy m > n + 2. Khi đó ta chỉ cần lấy {go, 9ì, ..., a+¡ } làm day điểm Chebyshev va
Định lý được chứng minh.
Ta đã biết không gian Œ1„;¡ không lồi chặt nên vấn đề đặt ra là liệu định lý duy nhất
về phần tử xấp xi tốt nhất cịn đúng trong C1;;¡ khơng? Câu trả lời là vấn đúng. Điều đó
được chỉ ra trong định lý sau:

Dinh ly 2.2.3 Đa thức xấp xỉ đêu tốt nhất của f © Cia) trên L là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử P„ c L,Q„

P,
# Qn.

Xét đa thức

€ L đều là các đa thức xấp xỉ tốt nhất của ƒ và
P

Pat @n EL,
2

ta có

P,+Q

1

1
1

1

Vay

P

| PES
— = BCH).


Giải tích số

15

Điều này suy ra đa thức Par Qn cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất ƒ trên L. Giả sử dãy

{z;}z7ö là day Chebyshev ting voi $22 thì

Poles)
+ Qnl™) _ cay | — E2(/),í = 0/1,2,..,n +1,
2

Bởi vậy

2En(†) = |P(ai) — ƒ(¡) + QỨứ) — ƒ(z2)|

<Š |PŒ) — ƒ)| + |Q() — ƒ()|
<||P—fll+||Q-f lE 20):

Từ đó,

|P(xi) — f(xi)| = |Q(¡) — ƒ(¡)| = Ea), Vị.

Suy ra
P(,) — ƒ(¡) = À(Q(4¡) — ƒ(¡)), À; = £1.
Ta có,

2Em(†) = |P(¡) — ƒ(¡) + À;(P(i) — ƒ2))|
= (1+ A;)|P(xi) — ƒ(z,)|.

Suy ra 1+ A; = 2 titc la A; = 1. Cuối cùng ta có:

P (i) — f(®i) = Qn(2i) — f(a), Vt => T2) = Qa(), Vì.
Bởi P?„(z) và Q„(z) là các đa thức bậc ø trùng nhau trên + + 2 điểm nên P, (x) = Qn(z)

và định lý được chứng minh.

Dinh ly 2.2.4 Xdp xi tot nhdt của một hàm chắn (lẻ) cũng là một hàm chẳn (lê).

Chứng mình: Giả sử ƒ là chẵn thì khi thay z bởi —z ta nhận được
| f(—2) — f*(—2) |=| fz) — P(-2) |S En(f), Ve.
Từ đó ƒ*(—z) cũng là xấp xỉ tốt nhất ƒ. Bởi phần tử xấp xi tốt nhất là duy nhất ta suy ra

f*(x) = f*(—2), Vz. Tức là f* 1a ham chan.
a. Xấp xỉ đa thức bậc khơng Qo(z)

Cho ƒ € C†[a,b|. Hãy tìm đa thức bậc không )o(+) xấp xỉ tốt nhất hàm liên tục f

trên doan [a, 0].

Dit

Khi đó

m:=

min f(x), M := max f(z).

x€[a,b]

m< f(r)
z€[a,b]

Vz € {a, b|.


Giải tích số

16

Bởi Qo(z) là đa thức bậc khơng tức là hàm hang nén ta lay Qo(x) = #⁄ +™ va chi ra rằng

đa thức này chính là đa thức xấp xỉ tốt nhất f(x). Ta cé

Eo < Fle) —Qola) < ~S™,
vay

| F(x)
— Qo(x) IS

M-m

, Va € [a, |.

Giả sử ƒ(zo) = mm, Ƒ(zi) = M, zo, x1 € [a,b]. Dé thay rang zọ và z¡ là dãy điểm

Chebyshev bởi

M-m

ƒ(#o) — Qo(#o) = —
ƒ(z1)
— Qo1)

=

2

3

M —m
2

Theo Dinh ly Chebyshev, Qo 14 xp xi t6t nhat cha ƒ trên [ø, Ù|.

b. Xấp xỉ tốt nhất đa thức bậc một Q; (z)
Xét hàm ƒ(z) lồi liên tục trên |a,b|. Nếu ƒ(z) là tuyến tính thì đa thức xấp xỉ tốt
nhất cũng là ƒ(z). Giả sử ƒ(z) khơng là hàm tuyến tính và Q(z) = px + q là đa thức
xấp xi tốt nhất ƒ(z). Đặt (z) := ƒ(z) — (pz + q) thì U(z) cũng là hàm lồi nên đạt cực
trị tại điểm c € [a, | duy nhất. Theo Định lý Chebyshev thì có ba điểm Chebyshev ln
phiên, vậy hai điểm đầu và cuối phải là ø và b. Điểm cồn lại là điểm c € (ø, 0) mà tại đó
U(a) dat cu tri.
Ta có

Tir

Suy

U(a) = f(a)— (pa
+ 4) = a | ƒ — ! |,
U(c) = ƒ(6) — (pe+4) = —ø | ƒ — @ì |.
U(b) = f(b) — (pb
+ q)
=a
|| f—Q1 ||; a= 41.
U(b)
— U(a)
= f(b) — f(a) — p(b
— a) = 0.

ra

Dé tinh
g ta xét

p= 10=T0)
0 = U(a)
+ U(c)

= f(a) — (pa+ q) + fle) — (pe
+ q)


Giải tích số

17

= f(a) + f(c) — pla +c) — 24.

Vay

2q = f(a) + f() -

Suy ra

1

(a

_ J@)+ƒ() _ Ú)- ƒ())(a
+ ©)

2

2(b — a)

Cuối cùng ta dễ kiểm tra rằng đa thức Q,(x) = px + q thda cdc điều kiện của định lý
Chebyshev.

2.3 X4p xi tot nhất trong không gian Hilbert
Xét không gian Hilbert lHI và {e;}?°; là hệ trực chuẩn đây đủ, tức là
<

Gj, 65 >=

0:9

a

N

Span(e;) = H.
Với mỗi x € HH lập tổng Fourier

n

Sy i=

)

C¡©¡,

@œ-:

i=1

day c; :=< z, e¿ > là hệ số Fourier của z. Với mỗi nø € Ñ,

0 <||z — %¡ l=||z lÉ —2 < 8z,z > + | Sn IP
Tt

=llz|lỨ— ;ẻ.
¿—1

Vậy

n

SoG Sil

Điều này chỉ ra chuỗi

|?, VEN.

mm
"`. cƒ hội tụ và có bất đẳng thức Bessel
co

> Ga Sie [P.
i=l

Co
Chiing ta da biét 14 chuéi Fourier )>°",, cje; héi tu va hon nita x = 907°,
ciex.

Bây giờ, giả sử Họ là một không gian con đóng của khơng gian Hibert HI và z € H. Bài
tốn đặt ra là tìm họ € Họ sao cho

|# — ho lÍ= inf || 2 — ho [|= d(x, Ho).


Giải tích số

18

Giả sử ho = argminnen, | 2 — ho | va c6 dinh phan ti h € Họ bất kỳ. Với œ € R xét

ham
F(œ) :=||# — họ + œh |Ÿ.
Đạo hàm của
F 1a
Rõ ràng rằng

F'(œ) =2> +2ø

| b ||.

F(0) = min F(a) =|| x — ho ||? .
acR

Boi vay F’(0) = 0, tức là < x — ho, h >= 0 V6i moi h € Ap. Diéu này chỉ ra phần tử
z — họ trực giao với Họ, (z — họạ).L Họ. Hơn nữa,

ho = arg mịn | # — ho || :
Thực vậy với mọi h € Họ, ta có

lz— ð IÍ=|| ( — hạ) + (Ro — A) II?
=ll#~ ho | + |Í ho
— b |ƒ>|| z — ho |Ỉ Tức là họ — arg min;

| — họ ||. Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi h = ho.

Dễ thấy rằng nếu không gian Họ có số chiều hữu hạn thì phần tử xấp xỉ tốt nhất
họ = arg mìinzezw, |
— họ | tồn tại và duy nhất.