ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN pot

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4 điểm)
1. Giải phương trình:
( ) ( )
2
3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0x x x x x+ + − + − − =
2. Giải hệ phương trình:
( )
2 2
2 2
2 1
2 3 1 , ,
1
x y
y z x y z
xy yz zx

− =

− = ∈


+ + =


¡
Câu II (2 điểm)
Giả sử
, , ,A B C D
lần lượt là số đo các góc
·
·
·
·
, , ,DAB ABC BCD CDA
của tứ giác lồi
ABCD
bất kì.
1. Chứng minh rằng
sin sin sin 3sin
3
A B C
A B C
+ +
+ + ≤
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
sin sin sin sin
3
A
P B C D= − + + +
.
Câu III (1 điểm)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên
thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho

9
.
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC lần lượt tại các điểm
1 1 1
, ,A B C
. Đường thẳng
1
AA
cắt đường thẳng
1
CC
tại điểm
I
; đường
thẳng
1
AA
cắt đường thẳng
BC
tại điểm
N
; đường thẳng
1
BB
cắt đường thẳng
1 1
A C
tại điểm

P
. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
1
IPC
. Đường thẳng
OP
cắt đường thẳng
BC
tại điểm M. Biết rằng
BM MN
=
và
·
·
2BAC ABC=
. Tính các góc của tam giác ABC.
Câu V (1 điểm)
Cho hàm số
( ) ( )
: 0; 0;f +∞ → +∞
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
1
3 2 2
2
f x f f x x
 
≥ +
 ÷
 

với mọi
0x >
.
Chứng minh rằng
( )
f x x≥
với mọi
0x >
.
Hết
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………
Tham khảo đáp án: />