PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH LUYỆN THI ĐẠO HỌC 2017 NEW



 
GIẢI TÍCH I
Ứng dụng đạo hàm,
tích phân


To live is to fight

1. Nguyễn Minh Nhật
2. Nguyễn Văn Sơn
3. Tống Văn Xuân
4. Nguyễn Đức Bình
2014

PRO
XE QS1
5/24/2014
2

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
VíDụ2.42(trang152):Mộtbồnnướccóhìnhnónngượcvớibánkínhđáy
2m
vàcao
4m
.
Nếunướcbơmvàobồnvớivậntốc
2 /m s
thìvậntốcmứcnướcdânglênlàbaonhiêukhi
mựcnướclà

2m
.
Lờigiải:    2m
Hìnhvẽ
H=4m r 
h
Gọi
h
làchiềucaomựcnước,
r
làbánkínhbềmặtnước,
V
làthểtíchnướchiệncó.Theo
tínhchấtđồngdạngcủatamgiácdễdàngsuyrađược
4h r

4
h
r
 

Tacó:
2 2 3
1 1 1
3 3 4 48
( )
h
V r h h h
  
  


3
2
. .(3 )
48 48
dV dh dh
h
dt dt dt
 
  

Theogiảthiếttađãcó
2
dV
dt

vàtại
2
h

thì:
2
2
2 (3.2 ). 0,64( / )
48
dh dh
m s
dt dt



   
.
VíDụ2.45:Điệntrởsuấtρtỷlệnghịchvớitínhdẫnđiệnvàđượcđotheođơnvịôm–mét
(Ωm).Điệntrởsuấtcủakimloạiđãchophụthuộcvàonhiệtđộtheophươngtrình
( 20)
20
( )
t
t e

 


trongđótlànhiệtđộtheođộ
o
C,αgọilàhệsốnhiệtvà
20

điệntrở
suấttại20
o
C.Ngoạitrừnhiệtđộrấtthấp,điệntrởsuấtbiếnthiêngầnnhưtuyếntínhvới
nhiệtđộ.VìvậynóichungcóthểxấpxỉbiểuthứctheokhaitriểnTaylorbậcnhấthoặcbậc
haicủanótait=20.
a)Tìmbiểudiễnxấpxỉtuyếntínhvàbậchaicủađiêntrởsuất.
b)Vớiđồngtrabảngtacóα=0,0039/
o
Cvà
20


=1,7×10
-8
Ωm.
Lậpđồthịcủađiệntrởsuấtcủađồngvàxấpxỉtuyếntính,bậc2với-250
o
C≤t≤1000
o
C.
c)Vớigiátrịnàocủat,xấpxỉtuyếntínhkhônglệchquábiểudiễnmũ1%.
3

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Giải:
a)TheokhaitriểnTaylortạit=20tacó:
 
 
20
( ) 1 20
t t
  
  
làbiểudiễnxấpxỉtuyếntính.
 
2
20
1 ( 2
( ( 20))
2
0)
!

t
t
t

 


 
 
 
 

làbiểudiễnbậc2củađiệntrởsuất.
b)Đồthịcủađiệntrởsuất:

Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉtuyếntínhcủađiệntrởsuất



Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉbậchaicủađiệntrởsuất:

4

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
 
c)Theođềbàicónghĩalàsaisố
 
 
2
1

20
0,01
2!
t
R


 
 
20 0,02 16,26 56,26
t t

      
(
o
C)

Vídụ2.46.Nếusóngnướcvớibướcsóng
L
chuyểnđộngdọctheothânnướcđộsâu$d$
nhưHình2.34thì
2
2
tanh ,
2
gL d
v
L




với
v
làvậntốctruyềnsóng.
a) Đốivớinướcsâu,chỉrarằng
2
gl
v



b) Đốivớinướcnông,dùngkhaitriểnMaclaurinvới
tanh
đểchỉrarằng
.v gd

Như
vậy,vớinướcnông,vậntốctruyềnsóngđộclậpvớibướcsóng.
c) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylorđểchỉrarằng,nếu
10L d
thìước
lượng
v gd
làtốttrongkhoảng
0,024gL

Hìnhvẽ:
  L
  d
Giải :

a) Khinướcsâutứclà
d  
hay
2 d
L

 

Mặtkhác
lim 1.
x x
x x
x
e e
e e







5

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Nênkhi
d  
thì
2
tanh 1

d
L



Từđósuyra
2
gL
v




b) Tacó:
2 2
2 2 2
sinh sinh .cosh cosh .sinh cosh sinh 1
( )
cosh cosh cosh cosh
( )
x x x x x x x
tanh x
x x x x
 
 


   

Vậy

2
1
tanh (0) 1.
cosh (0)

 

SửdụngkhaitriểnMaclaurinchohàm$\tanh$tathuđược:
tanh'(0) 1
tanh tanh(0) . ( ) 0 . ( ) ( )
1! 1!
x x o x x o x x o x
       

Suyrakhi
0x 
thì
tanh x x

Ápdụngvới
2
0( 0)
d
x d
L

  
tađược:
c)
2

2 2
.tanh .
2 2
gL d gL d
v gd v gd
L L
 
 
    

d) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylortacó
2
2
1
( ) .
2!
| |
M
R x x


2
( )| |M Sup f x



Trongđó
( ) tanhf x x

Tasẽkhảosát

( )
| |
f x

đểtìm
2
M

2 3
( ) ( ( )) (cosh ) 2cosh .sinhf x f x x
   
 
   

4 2 3
( ) | 2 3cosh .sinh cosh .cosh
| ( )
f x x x x x
 
 
  

6

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
2 2
2cosh (1 3tanh )x x

 


Do
2 2
10 .
10 5
d d
L d
L d
  
   

0, .
5
( )
x

 

Do
tanh x
làhàmđồngbiếnnên
2
1 3tanh 1 3tanh( ) 0,0696 0
5
x

    

Nên
( )| |f x


làhàmđồngbiến
Vậy
3
( ) 2cos ( )siS
n ( ) 0,
u
768
5
p
5
| |f x h
 


 

Suyra
2 2
2
1
0,768
| ( ) | 0,15154
2! 2
M
R x x x  

Suyra
2
v
tốttrongkhoảng

1
0,15154
. 0,024
2 2
Ld Ld
R Ld
 
 

Vídụ2.48.Biếtrằng,cườngđộđượcchiếusángtừmộtnguồnsángnàođótỷlệthuậnvới
cườngđộcủanguồnvàtỷlệnghịchvớibìnhphươngkhoảngcáchđếnnguồn.Hainguồn
sángcườngđộnhưnhau,đặtcáchnhau
10
tácđộnglênđiểmPtrênđoạnABcáchđódmét.
a)Tìmbiểuthứcchocườngđộđượcchiếusáng
( )I x
tạiđiểmP.
b)Khi
5 ,d m
chứngtỏrằng
( )I x
cựctiểutại
5,x 
tứclàkhiPlàtrungđiểmAB.
c)Xétlạicâua),b)trongtrườnghợp
10,d 
chứngtỏcựctiểukhôngđạtđượctạitrung
điểm.
Hìnhvẽ A x P B
 d


 10m
7

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Giải :
a) Gọicườngđộ2nguồnsánglàIthì
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
( ) ( ) ( )
(10 ) (10 )
( )
kI kI
I x I x I x kI
x d x d x d x d
     
     

Đặt
5x X 
thì
( 5,5)X  
và
( )I kIf X
với
 
f X
là
2 2 2 2

1 1
( 5) ( 5)
X d X d

   

Tasẽđikhảosát
( )f X


2 2 2 2 2
2( 5) 2( 5)
'( )
[( 5) ] [( 5) ]
X X
f X
X d X d
   
 
   

Đặt
2 2 2 2
( 5) , ( 5)
A X d B X d     
Thì

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2

2 2
2 2
2 2
2 2
'( ) [( 5) ( 5) ] [ ( ) 5( )( )]
2
[ ( ) 5( 20 )( )]
2
[100( ) ( )]
f X X A X B X A B A B A B
A B A B
X A B X A B
A B
X
A B A B
A B
 
        

    
   

Tacó
2 2
2 50 2A B X d   
và
2 2 4 2 2 4 4 2 2 4
( 5) 2 ( 5) ( 5) 2 ( 5)
A B X d X d X d X d          


4 4 2 2 2 4
4 2 2 2 4
[( 5) ( 5) ] 2 [( 5) ( 5) ] 2
(2 300 1250) 2 (2 50) 2 )
X X d X X d
X X d X d
        
     

Từđótacó:
2 2
2 2 4 2 2 4 2
4 2 2 4 2
100( ) ( )
200 5000 200 [2 (300 4 ) 2 100 1250]
2 (100 4 ) (3750 2 100 )
A B A B
X d X d X d d
X d X d d
  
        
      

Trongtrườnghợp
5d 
tacó:
8

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
2 2 4 2

2
100( ) ( ) 2( 100 2500)
2[ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)]
A B A B X x
X X X
      
       

Vàtacóđược
2
2 2
4 [ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)]
( )
X X X X
f X
A B
      



( ) 0
f X


khi
0X 
hoặc
5 2( 2 1)
X
  


Tacóbảngbiếnthiên
X
-5
5 2( 2 1) 
0
5 2( 2 1)
5
F’(X)

 + 0 - 0  + 0 -
F(X)
 
0,048 0,04 0,048
Từbảngbiếnthiêntarútrađượcgiátrịcựctiểucủa
( )I x
đạtđượckhi
0X 
haycũngnhư
5x 

b) Xétvới
10d 
thì:
2 2
4 2 2 4 2 4 2
4 2
100( ) ( )
2 (100 4(10) ) (3750 2(10) 100(10) ) 2 500 6250
2( 250 3125) 0 ( 5,5)

A B A B
X X X X
X X X
  
          
       

Nhưvậy
4 2
2 2
4 ( 250 3125)
(X)
X X X
f
A B
  



( ) 0
f X


chỉkhi
0.X 
Tacóbảngbiếnthiên:
X -5 0 5

f’(X)

 + 0 -

f(X)
 f(0)
Từđâytasuyravới
10d 
thìgiátrịcựctiểucủa
( )I x
khôngđạtđượctạitrungđiểm.


9

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Vídụ2.52.Khicábơivớitốcđộtươngđối
v
sovớinước,nănglượngsảnracủanótrênmột
đơnvịthờigianlà
3
.v
Ngườitathấyrằng,cádicưcốgắngcựctiểuhóanănglượngtổngthể
đểbơimộtkhoảngcáchnhấtđịnh.Nếuvậntốcdòngnướclà
a
vàcábơingượcdòngnước
( )a v
thìthờigiancầnbơiđượckhoảngcáchLlà
L
v a
vànănglượngsảnralà
3

( ) . ,
L
E v qv
v a


trongđó
q
làhằngsốtỷlệ.
a) TìmgiátrịvlàmcựctiểuE.
b) VẽđồthịcủaE
(Kếtquảnàyđượckiểmnghiệmbằngthựcnghiệm:Cádicưbơingượcdòngnướcvới
vậntốcgấprưỡilầnvầntốcdòngnước).
Giải :
3
( ) . . ( )
v
E v qL qL f v
v a
 


Takhảosát
3
( )
v
f v
v a




2
2 3
2 2
3
2
3 ( )
2
( )
( ) ( )
( )
a
v v
v v a v
f v
v a v a

 

 
 
( ) 0
f v


khi
1,5v a

Khi
v a



thì
( )E v  
Khi
v  
thì
( )E v  
.Khi
1,5x a

thì
3
27
( )
4
E v qa

.Ta
cóbảngbiếnthiên:
v a 1,5a


f’(v)

 - 0 +
f(v)


3

27
4
a

Dựavàobảngbiếnthiêntathấykhi
1,5v a
thì
( )E v
đạtgiátrịcựctiểu.
c) ĐồthịE:
10

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.

Vídụ2.53.Đểkhảosátvậntốctruyềnâm
1
v
ởmặttrên,
2
v
ởmặtdướicủamạchđádộdày
h
(biếtrằng
1 2
v v
),ngườitachonổmìntạiđiểmPvàtínhiệughilạitạiđiểmQ,cách
nhau$l$.TínhiệuđầutiêntruyềnquabềmặtQmất
1
T
giây.Tínhiệutiếptheođược

truyềntớiđiểmR,từRtớiS(R,Sthuộclớpdưới),rồitừSđếnQmất
2
T
giây.Tínhiệu
thứbaphảnquamặtdướitrungđiểmOcủađoạnRSvàmất
3
T
giâyđểđếnQ.
a) Biểudiễn
1 2 3
, ,T T T
theo
1 2
, , , .l v v


b) Chứngtỏrằng,
2
T
cựctiểukhi
1
2
sin .
v
v



c) Giảsử
1 2 3

1 , 0,26 , 0,32 , 0,34 .l km T s T s T s   
Tìm
1 2
,v v
và
.h

Hìnhvẽ: P v
1
 Q


   

 h
  R v
2
S

Giải:
a)Tacó
1
1 1
PQ l
T
v v
 

11

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
2
1 1 2 1 2
2
)
PR QS RS PR QS
b T
v v v v v
    
1 2
2 1 2 tan
. .
cos
h l h
v v



 
2 2
2 2
3
1 1 1 1 1
2
2 4
2
.
( )
l
h

PO OQ PO h l
T
v v v v v


    

2
1 2 2
2 1
) ( ) . .tan
cos
h l h
b T
v v v
 

  


2
2 2
1 2
2 sin 2 1
( ) . .
cos cos
h h
T
v v



 

 

1
2 2
1 2 1 2
2 sin 1 2
sin
cos cos
( ) ( )
h h v
v v v v


 
   

Dođó
2
)
'
( 0
T


khivàchỉkhi
1
2

arcsin
v
v


vàđổidấutừâmsangdươngnên
1
2
arcsin
v
v



làđiểmcựctiểu.
c)Tacó
1 1
1 1
1
3,85 /
0,26
l l
T v m s
v T
    

2 2 2 2
3 1
3
1

4 ( )
4
h l T v l
T h
v
 
  

Thay
3 1
0, 3,85 , 1T v s l  
Tacóluôn
0,42h km

2
1 2
2 1 2 tan
.
cos
h l h
T
v v



 

1
2
1 2

1
2 . .
2 1
cos
.
cos
v
l h
h
v
v v



 

1
2
2 1 2
2 1
cos
( )
l h v
v v v

  

12

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.

2 2
2 2
2 1
2 2 1
2
2 2
2 2 1 2 1 2
2 1
2
2
.
h v v
l hv v v l
v v v v v v
v v


   


2
2
2
2
0,84 14,82
1
0,32
3,85
v
v v


  

2
2 2
1 0,22 14,82 0,32v v
   

2
2 2
0,22 14,82 0,32 1
v v
   

2 2
2 2 2
0,0484( 14,82) 0,1024 0,64 1
v v v
    

2
2 2
0,054 0,64 1,71288 0
v v
   

2
2
7,76
4,016

v
v






 
Vídụ2.54.KíhiệuRlàphảnxạcủacơthểđốivớikíchthíchcườngđộ
.x
Độnhạy
S
được
coilàvậntốcbiếnthiêncủaphảnxạđốivới
.x
Chẳnghạn,khiđộsáng
x
củanguồntăng
lên,mắtphảnứnglạibằngcáchgiảmdiệntíchRcủađồngtử.Côngthứcthựcnghiệm
0,4
0,4
40 24
1 4
x
R
x




dùngđểmôhìnhhóasựphụthuộcRvào
x
,trongđóRđobằngmilimét
vuông,xđobằngđơnvịnguồnsáng.
a) TínhđộnhạyS.
b) VẽđồthịRvàStheox,thấygìkhixnhỏ.
Giải:
a)
0,4 0,4 0,4 0,4
4
0,4 2
(40 24 ) (1 4 ) (1 ) (40 24 )
(1 4 )
x
x x x x
S R
x

 
   
 


0,6 0,2 0,6 0,2
0,4 2 0,4 2 0,6
9,6 38,4 64 38,4 54,4
(1 4 ) (1 4 ) .
x x x x
x x x
   

   
 
 

b)khixnhỏtacó
0,4 2 0,6
0,6
2 0,4 2 0,6 0,4 2 0,4 2
54,4 (1 4 ) 54,4.
.  0,034
(1 4 ) . (40 24 ) (40 24 )
S x x
x
R x x x x


  
   
  

13

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Hay
2 0,6
 0,034 .S R x

 



BÀITẬPCHƯƠNGII.
Bài40.Cho
2
1200cm
vậtliệuđểlàmmộtchiếchộpđáylàhìnhvuôngvàkhôngcónắp,tìm
thểtíchlớnnhấtcóthểcủahộp.
 x
Hìnhvẽ:
 h


Giải:
Gọi
x
làđộdàicạnhđáyvà
h
làchiềucaocủahộp.
Từđónhờvàogiảthiết
2
4 1200hx x 
tacómốiquanhệgiữa
h
và
x
là:
14

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
2
1200

x
h
x



Mặtkhác
2
2 2 2
1200
. (1200 )
x
V x h x x x
x

   

2
( ) 1200 3 3(20 )(20 )V x x x x

    

 
’V x
đổidấutừdươngsangâmquađiểm
20x 
chonênđạtgiátrịcựcđạikhi
20.x 

Thểtíchlớnnhấtđạtđượclà

2 2
20(1200 20 ) 16000
cm
 
tức16lít.

Bài41:Mộtchiếcthangdài
20m
đặtdựavàotòanhà.Đỉnhcủathangbắtđầutrượtxuống
theobứctường.Khoảngcáchtừđỉnhcủathangtớiđấtthayđổivớitốcđộbaonhiêukhigóc

giữathangvàmặtđấtlà
30

vàthayđổivớitốcđộ
2 /rad s
?
Hìnhvẽ: 
 x 20m
φ
Giải:
Đặt
x
làkhoảngcáchtừđỉnhthangtớiđấtthìtacó:
20sinx


20sinx




sin
20.
dx d
dt dt

 

20.cos .
dx d
dt dt


 

Tạithờiđiểm
6



thìvốctốcgócbiếnthiênvớitốcđộ
2.
d
dt


Thayvàotathuđược
20cos .2 20 3
6
dx

dt

 

15

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Bài42.Mộtquảkhinhkhícầu,đầutiênđượcbơmvàothểtíchlênđến
3
30000 ,m
bịbungra
mộtlỗthủnglàmchobánkínhgiảmđivớivậntốc2mmộtphút.Tạithờiđiểmkhibánkính
là3m,khínóngthoátrakhỏikhinhkhícầuvớivậntốc
3
( / )m ph
baonhiêu?
Giải :
Theocôngthứcthểtíchkhốicầutacó:
3
4
3
V r



3
2
4 4
. 3 .
3 3

dV dr dr
r
dt dt dt

 

Khibánkínhkhinhkhícònlà
3m
vàvới
dr
dt
luônlà2mmộtphútthìtađược:
2 3
4
.3.3 .2 72 ( / )
3
dV
m ph
dt
 
 

Bài45:
Mángnướcdài
10m
vàthiếtdiệnngangcódạnghìnhthangcânđáydưới
30 ,cm
đáytrên
80cm
vàcao

50 .cm
Nếumángđượcbơmvớivậntốc
3
0,2 / ,m ph
mựcnướcdânglênvớivận
tốcbaonhiêukhinướcsâu
30 ?cm

Hìnhvẽ: 80 x

 A B

 C 30 D
Giải:
GọithiếtdiệnngangcủamựcnướcđangcótrongmánglàhìnhthangABCD
,x
làchiềucao
củahìnhthang,nhưvậynócũnglàđộsâucủamựcnước.
Tacó:
16

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
( ) 0,3
.10 .10 .5
2
ABCD
AB CD x AB
V S
x
 

  

Màtheotínhchấtđồngdạngtacó
50 8
80 5
x
AB x
AB
  

2
8
0,3 .5 8 1,5
5
( )
V x x x x
    

16 1,5 (16 1,5)
dV dx dx dx
x x
dt dt dt dt
    

Khiđộsâucủanướclà
0,3m
tức
0,3x 
vàluôncó
0,2

dV
dt

thìtarútrađược:
0,2 2
0,03( / )
16.0,3 1,5 63
dx
m ph
dt
  


Bài46:Mộtnôngdânmuốnràolạibãicỏhìnhchữnhậtdọcmộtconsông,cạnhdọcsông
khôngcầnphảirào.Ôngcó
1000m
lướisắtđểrào.Diệntíchbãicỏlớnnhấtmôtảởtrêncó
thểràođượclàbaonhiêu?
Giải:
Gọi
x
làchiềurộngbãithìchiềudàibãisẽlà
1000 2 .x

Suyra
(1000 2 )S x x 

( ) 1000 4 4(250 )S x x x

   


Tathấy
( )S x

đổidấutừdươngsangâmquađiểm
250x 
chonênSđạtcựcđạikhi
250x 
vàbằng
2
250(1000 2.250) 500.250 125000m
  

CHƯƠNGIII
Vídụ3.46.Việcthởlànhữngvòngtuầnhoàn,mỗivòngtínhtừlúcbắtđầuhítvàođénlúc
kếtthúcthởra,thườngkéodài
5 .s
Vậntóccựcđạicủakhílà
 / ,V l s
vìthếnóđượcmôhình
hóabởi
2
( ) sin .
5
t
v t V


DùngmôhìnhnàyđểtínhthểtíchkhíKhítvàophổitạithờiđiểmt,
ápdụngvới

0,5, 2V t 
.Khinàotrongphổicónhiềukhínhất?
Giải:
17

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Tacó:
0
2 5 2 5 2
( ) ( ) sin . cos 1 cos
0
5 2 5 2 5
( )
t
t
x V t
K v t t K K v t t V dx V
  
 
            
 

Vídụ3.47.Trongmộtmẻcấy,sốlượngbanđầucủavikhuẩnlà500,sốlượngnàytănglên
theovậntốc
1,1257
( ) 450
t
v t e
vikhuẩntrong1giờ.Sẽcóbaonhiêuvikhuẩntrongbuồng
cấysau3giờ?

Giải:
Tacó:
( )V v t t  

1,1257 1,1257
1,1257
0 0
450. 450. 450
( ) ( ) 450
0
1,1257 1,1257
x t
t t
x
t
e e
V V v t t V x dx e dx

        
 
 
Sau3hthìsốlượngvikhuẩnsẽlà
1,1257.3
450. 450
: 500 11800
1,1257
e 
 

Vídụ3.48.TheođịnhluâtArchimede,lựcđẩytácđộnglênvậtnhúngmộtphầnhaytoànbộ

vàochấtlỏngbằngtrọnglượngcủachấtlỏngmàvậtchiếmchỗ.Vật,vậtcókhốilượngriêng
0

nhúngmộtphầntrongchấtlỏngvớikhốilượngriêng
l

(Xemhình)sẽchịumộtlựcđẩy
0
( ) ,
l
h
F g S y dy




trongđó
g
làgiatốctrọngtrường,
h
làmứcngậpnướctốiđacủavật;
( )S y
làdiệntíchthiếtdiệncủamặtcắtbởimặtsongsongvớimặtchấtlỏngtạiđộsâu
y

Hìnhvẽ:
 k


  -h 

a) Chiềucaocủaphầnnổicủavậtlà
k
,chỉracôngthứctínhtrọnglượngvật.Chứngtỏ
rằng,tỷlệphầntrămcủathểtíchvậtnổitrênmặtchấtlỏnglà
0
100.
l
l
 



b) Khốilượngriêngcủabăngvànướcbiểnlầnlượtlà
3
917 /kg m
và
3
1030 / .kg m
Tínhtỷ
lệphầntrămthểtíchbăngnổitrênmặtnướcbiển.
18

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Giải:
a) Trọnglượngcủavậtlà:
0 0
. . . . ( )
k
h
g m g V g S y dy

 

 


Dovậtcânbằngnêntalạicó:
0
( )
k
l
h h
g g S y dy
 
 

 

0 0
0 0
0
( ) ( ) ( )
k
l
h h
g S y dy g S y dy g S y dy
  
 
  
  


0 0
( )
noi
l
chim
V
g g g
V
  
  

0 0
0 0 0
( )
l noi l noi
chim l chim noi
V V
V V V
   
   
 
   
  

0
l noi
l
V
V
 



 

Từđâytasuyrangaytỷlệphầntrămcủathểtíchvậtnổitrênmặtchấtlỏnglà
0
100
l
l
 



b) Ápdụngkếtquảcủacâua)với
3
0
917 /kg m


và
3
1030 /
l
kg m


tacótỷlệphần
trămthểtíchbăngnổitrênmặtnướcbiểnlà:
1030 917
100 11%

1030



Vídụ3.49.Giảsửkhốilượng(kểcảnhiênliệu)banđầucủatênlửalàm,tốcđộtiêuhao
nhiênliệulà
,r
vàluồngkhíphụtracóvậntốctươngđối(vớitênlửa)là
.
k
v
Vậntốccủatên
lửaphóngthẳngđứngtạithờiđiểm
t
đượcmôhìnhhóabởiphươngtrình
( ) .ln ,
k
m rt
v t gt v
m

  

Trongđóglàgiatốctrọngtrường,tkhôngquálớn.
Nếu
2
9,8 / , 30000 , 160 / , 3000 /
k
g m s m kg r kg s v m s
   

tìmchiềucaotênlửasaukhi
phóngđược1phút.
19

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Giải :
Tacó
0
( ) ( ) ln
[ ( )]
t
k
m rt
h v t t h h v t t gt v dt
m

          
 


2
0
. ln
0
2
( )
t
k
t
t m rt

g v dt
m

  


2
0
.ln ln 1
0
2
( ) ( )
t
k k
t
t m rt rt
g v t v td
m m

    


2
0
.ln .
2
1
( )
t
k k

r
t m rt
m
g v t v t dt
rt
m
m


   



2
0
1
.ln 1
2
1
( ) ( )
t
k k
t m rt
g v t v dt
rt
m
m

    




2
.ln . .ln 1
2
( ) ( )
k k k
t m rt m rt
g v t v t v
m r m

     

2
ln 1
2
( )( )
k k
t rt m
g v t v t
m r
     

Thay
2
9,8 / , 30000 , 160 / , 3000 /
k
g m s m kg r kg s v m s
   
vàobiểuthứcởtrêntađược

kếtquảxấpxỉ
14842 .m

Vídụ3.52:Cácnhàthiênvăndùngkỹthuậtsaokếđểxácđịnhmậtđộsaotrongmộtchòm
saotừmậtđộsaotrongmộtchòmsaotừmậtđộchòmsaoquansátđược(haichiều)màcó
thểtínhtoánđượctừmộtbứcảnh.Giảsửrằng,trongchòmsaohìnhcầubánkínhR,mậtđộ
chòmsaochỉphụthuộcvàokhoảngcáchrtừtâmcủachòmsao.Nếumậtđộchòmsaonhận
đượclày(s),trongđóslàkhoảngcáchhaichiềuquansátđượctừtâmcủachòmsaovàx(r)
làmậtđôthực,cóthểchứngminhrằng
2 2
2
(s) ( ) ( )
R
s
r
y x r d r
r s




20

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Nếumậtđộthựccủacácngôisaolà
2
1
( ) ( )
2
x r R r 

,tìmmậtđộnhậnđượcy(s)
Giải:
Tasẽtínhnguyênhàm
2
2 2
( )
r R r
dr
r s




Nhưvậytasẽcó:
2
2 2 2
2 2 2 2
( )
( )
r R r dr
dr Ar Br C r s
r s r s


    
 
 

Đạohàm2vếtathuđược:
2

2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) 1
(2 ) ( ).
r R r r
Ar B r s Ar Br C
r s r s r s


      
  

2 2 2 2
( ) (2 )( ) ( )
r R r Ar B r s r Ar Br C

        

3 2 2 3 2 2 2 3 2
2 (2 2 ) ( )r Rr R r Ar As r Br Bs Ar Br Cr

          

3 2 2 3 2 2 2
2 3 2 ( 2 )
r Rr R r Ar Br r C As Rs

        

Cânbằnghệsố2bêntathuđược:

2 2
2
1 3
2 2
2
0
A
B R
C As R
Rs




 


 


 

2 2
2
1
3
2
3
A
B R

C s R
Rs





 




 





Thayvàotađượckếtquảcủanguyênhàm:
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 1 2
( )
3 3
( )
r r R dr
dr r R r r R r s Rs
r s r s


      
 
 

21

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Dotíchphân
2 2
dr
r s

làtíchphânquenthuộctrongbảngnêntadễdàngtínhđược.
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( ) 1 2
( ) ln( )
3 3
( )
r r R
dr r R r s R r s Rs r r s
r s

        



Từđótacókếtquả:
2

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( ) 1 2
( ) ( ) ln( )
3 3
( )
R
s
R R
r r R
y s dr r R r s R r s Rs r r s
s s
r s

         


2 2 2 2 2
1
(2 ) ln( )
3
s R Rs R R s
    
.

Vídụ3.53.Ăngtenparaboltạothànhbởiquayđường
2
y ax

quanhtrụcOy.Chođường

kínhcủaăngtenlà3mvàđộsâucựcđạilà
60 ,cm
tínhhệsố
a
vàdiệntíchcủaăngten.
Giải :Từgiảthiếttacóđược
2
1
0,6 .3
15
a a
  

Vậy
2
1
15
y x


15x y
  
Từđótacó:
3
2
2
2 2
0,6 0,6
0 0
15

15
0,6
15 15
4
2 15 1 2 15 2
3
0
4.15 4
.15
2
( )
y
S y dy y
y
  

    
 
3
2 2
2 2
2
4 15 15
15.0,6 29,38
45 4 4
[( ) ( ) ]
m

   


BÀITẬP
Bài26.Chiềucaocủalănglà
20 .m
Thiếtdiệnngangtạichỗcáchđỉnh
( )x m
làtamgiácđều
cạnh
 
.x m
Tínhthểtíchcủalăng.
22

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
Giải:
Tacó:
3
20
2 2 3
0
20
3 3 3. 2000 3
0
4 4 4 3 3
x
V V x x x dx m
      
 


Bài27:Chấtđiểmchuyểnđộngtheomộtđườngthẳngsautgiâyđạtđượcvậntốc

2
/ .
t
v t e m s


Tínhquãngđườngnóđidượctrongtgiâyđầutiên?
Giải:
Tacó
( )S v t t  

2 2 2
0 0
)
0
( 2
t t
t t t t
S S v t t t e dt t e t e e tdt
t
   
          
 
  

2
0
2
0 0
2

t
t t t
t e te d
t t
e t
  
   


2
2
2
0
2
2 ( 2 2)
0 0
t t t
t
t e te e
t t
t
t
e t
 

   
   

Bài28.Ởmộtthànhphốnhiệtđộ(theo
F


)sautgiờ,tínhtừ8hsángđượcmôhìnhhóabởi
hàm
( ) 50 14sin .
12
t
T x

 
Tìmnhiệtđộtrungbìnhtrongquãngthờigiantừ
8h
sángđến
8h

tối.
Giải:
Nhiệtđộtrungbìnhtừ8hsángchođến20hlàtổngnhiệtđộchiachokhoảngthờigian,cho
nênđượctínhbằng:
20
8
20 20
1 1 14 12
. 50 14.sin .50 .cos .
8 8
20 8 12 12 12 12
( )
t t
dt t
 


  



1 14 20 8
(1000 400) cos cos
12 12 12
( )
 

   

23

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
14 1 1 14
50 ( ) 50
2 2
[ ]
 
     

Bài31.Côngtyvừađưavòamộtdâychuyềnsảnsuấtđểchếtạomáytínhmới.Sauvàituần,
sảnlượngđạtđược
2
10
4000 1
(10 )
( )
dx

dt t
 

máy/tuần.Tìmsốmáysảnxuấtđượctừtuần
thứbađếnhếttuầnthứtư.
Giải:
Sốlượngmáytínhtừđầutuầnthứ3đếnhếttuầnthứ4là:
4
2
2
4 4
10 40000
4000 1 4000 6333
2 2
(10 ) 10
( )
dt t
t t
   
 


Vídụ4.3(ChươngIV).TrênHình4.2cóvôhạnhìnhtròn,mỗihình(trừhìnhtrongcùng)
tiếpxúcvớihaicạnhcủatamgiácvàtiếpxúcvớihaihìnhtrònkhác,chúngtiếnđếnđỉnh
củamộttamgiácđềucạnh1.Tínhdiệntíchtoànbộnhữnghìnhtrònnày.

Hìnhvẽ




Giải:
*)Trướctiêntadễdàngthấyđược
1 2 3
3 3
S S S S
   

*)Tabiếtrằngtamgiácđềuthìtrọngtâmtrùngvớitâmđườngtrònnộitiếpvàngoạitiếp
củatamgiácđó.Nhưvậydo
1
S
tiếpxúctamgiáccạnh1vớitâmlàtrọngtâmtamgiác.Theo
tínhchấtcủatrọngtâmtathấy
AE GE GF 
NêntamgiácAIKđồngdạngABCvớitỷlệ
1:3
suyratỷlệvềdiệntíchsẽlà
1:9
đồngnghĩavới
2 1
: 1:9
S S


Tathuđược:
24

Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.
2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 1 1 1

2 4 3
2
1
1 1 1 1
3
3 3 3 1 ) 1
1
3 3 3 3
1
3
( ( )) ( ) ( )
S S S S r r r r r
  
              

2
1 11 11
. 1.cos30 . .
3 8 96
( )



 
