Các bài giảng LTĐH hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (393.17 KB, 57 trang )
MỤC LỤC
Phần một: ĐẠI SỐ
Bài 1: Phương trình và bất phương trình 3
Bài 2: Tam thức bậc hai 6
Bài 3: Phương trình – bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 10
Bài 4: Phương trình vô tỉ 11
Bài 5: Bất phương trình vô tỉ 15
Bài 6: Phương trình trình mũ 17
Bài 7: Bất phương trình mũ 20
Bài 8: Phương trình logarit 21
Bài 9: Bất phương trình logarit 23
Bài 10: Hệ phương trình 25
Bài 11: Bất đẳng thức 35
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số sau: 34
Phần hai : LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Các công thức lượng giác 36
Bài 2: Phương trình lượng giác 40
Bài 3: Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác 43
Bài 4: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 45
Bài 5: Phương trình đẳng cấp, thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx 47
Bài 6: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 49
Bài 7: Hệ phương trình lượng giác 51
Bài 8: Các bài toán biến đổi tam giác và giải tam giác 52
Bài 9: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 55
Phần ba : TÍCH PHÂN
Bài 1: Đạo hàm 57
Bài 2: Nguyên hàm 58
Bài 3: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ 61
Bài 4: Nguyên hàm của hàm lượng giác 63
Bài 5: Tích phân xác định 65
Bài 6: Tích phân bằng phương pháp đổi biến so 68
Bài 7: Tích phân bằng phương pháp từng phần 72
Bài 7: Chứng minh đẳng thức tích phân 75
Bài 8: Bất đẳng thức tích phân 77
Bài 8 Diện tích hình phẳng 79
Bài 10 : Thể tích vật thể tròn xoay 82
Phần bốn: BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ
Bài tập lượng giác 83
Bài tập đại số 90
1
ĐẠI SỐ
I/ Giải phương trình bậc ba: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Cách giải :phương pháp nhẩm nghiệm
+ Bước 1: Nhẩm nghiệm x
0
(thường là ước của d)
+ Bước 2: Chia ax
3
+ bx
2
+ cx + d cho x – x
0
, đưa về phương trình dạng tích
(x- x
0
)( ax
2
+ Bx+ C) = 0
Chia đa thức theo sơ đồ hocner
a b c d
x
0
a B C 0
Với B = a.x
0
+ b
C = B.x
0
+
c
Bài tập
1/ x
3
– 3x
2
+ 5x = 0 2/ x
3
– 5x
2
+ 2x + 2 = 0 3/ 2x
3
– 7x
2
+ 9 = 0
4/ Cho đa thức:
)1()12(2)(
2223
mmxmmxxxP −+−+−=
a) Tính P(m)
b) Tìm m để pt P(x)= 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
II/ Phương trình bậc bốn:
1/ Phương trình trùng phương:
0
24
=++ cbxax
Cách giải: đặt t = x
2
, điều kiện: t
≥
0
2/ Phương trình phản thương loại 1:
)0(0
234
≠=++++ aabxcxbxax
Cách giải:
+ x = 0 : không là nghiệm
+
0≠x
: chia hai vế cho x
2
, ta được
)0(0
11
2
2
≠=++++ a
x
a
x
bcbxax
0)
1
()
1
(
2
2
=++++ c
x
xb
x
xa
Đặt t =
x
x
1
+
, ĐK
2≥t
. Ta được
02
2
=−++ acbtat
3/ Phương trình phản thương loại 2:
)0(0
234
≠=+−++ aabxcxbxax
Cách giải:
+ x = 0 : không là nghiệm
+
0≠x
: chia hai vế cho x
2
, ta được
)0(0
11
2
2
≠=+−++ a
x
a
x
bcbxax
0)
1
()
1
(
2
2
=+−++ c
x
xb
x
xa
Đặt t =
x
x
1
−
, Điều kiện
2≥t
Ta được
02
2
=+++ acbtat
4/ Phương trình
cbxax =+++
44
)()(
. Đặt t = x +
2
ba +
2
Ví dụ:
82)3()1(
44
=−++ xx
5/ Phương trình bậc bốn đầy đủ:
)0(0
234
≠=++++ aedxcxbxax
Cách giải: tương tự như phương trình bậc ba:
tìm nghiệm x
0
rồi chia vế trái cho (x – x
0
)
)0(0
234
≠=++++ aedxcxbxax
0))((
23
0
=+++−⇔ DCxBxaxxx
Bài tập: Giải các phương trình sau
1) (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 0
2)
01454
234
=+−+− xxxx
3)
01252
234
=++−− xxxx
4) Cho đa thức P(x)=
mxxmxx −+−+− 2)1(2
234
a) Tính P(1), P(-1)
b) Tìm m để pt P(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
II/ Giải bất phương trình
Cách giải bất phương trình dạng f(x)
≥
0
- Giải phương trình f(x) = 0
- Xét dấu biểu thức f(x)
Chọn khoảng nghiệm thích hợp
Lưu ý: Dấu của đa thưc bậc bất kỳ : khoảng ngoài cùng
bên phải luôn cùng dấu với a, qua nghiệm đơn đổi dấu qua
nghiệm kép không đổi dấu
Ví dụ : giải bất phương trình
1/ x
2
-3x > 0 2/ x
2
-4x+4
≤
0
3/ x
2
-5x+7 >0 4/ x
3
-4x
2
+8
≥
0
5/
1
1
≥
x
6/
0
)2)(3(
3
2
2
≥
++
−
xxx
x
7/ x
3
-5x
2
+8x-4
≥
0
Bài 2 :TAM THỨC BẬC HAI
I/ Tóm tắt giáo khoa
1/Định lý Viet:
a.Định lý thuận: cho phươnh trình :ax
2
+bx+c = 0 có
hai nghiệm x
1
,x
2.
Ta có
==
−=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
b. Định lý viet đảo :Nếu biết
==
−=+=
a
c
yxP
a
b
yxS
.
thì x, y là nghiệm phương trình X
2
– SX+ P = 0
Hệ quả: Dấu các nghiệm số của p trình bậc hai
Phương trình bậc hai có hai nghiệm
3
Trái dấu
0
<⇔
P
Cùng dấu
≥∆
>
⇔
0
0p
Cùng dương
>
>
≥∆
⇔
0
0
0
S
P
Cùng âm
<
>
≥∆
⇔
0
0
0
S
P
2/ Tam thức bâc hai f(x) = ax
2
+bx+c (a
≠
0)
a. Định lý Thuận về dấu của tam thức bậc hai:
.
∆
< 0 thì af(x) > 0 với mọi x
.
∆
= 0 thì af(x) > 0 với mọi x
a
b
2
−≠
.
∆
> khi đó f(x) có hai nghiệm và
af(x) > 0 với mọi x ngoài
[ ]
21
; xx
af(x) < 0 với
21
xxx <<
b. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: Nếu tồn tại
α
số sao cho a.f(
α
) < 0 thì
phương trình có hai nghiêm phân biệt và số
α
nằm trong khoảng hai nghiệm đó
và
21
xxx <<
c. Điều kiện tam thức không đổi dấu
f(x)
0
≥
,
≤∆
>
⇔∈∀
0
0a
Rx
f(x)
0
≤
,
≤∆
<
⇔∈∀
0
0a
Rx
d. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số
+
>
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(
0
21
S
afxx
+ f(
0)(
21
<⇔<<
αα
fxx
+
<
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(
0
21
S
afxx
+
0)().(
21
21
<⇔
<<<
<<<
βα
βα
βα
ff
xx
xx
e. Điều kiện f(x) có nghiệm thoả x >
α
TH 1: f(x) có nghiệm f(
21
0) xx <<⇔<
αα
TH2: f(x) có nghiệm
>
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(
0
21
S
afxx
4
TH3: f(x) có nghiệm
>
=
⇔<=
α
α
α
2
0)(
21
S
af
xx
(làm tương tự cho trường hợp
α
< x và khi xảy ra dấu bằng) IICÁC DẠNG BÀI TẬP
Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiên:
1/(m+2)x
2
-2(m+8)x+5(m-2) = 0 ,
21
1 xx <−<
2/ (m+1)x
2
-2(2m-1)x+3(2m-1) = 0 ,
21
11 xx <<−<
3/ (m+1)x
2
-2(m-1)x+m
2
+4m-5 = 0 , 2
21
xx <≤
4/ 3x
2
-2(m+5)x+m
2
-4m+15 = 0 ,
3
1
<< xx
5/ x
2
-2mx+3m-2 = 0 ,
21
21 xx <<<
6/mx
2
-2(1-m)x+m-3 = 0 ,
21
21
<<<−
xx
7/ x
2
-2mx+m
2
-3m+2 = 0 có đúng một nghiệm x
)1,0(∈
8/ x
2
–(m+5)x–m+6 = 0 có hai nghiệm thoả
2x
1
+ 3x
2
= 13
9/ mx
2
+ (2m-1)x + m-3 = 0, có 2 nghiệm thoả
7
11
21
=+
xx
10/Tìm m để phương trình x
2
-2(m+4)x + m
2
+ 8 = 0
có hai nghiệm dương
11/ Cho pt
03
22
=−+− mmxx
a) Tìm m để pt có nghiệm
b) Tìm m để pt có nghiệm thoả
4
2
2
2
1
=+ xx
c) Tìm giá trị lớn nhất GTNN của biểu thức
2121
.xxxxA −+=
12/ Cho phương trình
034)12(2
224
=−+−− mxmx
Tìm m để
a) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt
b) Phương trình vô nghiệm
13/ Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
01)21(
224
=−+−+ mxmx
14/ Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số cộng:
0122
24
=−+− mmxx
Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm thỏa
điều kiên:
15/ -x
2
+(m+1)x+2m > 0 ,
[ ]
3,1∈∀x
16/ mx
2
-4x+3m+1 > 0 ,
0
>∀
x
17/ sin
2
x + 4sinx + 2m
∈∀≤
4
,0,0
π
x
18/ x
2
- (3m+1) + m > 0 ,
)2,1(∈∀x
19/ sin
2
x -2cosx + 2m > 0 ,
∈∀
3
,0
π
x
20/ x
2
-2(m+1)x-m+5
1,0 −<∀≥ x
5
Bài 3 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI
I. Một số kiến thưc cần nhớ
1/ Định nghĩa
≤
≥
=
0A neáu A-
0A neáuA
A
2/ Một số tính chất
+ Tính chất 1 :
0≥A
+ Tính chất 2:
2
2
AA =
+ Tính chất 3:
AA =
2
+ Tính chất 4:
BABA +=.
+ Tính chất 5 :
B
A
B
A
=
+ Tính chất 6:
BABA +≤+
dấu băng
xảy ra khi và chỉ khi A , B cùng dấu
II. BÀI TẬP
1)
6321 =−+−+− xxx
2)
023243
2
=++−−+ xxx
( ĐH Huế 1997-D)
3)
x
x
xx
2
3
12
2
≥
−
−−
4)
=−−
=++
072
0953
yx
yx
( ĐH Hàng hải,1996)
5)
233
2
−>−− xxx
( ĐH SP vinh,1999)
6)
112 =−− x
7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
mxx =− 2
(dùng phương pháp đồ thị) ĐS:m< 0, m > 1
Bài 4:phương trình vô tỉ
I .TÓM TẮT GIÁO KHOA:
+
=
≥
⇔=
BA
A
BA
0
+
=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA
Khi giải phương trình vô tỉ có các cách sau:
- Bình phương hai vế
- Đặt ẩn phụ
- Đưa về phương trình bậc hai ẩn t, x là tham số
- Đưa vệ phương trình ẩn x, t
6
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP:
1/ x -
472 =+x
2/
3212 −+=+ xx
3/
322315 −−−=− xxx
4/
115
2
385
2
3 =++−++ xxxx
5/
16522252
22
=−+−++ xxxx
6/
431132
22
+=+−+ xxxx
7/
071262
22
=+−+− xxxx
8/ 3
)2)(5(3
2
xxxx −+=+
9/ (x+3)(1-x)+5
072
2
=−+ xx
10/
21212 =−−−−+ xxxx
11/
471728 =+−+++++ xxxx
12/
2
3
1212
+
=−−+−+
x
xxxx
13/ (4x-1)
1221
22
++=+ xxx
14/
211
33
=−++ xx
15/
333
11265 +=+++ xxx
16/
3)6)(3(63 =−+−−++ xxxx
17/ 2
112
3
3
+=− xx
18/
112
3
−−=− xx
19/
55
2
=++ xx
20/
12
5
1
2
2
+
=−+
x
xx
21/
11642
2
+−=−+− xxxx
(Phương pháp đánh giá)
22/
01312
2
=+−+− xxx
(KD-2006)
23/
=+++
=−+
411
3
yx
xyyx
(KA-2006)
24/ 2
41122 =+−+++ xxx
(KD-2005)
15/
++=+
−=−
2
3
yxyx
yxyx
(KB-2002)
Tìm m để các pt sau có nghiệm thỏa điều kiện
1/
312
22
−−=+− xmxx
có nghiệm
2/
122
2
−=−+ xmxx
a.Có nghiệm b. Có hai nghiệm phân biệt
3/
mxxx +=+− 32
2
a.có nghiệm b. Có hai nghiệm phân biệt
4/
mxxxx =−++−+ 444
có nghiệm
5/
mxxxx =−−−−− )3)(1(31
có nghiệm
7
(ĐH y-dược TPHCM, 1999)
6/
644
4
44
=+++++ mxxmxx
có nghiệm
7/
mxx =−+−
3
22
121
. Tìm m để phương trình
a. Có nghiệm duy nhất
b. Có hainghiệm phân biệt
8/ m
22422
1112)211( xxxxx −−++−=+−−+
Tìm m để phương trình có nghiệm (KB-2004)
9/ m
mxx +=+ 2
2
có hai nghiệm phân biệt
10/
mmxxx +=−− 322
2
có nghiệm
1
−≠
x
11/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
122
2
+=++ xmxx
(KB
– 2006)
12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
4
2
12113 −=++− xxmx
(KA-2007)
13/ Chứng minh với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt
)2(82
2
−=−+ xmxx
(KB-2007)
14/ Tìm m để pt sau có nghiệm:
mxmxm =−++
( ĐH Thuỷ sản 1998)
Bài tập làm thêm:
1/
13
3
=−+ xx
2/ Cho pt
axxxx =−++−++ )8)(1(81
a) Giải pt khi a = 3
b) Tìm a để pt có nghiệm
3/ Cho pt
mxxxx =−+−−++ )3)(1(31
a) Giải pt khi m = 3
b) Tìm m để pt có nghiệm
4/
2
5
1
1
1
1
=
+
−
+
−
+
x
x
x
x
5/ 2(1-x)
1212
22
−−=−+ xxx
6/
22
2357 xxxxx −−=++−
(
BA =
)
7/
181 +=+−+ xxx
( Giả sử
080 <+−⇒≤ xxx
; không thoả
Do đó x > 0
01111 >−+⇒>+⇒ xx
181 +=+−+ xxx
⇒
118 −+=+− xxx
Bình phương hai vế ( Đs: x = 8)
8/
1221)(14(
22
++=+− xxxx
(bình phương, Đs :x =
3
4
)
9/
2
2
)11(
4
++
=+
x
x
x
(Nhân lượng liên hợp
2
)11( −+x
)
Đs :x = 8
10/
12
1
3
2
2
−
+=+
x
xx
8
(Bình phương, Đs x = 1,
7
2
−=x
)
11/
333
9222 xxx =−++
12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm
mxxxx ++−=−+ 99
2
( Bình phương,
đặt t =
2
9 xx −
, phương php hm số , Đs:
10
4
9
≤≤
−
m
)
Bài 5: BẤT phương trình vô Tỉ
I Bất phương trình vô tỉ cơ bản
+
>
≥
⇔>
BA
B
BA
0
+
≤
≥
≥
⇔≤
2
0
0
BA
A
B
BA
+
<
≥
>
⇔<
2
0
0
BA
A
B
BA
+
≥
>
∨
≥
≤
⇔≥
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
+
>
≥
∨
≥
<
⇔>
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
Giải các bất phương trình sau :
1/
6232
2
−≤−− xxx
2/
22123
2
+−− xxx
3/
23343 −−−≤+ xxx
4/
3
5
3
3
16
2
−
>−+
−
−
x
x
x
x
5/
3
7
3
3
)16(2
2
−
−
>−+
−
−
x
x
x
x
x
(KA-2004)
6/
3)6)(3(63 ≤−+−−++ xxxx
7/ (x+1)(x+4)
2855
2
++ xx
8/
4
2
2
)2(3)2)(2( ≥
−
+
−++−
x
x
xxx
9/ (x-3)
94
22
−≤+ xx
10/ (
0232)3
22
≥−−− xxxx
(KD-2002)
11/
23423
22
≥+−−+− xxxx
12/
03
1
1
2
1
1
≥−
−
+
−
−
+
x
x
x
x
9
13/
18853
2
+−≥++− xxxx
14/
42115 −>−−− xxx
(KA-2005)
Tìm m để các bất pt sau có nghiệm thỏa điều kiện:
14/
mxx −<+ 32
2
có nghiệm
15/
mxx >−− 1
có nghiệm
16/
mxxxx +−>−+ 52)3)(12(
2
có nghiệm
17/
mxx ≤−+− 41924
có nghiệm
18/ x+4
2x ≥∀≥+−− ,02
2
mmx
19/
[ ]
4,2,018)4)(2(42
2
−∈∀≥+−−++− xmxxxx
20/ m
Rx ∈∀+<+ ,2
2
mxx
Bài 6 : PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH MŨ
I.TÓM TẮT GIÁO KHOA:
1/ Công thức luỹ thừa
aaaa
n
=
(n số a)
n
m
n
m
aa
a
aa ===
−
,
1
,1
10
nmmnmn
n
m
nmnmnm
aaa
a
a
aaaa
)()(
,,.
.
==
==
−+
n
n
n
b
a
b
a
=
,
nnn
baba ).(. =
2/ Phương trình mũ cơ bản
+
=
∨
=
≠<
⇔=
ñònh xaùc )(),(
1
)()(
10
)()(
xgxf
a
xgxf
a
aa
xgxf
+ a
f(x)
= c
⇔
f(x) = log
a
c
+ Chú ý: Phương trình dạng
( )
0
22
=++
x
x
x
bCbaBaA
thì
chia hai vế cho b
2x
ta được
A.
0
2
=+
+
C
b
a
B
b
a
xx
đặt t =
x
b
a
III.CÁC DẠNG BÀI TẬP :
1/
1)2(
1
2
=
−X
2/ (
2
85
2
42
)2
+
−
=
−
x
x
x
3/
16005)2(
6
=
xx
4/
8342
2.36
++
=
xxx
10
5/
1225.325
121
=−
−+ xx
6/
2111
22255.45
+−+−
++=+−
xxxxxx
7/ (
1)34
22
=−+−
−x
xx
8/
1
2
2
1
2
)74()74(
−
−
++=++
x
x
xxxx
9/ 2.
03.36.54
2
=+−
xxx
10/ 3.
xxx
36.581.216 =+
11/
322
2
22
=−
++−− XXXX
12/
0 =+−
+++ 66
2
93.23
2
2 XXXX
13/ 7.
2
49.214.94
2
2
xxx
−=−
14/
2224
2
sin
2
cos
−=−
xx
15/
6)83()83( =−++
XX
16/
62)154()154( =−++
XX
17/
)32(4)32)(347()32( +=−+++
XX
18/
1
2
12
2
1
2.62
)1(3
3
=+−−
− xx
xx
19/
xxx
)5()23()23( =−+−
20/
xxx
13125 =+
21/ 1+
xx
2)3( =
22/ 3
x
+x-4 = 0
24/
2653 +=+ x
xx
25/
012.4 =−+− xx
xx
26/ 3.
032).103(4 =−+−+ xx
xx
27/
0523).2(29 =−+−+ xx
xx
28/
1444
73
2
256
2
23
2
+=+
+++++− xxxxxx
29/
1224
2
)1(
2
1
2
+=+
−
−−
x
xxx
30/
142
1
−=−
+
x
xx
Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện
1/
0224 =+− mm
xx
a. Có hai nghiệm phân biệt
b. Có hai nghiệm phân biệt thỏa x
1
+x
2
= 3
2/ m9
x
+3(m-1) 3
x
-5m+2 = 0 có hai nghiệm trái dấu
3/
6)83()83( =−++
xx
m
Tìm m để phương trình
a. Có nghiệm
b. Có 2 nghiệm phân biệt
4/ Cho phương trình
8
2
537
2
537
=
−
+
+
xx
a
a) Giải pt khi a = 7
b) Biện luận theo a số nghiệm của pt
Bài 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bất phương trình mũ cơ bản
+ Cơ số a > 1 : a
x
> a
b
⇔
x > b
a
x
> c
⇔
x > log
a
c
11
+ Cơ số 0 < a < 1 :
a
x
> a
b
⇔
x < b
a
x
> c
⇔
x < log
a
c
+
0)]()(][1)([)()(
)()(
>−−⇔> xhxgxfxfxf
xhxg
Giải các bất phương trình mũ sau
1/
xxx 2
55
2
>
+
2/
022.34 ≥+−
xx
3/ (
xx
xx )1()1
212
−>−
−
4/(
1
1
1
)25()25
+
−
−
−≥+
x
x
x
5/ (
1
3
3
1
)310()310
−
−
+
+
+<−
x
x
x
x
(Học viện giao thông vận tải năm 1998)
6/
8
1
2
1
1
2
<
+x
7/
922
3
≤+
−xx
8/
163.32.2 −>+
xxx
( Chia hai vế cho
x
6
, đoán nghiệm và chứng minh nghiệm
duy nhất)
Bài 8 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I/ Các công thức logarit
1/Định nghĩa logarit : cho a
1,0 ≠a
N > 0 Ta có :
N
M
aMN
a
=⇔=log
2/Tính chất :
1log
=
a
a
,
01log =
a
α
α
=a
a
log
,
Na
N
a
=
log
,
a
c
b
c
ba
loglog
=
3/ Các phép toán về logarit
2121
loglog).(log NNNN
aaa
+=
21
2
1
logloglog NN
N
N
aaa
−=
α
α
NN
aa
loglog. =
4/ Công thức đổi cơ số
N
a
N
b
b
a
loglog.log =
;
b
a
N
a
N
b
log
log
log =
a
b
b
a
log
1
log =
;
N
a
N
a
log
1
log
α
α
=
5/ Phương trình logarit cơ bản
>
=
⇔=
0)(
)()(
)(log)(log
xf
xgxf
xgxf
aa
12
c
a
axfcxf =⇔= )()(log
Giải các phương trình logarit sau
1/
)12(loglog
273
−= xx
2/
2log1)3(log2)2(log
393
+=−+− xx
3/ 2lg(x-1)+lg(2x+5) = lg(13-2x)
4/ log
5
(25
x
+ 5
x
+1)+log
5
(5
x
–1) = 3x+1
5/
07log7log
914
=+
+ xx
6/
364log16log
2
2
=+
x
x
7/
2)(loglog)(loglog
4224
=+ xx
8/
x
x
−=− 3)29(log
2
9/
2)1272(log
2
=+− xx
x
10/
3
8
2
2
4
)4(log4log2)1(log ++−=++ xxx
11/
)1(log
)1(log)1(log)1(log
24
2
24
2
2
2
2
2
+−+
++=+−+++
xx
xxxxxx
12/
6logloglog.log
3
3
2
232
−+= xxxx
13/ (x-1)
)93.11(log)33(log3log
5
1
55
−=++
+ xx
14/
)lg
lg)10lg(
2
100(
3.264
x
xx
=−
15/
xxxx 26log)1(log
2
2
2
−=−+
16/ (x+2)
016)1(log)1(4)1(log
3
2
3
=−++++ xxx
17/
5
2
log
2
log
3
2
xx
x
=+
18/
5
2
log
3
2
log
xxx =+
19/
2
4
2
log6
2
log2
2
log
3.24
xx
x =−
20/
23
322
1
log
2
2
2
7
+−=
+−
++
xx
xx
xx
21/
4)12(log)12(log
2
1
2
12
=−+−+
+−
xxx
xx
( Khối A 2008)
Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện
1/ lg(x2+mx) – lg(x-3) = 0 có nghiệm
2/
01)2(log)5()2(log)1(
2
1
2
2
1
=−+−−−−− mxmxm
có
nghiệm thỏa 2 < x
1
< x
2
< 4
3/
0log)(log4
2
1
2
2
=+− mxx
có nghiệm x
)1,0(∈
4/ cho phương trình
0121loglog
2
3
2
3
=−−++ mxx
(*)
a.Giải (*) với m = 2
b. Tìm m để (*) có ít nhất 1 nghiệm x
[ ]
3
3,1∈
(KA-2002)
Bài 9 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bất phương trình logairit cơ bản
+ Cơ số a > 1 log
a
x > log
a
b
⇔
x >b
log
a
x > c
⇔
x > a
c
+ Cơ số 0 < a <1 log
a
x > log
a
b
⇔
x <b
log
a
x > c
⇔
x < a
c
13
Giải các bất phương trình logrit sau :
1/
105
5
log
2
)
5
(log
≤+
x
x
x
2/
125.3.2
2
2
log1
2
log
2
log
≥
−− xxx
3/
)2.32(log)44(log
12
2
1
2
1
xxx
−≥+
+
4/
4
3
16
13
log).13(log
4
14
≤
−
−
x
x
5/
316log64log
22
≥+
x
x
6/
( )
[ ]
1729loglog
3
≤−
x
x
( KB-2002)
7/
( )
[ ]
143log
2
9
2
≤−−
−
xx
x
8/
( )
)243(log243log1
2
3
2
9
++>+++ xxxx
(ĐH SP TP HCM,2000)
9/
( )
)232(log232log1
2
2
2
4
++>+++ xxxx
(ĐH Thuỷ lợi,99)
10/
xxxx
3232
log.log1loglog +<+
(Đ H NT, 1998)
11/
1
1
32
log
3
<
−
−
x
x
(ĐH SP Vinh. 1998)
12/
2)
4
1
(log ≥−x
x
(ĐH Huế , 1998)
13/
15
2
3
log
<
−
x
x
(ĐH ngân hàng TPHCM 1998)
14/
)3(log
2
1
2log65log
3
1
3
1
2
3
−>−++− xxxx
(ĐH Bách khoa Hà Nội)
15/
)1(log
1
132log
1
3
1
2
3
1
+
>
+−
x
xx
(Đ H Quốc gia TPHCM,1999)
16/
0
4
loglog
2
67,0
<
+
+
x
xx
( Khối B 2008)
17/
0
23
log
2
2
1
≥
+−
x
xx
( Khối D 2008)
Bài 10 : Hệ Phương Trình
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
1.Đa thức đẳng cấp bậc n hai ẩn x vày có dạng
P(x,y) =
nnn
n
n
n
yayxayxaxa
0
1
1
1
1
++++
−−
−
Mọi hằmg số được coi như đa thức đẳng cấp bậc 0
2.Hệ phương trình đẳng cấp:
Hệ phương trình đẳng cấp có dạng :vế trái là những đa thức cùng bậc,vế phải là những
đa thức cùng bậc,bậc vế trái và phải không nhất thiết cùng bậc
3.Cách giải:
+ Khi x = 0 :giải hệ
14
+ Khi x
0≠
đặt y = kx thay vào hệ giải tìm t,y,x
* Chú ý : đối với hệ đẳng cấp bậc hai ta có thể giải bằng phương pháp thế ,bằng
cách khử
2
y
sau đó suy ra y thế vào được pt trùng phương
4.Các bài tập:
1/
=++
=++
1732
1123
22
22
yxyx
yxyx
2/
=+−
−=+−
1333
13
22
22
yxyx
yxyx
3/
=++
−=+−
7223
142
22
22
yxyx
yxyx
4/
=+−
−=−
14
43
22
2
yxyx
yxy
5/
=−+
=+−
2332
1
22
22
yxyx
yxyx
6/
=++
=+
7223
6
22
22
yxyx
xyxy
7/
=−
=−
2)(
7
33
yxxy
yx
8/
( )
( )
=+
=−
yyxx
xyxy
10
32
22
22
II. Hệ phương trình đối xứng loại I
1. Định nghĩa : Là hệ phương trình không thay đổi khi ta
thay x bởi y và y bởi x
2. Cách giải :
+ Đặt S = x+y , P = x.y
+ Giải hệ tìm S và P
+ x , y là nghiệm của phương trình
X
2
-SX+P = 0
* Cần nhớ :
PSyx 2
222
−=+
SPSyx .3
333
−=+
Hệ có nghiệm khi
0.4
2
≥− SPS
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
0.4
2
=− SPS
* Chú ý :tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Ta có thể thực hiện theo
các bước sau:
Bước 1 Điều kiện cần
-Nhận xét rằng nếu có nghiệm (x
o
,y
o
) thì (y
o
, x
o
) cũng là nghiệm của hệ,do đó hệ có
nghiệm duy nhất x
o
= y
o
(*)
- Thay (*) vào hệ tìm được giá trị tham số.Đó chính là điều kiện cần để hệ có
nghiệm duy nhất
Bước 2 Điều kiện đủ (thử lại)
3.Các bài tập :
1/
=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
2/
=+
=++
8
22
33
yx
xyyx
3/
=++
−=−
7
2)(
22
xyyx
yxxy
4/
=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
15
5/
+=+
+=++
mmxyyx
mxyyx
222
12
a. Chứng minh rằng với moi giá trị của m hệ phương trình sau luôn có nghiệm
b.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6/
( )
( )
2 2
2 2
1
1 5
1
1 49
x y
xy
x y
x y
+ + =
÷
+ + =
÷
(ĐH N Thương 99 ) 7/
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
(ĐHNT)
8/
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
+ =
− + =
(ĐH N Thương 98) 9/
( ) ( )
2 2
8
1 1 12
x y x y
xy x y
+ + + =
+ + =
(NT HN97)
10/ Cho hệ phương trình
2 2 2
2
2 3
x y a
x y a
+ = −
+ = −
.Gọi (x,y) là
nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy nhỏ nhất
11/ Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
−=+++
=+++
1015
11
5
11
33
3
m
y
y
x
x
y
y
x
x
(KD-2007)
12/
=++++
=+++
2)1()1(
4
22
yyyxx
yxyx
(Đề dự trữ A-2005)
III. HỆ ĐỐI XỨNG LOAI II
1.Định nghĩa : là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này
trở thành phương trình kia củahệ
2.Cách giải :lấy phương trình (1) trừ phương trình (2)
* Chú ý : tìm tham số để hệ có nghiệm duy nhất cũng tương tự như hệ đối xứng loại
I
3.Các bài tập
1/
+=
+=
xyy
yxx
2
2
3
3
2/
+
=
+
=
x
y
y
y
x
x
2
2
2
2
2
(KB-2002)
3/
=+
=+
2
2
3
2
3
2
y
xy
x
yx
4/
+=
+=
x
xy
y
yx
1
2
1
2
2
2
5/
+=
+=
xyy
yxx
2
2
3
3
6/
=++−
=++−
xyyy
yxxx
21
21
23
23
7/
+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
8/
=−++
=−++
321
321
xy
yx
16
9/
3 4
3 4
y
x y
x
x
y x
y
− =
− =
(KA97)
10/
+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA-2003)
11/. Cho a
≠
0. Xét hệ phương trình
3
2
3
2
7 0
7 0
a
x y
x
a
y x
y
+ − =
+ − =
(ĐH Huế KA97)
CMR hệ có nghiệm duy nhất khi a > 0 .Điều đó còn
đúng không khi a < 0
12/ Cho hệ phương trình
2
2
y = x
x y y m
x m
= − +
− +
a) Giải hệ phương trình với m = 0
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
VI.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ ĐẶT ẨN PHỤ
1/
( )
+=++
=+
24)1(
4
2
yxyyx
yx
2/
=++
=++−
3
012
22
22
xyyx
yyx
3/
++=+
−=−
2
3
yxyx
yxyx
4/
=+
=++
32
53
2
222
yx
yyxx
5/
=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
6/
=+
=+
yx
y
xy
x
11
2
11
2
(ĐHQG HN - 1999)
HD : Đặt nhân tử chung
ĐS: (1; 1) , (– 1; – 1) , (
2
; –
2
) , ( –
2
;
2
)
7/
=−−
=−
y
x
xy
x
y
yx
4
43
(ĐHQG HN - 1997)
HD : Đặt nhân tử chung ĐS: (–2; –2)
8/
=+
=++
6).(
5
x
y
yx
y
x
yx
(CĐSP Qui nhơn 2001)
HD: Đặt ẩn phụ ĐS: (
2
1
;
2
3
), (2 ; 1)
17
9/
−=+−
−=++
)(7
)(19
22
222
yxyxyx
yxyxyx
( ĐH Hàng Hải–2001)
HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y
ĐS: (0 ; 0) ; (3 ; 2) , (–2 ; –3)
10/
=+
=+
1
1
66
44
yx
yx
(ĐH TCKT – 2001)
HD: Đặt ẩn phụ:
2222
.; yxPyxS =+=
ĐS : ( 0; 1) , ( 0 ; –1) , ( 1 ; 0) , ( –1 ; 0)
11/
=
−
++
=−+−−+
3
2
1
2
)1(0)2(6)4(5)2(
2222
yx
yx
yxyxyx
HD: Đặt
yx
yx
X
−
+
=
2
2
;
065)1(
2
=+−⇔ XX
ĐS:
)
2
1
:
4
3
(),
4
1
;
8
3
(
12/
−=+++
−=++++
4
5
)21(
4
5
24
222
xxyyx
xyxyyxyx
HD: Đặt u = x
2
+ y , v = x.y
13/
−=−−
−=++
yxxyyx
yxyxxy
2212
2
22
HD: Đặt x+y la nhân tử
14/
+=+
+=++
662
922
2
2234
xxyx
xyxxx
Thế
2
33
2
x
xxy −+=
V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1/
=++−
=−++
752
725
yx
yx
(ĐH Nông nghiệp HNI,2000)
2/
=−−−
=−−−
52215
4213
yx
yx
3/
=+
=+
35
30
yyxx
xyyx
(ĐH Thái Nguyên 1998)
4/
=+
=+
4
28
3
3
yx
yx
5/
−=+−
=−+
222
11
xyx
yx
BÀI 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG CÁCH DÙNG ĐỊNH NGHĨA
Bài 1 : cho a,b,c
∈
R. Chứng minh rằng
1/
∈
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
2/
( )
2
3ab bc ca abc+ + ≥
( )
2
3ab bc ca abc+ + ≥
18
Bài 2 : Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS)
Rbayxyxbabyax ∈∀++≤+ ,,,,))(()(
22222
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b
x y
=
a b
x y
=
Bài 3: Bất đẳng thức Côsi . Cho
0, 0a b≥ ≥
0, 0a b≥ ≥
.
Chứng minh rằng
2a b ab+ ≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bài 5 : cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và p là nửa chu
vi.Chứng minh rằng:
1/
1 1 4
p a p b c
+ ≥
− −
2/
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
÷
− − −
Bài 6 : cho x, y ,z ,t > 0 .Chứng minh rằng :
1/ x + y + z +t
4
4 xyzt≥
2/ x + y +z
3
3 xyz≥
3/
2
4
x y z
x
y z
+
+ ≥
+
4/
2 2 2
2
x y z x y z
y z z x x y
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 7 : Chứng minh rằng :
( )
( )
2
2 2
3 1 1a b a b ab+ + ≥ + + ∀ ∈¡
Bài 8 : Chứng minh rằng :
4 4
1
sin cos
2
x x+ ≥
CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH
ÁP DỤNG BĐT CÔSI
BĐT CÔSI : cho n số không âm
( )
1 2
, , , 2
n
a a a n ≥
. Ta có
1 2 1 2
n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
Dấu bằng xảy ra khi
n
aaa ===
21
Bài 1: CMR :
( )
2
2
1 2
1 1 16, 0X X
X X
+ + + ≥ ∀ >
÷
Bài 2 : cho a ,b , c > 0 và a + b + c = 1. CMR
1 1 1
1 1 1 64
a b c
+ + + ≥
÷ ÷ ÷
Bài 3 : giải phương trình :
4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + −
Bài 4 : Cho a,b,c là 3 số dương .Chứng minh rằng
1/
( )
1 1 1
9, , , 0x y z x y z
x y z
+ + + + ≥ ∀ >
÷
2/
2 2 2
, , 0
1 1 1
9,
2 2
1
a b c
vôùi
a bc b ca c ab
a b c
>
+ + ≥
+ + +
+ + =
3/
6
a b c a b c
c b a
+ + +
+ + ≥
19
4/
6
a b c a b c
c b a
+ + +
+ + ≥
5/
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
6/
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Bài 5 : cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các bất đẳng thức
1/
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + +
2/
2 2 2
1 1 1a b c
b c a a b c
+ + ≥ + +
3/
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 6 : Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh
( ) ( ) ( )
8
729
abc a b b c c a+ + + ≤
Bài 7: Cho
1
2
1
22
2,
−
−
−
≤≥∈
n
n
n
nn
n
CCnNn
1
n
C :minh Chöùng
Bài 8 :cho a>b ,a.b = 1 .Chứng minh
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
( HD :
( )
( )
2
2 2
2
2
a b ab
a b
a b
a b a b a b
− +
+
= = − +
− − −
)
Bài 9: Cho x, y, z thoả mãn x.y.z = 1 Chứng minh rằng
3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
x y y z
z x
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
(KD 2005)
Bài 10 :Cho
, 1. minh : a b-1 1a b Chöùng b a ab≥ + − ≤
Bài 11 :Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác .CMR :
3
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
Bài 12 : Cho x,y,z là các số dương thoả mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
(KA 2005)
Bài 13 :Chứng minh rằng với mọi x
∈
R
12 15 20
,ta co ù: 3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
¡
Khi nào đẳng thức xảy ra ? (KB 2005)
Bài 14 : Chứng minh các bât đẳng thức sau :
1/
( ) ( ) ( )
( )
3
3
1 1 1 1a b c abc+ + + ≥ +
(với a,b,c
≥
0)
2/
( )
( )
1
3 0a a b
b a b
+ ≥ > >
−
3/
( ) ( )
( )
1
2 1
1
a a b
a b b
+ ≥ > > −
− +
20
4/
2
6 6 2
6 8a b a b+ ≥ −
2
6 6 2
6 8a b a b+ ≥ −
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
DÙNG ĐẠO HÀM
1/ Chứng minh:
0,1 ≠∀+> xxe
x
2/ Chứng minh: ln(1+x)< x;
∀
x> 0
3/ CMR:
a
b
x
b
a
a
+≤
+
2
1
2
2
1
2
4/ cosx > 1–
2
2
x
, x >0
5/ ln(1+x) > 1 + x +
2
2
x
Bài 12: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ SAU:
1/ y = (3sinx-4cosx-10) (3sinx+4cosx-10)
2/ y = x
6
+4(1-x
2
)
3
, x
[ ]
1,1−∈
3/ y =
[ ]
2,1,
1
1
2
−∈
+
+
x
x
x
(Khối D-2003)
4/ y = x+
2
4 x−
(Khối B-2003)
5/ y = x(1+
)1
2
x−
6/ y =
[ ]
2,3,13
3
−∈+− xxx
7/ y =
2
cos2x+4sinx , x
∈
2
,0
π
8/ Cho x, y ,zlà các số thực dương thay đổi thoả mãn điều
kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
=P
yyxx
yxz
xxzz
xzy
zzyy
zyx
2
)(
2
)(
2
)(
222
+
+
+
+
+
+
+
+
(KA-2007)
9/ Cho x, y, z là ba số thưc dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức
++
++
+=
xy
z
z
zx
y
y
yz
x
xP
1
2
1
2
1
2
(KB-07)
11/Cho x
0≠
, y
0≠
thay đổi và thoả mãn điều kiện
(x + y)xy= x
2
+y
2
– xy. Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
yx
A +=
( KA-06)
LƯỢNG GIÁC
Bài 1 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I Các thưc cơ bản và các hệ quả
1) sin
2
x+cos
2
x = 1 4) 1+tg
2
x =
x
2
cos
1
21
2) tgx =
x
x
cos
sin
5) 1+cotg
2
x =
x
2
sin
1
3) cotgx =
x
x
sin
cos
6) tgx.cotgx = 1
II . công thức cộng trừ
1) sin(a+b) = sina.cosb+cosa.sinb
2) sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb
3) cos(a+b) = cosa. cosb – sina.ainb
4) cos(a-b) = cosa. cosb + sina.ainb
5) tg(a+b) =
tgbtga
tgbtga
.1−
+
6)tg(a-b) =
tgbtga
tgbtga
.1+
−
III công thức nhân đôi :
1) sin2a = 2sina.cosa
2) cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 1 – 2sin
2
a = 2cos
2
a – 1
3) tga=
atg
tga
2
1
2
−
IV. Công thức nhân ba :
1) sin3a= 3sina – 4in
3
a
2) cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
3) tg3a =
atg
atgtga
2
3
31
3
−
−
V . Công thức hạ bậc :
1)
2
2cos1
sin
2
a
a
−
=
2)
2
2cos1
cos
2
a
a
+
=
VI. Công thức biểu diễn sinx, cosx, tgx qua t = tg
2
x
1) sinx =
2
1
2
t
t
+
2) cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
3) tgx =
2
1
2
t
t
−
VII . Công thức biến đổi tích thành tổng
1) cosa.cosb =
[ ]
)cos()cos(
2
1
baba −++
2) sina.sinb = -
[ ]
)cos()cos(
2
1
baba −−+
3) sina.cosb =
[ ]
)sin()sin(
2
1
baba −++
VIII. Công thức biến đổi tổng thành tích :
22
1) cosa + cosb = 2cos
2
ba +
. cos
2
ba −
2) cosa - cosb = -2sin
2
ba +
. sin
2
ba −
3) sina + sinb = 2sin
2
ba +
. cos
2
ba −
4) sina - cosb = 2cos
2
ba +
.sin
2
ba −
5) tga + tgb =
ba
ba
cos.cos
)sin( +
6) tga - tgb =
ba
ba
cos.cos
)sin( −
IX. Công thức liên hệ của các cung góc liên quan đặc biệt
1.Góc đối :
−=−
−=−
=−
−=−
αα
αα
αα
αα
gg
tgtg
cot)(cot
)(
cos)cos(
sin)sin(
2.Góc bù :
−=−
−=−
−=−
=−
ααπ
ααπ
ααπ
ααπ
gg
tgtg
cot)(cot
)(
cos)cos(
sin)sin(
3. Góc phụ :
=−
=−
=−
=−
αα
π
αα
π
αα
π
αα
π
tgg
gtg
)
2
(cot
cot)
2
(
sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
4. Góc sai kém
π
:
=+
=+
−=+
−=+
ααπ
ααπ
ααπ
ααπ
gg
tgtg
cot)(cot
)(
cos)cos(
sin)sin(
X. Công thức bổ sung :
1)
cos
α
+sin
α
=
2
cos(
4
π
α
−
) =
2
sin(
4
π
α
+
)
2)
cos
α
-sin
α
=
2
cos(
4
π
α
+
) =
2
sin(
4
π
α
−
)
3)
1+sin2x =(sinx+cosx)
2
XI.Định lý hàm số cosin :
1)a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA
Suy ra : cosA =
bc
acb
2
222
−+
23
2) b
2
=a
2
+ c
2
– 2ac.cosB
3) c
2
=a
2
+ b
2
– 2ab.cosC
XII. Định lý hàm số sin:
A
a
sin
=
B
b
sin
=
C
c
sin
= 2R Suy ra :
=
=
=
CRc
BRb
ARa
sin2
sin2
sin2
XIII.Công thức tính diện tích tam giác
XII. Công thức tính diện tích tam giác
1) S =
2
1
a.h
a
=
2
1
b.h
b
=
2
1
c.h
c
2) S =
2
1
a.b.sinC =
2
1
b.c.sinA =
2
1
c.a.sinB
3) S =
R
abc
4
( P=
2
cba ++
)
4) S =p.r
5) S =
))()(( cpbpapp −−−
Bài 2 :PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I.Phương trình lượng giác cơ bản:
1/Phương trình lượng giác cơ bản: là phương trình sau khi biến đổi và rút gọn có
dạng
sinx = m cosx = m
tagx = m cotgx = m
Lưu ý: Phương trình sinx = m , cosx = m chỉ có nghiệm khi
11 ≤≤− m
1/Công thức nghiệm
1) cosU = cosV
⇔
+−=
+=
π
π
2
2
kVU
kVU
( k
∈
Z)
2) sinU = sinV
⇔
+−=
+=
ππ
π
2
2
kVU
kVU
3) tgU = tgV
⇔
U = V +k
π
4) cotgU = cotgV
⇔
U = V +k
π
2/ Công thức nghiệm đặc biệt:
1) sinU = 1
⇔
U =
2
π
+ k2
π
2) sinU = -1
⇔
U = -
2
π
+ k2
π
3) cosU = 1
⇔
U = k2
π
4) cosU = -1
⇔
U =
π
+k2
π
5) sinU = 0
⇔
U = k
π
24
6) cosU = 0
⇔
U =
2
π
+ k
π
3/ Bài tập :
1) tg5x.tgx =1
2) 2cos3x+
3
sinx+cosx = 0 (ĐH Huế 99-D)
3) sin
2
x+sin
2
(2x)+sin
2
(3x) =
2
3
( ĐH Huế 98-A)
4) 3-4cos2x = sinx(2sinx+1) (ĐH Cần thơ 98-D)
5) 1+3cosx+cos2x =cos3x+2sinx.sin2x
(ĐH Đà Nẵng 98-B)
6) (1-tgx)(1+sin2x) = 1+tgx (ĐHTCKTHN 97)
7) tgx + cotgx =2(sin2x+cos2x) (ĐHCTVT 98)
8) sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x = sin
3
(4x) (ĐH NT99-A)
9) cos
4
x+sin
4
x = cos4x (ĐH Huế 99-RT)
10) cos7x + sin
2
(2x) = cos
2
(2x) (ĐH Hàng hải 98)
11) sin
6
x+cos
6
x = 2(sin
8
x+cos
8
x) (ĐHQGHN99-B)
12) sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x (ĐHNT99)
13) cos
3
x+sin
3
x= 2(cos
5
x+sin
5
x) (ĐHQGHN 98-B)
14)
)cot(
2
1
2sin
cossin
44
gxtgx
x
xx
+=
+
(ĐH BKHN20-A)
15) sin
3
x+cos
3
x+sin
3
x.cotgx+cos
3
x.tgx =
x2sin2
(ĐH kiển trúc HN2000)
16) 1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x (ĐHNT 20-A)
17) (2sinx+1)(3cos4x + 2sinx-4) + 4cos
2
x = 3
(ĐH Hàng hải 2000)
18)
xtgx
tgxx
sin
)(sin3
−
+
- 2cosx = 2
19) sin2x(cotgx+tg2x) = 4cos
2
x (Mỏ địa chất 2000)
20) cos
3
x+sin
3
x = cos2x (ĐH Ykhoa HN 2000)
21) cos
3
x-sin
3
x = sinx-cosx (ĐH Đà Nẵng 99)
22) sin
4
x+cos
4
(x+
4
π
) =
4
1
(ĐH Hàng hải 95)
23) sin(2x+
2
5
π
) – 3cos(2x -
2
7
π
) = 1+2sinx
24) sin
2
2x- cos
2
8x = sin(
x10
2
17
+
π
)
25)
xcos
1
+
x2sin
1
=
x4sin
2
26) tg2x-tg3x-tg5x = tg2x.tg3x.tg5x
27) 2tgx+cotgx =
x2sin
2
3
+
28) 3sinx + 2cosx = 2+3tgx
29) Tìm x thuộc đoạn [0,14] nghiệm đúng phương trình
cos3x-4cos2x+3cosx-4 = 0 ( KD-2002)
30) sin
2
3x-cos
2
4x = sin
2
5x-cos
2
6x (KB-2002)
31) sin
2
(
)
42
π
−
x
.tg
2
x-cos2
2
x
= 0 (KD-2003)
32) (2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin2x – sinx (KD-2004)
25
