Đề thi vào lớp 10 môn Toán TP. Hà Nội 2010 - 2011

SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2010 – 2011
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2010
Thời gian Làm bài 150 phút
BÀI I (2,0 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh
nnA 11
3
+=
chia hết cho 6
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để
13
24
+−= nnB
là số nguyên tố
BÀI II (2,0 điểm)
Cho phương trình :
01)22()22(
222
=−+−−++ xmmxmm
.Gọi
21
, xx
là hai nghiệm
của phương trình đã cho.
1) Tìm các giá trị của m để
)12(2

2121
2
2
2
1
−=+ xxxxxx
.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
21
xxS +=
BÀI III (2.0 điểm)
1) Cho a là số bất kì,chứng minh rằng:
2
2009
2010
2010
2010
>
+
+
a
a
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình
0)22)(2(
22
=+−−− xxxxy
BÀI IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn.Đường tròn đường
kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E , F.
1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
2) Cho A là một điểm bất kì của thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn
đường kính OM (A khác E,F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng
minh

2
ROBOA =
3) Cho biết OM=2R và N là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của
đường tròn (O;R) ( N khác E,F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường
thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai
đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. chứng minh rằng:
2
2
3
RQKQNPKPN ≤+
BÀI V ( 1,0 điểm)
Giải phương trình:
01
34578
=+−+−+− xxxxxx
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT CHUYÊN
Năm học 2010 – 2011
Môn thi : TOÁN

Bài Ý HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
I 2,0
1
Cho n là số nguyên, chứng minh
nnA 11
3
+=
chia hết cho 6 (1 điểm )
nnnA 12
3
+−=
0,25

nnn 12)1(
2
+−=
0,25

nnnn 12)1)(1( ++−=
0,25
Nhận xét : tích 3 số nguyên liên tiếp n(n-1)(n+1)
6
Vậy
6A
0,25
2
Tìm tất cả các số tự nhiên n để
13
24

+−= nnB
là số nguyên tố (1 điểm )
222224
)1(12 nnnnnB −−=−+−=
0,25

)1)(1(
22
nnnn −−+−=
0,25
Với n=0 có B=1.Với n là số tự nhiên
1
≥
n
thì
01,11
222
>+−+−>+− nnnnnn
0,25
B là số nguyên tố suy ra
211
2
=⇒=−− nnn
.với n=2 ta có B=5 là số nguyên tố
0,25
II
Cho phương trình…
2,0
1
Tìm các giá trị của m để

)12(2
2121
2
2
2
1
−=+ xxxxxx
. (1 điểm )
Nhận xét
0.
<
ca
suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm
21
, xx
0,25
Theo định lí Viet ta có:
22
22
2
2
21
++
+−
=+
mm
mm
xx

22

1
.
2
21
++
−
=
mm
xx
0,25
)12(2
2121
2
2
2
1
−=+ xxxxxx

2
21
2
21
)(4)( xxxx =+⇔
2
2
2
2
2
22
1

4
22
22






++
−
=








++
+−
⇔
mmmm
mm

⇔

222
2

=+− mm
0,25
Kết luận: m=0;m=2
0,25
2
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
21
xxS +=
(1 điểm )
22
22
2
2
21
++
+−
=+=
mm
mm
xxS
0,25
Xét phương trình :
22
22
2
2
++
+−
=
mm

mm
S

22)22(
22
+−=++⇔ mmmmS
⇔
0)1(2)1(2)1(
2
=−+++− SmSmS
0,25
Với
1
≠
S
Phương trính có nghiệm
⇔≥−−+⇔≥∆⇔ 0)1(2)1(0'
22
SS
223223 +≤≤− S
0,25
S=1 khi m=0.Kết luận GTNN của S bằng
223−
GTLN của S bằng
223+
0,25
III 2,0
1
Cho a là số bất kì,chứng minh rằng:
2

2009
2010
2010
2010
>
+
+
a
a
(1 điểm )
2009212009200922010
2010201020102010
+>++⇔+>+ aaaa
0,5
( )
01200922009
2010
2
2010
>++−+⇔ aa
0,25
luôn đúng với mọi a
0,25
Các chú ý khi chấm:
1) Thí sinh lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa
2) Thí sinh có cách giải khác đúng,khác với hướng dẫn chấm thì giám khảo vẫn
chấm và cho điểm theo số điểm qui định dành cho câu (hay ý) đó
3) Giám khảo vận dụng hướng dẫn chấm đã chi tiết đến 0,25 điểm và không làm
tròn điểm bài thi.