Chuyên đề ôn tập Vật lý 12 toàn tập

phần I

con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển
động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25
N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn
2cm, truyền cho nó vận tốc 10 3 . (cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên.
Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giÃn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
kl = mg
mg

l =
+ω=

k

=

k
=
m

0,1.10
25

l0

= 0,04 (m

25
= 5 10 = 5π
0,1

• - ∆l

(Rad/s)

+ m dao động điều hoá với phơng trình

l

x = Asin (t + )
Tại thời điểm t = 0
x = 2 cm > 0

•0(VTCB)
)
•x

v = 10π 3 (cm/s) <0
Ta cã hƯ

2 = ASin ϕ →Sin ϕ >0
-10π 3 = 5π.Acosϕ →cosϕ <0

Chia 2 vÕ

tgϕ =

−1
5π
⇒ϕ=
(Rad) → A = 4(cm)
6
3

VËy PTD§:
x = 4sin (5t +

5
) (cm)
6

b) Tại VTCB lò xo dÃn l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị d·n ∆l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ë thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dÃn 2cm lần đầu tiên
thì v<0.
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +

5π
)
6


sin (5t +
5t +

đều)

5
1
)=
6
2

5
7
1
=
t=
(s)
6
6
15

( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn

Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phơng thẳng đứng vật nặng có khối lợng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm
t = 0, kéo m xuống dới VTCB để lò xo giÃn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận
tốc 25cm/s hớng lên ngợc chiều dơng Ox (g = 10m/s2)
a. CM vật dđđh.
b. Viết PTDĐ
Lời giải
a. Tại VTCB kl = mg kl = 0,4.10 = 4 l =

4
(mét)

k

Tại thời điểm t = 0, kÐo m xng díi VTCB, lß xo d·n 2,6 cm
→ x = 2,6 - ∆l = 0,026 -

4
( mÐt)
k

=> k > 153,8 N/m

Chiều dơng 0x hớng xuống x >0
Tại t = 0
x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E = 1 kx 2 + 1 mv 2 = 25.10 −3 (J)
2

2

Ta cã ph¬ng tr×nh:
1
4
1
k(0,026 − ) 2 + .0,4.(0,25) 2 = 25.10 −3
2
k
2
4 2
) = 0,025

k

⇔

k(2,6.10-2 -

⇔

0,0262.k2 - 0,233k + 16 = 0 ⇔

VËy k = 250 N/m → ω =
T¹i t = 0

k
=
m

x = 1cm
>0
v = -25cm/s < 0

k = 250 (N/m) TM
k = 94,67 (N/m) lo¹i

250
= 25 (Rad/s)
0,4


1 = Asin ; sinϕ >0

ϕ=

3π
Ra®
4

-25 = 25Acosϕ; cosϕ<0

A=

2 cm

2 sin(25t +

Vậy phơng trình điều hoà là x =

3
) (cm)
4

M
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt
L1
L2
là k1= 30 (N/m) và K2 = 30 (N/m)
đợc gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh h×nh vÏ. KÐo M däc theo trơc lò xo
tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang.
Bỏ qua ma sát.

1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật

vật.

Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của

Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x 1 + x2 với x1; x2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng
dÃn hoặc nén).
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x1 = −
VËy x = −

F
k1

; x2 = −

F
k2

1 1
F F
−
= −F +
k k
k1 k 2
1

2
1

1

1

Mặt khác F = - kx ⇒ k + k = k
1
2
¸p dơng ®Þnh luËt 2 N:

F = m.a = mx''
k

k .k

1 2
→ mx'' = - k.x hay x'' = - ωx2 víi ω2 = m = m(k + k )
1
2

VËt dao ®éng điều hoà theo phơng trình
x = Asin (t + )
Vậy vật dao động điều hoà
* Phơng trình dao động


k
=

m

ω=
Khi t = 0

Ta cã hÖ

k1 .k 2
=
m(k1 + k 2 )

30.20
= 10 (Rad/s)
0,12(30 + 20)

x = 10cm>0
v = 0 cm/s
10 = Asinϕ ; sinϕ >0

⇒

ϕ=

0 = ωAcos ; cosϕ = 0
Vậy phơng trình dao động là


2

A = 10 (cm)

) (cm)
2
2. Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx

x = 10sin (10πt +

→ Lùc phôc håi cực đại Fmax = +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3
cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên. Bỏ
qua ma sát (g = 10m/s2 ; π2 = 10).
1. Chøng minh vËt dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính Fmax mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1. Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống
gốc 0 tại VTCB
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi
lò xo.
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò
1
xo cùng độ cứng và chiều dài và bằng lực đàn hồi
2
tổng cộng)
F = 2F0 -Kx = -2kx
⇒ K = 2k
+ T¹i VTCB: → +

P

→ = →

2P

Hay mg - 2k∆lo = 0

0

(1)

k

k
F0

F0

•O

m
P

+


+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dÃn ∆l = x + ∆l0
→
Hỵp lùc: → + →

P 2F dh = F

Tõ (1) (2)

mg - 2k(∆l0 + x) = F (2)
F = -2kx

Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx''⇒ x''= −

2k
x
m

→ x = Asin (ωt + )
Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s)
Ta cã hÖ

3 = A sinϕ ; sinϕ > 0
- 40 2 = 10 2 Acosϕ ; cos < 0

2
Biên độ A = 32 + 40 .2 = 5 cm

200

Ta cã hÖ

3 = 5sinϕ

→

sinϕ = 0,6

-40 2 = 10 2 .5.cosϕ

→ ϕ 143,130

cos ϕ = -0,8

→ϕ ≈ 2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10 2 t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi nh một lò xo ®é cøng K = 2k = 50 N/m
∆l0 =

mg 0,25.10
=
= 0,05 m = 5 (cm)
K
50

Khi vËt ë vÞ trÝ thÊp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
Fđhmax = K (A + ∆l0) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)

Bµi 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối
vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1, L2 có độ cøng k1= 60N/m, k2= 40
N/m. Ngêi ta kÐo vËt ®Õn vị trí sao cho L 1 bị dÃn một đoạn l = 20 (cm) thì
thấy L2 không dÃn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban

đầu. Bỏ qua ma sát và khối lợng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dơng hớng từ A B,chọn t = 0 là lúc thả vËt.
a) CM vËt D§§H?


b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lợng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cờng độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A,
T
B ở thời điểm t= .
2
Lời giải
a) CM vật DĐĐH



+ Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.



F01

+ Khi vật ë VTCB lß xo L1 d·n ∆l1

F02

lß xo L2 d·n ∆l2

x

Khi ®ã vËt ®Ĩ L1 d·n ∆l = 2cm ;
0

L2khi nén k dÃn thì l chính là độ biến
dạng tổng céng cña vËt ë VTCB.

G
x

∆l = ∆l1 + ∆l2 = 20 (cm) (1)
→

→

→

→

→

→

→

+ Tỉng hỵp lùc b»ng 0 : P + N + F01 + F02 = 0 → F01 + F02 = 0
Hay

+ K1∆l1 - k2∆l2 = 0 (2)
+ Khi vËt cã li ®é x> 0 ®é d·n cđa L1là (l1+ x) cm, L2 là (l2 - x)

Tổng hợp lùc P + N + F1 + F2 = m a
Hay

- k1 (∆l1+ x) + k2(∆l2 - x) = mx''

⇔ - (k1+ k2) x = mx''
⇒ x'' =

−

k1 + k 2
k + k2
.x = −ω 2
− 1
m
m
víi ω2 =

VËy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vËt D§§H
b) ω =

k 1+ k 2
=

m

60 + 40
= 10 (Rad/s)
0,1

+ Biên độ dao động A = l2 (vì A =

B

A

02
x + 2 = x = ∆l 2 )
ω
2

+


Gi¶i (1), (2)

∆l1 + ∆l2 = 20

∆l1= 8cm
∆l2= 12cm -> A = 12cm

60∆l1 + 400∆l2 = 0
t = 0 -> x0 = Asin ϕ = A

→ ϕ=

v0= ωAcosϕ = 0

π
2

VËy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t +
Chu kì dao động T =


) (cm)
2

2
2
=
= 0,2 (s)
10

Năng lợng
E = 1 KA 2 = 1 .100.(,012) 2 = 0,72 (J)
2

2

c) Vẽ và tính cờng độ các lực

+ Khi t = T = 0,1 (s) th× x = 12 sin (10.0,1Π + ) = -12 (cm)
2

2
Vì vậy, tại t =


vật ở biên độ x = - A
2

Tại vị trí này lò xo l1 bị nén 1 đoạn A - l1 = 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L2 bị giÃn một đoạn 2A = 24 (cm)




+ Lực tác dụng của lò xo L1 và L2 lên A, B lần lợt lµ F1 , F2
F1 = 60.0,04 = 2,4 (N)
→

→

F2 = 40.0,24 = 0,6 (N) ( F , F cïng chiÒu dơng)
1
2
Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các
hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật
nặng có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma
sát khối lợng của r2 và lò xo dây treo k dÃn.
Khối lợng k đáng kể.
1. Tính độ dÃn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng

a

b


rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải
1) Hình a
+ Chọn chiều dơng ox hớng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phơng trình lực







T0 + F0 = 0








T0 + P0 = 0

ChiỊu lªn ox

→

T0

-T0 + K∆l = 0
-T0+ mg = 0

T0
O

⇒ T0 = k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T0 = 1N

→

→

F0

P

+
x

∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* H×nh b


Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox

F0

-T0 + mg = 0
→

-k∆l + 2T0= 0
⇒

T0

T0 = mg = 1 (N)

0 (VB)

l = 10 (cm)
2) Chứng minh vật DĐĐH



P

Hình a: + Khi vËt ë VTCB lß xo d·n ∆l → k∆l - mg = 0
+ Khi vËt ë li ®é x lß xo d·n ∆l + x
F = mg - T
→

T - k(∆l + x) = 0
→
→ F = mg - k∆l0 - kx ⇒ F = -kx

¸p dơng ®Þnh luËt II N → - kx = mx'' = −
Víi ω =

k
x = −ω 2 .x
m

k
→ x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
m

* Hình b: Khi vËt ë VTCB lß xo d·n ∆l →

1
k∆l - mg = 0
2

+
x


Khi vật ở li độ x lò xo dÃn l +

x
2

mg - T = F
2T - k(∆l +
→ F = mg -

x
)=0
2

1
k
k
k∆l - x → F = − x
4
4
2

Hay − k x = mx'' → x = −
4

k
x = - ω2 x víi ω =
4m

k
4m

x = Asin (ωt + ϕ) vật dao động điều hoà
Bài 7: Một vật có khối lợng m = 400g đợc gắn
trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50
(N/m) đặt m1 có khối lợng 50 g lên trên m. Kích thích
cho m dao động theo phơng thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ
qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên ®é dao ®éng lín
nhÊt cđa m, ®Ĩ m1 kh«ng víi khối lợng m trong quá

trình dao động (g = 10m/s2)

m1
m

Lời giải
Khi m1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = 2x
Giá trị lớn nhÊt cña gia tèc (amax = ω2 A)
NÕu m1 rêi khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g
Vậy điều kiện để m1 không rời khỏi m
g
amax < g ⇔ ω2A < g ⇒ A< 2
ω
+ω=

50
10
k
= 125 → A <
→ ω2=
= 0,08 (m) = 8cm
0,4
125
m

→ Amax = 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động nh hình vẽ, khối
lợng lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g,

k

M

vo

m0


có thể trợt không ma sát trên mặt phẳng ngang.
1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm råi bu«ng nhĐ. TÝnh V TB cđa M
sau khi nã ®i qịang ®êng 2cm .
2) Gi¶ sư M ®ang dao động nh câu trên thì có 1 vật m 0 = 50g bắn vào M
theo phơng ngang với vận tốc v o . Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra
tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn v o , biết rằng sau khi va chạm
m0 gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A' = 4 2 cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB

4 M1

ã

Một dđđh có thể coi là hình chiếu
của chuyển động tròn đều của 1 chất
điểm nh hình vẽ. Khoảng thời gian vật đi
từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời
gian vật chuyển động tròn đều theo cung
M1M2
t=

a

với =
=
3ω

-> t =

M2•

α

+ ω

2

k
50
= 5 π (Rad/s)
=
m
0,2

π 1
1
(s)
.
=
3 5π 15

VTB =

S
= 30cm( s )
t

2 - Theo c©u 1, M cã li độ x0 = a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn
nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m0) có vận tốc v
ĐLBT động lỵng: (M + m0) v = m0.vo

(1)

+ Sau v/c hƯ dđđh với biên độ A' = 4 2 cm và tÇn sè gãc
ω' =

k
=
M + m0

50
= 10 2 (Rad/s)
0,2 + 0,05


L¹i cã v =

2
ω' ( A ' ) 2 − x0

Tõ (1) | v0 | =

= 40

2

(m/s)

( M + m0 ) v (0,2 + 0,5).40 2
=
= 200 2 (cm/s)
m
0,05

Bµi 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiỊu cao h =
10cm tiÕt diƯn s = 50cm2 đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng
D = 103 (kg/m3) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn
4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox nh hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm
trong chất lỏng có chiều cao h0, lò xo bị
dÃn 1 đoạn l0

F 0 dh
F 0A

0

Phơng trình lực :

mg- F0A - kl0= 0

mg − F0 A
→ ∆l0=
k

P
(1)

Víi F0A = Sh0Dg
0,4.10 − 50.10 −4.0,05.10 3.10
→ ∆l0 =
= 0,01 (m) = 1 (cm)
150

2) Chøng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lß xo d·n ∆l0+ x
KÐo vËt xng díi VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
h
xmax= 4(cm) < luôn có F A tác dụng vào vật khi nã dao ®éng
2

+x


F =P +F

A

+F dh

→ F = mg - S(h0+ x) Dg - k(∆l0 + x)
= mg - Sh0Dg- k∆l0- SDgx - kx
F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx''
→ mx'' = - (SDg + k)x ⇒ x'' = ω2.x víi ω2 =

SDg + K
m

→ x = Asin (ωt + ϕ) vËy vËt dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =

2
m
0,4
= 2
= 2π
−4
ω
SDg + K
50.10 .10 3.10 + 150

= 0,28 (s)
3. C¬ năng E
Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo cã ®é cøng k' = SDg+ K = 200 N/m

Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
Cơ năng: E =

1 ' 2 1
k A = .200.(0,04) 2 = 0,16 (J)
2
2

Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo đợc chuyển động kÐo m khái VTCB 10cm däc theo
trơc lß xo råi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s2).
1. Tìm chiều dài quÃng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3. Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quÃng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho
đến lúc dừng lại ở đây cơ năng E = 1 KA 2 = Fms .S = µ.mg.S
2

1 KA 2
80.0,12
.
=
= 2(m )
→S=
2 M .mg 2.0,1.,02.10


2 - Độ giảm biên độ

1
chu kì vật
2
đến VT biên độ lớn A2. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đờng
A1+ A2
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lín A 1 sau

1
2 µ .mg
1
KA21 - KA22 = µmg (A1 + A2) → A1 - A2 =
k
2
2
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 =
Vậy A =

4 à .mg
= const
k

3 - Thêi gian dao ®éng
TÝnh ∆A:

∆A =

4.0,1.0,2.10
= 0,01 (m) = 1 cm
80

Số chu kì thực hiện đợc :
Vậy thời gian dao động là

n = A = 10 (chu kú)
∆A
t = n.T = 3,14 (s).

2 µ .mg
k


Phần II

con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tơng ứng là
T1; T2, tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó,
con lắc có chiều dài l 1 + l2 , chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài
l1 - l2 có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T1, T2, l1, l2.
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l1 có chu kì

T1= 2. l1

+ Co lắc chiều dài l2có chu kì

T2= 2. l 2

+ Con lắc chiều dài l1 + l2 cã chu k×

T3= 2Π.

→ l1 + l 2 =

( T ' )2 .g
4π

2

=

( 0,8) 2 .10
4π

2

Tõ (3) (4)

( T ' )2 .g
4π

2

=

( 0,9)2 .10
4π

2

→ l1=

l2 = 0,3 (m) = 3cm
T1= 2Π

0,51
= 1,42 (s)
10

T2= 2Π

0,3
= 1,1 (s)
10

2
T2

4π

2

.g

(1)

(2)

l1 + l 2
g

(3)

l1 − l 2
g

= 0,2025 (m) = 20,25 cm

l1= 0,51 (m) = 51cm

Thay vµo (1) (2)

g

= 0,81 (m) = 81 cm

+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu k× T' = 2Π.

→ l1 - l 2 =

2
→ l1= T1 .g
g
4π2

(4)


Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lợng m, kéo con lắc ra khỏi
VTCB một góc 0 rồi thả không vận tốc đầu.

1. Lập BT vận tốc tơng ứng với li độ góc suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây øng víi li ®é gãc α. Suy tab t lùc căng dây cực
đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, α0 = 60 ; g = 10(m/s2); 2= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tơng ứng với li độ


+ Theo định luật bảo toàn cơ năng,
cơ năng của con lắc tại VT li giác bất kì
bằng thế năng của con lắc tại VT biên.
1
mgh0 = mgh + (mv2)
2
→

I
h0 - h

v2 = 2g (h0 - h)2
(v2 = 2gl (1 - cos)

víi

h0 = l(1 - cosα)
h = l(1 - cosα)
→

v2 = 2gl (cosα - cosα0)

VËy ®é lín vt : | v | =

2gl(cos α − cos α 0 )


Vì cos = 1- 2sin
2
2

2
khi << cos = 1
2

2
Tơng tù cos α0 = 1 − 0
2
|v|=

gl(α 2 − α 2 )
0

+ Vận tốc cực đại khi = 0, vËt ë VTCB 0


| vmax | = α 0 gl
+ ¸p dơng sè:
| vmax |= 6.

π
. 10.1 = 0,33 (m/s) = 33cm/s

180

2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc
+ §Þnh luËt 2 N F = P + T = ma
Chiều lên phơng dây treo
Fth = -mg.cos +T = maht
v2
v2
T = mgcosα + m.
= m (gcosα +
)
l
l
v2 = 2gl (α2- 2) ta đợc
T = mg (3cos - 2 cos0) = mg (20 -

3 2
+ 1)
2

+ Lực căng dây cực ®¹i khi α = 0, vËt ë VTCB
Tmax = mg (α20+ 1)
Thay sè
 6π  2
 1
Tmax= 0,1 - 10 
+ 1 = 1,01 (N)
 + 1 =
 150 
 90

+ Lực căng dây cực tiểu khi = 0 , vËt ë VT biªn
Tmin = mg (1 -

1 2
α 0)
2

Thay sè
 1  6π  2 
Tmin = 0,1.10 1 − 
  = 0,99 (N)
2  150  





Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lợng
m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận tốc ban
đầu v0 lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc
của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc .
Xét trờng hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tơng ứng với li góc
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác
Bằng động năng của con lắc ở VTCB

1
1
mv 2 + mgh = mv 2
0
2
2

I

→ v2 = v20 - 2gh

v0 P
l

v 2 − 2gl(1 − cos α)
0

α
Khi gãc α << th× 1 - cosα = 2sin2 2
|v|=

=

α2
2

v 2 − 2glα 2
0

+ Vận tốc cực đại khi = 0 | vmax | = v0 , vËt ë VTCB
Thay sè | vmax | = 1m/s
+ VËn tèc cùc tiÓu khi α = α0
v0 = α0

gk → vmin = 0

* Lùc căng dây
F = P + T = ma
= mgcos + T = maht

T
l

h

v2= v20- 2gl(1 - cosα)
⇒|v|=

l


→ T = mgcosα + m

v2
v2
= m(gcosα +
)
l
l

Thay v2 ë trªn
 v2 
T = mg  0  + 3 cos α − 2
 gl 
 
α
α2
+ Khi α nhá: cosα = 1 -2sin2 2 = 1 - 2
2
T = mg ( v 0 + 1 − 3 α 2 )
gl
2

+ Lực căng dây cực đại khi = 0, con l¾c ë VTCB
2
Tmax = mg + mv 0
l

+ Lùc căng dây cực tiểu khi = 0(con lắc ở VTCB)
v0 = α0

2
gl → α2 = v 0
0
gl

v2
v2
3 v2

→Tmin= mg ( 0 + 1 − . 0 ) = mg(1 − 0 )
gl
2 gl
2gl
¸p dơng
2
Tmax = 0,1.10 + 0,1.1 = 1,1( N )
1
2
Tmin = 0,1 . 10 (1 − 1 ) = 0,95 (N)
2.10.1

Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh
chậm thế nào khi đa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và
TPHCM lần lợt là 9,7926 m/s2 9,7867 m/s2 . Bá qua sù ¶nh hëng của nhiệt độ.
Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc nh thế


nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T1= 2 .

l
= 2 (s)
g1

+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T2 = 2 π.

l
g1

T1
g
9,7926
= 1 =
≈ 1,0003
T2
g2
9,7867
→T2= 1,0003T1 = 2,0006 (s)
+ V× T2>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời
gian chạy chậm là:
t = 24.60.60.

T1 T 2
= 26 (s)
T1

+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
T'2 = 2 π.

l'
= 2 (s)
g2

l'
l

l ' g1
⇒ =
VT T1 = T
=
g2
g2
l g2
'
2

Thay số:
l'= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lợng là
l = l'- l = 0,0006l
VT l =

2
g1 .T1

4π

2

nªn ∆l = 0,0006.

2
g1 .T1

4π2

Thay sè
∆l = 0,0006.

9,7926 x 4
4π2

= 0,0006 (m) = 0,6 mm

Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối
lợng m = 100 (g), đợc treo tại nơi có gia tốc träng trêng g = 9,8 (m/s2).
1.TÝnh chu kú dao ®éng nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dơng q = 2,5.10-4 tạo ra đờng trờng đều có
cờng độ E = 1000 (v/m).
HÃy xác định phơng của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ
của con lắc trong các trờng hợp.
a) Véctơ E hớng thẳng xuống dới
b) Véctơ E có phơng nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T0 = 2 π.

l
1
= 2 (s)
≈ 2.3,14.
g
9,8

2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrờng đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:

P = m g : Trọng lực

T: lực căng của dây
F d = q E : lực điện trờng
+ Coi con lắc dao động trong trờng träng lùc hiƯu dơng g'
'
'
P = P + Ed = m g

Khi CB dây treo con lắc có phơng của P ' và chu kì dao động nhỏ đợc tính
theo công thức:
T' = 2 .

1
g'

a) E thẳng đứng xuống dới




+ g> 0 nªn F d cïng híng víi E , tức là
thẳng đứng xuống.

VTCB






Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phơng
thẳng đứng.
Ta có: P' = P + F®
⇒ mg'= mg + qE
⇒ g'= g +

qE
m

+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc
T = 2 π.
'

1
g'

= 2π

1
qE
g+
m

Thay sè
1
T = 2.3,14.
2,5.10 − 4.10 −3 = 1,8 (s)
9,8 +
0,1
'

b) Trêng hỵp E n»m ngang
+) E d có phơng với P
Khi CB, dây treo lệch góc so với phơng thẳng đứng, theo chiều của lùc
®iƯn trêng.
tg δ =

Fd

=

P

qE
mg

2,5.10 − 4.10 3
≈ 0,255
0,1.9,8

→ tg δ =

~ 140

+ Chu kì dao động của con lắc
T= 2
'

Từ hình vẽ:

l



T

g'

+

P

Fd
P

'


P' =

P
g
→ g' =
> ⊗g

cos α
cos α
T’ = 2 π.

Do ®ã:

l cos δ
= T0 cos δ
g

0
→ T'= T0 cos δ = 2 cos14 1,97 (s)

Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T 0, tại nơi ga =
10m/s2 . Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
trên đờng ngang thì dây treo hợp với phơng thẳng đứng 1 góc 0 = 90
a) HÃy giải thích hiện tợng và tính gia tốc a của xe.
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hÃy tính chu kì T của con lắc
theo T0.
Lời giải
a) Giải thích hiện tợng:
Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn
phải chịu 3 lực tác dụng.
+ Trọng lực P = mg



+ Lực căng dây T
v0

+ Lực quán tính F = ma 0
Khi con lắc ở VTCB

+

P

F
P

'

P + T + Fq = 0
F q ngỵc chiỊu với a 0 nên ngợc chiều với v 0
Vậy lực F q làm cho dây treo lệnh 1 góc về phía ngợc với chiều chuyển
động của xe.
tg =

Fat ma a
=
=
P mg g

α<< → tgα ≈ α

do ®ã


a ≈ gα = 10.

π
.9 ~ 1,57 (m/s2)
180

b) ThiÕt lËp hệ thức giữa T0 và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'

P = P + F qt = mg

'

(Coi con lắc dao động trong trờng gia tốc ghd = g')
Từ hình vẽ

P'=

P
mg
g
=
g' =
>g
cos cos
cos

Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức
T = 2 π.

L¹i cã

l
g'

T0 = 2 π.

l
g

T
g
g cos α
=
=
= cos

T0
g
g'
Vậy T = T0 cos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lợng
m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con l¾c lƯch khái VTCB 1 gãc α0 = 60 rồi thả nhẹ cho
dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi nh
không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là = 30 coi chu kỳ dao
động của con lắc nh khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lợng
không đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma

sát tối thiểu là len. (g = 10m/s2, 2 = 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lợng không đổi


+ Lúc đầu, li giác cực đại là 0 , cơ năng của con lắc là:
E0= mgh0= mgl(1 - cos)
2
0
1 - cosα = sin2 2

→

1
mglα 2
0
E0 = 2

+ Sau nöa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là 1, cơ năng
của con lắc là:
E1=

1
mgl 2
0
2

1
mgl (α20 - α21)
2

→ E0- E1 =

+ Sau nöa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại 2, cơ
năng của con lắc là:
E2=
E1- E2=

1
mgl 22
2

1
mgl (21 - 22)
2

Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm E
E = (E0- E1) + (E1- E2) =
∆E =

1
mgl (α20 - α22)
2

1
mgl (α0 - α2)(α0 + α2) = mgl0.
2

+ Công của lực cản:
AC = (S0 + 2S1+ S2)Fc~ 7S0Rc ~4α0kFc

→ mglα0 . ∆α = 4α0lFc
→ ∆α =

4Fc
= const
mg

Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lợng không đổi (đpcm).


2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2 .

l
1
= 2 (s)
= 2.
g
10

+ Độ giảm năng lợng trong N chu kì là
E =

1
1
1
mgl 20 - mgl 2 = mgl (α20 - α2)
2
2

2

1
π2
(6 2 − 32 ) = 2,08.10 2 (J)
E = .0,5.10.
2
180 2
+ Công suất của động cơ là
E E 2,08.10 12 = 1,04.10-5 W
=
=
=
t
N.T
100.2
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nớc biển, ở nhiệt độ 100C, một đồng hồ quả lắc
trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ nh 1 con lắc đơn
thanh treo con lắc có hệ số nở dài = 2.10-5 K-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t 0 là 60C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ.
Giải thích hiện tợng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nớc biển. Coi trái
đất là hình cầu có bán kính R = 6400 km.
Lời giải
1. Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ
Giả sử đồng hồ chạy ®óng ë t0 C víi chu k×
T = 2π

l (1 + λt 1 )

l
= 2π 0
g
g

ë t1 = 1000, chu kì là T1= 2

l 0 (1 + t 1 )
g