ôn thi đại học môn toán: chuyên đề khảo sát hàm số docx

PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
*)Các quy tắc đạo hàm
Quy tắc cộng: (u
±
v)’ = u’
±
v’
Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số
(u.v)’ = u’v +uv’;
(u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’
Quy tắc chia:
2
u u'v uv'
'
v v
−
 
=
 ÷
 
DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1.Nhị thức bậc nhất : có dạng f(x)= ax+b (
0a ≠
).
2.Xét dấu nhị thức bậc nhất :
+ Tìm nghiệm nhị thức: ax+b=0
b
x

a
−
⇒ =
+ Lập BXD
+Dựa vào BXD kết luận
Chú ý: TRƯỚC TRÁI, SAU CÙNG.
1 0977.991.861
Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm hợp
(C )
’
= 0
(x)’ =1
( )
,
1
x .x ; R
α α−
= α α∈
( )
1
u ' .u .u'; R
α α −
= α α ∈
2
1 1
'
x x
−
 
=

 ÷
 
2
1 u'
'
u u
−
 
=
 ÷
 
1
( x)'
2 x
=
u'
( u)'
2 u
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = -u’.sinu
(tanx)’ =
2
1
cos x
=
1+tan
2
x (tanu)’ =
2

u'
cos u
=
u’(1+tan
2
u)
(cotx)’ =
2
1
sin x
− =
-(1+cot
2
x) (cotu)’ =
2
u
sin u
− =
-u’(1+cot
2
u)
( )'
( )' .ln
x x
x x
e e
a a a
=
=
( )' '

( )' '. .ln
u u
u u
e u e
a u a a
=
=
1
(ln )'
1
(log )'
.ln
a
x
x
x
x a
=
=
'
(ln )'
'
(log )'
.ln
a
u
u
u
u
u

u a
=
=
x

−∞

b
a
−

−∞

f(x)
Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1.Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng
2
( 0)ax bx c a
+ + ≠
2.Xét dấu tam thức bậc hai :
+ Tìm nghiệm tam thức:
2
0ax bx c
+ + =
tính
2
4b ac
∆ = −

*Nếu
0
∆ <
thì tam thức vô nghiệm
( f(x) cùng dấu a,
x R
∀ ∈
)
* Nếu
0
∆ =
thì tam thức có nghiệm kép
2
b
x
a
−
=
( f(x) cùng dấu a,
2
b
x
a
−
∀ ≠
)
* Nếu
0
∆ >
thì tam thức có 2 nghiệm

1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
(
1
x
<
2
x
)
(Trong trái , ngoài cùng)
+ Dựa vào BXD kết luận.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC BA
 tam thức bậc ba: có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3:
SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC 2 VỚI CÁC SỐ:
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) VỚI α, β là 2 số thực
x
1
< α < x
2
x
2
> x

1
> α x
1
< x
2
< α x
1
< α < β < x
2
x
1
< α < x
2
<β α < x
1
< x
2
<β
af(x) < 0







>−
>
>∆
0

2
0)(
0
α
α
S
af







<−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af



<
<

0)(
0)(
β
α
af
af



>
<
0)(
0)(
β
α
af
af









<<
>
>
>∆

βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
Muốn có



<<<
<<<
21
21
xx
xx
βα
βα
ta phải có
0)()( <
βα
ff
SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC 2 VỚI Số 0:
x
1
< 0 < x

2
x
2
> x
1
> 0 x
1
< x
2
< 0
P < 0






>
>
>∆
0
0
0
S
P






<
>
>∆
0
0
0
S
P
Định lý Vi –et: với tổng là S, tích là P, ta có:
2 0977.991.861
x

−∞

−∞

f(x) Cùng dấu với a
x

−∞

2
b
a
−

−∞

(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
x

−∞

1
x

2
x

−∞

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
x

−∞

1
x

2
x

−∞

f(x) Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
3
x
0
23
=+++ dcxbxax

a
b
xxS
−
=+=
21
a
c
xxP ==
21
.
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DẤU CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ ĐẠO HÀM
BÀI 1) Giải các bất phương trình sau
1)
034
2
>+− xx
2)
03323
2
≤−+− xx
3)
0
32
2
≥
+
−
x

x
4)
0)34)(2(
2
>+−− xxx
5)
0)65)(12(
2
≤+−− xxx
6)
0)45)(107(
22
≤−+−+− xxxx
7)
0)76)(13112(
22
≥+−−−− xxxx
8)
0
12
65
2
≤
−
+−
x
xx
9)
0
23

152
2
>
−
−+
x
xx
10)
0
1073
107
2
2
>
++−
+−
xx
xx
11)
0
54
752
2
2
≤
−+
+−−
xx
xx

12)
0)76)(1)(72(
2
≥+−−−− xxxx
13)
0)189)(25)(17(
2
≤+−−−− xxxx
14)
0
1610
)2)(752(
2
2
≤
+−
−+−−
xx
xxx
BÀI 2) Tìm tập xác định:
1)
)189)(86(
22
+−+− xxxx
2)
)1)(963(
2
−+−− xxx
3)
76

2
+−− xx
4)
1
8113
2
−
++
x
xx
5)
1610
)86(
2
2
+−
+−
xx
xx
6)
13103
)3)(1275(
2
2
+−−
−+
xx
xxx
7)
1610

)2)(75(
2
+−
−+
xx
xx
8)
)5)(2(
107
2
−−
+−
xx
xx
BÀI 3) Tính đạo hàm
1)
5 2
1 4
3 2
5 7
y x x x= − + −
2)
2
1
x
y
x
=
+
3)

( )
6
3 2
2 4y x x= + +
4)
1
2 3
x
y
x
+
=
−
5)
2
3 1
2
x x
y
x
+ −
=
+
6)
2
3 2y x x= − +
7)y =
32
20103
2

2
++
++
xx
xx
8)y =
32 ++− xx

9)y = x +
2
4 x
−
10)
=
+
sin
x
y
x cosx
11)
sin sin 5y x x=
12)
1
3 1
y
x
−
=
+
BÀI 4)CMR

a)
= + =
4 4
1
( ) sin ; ( ) 4
4
f x x cos x g x cos x
; CMR: f’(x) = g’(x)
b)y = x.sinx, CMR: xy – 2(y’ – sinx) + xy’’ = 0 c)
2
cos 3=y x
. CMR: y’’ + 18.( 2y-1 ) = 0
d)
2
2
cos
x
y =
. CMR:
cos siny x y x y
′
− =
. e)
4 4
cos siny x x= −
.CMR:
2 2 0siny x
′
+ =
f)

( )
2
2cos cosf x x x=
;
( )
2 2
1
2
2
sin sing x x x= +
.CMR:
( ) ( )
0f x g x
′ ′
+ =
.
BÀI 5) Với giá trị nào của m thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt?
a)
3 2
3y x mx mx m= − + + − −
b)
( ) ( )
3
2
1 3 4
3
x
y m x m x= − + − + + −
c)
= − + − −

3 2
( ) (3 ) 2
3 2
mx mx
f x m x
BÀI 5)
1)
= − −
2
( ) 2 8f x x x
. Giải:
≤
'( ) 1f x
.
2)Cho
= − + − −
3 2
( ) (3 ) 2
3 2
mx mx
f x m x
; Tìm m để: a)
> ∀
'( ) 0 f x x
;b)
'( )f x
có 2 nghiệm pb cùng dấu.
3)Cho y= x
3
-3x

2
+ 2. Tìm x để : a/ y’ > 0 b/ y’< 3
4)Cho f(x) = x
3
– 2x
2
+ mx – 3. Tìm m để: a/ f’(x)
≥
0 mọi x
5)Cho
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
; Tìm m để y’ ≤ 0
3 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
1. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
a) Nếu f’(x) > 0 ,
∀
x
∈
(a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b)
b) Nếu f’(x) < 0 ,

∀
x
∈
(a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b)
c) Nếu f’(x) = 0 ,
∀
x
∈
(a; b) thì f(x) không đổi dấu trên (a; b)
2. Định lý (M ở rộng ) :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)
⇔
y’
≥
0,
∀
x
∈
(a; b)
( dấu bằng chỉ xảy ra ở một vài điểm hữu hạn)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a; b)
⇔
y’
≤
0,
∀
x
∈
(a; b)
( dấu bằng chỉ xảy ra ở một vài điểm hữu hạn)

Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:
Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:
B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm y', Giải PT y' = 0 (nếu có)
Chú ý đến phương pháp xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
B3: Lập BBT và kết luận.
Bài tập:
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:
a)
3 2
2 2y x x x= + + −
b )
3
3 2y x x= − +
c)
3 2
2 3 2y x x= − + +
d)
3 2
3 3 12y x x x= − + −
e)
4 2
2 5y x x= − +
f)
4 2
4 1y x x= − + −
2. Xét tính đơn điệu của hàm số:
a)
1
2

x
y
x
+
=
−
b)
2 1
1
x
y
x
−
=
+
c)
1
3 2
x
y
x
−
=
−
3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:
a)
2
2 6y x x= − +
b)
2

4y x x= − +
c)
2 1y x= +

Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 sgk/10
Dạng 2: Bài toán tham số m
Chú ý:
Hàm số ĐB  y’
≥
0, với mọi x ∈ TXĐ Hàm số NB  y’
≤
0, với mọi x ∈ TXĐ
2
0
0,
0
a
ax bx c x R
>

+ + ≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

2
0
0,
0
a
ax bx c x R

<

+ + ≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

2
0
0,
0
a
ax bx c x R
>

+ + > ∀ ∈ ⇔

∆ <

2
0
0,
0
a
ax bx c x R
<

+ + < ∀ ∈ ⇔

∆ <


Hàm số phân thức đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi y’ > 0 với mọi x thuộc D
BÀI TẬP
4. Cho hàm số y = . .CM hàm số luôn nghịch biến với mọi m
5. CMR hàm số luôn luôn nghịch biến trên TXD y =
2223
2010)2123()13( mxmmxmx ++−+−−
4 0977.991.861
PHẦN II: KIẾN THỨC 12
PHẦN II: KIẾN THỨC 12
2011)94(2
3
1
2223
+++−+− mxmmxx
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
6. Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
. CMR:hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
7. CMR hàm số luôn luôn đồng biến trên TXĐ:y =
1)12(
3
1

223
+++−++ mxmmmxx
8. CMR hàm số luôn luôn đồng biến trên TXĐ: y =
2223
2010)214()1( mxmmxmx ++−+−−
9. Tìm m để hàm số
( )
3
2
1
3
x
y x m x m= − + − +
đồng biến trên R (Đs:
2m ≥
)
10. Tìm m để hàm số
( )
3 2
3 3 2 1 1y x mx m x= − + − +
đồng biến trên R (Đs:
1m =
)
11. Tìm m để hàm số
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x= − + + − +

nghịch biến trên R
12. Tìm m để hàm số
( )
2 3 2 2
5 6 6 1y m m x mx x m= − + + + + −
đồng biến trên R (Đs:
5
0
3
m− ≤ ≤
)
13. Tìm m để hàm số
( )
( )
3
2
1
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +
đồng biến trên R (Đs:
2m ≥
)
14. Xác định m để hàm số
3 2
2 1
3 2

x mx
y x= − − +
. Đồng biến trên
( )
1; +∞
. Nghịch biến trên
( )
; 1−∞ −
15. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + +
. Định m để Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
16. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + +
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
b. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
; 1−∞ −
17. Tìm m để hàm số
3 2
3 1 2y x x mx m= + + + −

nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 (Đs:
9
4
m =
)
Dạng 3: Sử dụng sự biến thiên để chứng minh Bất đẳng thức
18. a) Chứng minh: tanx > x,
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 
b) Chứng minh: 2sinx + tanx > 3x ,
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1 xác định CĐ, CT:
1. Tìm TXĐ
2. Tính y’. Tìm các điểm làm cho y’=0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên

4. Kết luận
Quy tắc 2 xác định CĐ, CT:
1.
Tìm TXĐ
2.
Tính y’.giải PT y’= 0 tìm các x
i
(i=1,2,3)

3.
Tính y”. Tính y”(x
i
)
4.
Dựa vào dấu y”(x
i
) kết luận:
 Nếu y”(x
i
) < 0thì hàm số đạt cực đại tại x
i
 Nếu y”(x
i
) > 0thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
Chú ý: Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hay cực tiểu tại x
0
thì f’(x
0
) = 0 ( Điều ngược

lại chưa chắc đúng)
5 0977.991.861
)12()6(
3
1
23
+−+++= mxmmxxy
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
DẠNG 1: Sử dụng Quy tắc 1 và 2 để tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm f’(x). Giải PT f’(x) = 0, tìm nghiệm
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ BBT, suy ra các điểm cực trị của hàm số.
BÀI TẬP (lưu ý đối với hàm lượng giác ta nên dùng quy tắc 2)
1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
– 36x -10 b) y = -x
3
+ 6x
2
+ 15x + 10 c) y = x
3
– 3x
2
– 24x + 7
b) y = -5x

3
+ 3x
2
– 4x + 5 e) y = x
4
+ 2x
2
– 3 f) y = x
2
( 2 – x
2
)
g) y = sin2x h) y = sinx + cosx i) y = sin
2
x
Dạng 2: Bài toán chứng minh
2. Chứng minh hàm số luôn luôn có CĐ, CT (tức là có 2 cực trị).CM:
a) y=
3 2 2 3
3 3( 1)x mx m x m− + − −
b) y=
( )
3
2 2 2
1 ( 1)
3
x
mx m x m− + − + −
c) y=
3 2 2

(2 1) ( 2)x a x a x a− − + − +
d. y = -x
3
- 3x
2
+ 4m
2
x. e)
( )
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m
= − + − −
3. Chứng minh hàm số không có cực trị CM:
a) y =
3 2 2
(2 1)x mx m m x m− + − − + +
. b) y =
c) y = d) y =
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số:
Cho hàm sô
( )
xfy =
,đồ thị là (C).
− Nghiệm của PT
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )

0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


<


thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x=
.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=



>


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x=
.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA:
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
− Để hàm số
( )
y f x=
không có cực trị 
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung  x
CĐ
.x

CT
> 0
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT
x x⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ >

⇔

>

.
− Để hàm số
( )
y f x=

có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
BÀI TẬP
4. Tìm m để hàm số có cực trị (tức có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị):
a) y = x
3
- 3(m+1)x +m + 2 b) c) y =
3 2
2 1x x mx
− + −

d) y =
3 2
3 3 1x x mx m
− + + −
e)
5.3).2(
23
−+++= xmxxmy
f) y =
3 2
1
( 3) 2
3
m x x mx m
+ − + +
6 0977.991.861
2011)94(2
3
1
2223
+++−+− mxmmxx
1)12(
3
1
223
+++−++ mxmmmxx
2223
2010)214()1( mxmmxmx ++−+−−
m
y

∀>∆ 0
'
m
y
∀≤∆ 0
'



>∆
≠
⇔
0
0a
0
≤∆
Chuyờn KSHS mt s bi toỏn liờn quan Lờ Hng Tht
5. Tỡm m hm s khụng cú cc tr (tc khụng cú C, CT)
a) b) y=
3 2
2 1x x mx +
(m<4/3)
c)
53)2(
23
+++= mxxxmy
d)
)12()6(
3
1

23
++++= mxmmxxy
6. Vit PT T qua hai cc tr bi tp 2, bi tp 4.
Hm s
3 2
y ax bx cx d= + + +
Ly y chia cho y, c thng l q(x) v d l r(x). Khi ú y = r(x) l T i qua 2 im cc tr.
7. Cho hàm số
1
2
1
3
1
23
+++= mxxxy
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm khác phía so với trục tung,
c) Tìm m để hàm số 2 cực trị nằm bên phải đờng thẳng x = 1;
8. Xỏc nh m, k hm s cú 3 cc tr, (cú 1 cc tr)
Phng phỏp : Tớnh y. phõn tớch y thnh y=(x-x
0
)(ax
2
+bx+c),vi x
0
l 1 nghim y=0.
g(x)= ax
2
+bx+c . Hs cú 3 cc tr <=> ax
2

+bx+c=0 cú 2 nghim phõn bit khỏc x
0
.
Cú 1 cc tr: <=> ax
2
+bx+c=0 vụ nghim hoc cú nghim kộp l x
0
<=>









=
0
0
0
a
a
a) y = mx
4
+ (m
2
9).x
2
+ 3m + 2. b) y = mx

4
+ (m
2
4).x
2
+ 3m + 1.
c)
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + +
. H B 2002 d)
( )
4 2
1 1 2y kx k x k= + +
9. CMR hm s luụn cú 1 cc tr:
a)
2012
2
1
224
++= xmxy
b)
2011)1(2
224
++= xmxy
c)
2013)2011(
2
1
4

1
24
++= mxy
10. CMR hm s luụn cú 3 cc tr:
a)
2224
)12(2 mxmxy
++=
b)
2242
2)2011(
4
1
mxxmy
++=
c)
( )
201121
4
1
242
++=
xxmmy
11. Cho hm s
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + + + +
. nh m th hm s cú hai cc tr
ng thi honh ca im cc tiu nh hn 1.
12. Cho hm s

( )
( )
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= + +
. nh m hm s cú cc tr u dng.
13. Cho hm s
3 2 2
2 2y x mx m x= +
. Tỡm m hm s t cc tiu ti x = 1
14. Tỡm m hm s
3 2
2
( ) 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số có CĐ hay CT
3
y x mx m x= + +
?
15. Cho hm s
3 2
1y mx mx= +
. Tỡm m hm s t cc tiu ti x =
2
3
16. Cho hm s
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1

1 2 3 , 1
3
y m x m x m x m= + + + +
. Tỡm m th hm s nhn gc
ta lm im cc tiu.
17. Cho hm s y = x
3
+ (m+3)x
2
+ 1 m. tỡm m hm s t cc i ti x = -1
18. Cho y = - (m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x 5. Tỡm m hm s t cc i ti x = 1
19. Cho y = mx
3
+ m
2
x
2
x + 3. tỡm m hm s t cc i ti x = -1
20. Cho hm s
3 2
2 ã 12 13y x x= +
. Tỡm a hm s cú C, CT v cỏc im cc tr cỏch u Oy.
21. Tỡm cỏc h s a, b, c sao cho hm s:
3 2

( ) axf x x bx c= + + +
t cc tiu ti im x = 1, f(1) = -3
v th ct trc tung ti im cú tung bng 2
Chỳ ý:
1.
Cỏch tớnh tung cc tr ca hm s y = f(x) ti x
0
- Hm s bt k : thc hin phộp th y
0
= f(x
0
)
- Hm a thc: chia o hm ( ly y chia cho y c thng l q(x) v d l r(x)).
Khi ú, y = q(x).y + r(x). Vỡ hm s t cc tr ti x
0
nờn y(x
0
) = 0.
Do ú, giỏ tr cc tr y
0
= r(x
0
) ( tc l th x
0
vo phn d r(x) tớnh tung cc tr)
7 0977.991.861
mmxxmxy 26)1(32
23
++=

>


,0)(
0
0
0
xg
a
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
2.
Khoảng cách giữa hai điểm:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;A x y B x y AB x x y y⇒ = − + −
3.
A(x; y) thuộc trục hoành khi y = 0, B(x;y) thuộc trục tung khi x = 0
Bài tập:
22. Cho hàm số
3 2
3 4y x x m= − +
. Chứng minh hàm số luôn có 2 cực trị. Khi đó hãy xác định m để
một trong hai điểm cực trị đó thuộc trục hoành. ( Đs: m = 0; hoặc m = 1)
23. Cho hàm số

( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + +
. Chứng minh hàm số luôn có cực đại,
cực tiểu tại x
1
, x
2
và x
1
– x
2
không phụ thuộc vào m.
24. Cho hàm số
( ) ( )
3 2 2 2
2( 1) 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + + +
. Tìm m để hàm số có cực đại,
cực tiểu tại x
1
, x
2
và
1 2
1 2
1 1
2
x x
x x
+

+ =
( Đs: m = 5; m = 1
25. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 2 1y x m x m m x= − + + + +
. Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Xác định m để hoành độ của các cực trị đó dương.
26. Cho hàm số
( )
3 2
(1 2 ) 2 2y x m x m x m= + − + − + +
. Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu
đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. (Đs:
( )
5 7
; 1 ;
4 5
m
 
∈ −∞ − ∪
 ÷
 
)
27. ( B – 2007) Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2

-1) – 3m
2
- 1 (1), m là tham số.Tìm m để hàm số
(1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O (Đáp số : m
= ½ ; m = - 1/ 2)
28. (CĐ 2009) Cho hàm số y = x
3
– (2m – 1)x
2
+ (2 – m)x + 2 (1) .
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành độ
dương
29. (B – 2002) Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10y mx m x= + − +
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
30. Cho hàm số y =
4 2
1 3
2 2
− +x mx
(C). Tìm m để đồ thị hàm số chỉ có 1 cực tiểu mà không có cực đại
31. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +
. Tìm m để đồ thị hàm số chỉ có 1 cực tiểu mà không có
cực đại
32. Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +

. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam
giác vuông cân.
33. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ (m
2
+ 2m − 3)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại
và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
34. Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
. Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai
điểm cực trị ,viết PT ĐT qua điểm cực trị đó.
35. Cho hàm số
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết PT ĐT
qua điểm cực đại, cực tiểu đó.
36. (A – 2002)Cho hàm số
( )
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m= − + + − + −
. Viết PT ĐT qua điểm cực đại, cực
tiểu của hàm số.
37. T×m m ®Ó hµm sè
37)(

23
+++= xmxxxf
cã ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu vu«ng gãc víi
®êng th¼ng
73 −= xy
38. Cho hàm số y = x
3
-3(m+1)x +m + 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và ĐT nối 2 điểm cực
đại, cực tiểu qua điểm M(4;-2)
BÀI 3: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
I. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D
( )
0 0
( ) ,
,
f x M x D
x D f x M
≤ ∀ ∈


⇔

∃ ∈ =


; ký hiệu:
( )
D

Max f x M=
8 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D
( )
0 0
( ) ,
,
f x m x D
x D f x m
≥ ∀ ∈


⇔

∃ ∈ =


; ký hiệu:
( )
D
Min f x m=
 Phương pháp tìm GTLN,GTNN trên:
Khoảng (a;b) Đoạn [a;b ]
1. TXĐ
2. Tính y’.giải PT y’=0 tìm các điểm cực trị
3. Lập bảng biến thiên.
4. Nhìn bảng biến thiên kết luận.
Làm bài tập 4, 5 trang 24 sgk
• TXĐ

• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
( )
0
;x a b∈
• Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M , KL :
[ ]
;
max
a b
y M=
Chọn số nhỏ nhất m , KL :
[ ]
;
min
a b
y m=
BÀI TẬP
39. Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] b)
5 3
5 20 2y x x x= − − + +
trên đoạn [-2;2] .
c) y = 2x

3
– 3x
2
– 12x + 1 trên
5
2;
2
 
−
 
 
d) y = x
3
– 3x + 3 trên [-2; 2] e)
52)(
24
+−== xxxfy
với x
∈
[-2; 3]
f)
4 2
2 3y x x= − +
trên đoạn
[ ]
3;2−
g)
( )
3
6 2

4 1y x x= + −
trên
[ ]
1;1−
  Tìm GTLN,NN của các h.số trên (thay đoạn thành khoảng):
40. Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra
a)
2
1
x
y
x
−
=
−
trên đoạn [2;4] và [-3;-2] b)
1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 3] c)
3 1
3
x
y
x

−
=
−
trên đoạn
[ ]
0;2
41. Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:
1)
= + 2 cos2 4sin y x x
[0; ]
2
π
. 2)
sin 2xy x= −

;
2
π
π
 
−
 
 
. 3)
2cosxy x= +
0;
2
π
 
 

 
4)
3
4
y 2 sin x sin x
3
= −
[0; ]
π
(TN-04) 5) y = 2sinx + sin 2x
3
0;
2
π
 
 
 
6)
];0[;1cossin
2
π
++= xxy
7) y = 5cosx – cos5x trên
;
4 4
π π
 
−
 
 

8)
];0[;cos2sin3
32
π
xxy +=
9) y = sin
4
x + cos
2
x + 2 trên [0;π]
10)
3xcosxcosy
2
+−=







π
2
;0
11)
10sin12sin3sin2
23
+−−= xxxy
; 12)
xxy 2coscos2

4
−−=
13)
xxy
43
sin
4
3
sin1 −+=
14)
];0[;12cossinsin
2
2
π
+−+= xxxy
15)
x
x
y
4cos3
4cos
+
=
16)
[ ]
3;1;
2
x
e
x

y =

17)
[ ]
3;2;
ln
x
x
y =
18)
[ ]
4ln;2ln;
ee
e
y
x
x
+
=
19)
[ ]
3;0;
2
2
xx
ey
−
=
20)
[ ]

2;0;
33
2
+−
=
xx
ey
21)
[ ]
2;1;. −=
x
exy
22)
[ ]
exxy ;1;ln.=
23)
[ ]
2;3;.
22
−=
x
exy
24)
[ ]
0;2);21ln(.
2
−−−= xxy

BÀI 4: TIỆM CẬN
1. Tiện cận đứng: Nếu xảy ra một trong các trường hợp

lim ; lim ; lim ; lim
0 0 0 0
y y y y
x x x x x x x x
+ + − −
= +∞ = −∞ = +∞ = −∞
→ → → →

Thì tiệm cận đứng là : x = x
0
2. Tiệm cận ngang: Nếu xảy ra một trong các trường hợp
lim lim
0 0
;y y y y
x x
= =
→+∞ →−∞
9 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Thì tiệm cận ngang là: y = y
0
3. Chú ý: Tiệm cận chỉ có ở Hàm số hữu tỉ.
4. Quy tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x
g x
lim ( )
0
f x

x x→
lim ( )
0
x
x x
g
→
Dấu của g(x)
lim
0
( )
( )
x x
f x
g x
→
L
±∞
Tùy ý 0
L>0
0
+ +
∞
- -
∞
L< 0 + -
∞
- +
∞
Các quy tắc trên vẫn đúng cho trường hợp

0 0
;x x x x
+ −
→ →
5. Cách tìm
( )
lim
( )
f x
x
g x
→±∞
: Chia tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất rồi áp dụng
lim ; lim 0
c
c c
k
x x
x
= =
→±∞ →±∞
6. Nhắc lại:
Cho điểm M(x
0
; y
0
). ĐT d
1
; d
2

lần lượt có PT: x – a = 0, y – b = 0.

Khoảng cách từ M đến d
1
là | x
0
– a|

Khoảng cách từ M đến d
2
là | y
0
– b|
BÀI TẬP
42. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
1)
2
x
y
x
=
−
2)
3 1
1
x
y
x
+
=

+
3)
2
2 1
x
y
x
−
=
+
4)
5
2
y
x
=
+
5)
3
1
x
y
x
+
=
−
6)
3 2
3
x

y
x
−
=
+
7)
1
1
x
y
x
−
=
+
8)
1
2 1
x
y
x
+
=
−
9)
2 1
2
x
y
x
−

=
+
10)
3 2
3 1
x
y
x
−
=
+
11)
5
2 3
y
x
=
−
12)
4
1
y
x
−
=
+
43. Cho hàm số
4
2 3
x

y
x m
−
=
+
. CM: Với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số luôn qua
7 1
;
4 2
B
 
− −
 ÷
 
44. Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
. Tìm m để tiệm cận đứng của đồ thị qua
( )
1; 2A −
45. Cho hàm số
2
3
x

y
x
+
=
−
. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiện cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiện cận ngang.

BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
I - HÀM BẬC BA y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
  Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc ba:
Bước 1 : TXĐ : D=R
Bước 5 : Lập bảng biến thiên
Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’=0 tìm các điểm cực
trị.
Bước 6: Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)
 Hàm số đạt CĐ tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đạt CT tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đồng biến trên khoảng ?
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Bước 3 : Tính các giới hạn:
•
3 2
( 0)
lim ( )
( 0)

x
a
ax bx cx d
a
→+∞



+∞ >
+ + + =
−∞ <

•
3 2
( 0)
lim ( )
( 0)
x
a
ax bx cx d
a
→−∞



−∞ >
+ + + =
+∞ <
Bước 7 : đồ thị
 Bảng giá trị

x
y
 Vẽ đồ thị
Bước 4 : Tìm điểm uốn :
Tính y’’.giải y’’=0 tìm điểm uốn
NHẬN XÉT: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng.
10 0977.991.861
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
 Chú ý : Có 2 loại đồ thị
BÀI TẬP
Bài 1)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x
3
+ 3x
2
– 3 b) y =
43
3
1
3
++− xx
. c) y = x
3
+ x – 2. d) y= - x
3
+ 3x
2
-4
e) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1, f) y = -x
3

+ 3x
2
– 5x + 2 g) y=
3 2
1

3
x x− −
h) y = x
3
- 3x + 1
II - HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y = ax
4
+ bx
2
+ c( a ≠ 0 )
  Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc 4 trùng phương
Bước 1 : TXĐ : D=R Bước 5 : Lập bảng biến thiên
Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’=0 tìm các điểm cực
trị.
Bước 6 : Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)
 Hàm số đạt CĐ tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đạt CT tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đồng biến trên khoảng ?
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Bước 3 : Tính các giới hạn:
4 2
( 0)
lim ( )
( 0)
x
a
ax bx c
a
→±∞




+∞ >
+ + =
−∞ <
Bước 7 : đồ thị
 Bảng giá trị
x
y
 Vẽ đồ thị
Bước 4 : Tìm điểm uốn :
Tính y’’.giải y’’=0 tìm 2 điểm uốn
NHẬN XÉT: Đồ thị nhận Oy làm tâm đối xứng.
 Chú ý : Có 2 loại
đồ thị
Bài 2)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x
4
– 2x
2
. b) y = f(x) = x
4
+ 2x
2
-1. c) y = -x
4
+2x
2
+ 3. d)

4
2
5
3
2 2
x
y x= − +
. e)
2
3
3
2
1
24
+−= xxy
11 0977.991.861
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a <
0
a >
0

Dạng 2: hàm số ko có cực
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a <
0
a >
0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
xO
I
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
III - HÀM NHẤT BIẾN:
ax b
y
cx d
+

=
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) với
  Các bước cơ bản khảo sát hàm nhất biến
Bước 1 : TXĐ :
 
= −
 
 
d
D R
c
Bước 4 : Lập bảng biến thiên
Bước 2 : Tính
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.  ad−bc > 0 thì y
/
>0, ∀ x ∈D
 ad−bc < 0 thì y
/
< 0, ∀ x ∈D
Kết luận : (bắt buộc có)

* hàm số ko có cực trị. * hàm số luôn tăng (giảm) trên
Bước 5 : đồ thị
 Bảng giá trị
x
y
 Vẽ đồ thị : vẽ 2 tiệm cận trước.
Bước 3 : Tiệm cận:
• là tiệm cận đứng vì
• là tiệm cận ngang vì
NHẬN XÉT: Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm
cận làm tâm đối xứng.
 Chú ý : Có 2 loại đồ thị
Bài 3)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y =
1
12
+
−
x
x
b) y =
2
1
+
−
x
x
c) y =
1

1
−
+
x
x
d) y=
x
x
−
−
3
32
e) y =
1−x
x
f)
2
2
−
+
x
x
IV – CÁC BÁI TOÁN LIÊN QUAN:
VẤN ĐỀ 1 : TIẾP TUYẾN
Loại 1: TT của đồ thị tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.với TT là (d)
− Tính đạo hàm f’(x) và giá trị

( )
0
'f x
.
− PT TT có dạng (d):
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
Bài 4)
Viết PT TT với (C) biết:
a. ( C ) :
3
1y x x= + +
tại
( 2; 9) ( )
o
M C− − ∈
b. ( C ) :
4 2
2 5y x x= − +
tại
( )
o
M C∈
có tung độ
8
o
y =
c. ( C ) :
3

2 2,
o
y x x M= − +
là giao điểm của ( C ) với đt
2y =
d. ( C ) :
3
2 ,y x x= −
với
o
M
là giao điểm của ( C ) và Oy
e. ( C ) :
4 2
2 5 3y x x= − +
với
( )
o
M C∈
là giao điểm của ( C ) và Ox.
Loại 2: Biết hệ số góc của TT là
k
. với TT là (d)
− Giải PT:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.

− PT TT dạng (d):
( )
0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý:

Nếu thì k = a.

Nếu thì
12 0977.991.861
c
a
y
c
d
x =−=
00
.
0
xx =
0
yy =
±∞=
+
→
y
xx
0
lim ±∞=

−
→
y
xx
0
lim
0
lim yy
x
=
±∞→
baxyd +=∆ ://
baxyd +=∆⊥ :
a
k
1
−=
6
24
+−−= xxy
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Bài 5)
Cho (C)
73)(
3
+−== xxxfy
. Viết PT TT với (C) biết:
a) TT này song song với y= 6x-1 . b) TT vuông góc với
2
9

1
+−= xy
.
Bài 6)
Cho ( C )
3 2
3 5 2.y x x x= − + − +
Viết PT TT với ( C ) biết TT đó:
a. Song song với đt :
2 3 0x y+ − =
b. Vuông góc với đt :
29 2 0x y− + =
Loại 3: TT của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là ĐT qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ PT sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'

A A
f x k x x y
f x k

= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với
nhau là hệ sau có nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=



.
Bài 7)
Cho ( C )
2
.
1
x
y
x
−
=
+
Viết pttt với ( C ) biết TT :
1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm
(2;1)A
Bài 8)
Cho ( C ) :
3 2
3 2y x x= − +
.Viết pttt với ( C ) biết TT
a. Tại điểm có hòanh độ
3
o
x = −
b. Qua
(2; 2)A −

Bài 9)
Cho ( C ) :
3

2
2 3 1
3
x
y x x= − + −
, viết PT TT biết TT đó qua
(0; 1)K −
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 10)
Cho hàm số
4 2
2y x x= −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết PT TT ∆ của (C):
a) Tại điểm có hoành độ
2x =
. b) Tại điểm có tung độ y = 3.
c) ∆ //
1
: 24 2009d x y− +
= 0. d) ∆ vuông góc với:
2
: 24 2009d x y+ +
= 0.
Bài 11)
Cho ( C ) :
3
.
1
x

y
x
−
=
+
Viết pttt với ( C ) biết :
a. Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy b. TT song song với đt
4 2y x= +
c. Tại K có hoành độ bằng -2 d. Vuông góc với đt
4 3 0x y+ − =
Bài 12)
Cho hàm số (ĐH-D-10)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết PT TT của đồ thị (C),biết TT vuông góc ĐT
Bài 13)
Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH −B - 08)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết PT TT của đồ thị hàm số (1), biết rằng TT đó đi qua điểm M(–1;–9).
Bài 14)
Cho hàm số
2
1
x
y
x
=

+
. (ĐH−D - 07).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm điểm M thuộc (C), biết TT của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB =
1
4
.
Bài 15)
Cho đồ thị hàm số
( )
3 2
: 3 4C y x x= − +
.
Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 TT với (C).
Bài 16)
Cho đồ thị hàm số
( )
4 2
: 2 1C y x x= − +
.
Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 TT đến (C).
Bài 17)
Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x= − +
.
13 0977.991.861
1
6

1
−= xy
Chun đề KSHS – một số bài tốn liên quan Lê Hồng Thật
Tìm các điểm trên ĐT y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 TT với (C).
Bài 18)
Cho hàm số
2x3xy
3
+−=
(1).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết PT TT của đồ thị hàm số (1) biết rằng TT đó đi qua A(1;0).
Bài 19)
(D – 2005) Gọi (C
m
) là đồ thò của hàm số : y =
3 2
1 m 1
x x
3 2 3
− +
( m là tham số). Gọi M là điểm thuộc
(C
m
) có hòanh độ bằng – 1 . Tìm m để TT của (C
m
) tại M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
Bài 20)
Cho hàm số
( )

4 2
1 9
2
4 4
f x x x= − −
. Viết PTTT tại giao điểm của đồ thị với Ox (y =
±
15x – 45)
Bài 21)
Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
. Viết PT TT của đồ thị biết TT có hệ số góc là -5
Bài 22)
( A – 2009) cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
.Viết PTTT của đồ thị hàm số biết TT đó cắt trục hồnh, trục tung

tại A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ. ( đs: y = -x – 2)
Bài 23)
(D-2002) Cho hàm số
( )
2
2 1
1
m x m
y
x
− −
=
−
. Tìm m để đồ thị tiếp xúc với ĐT y = x.
VẤN ĐỀ 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT BẰNG ĐỒ THỊ
  Phương pháp
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) (1)
+ (1) là PT hồnh độ giao điểm của
( ) : ( )
( ) :
y f x C
y g m song song hoac trung Ox
=


= ∆

+ Do đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của ∆ và (C).
+ Lập bảng biện luận.
+ Kết luận

BÀI TẬP
Bài 24)
Cho hàm số y = - x
3
+ 3x + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x
3
- 3x + m = 0
Bài 25)
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt:x
3
+ 3x
2
+ 1 = m/2
Bài 26)
Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x

4
– 6x
2
+ 3 = m
Bài 27)
Cho hàm số y =
23
3
1
xx −
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của PT:
0233
23
=−+− mxx
Bài 28)
Cho hàm số
5
2
3
3
1
23
+−= xxy
(C). (TN-10)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm các giá trị m để PT
06
23

=+− mxx
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 29)
Cho hàm số y =
23
3xx +−
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để PT sau có đúng một nghiệm :
013
23
=−++− mxx
Bài 30)
Cho hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
có đồ thị (C)
14 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Dùng đồ thị (C) , xác định k để PT
3 2
x 3x k 0− + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài 31)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 3

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Biện luận theo m số nghiệm của: x
3
– 3x
2
+ 2 - m = 0
Bài 32)
Cho hàm số
4 2
y x 2x 1= − −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm của PT
032
24
=−++− mxx
c. Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+ 3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Dựa vào đồ thị, tìm m để PT: x
4
– 2x
2
+ m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 33)
(A – 2002) Cho hàm số y = -x
3

+ 3mx
2
+ 3(1 –m
2
)x + m
3
– m
2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1
b. Tìm k để PT : -x
3
+ 3x
2
+ k
3
– 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 34)
(A – 2006) Cho hàm số y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Tìm m để PT sau có 6 nghiệm phân biệt:
2|x
3
| - 9x

2
+ 12|x| = m
Bài 35)
(B – 2009) Cho hàm số y = 2x
4
– 4x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Tìm m để PT sai có 6 nghiệm phân biệt:
x
2
|x
2
– 2| = m
Bài 36)
( Học viện hành chính quốc gia – 2001)
Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Biện luận theo m số nghiệm của PT :
|x
3
| - 6x
2
+ 9|x| – 3 + m = 0
Bài 37)
Cho hàm số y = x

3
– 3x – 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Định m để PT
3
2
3 1 logx x m− − =
có 6 nghiệm phân biệt.( đs: 1<m<2)
Bài 38)
Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Định m để PT
4 2
2 log 0x x m− − =
có 6 nghiệm phân biệt.( đs: 1<m<10)
  Chú ý: Giải bất PT bằng đồ thị
1. Để giải bất PT f(x) > 0 bằng đồ thi ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = f(x), xác định giao điểm của
đồ thị với trục hoành, chọn nghiệm ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.
( Đối với bất PT f(x) < 0 thì chọn ngược lại)
2. Để giải bất PT f(x) > g(x) bằng đồ thị ta vẽ đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x), xác định hoành
độ giao điểm, chọn nghiệm ứng với phần đồ thị f(x) ở phía trên đồ thị g(x).
VẤN ĐỀ 3 : CÁC ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN.
  Phương pháp
Đối với hàm hữu tỉ: dùng phép chia đa thức để tìm số dư rồi lý luận số dư phải là số nguyên ( đa
thức thương thường phải có hệ số nguyên)
Nếu thương có hệ số không nguyên: Quy đồng mẫu các hệ số rôì lý luận đa thức chia hết cho mẫu
BÀI TẬP ( Tìm toạ độ nguyên ở bài tập 3)

Bài 39)
Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a.
1
1
x
y
x
+
=
−
. b.
3 2
2
x
y
x
+
=
+
c.
3
2 1
x
y
x
−
=
−
15 0977.991.861

Chun đề KSHS – một số bài tốn liên quan Lê Hồng Thật
VẤN ĐỀ 4: GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ
 Chú ý:
- Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hồnh là nghiệm của PT f(x) = 0
- Điều kiện PT bậc 2 có nghiệm phân biệt, nghiệm dương
- Định lý Vi-et, cơng thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng.
Nhắc lại:
1.
ĐT d qua A(x
1
; y
1
) và có hệ số góc k thì có PT : y = k(x-x
1
) + y
1
2.
Cho
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;M x y N x y MN x x y y⇒ = − + −
3.
Khoảng cách từ một điểm đến một ĐT: Cho ĐT
: 0Ax By C∆ + + =
và điểm M(x
0
;y
0
) khi đó

( )
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
BÀI TẬP
Bài 40)
Tìm m để đồ thị hàm số
( )
( )
2
1y x x mx m= − + +
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biêt
Bài 41)
Cho hàm số y = x
4
– mx
2
+ m - 1 ( m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hồnh tại 4 điểm
phân biệt. ( Đs: m > 1 và
2m
≠
)
Bài 42)
Cho hàm số (ĐH-A-10)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 sao cho
Bài 43)
Cho hàm số (ĐH-B-10)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)hàm số.
b. Tìm m để ĐT y = -2x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
( O là gốc toạ độ)
Bài 44)
Khảo sát hàm số y = x
3
− 6x
2
+ 9x − 1 (C). Gọi d là ĐT đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để
ĐT d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 45)
Cho hàm số y = x
3
+ ax + 2. Tìm a để đồ thị hàm số trên cắt trục hồnh tại một và chỉ một điểm.
Bài 46)
Cho hàm số
1x
y
x
−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để ĐT y = mx – 2m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt.
c) Tìm m để ĐT y = mx – 2m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.

Bài 47)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Với giá trị nào của m thì ĐT (d) qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ( Đs:
m< 0 hay m> 12)
c) Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.
Bài 48)
Cho hàm số y = x
3
– 3x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi d là ĐT qua tâm đối xứng của đồ thị và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Bài 49)
Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
- x – m. Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt và
hồnh độ các giao điểm lập thành cấp số cộng. (m = 0; 3; -3)
16 0977.991.861
BIỆN LUẬN THEO M SỐ GIAO ĐIỂM CỦA(C): y = f(x) và (C’): y=g(x;m)
 Lập PTHĐGĐ: f(x) = g(x; m)

⇔
F(x, m) = 0 (*)
 Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
 Dựa vào điều kiên có nghiệm của phương trình để biện luận
mxmxxy +−+−= )1(2
23
4
2
3
2
2
2
1
<++ xxx
1
12
+
+
=
x
x
y
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Bài 50)
Cho hàm số
3
1
x
y
x

+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh với mọi m, ĐT y = 2x + m luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm m để MN ngắn
nhất.
Bài 51)
Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
– 1 có đồ thị (C). Gọi d là ĐT đi qua M(0; -1) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt
(C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương.( đs:
9
0
8
k− < <
)
Bài 52)
Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 3(m
2
– 1)x – m
3
. Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt, trong đó có đúng 2 điểm có hoành độ âm.
Bài 53)

Cho hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh với mọi m, ĐT
1
2
y x m= −
luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để AB ngắn
nhất.
Bài 54)
Cho hàm số: y =
2 1
1
x
x
−
+
(C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Gọi d là ĐT đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m. Định m để d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B
sao cho I là trung điểm của đoạn AB.
c. Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.
Bài 55)

(CĐSP HCM 2005) Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Xác định m để ĐT y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các TT của (C) tại A, B song
song với nhau.
Bài 56)
( Tuyển sinh đại học khối D – 06) Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 có đồ thị (C). Gọi d là ĐT đi qua A(3; 20)
và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 57)
(Tuyển sinh đại học khối D – 08) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh mọi ĐT qua I(1; 2) có hệ số góc k, k > -3) đều cắt đồ thị (C) tại 3 điểm I, A, B sao cho I
là trung điểm AB.
VẤN ĐỀ 5: ĐIỂM ĐỐI XỨNG
I. Đối xứng qua trục
1. Hai điểm

( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua trục tung
A B
A B
x x
y y
= −

⇔

=

2. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua trục hoành
A B
A B
x x
y y
=

⇔

= −


3. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua đường y = x
A B
A B
x y
y x
=

⇔

=

4. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua đường y = -x
A B
A B
x y
y x
= −

⇔


= −

5. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua ĐT d
êm I cua AB thuôc d
AB d
trung di
⊥

⇔


II. Đối xứng qua điểm
6. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua gốc tọa độ
A B
A B
x x
y y
= −


⇔

= −

17 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
7. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua điểm I
2
2
A B I
A B I
x x x
y y y
+ =

⇔

+ =

III. Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I( x
0
; y
0
) làm tâm đối xứng
Chuyển hệ trục tọa độ Oxy sang IXY theo công thức biến đổi

0
0
x X x
y Y y
= +


= +

Biến đổi hàm số y = f(x) thành Y = F(X)
Chứng minh Y = F(X) là hàm số lẻ
Chú ý:
Hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn
Hàm nhất biến có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận
BÀI TẬP
Bài 58)
Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2

+ 3(m
2
-1)x +1 – m
2
có đồ thị (C). Xác định m để trên đồ thị có một cặp điểm
đối xứng qua gốc tọa độ.
( đs: 0<m<1)
Bài 59)
Cho hàm số y = x

3
+ mx
2

+ 9x +4 có đồ thị (C). Xác định m để trên đồ thị có một cặp điểm đối xứng qua
gốc tọa độ. ( đs: m <0)
Bài 60)
Cho hàm số y = x
3
+ mx
2

+7x +3 có đồ thị (C). Xác định m để trên đồ thị có một cặp điểm đối xứng qua
gốc tọa độ. ( đs: m <0)
Bài 61)
( Khối B – 2003) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m. tìm m để đố thị có 2 điểm đối xứng qua gốc tọa độ
Bài 62)
Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x= − + + −
. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

Bài 63)
Cho hàm số y = 2x
3
– 3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x + 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị có 2 điểm cực trị đối
xứng qua ĐT y = x + 2
Bài 64)
Chứng minh đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 có tâm đối xứng là I(-1; 1)
Bài 65)
Chứng minh đồ thị hàm số y = - x
3
+ 3x – 2 có tâm đối xứng là I(0; -2)
VẤN ĐỀ 6: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
( )
y f x=
Ta có ,
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
f x khi f x
y f x
f x khi f x


≥

= =

− ≤


. Do đó đồ thị hàm số
( )
y f x=
có thể suy ra được từ đồ thị (C)
của hàm số
( )
y f x=
như sau:
 Phần của (C) nằm trên trục hoành, ta giữ nguyên
 Phần của (C) nằm dưới trục hoành, ta bỏ đi và thay vào đó là phần đối xứng của phần vừa bỏ qua
trục hoành.
2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
( )
y f x=
Ta có
( )
y f x=
là hàm chẵn . Do đó đồ thi của nó đối xứng qua trục tung
Với
0x
≥
, ta có

( )
f x f x=
. Vậy đồ thị của hàm
( )
y f x=
có thể suy ra được từ đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
như sau:
 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung ( ta tạm gọi là (C
1
) ), bỏ phần bên trái.
 Phần bên trái trục tung có được bằng cách lấy đối xứng của (C
1
) qua trục tung.
3. CÁC TRƯỜNG HỢP KHÁC:
Trong trường hợp không có một trong 2 dạng trên, ta tiến hành như sau:
o Xét dấu biểu thức chứa trong giá trị tuyệt đối
o Trong mỗi trường hợp xét ở trên, ta tìm quan hệ với hàm số đã vẽ đồ thị để suy ra đồ thị
của nó.
18 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật

3
3 2y x x= − +
3
3 2y x x
= − +

3

3 2y x x= − +

3
3 2y x x= − +

3
3 2y x x= − +

3
3 2y x x= − +

1
1
x
y
x
+
=
−

1
1
x
y
x
+
=
−

1

1
x
y
x
+
=
−
BÀI TẬP
Bài 66)
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
19 0977.991.861
Chun đề KSHS – một số bài tốn liên quan Lê Hồng Thật
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 4= + −
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3 2
y | x | 3x 4= + −
c. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
y 2x 6x 1= − +
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3
y 2x 6x 1= − +

d. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
y x 2x 1= − −
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
4 2
y x 2x 1= − −
e. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 4
1
x
y
x
− −
=
+
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
2 4
1
x
y
x
− −
=
+
f. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x

−
=
+
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+

VẤN ĐỀ 7: ĐIỂM CỐ ĐỊNH – ĐIỂM MÀ ĐỒ THỊ KHƠNG THỂ ĐI QUA
Phương pháp:
Cho (Cm): y = f(x, m) . Tìm các điểm cố đònh của (Cm) khi m thay đổi
* Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (Cm) luôn đi qua
* M(x
0
; y
0
) tuộc (Cm)
⇔
y
0
= f(x

0
)
* Biến đổi y
0
= f(x
0
,m)
⇔
Am + B = 0 hoặc Am
2
+ Bm + C = 0 về dạng
( )



=
=
0
0
B
A
I
hoặc
( )





=

=
=
0
0
0
C
B
A
II
(
m∀
) Giải hệ ta được các cặp nghiệm (x
0
; y
0
). Đó chính là toạ độ các điểm cần tìm
Bài 67)
Cho hàm số y = x
3
– (m+1)x
2
– (2m
2
-3m+2)x + 2m(2m+1) (Cm) . Tìm điểm cố định mà họ (Cm)
ln đi qua với mọi m. Định m để (Cm) tiếp xúc Ox.
Bài 68)
Cho hàm số y = mx
3
+ (1 – m)x+1 có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các điểm mà (Cm) khơng bao giờ
đi qua với mọi m.

Giải: Gọi M (x
0
; y
0
) là điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua
M(x
0
; y
0
) không thuộc (Cm)
⇔
(x
3
– x)m + x + 1 – y ≠ 0 với mọi m



≠−+
=−
⇔
01
0
3
yx
xx




≠

−=



≠
=



≠
=
⇔
0
11
1
0
y
x
y
x
V
2y
x
V

Bài 69)
Cho đường cong (Cm): y = (m+1)x
3
– 2mx
2

– (m – 2)x + 2m +1. CMR: (Cm) ln đi qua
3 điểm cố định.













=
=



−=
−=



=
=
⇔




=−++
=+−−
⇔
13
2
2
1
4
1
012
022
3
23
y
x
y
x
y
x
y xx
xxx
BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 70)
Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại điểm

( )
2;4M
.
Viết PT TT của (C) tại điểm có hồnh độ
1
2
x =
.
Viết PT của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
20 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Bài 71)
Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3 2
3 0x x m− + =
.
Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ là
1
2
.
Viết PT TT của (C) , biết hệ số góc của TT
9= −k
.
Viết PT TT với (C) , biết TT song song với ĐT
( )
: 3 2= +d y x

.
Bài 72)
Cho hàm số
3
4 3 1y x x= − −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm PT :
− + =
3
3
0
4
x x m
Viết PT TT của (C), biết TT song song với ĐT
( )
1
15
: 10
9
= − +d y x
Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT
( )
2
: 1
72
= − +
x
d y
Viết PT TT của (C) , biết TT đi qua điểm
( )

1, 4M −
.
Bài 73)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - -
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT
( )
1
2
: 2010
3
d y x= +
Viết PT ĐT đi qua
( )
2;3M
và tiếp xúc với đồ thị (C).
Tìm m để ĐT
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Viết PT ĐT đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 74)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - + -
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT

( )
1
2
: 2
3
= − +d y x
Viết PT ĐT đi qua
1
1;
4
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C).
Tìm m để ĐT
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất .
Tìm m để ĐT
( ) ( )
3
: 1d y m x= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 75)
Cho hàm số
( ) ( )
2
2 1y x x= - +

(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm m để đồ thị (C’)
( ) ( )
2 2y x m= − −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT
( )
1
3
: 4
8
= − +d y x
Tìm m để ĐT
( ) ( )
2
: 1= +d y m x
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 76)
Cho hàm số
3
2
2 3 1
3
x
y x x= − + +
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của PT :
3 2
6 9 3 0x x x m− + + − =
Viết PT TT của (C) tại điểm có hệ số góc TT nhỏ nhất .

Viết PT ĐT đi qua điểm
7
4;
3
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc đồ thị (C) .
Bài 77)
Cho hàm số
( )
3 2
3 1 2y x m x= − + + −
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m =
.
Biện luận theo k số nghiệm thực của PT :
3 2
3 2 0x x k− − =
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết PT ĐT đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu .
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.
Tìm tất cả những điểm
( )
M C∈
sao cho ta kẻ được đúng một TT đến (C) .

Bài 78)
Cho hàm số
( )
3
4 3 1 1y x m x= − + +

( )
m
C
Khảo sát và vẽ đồ thị (C
0
) của hàm số khi
0m
=
.
21 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Dựa vào đồ thị (C
0
) biện luận theo k số nghiệm thực của PT :
3
4 3 0x x k− + =
Tìm m để họ đồ thị (C
m
) có hai cực trị .
Bài 79)
Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Biện luận theo m số nghiệm thực của PT
4 2
2x x m− =
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x =
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
2y =
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết hệ số góc của TT bằng 24 .
Bài 80)
Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − + −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Biện luận theo m số nghiệm thực của PT
4 2
2x x m− =
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x
=
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
9y = −
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết hệ số góc của TT bằng 24
Bài 81)
Cho hàm số
4 2

1y x x= − +
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Biện luận theo m số nghiệm thực của PT
4 2
0x x m− + + =
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
1=y
.Viết PT TT của đồ thị (C) , biết hệ số góc của TT = 2.
Bài 82)
Cho hàm số
4 2
1
2
4
y x x= −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm m để PT
4 2
8x x m− + =
có 4 nghiệm thực phân biệt.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT
( )
1
: 15 2= +d y x
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
2
8
: 10

45
= − +
d y x
.
Bài 83)
Cho hàm số
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm m để PT
4 2
8 4x x m− + =
có 2 nghiệm thực phân biệt .
Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ
1x
=
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
: 8 231 1 0d x y
− + =
.
Viết PT ĐT đi qua điểm
( )
0; 1M −
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
Bài 84)

Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − +
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất PT
4 2
2 8x x− + > −
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
Bài 85)
Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y mx m= − +
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m =
.
Biện luận theo k số nghiệm thực của PT
4 2
6 0x x k− + =
.
Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất PT
4
2
3 4

2
x
x− < −
.
Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại
3x =
. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 86)
Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m = −
.
Biện luận theo k số nghiệm thực của PT
4 2
4 0x x k− + =
.
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x
= −
.Tìm m để hàm số có 1 cực trị .
Bài 87)
Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
(1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=

.
Tìm k để PT
4 2
8 10 0x x k− + =
có hai nghiệm thực phân biệt .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
: 2 45 1 0d x y
+ − =
.
Tìm m để hàm số có một điểm cực trị . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .
Bài 88)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
22 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
Viết PT TT của (C) tại điểm có tung độ

1
2
y = −
.
Viết PT TT của (C) , biết hệ số góc của TT
3k = −
.
Tìm m để ĐT
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 89)
Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y =
.

Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT
( )
1
9
: 3
2
= − +d y x
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
2
1
: 1
8
d y x= −
.
Tìm m để ĐT
( )
3
: 2= +d y mx m
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm .
Bài 90)
Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=

+
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành .
Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
1
8 1
:
9 3
d y x= − +
.
Tìm m để ĐT
( )
2
: 2= −d y mx m
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương .
Bài 91)
Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
Tìm m để ĐT

( )
1
: 2 7d y mx m= − −
cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I
của đoạn thẳng AB .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
2
: 2 0d x y+ − =
.
Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
Bài 92)
Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết tt vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai
Viết PT ĐT qua điểm
( )
3;4M
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
Bài 93)

Cho hàm số
4
1
x
y
x
+
=
+
(C) . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
a) Viết pt TT của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với Oy
b) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên
Bài 94)
Cho hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +

( )
m
C
,m là tham số
1. Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0
2. Tìm m để hàm số có cực trị
3. Tìm m để
( )
m
C
nhận điểm
(1;2)I
làm điểm uốn

4. Tìm m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành
5. Tìm điểm cố định khi m thay đổi
6. Ứng với m = 0 , viết PT TT tại điểm uốn
23 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
7. Viết pt ĐT đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị
( )
m
C
Bài 95)
Cho hàm số
1
3
1
23
−+−=
mxmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
21
; xx
thoả mãn
8
21
≥−
xx

Bài 96)
Cho hàm số
37
23
+++= xmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8
b) Tìm m để hàm số có ĐT đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với ĐT y=3x-7
Bài 97)
Cho hàm số
)1()232()1(3
223
−−+−+−−= mmxmmxmxy
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b)
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và ĐT đi qua cực đại cực tiểu tạo với ĐT
5
4
1
+
−
=
xy
một
góc 45
0
Bài 98)
Cho hàm số
mxmxxy ++−=
223

3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua ĐT
2
5
2
1
−=
xy
Bài 99)
Cho hàm số
13)1(33
2223
−−−++−= mxmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.
Bài 100)
Cho hàm số
12
224
+−= xmxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân
Bài 101)
Bài 102)
Cho hàm số
3 2
6 9y x x x= − +

( )C
1. Khảo sát và vẽ (C) sau đó viết pt TT tại điểm uốn
2. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của PT
3 2
6 9 2 0x x x m− + − =
(*)
3. Từ (C) suy ra đồ thị
3 2
1
( ) : 6 9C y x x x= − +
7. Biện luận số nghiệm pt
3 2
6 9 1x x x m− + = +
5. Viết pt ĐT đi qua 2 điểm cực trị của (C) 6. Tìm tâm đối xứng của (C)
Bài 103)
Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
(C)
1. Khảo sát và vẽ (C)
2. Tìm trên (C) nhữn điểm có tọa độ là những số nguyên
3. Chứng minh rằng không có TT nào của (C) đi qua gốc tọa độ
4 vẽ các đồ thị sau :
3 2

2
x
y
x
+
=
+
;
3 2
2
x
y
x
+
=
+
;
3 2
2
x
y
x
+
=
+
Bài 104)
Cho hàm số
3 2
( 1) 2y x mx m x= − + − + +

1) Khảo sár và vẽ (C) khi m = 3
2) Tìm m để hàm số có cực trị. Viết PT ĐT qua 2 điểm cực trị
3) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và ĐT (D) :
2y kx= +
Bài 105)
Cho hàm số
3
2 8( )
m
y x mx m C= − + −

1) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 3. Viết pttt tại điểm uốn
2) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của pt :
3
3 2 0x x k− − − =
(*)
3) Định m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
4) từ (C) suy ra
3
1
( ) : 3 2C y x x= − −
Bài 106)
Cho hàm số
2 2
( 1) ( 1)y x x= + −
(C)

24 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
1) Khảo sát và vẽ (C) 2) Biện luận PT
2 2
( 1) 2 1 0x m− − + =
3) Tìm b để parabol :
2
2y x b= +
tiếp xúc với đồ thị (C)
Bài 107)
( Học viện Ngân Hàng – khối A -1998 )
1) Khảo sát và vẽ (C)
3
3 4y x x= −
. 2) Viết pttt với (C) đi qua
(1;3)A
Bài 108)
Cho hàm số
3
12 12y x x= − +
(C).( Học Viện Bưu Chính Viễn Thông - 1998 )
1) Khảo sát và vẽ (C) 2) Xác định giao điểm của đồ thị với ĐT y = - 4
3) Tìm trên ĐT y = -5 các điểm mà từ đó có thể kẻ đến (C) ba TT phân biệt
Bài 109)
Cho hàm số
2
( )
1
x m
y f x

x
+
= =
+
.( Trường Hàng Không Việt Nam - 2000 )
1) Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
2) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 0 3) Viết pttt với (C) biết TT song song với đt :
2y x=
Bài 110)
1) Khảo sát và vẽ (C) :
3 2
6 9y x x x= − +
2) Tìm tất cả các ĐT đi qua
(4;4)A
và cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 111)
( ĐHQG TPHCM – 96 ) :
3 2
( ) : 1
m
C y x mx= + +
. Tìm m để đths cắt ĐT
1y x= − +
tại 3 điểm phân biệt
(0;1)A
;B;C sao cho TT tại B và C vuông góc nhau
Bài 112)
Cho hàm số
3
y x 3x 2= − + −

có đồ thị (C ).
1)Khảo sát hàm số .
2)Cho( D) là ĐT qua điểm uốn của ( C) với hệ số góc k .Biện luận theo k vị trí tương đối của (D) và (C).
3)Biện luận theo m số nghiệm dương của PT
3
x 3x m 1 0− + + =
Bài 113)
Cho hàm số
4 2
y x mx (m 1)= + − +
có đồ thị (C
m
)
1)Khảo sát hàm số khi m=-2 (C
-2
)
2)CMR khi m thay đổi (C
m
) luôn đi qua 2 điểm M(-1;0), N(1;0) .Tìm m để TT với (C
m
) tại M, N vuông góc với
nhau .
3)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục hoành . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh trục
hoành .
Bài 114)
Cho hàm số
3
y x kx (k 1)= + + +

1)Khảo sát hàm số khi k=-3.
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-3
) và trục hoành .
3)Tìm các giá trị k để (C
k
) tiếp xúc với ĐT (d) có PT y=x+1
Bài 115)
Cho hàm số
3
1
y x 3x
4
= −
(C)
1)Khảo sát hàm số.
2)Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ
x 2 3=
. Viết PTĐT d qua M và là TT của (C).
3)Tính diện tích hình giới hạn bởi (C), và TT của nó tại M.
Bài 116)
Cho hàm số y=-x
4
+2x
2
+3 (C)
1)Khảo sát hàm số
2) Định m để PT x
4

-2x
2
+m=0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 117)
Cho hàm số
3 2
1
y x x
3
= −

1/ Khảo sát hàm số. 2/ Viết PT các TT của (C) đi qua A(3;0)
3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y=0, x=0, x=3 quay quanh trục Ox.
Bài 118)
Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
+
có đồ thị (C)
1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị ( C)
3) Viết pttt của đồ thị ( C) biết TT đi qua A(-1;3)
Bài 119)
Cho hàm số
3
y x 6x 9x= − +
.

1)Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2)Viết PT TT tại điểm uốn của đồ thị (C).
25 0977.991.861