[Cơ Học Chất Lỏng] Thủy Khí Kỹ Thuật Úng Dụng - Huỳnh Văn Hoàng phần 7 pps

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (113.63 KB, 11 trang )

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

x
v

(
)
dx
x
v
v
x
x

+

Hỗnh 9 - 1

vaỡ
(
)
dtdzdydx
x
v
mmdm
x
xxx

.
12

==

Tổồng tổỷ õọỳi vồùi truỷc y,truỷc z :

(
)
(
)
dtdzdydx

z
v
dmdtdzdydx
y
v
dm
z
z
y
y

.
;
.

=

=

Khọỳi lổồỹng chỏỳt loớng coỡn laỷi trong khọỳi họỹp laỡ : dm = dm
x
+ dm
y
+ dm
z

()
(
)
()
dtdzdydx
z
v
y
v
x
v
dm
z
y
x

+

+

=

Sổỷ thay õọứi thóứ tờch chỏỳt loớng trong khọỳi họỹp laỡ do sổỷ thay õọứi khọỳi lổồỹng rióng cuớa chỏỳt
loớng theo thồỡi gian bồới vỗ caùc caỷnh cuớa khọỳi họỹp cọỳ õởnh (theo õởnh luỏỷt baớo toaỡn khọỳi lổồỹng).
Khọỳi lổồỹng chỏỳt loớng trong họỹp :
m=
.V=.dx.dy.dz
Sau thồỡi gian dt seợ coù sổỷ thay õọứi :

(
)
dtdzdydx
t
dt
t
V
dm

=

=

Sau khi õồn giaớn caùc sọỳ haỷng giọỳng nhau chuùng ta coù phổồng trỗnh lión tuỷc:

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

()
(
)
(
)
()
0
0
=+

=

+

+

+

vdiv
t
z
v
y
v
x
v
t
z
y
x

(9.9)
Nóỳu chỏỳt loớng chuyóứn õọỹng dổỡng ( 0=

t

) thỗ :

()
(
)
()
()
0
0
=
=

+

+

vdiv
z
v
y
v
x
v
z
y
x

(9.11)

Nóỳu chỏỳt loớng khọng neùn õổồỹc ( = const) vaỡ chuyóứn õọỹng ọứn õởnh :

0
0
=
=

+

+

vdiv
z
v
y
v
x
v
z
y

x
(9.12)

Phổồng trỗng lión tuỷc vióỳt trong hóỷ toaỷ õọỹ truỷ (r, ,z) :

()()
(
)
0

=

+

+

+

r
v
r
v
r
v
t

rrr

(9.13)
trong õoù :

dt
r
d
v
dt
dr
v
dt
dz
v
rz
.
;;

===

Phổồng trỗnh lión tuỷc cho doỡng nguyón tọỳ chuyóứn õọỹng khọng dổỡng chỏt loớng neùn õổồỹc :

()()

0

=

+

l
Sv
t
S

(9.14)
- Nóỳu chuyóứn õọỹng dổỡng :

()
constSvhay
l
Sv
==

0

(9.15)
- Nóỳu chuyóứn õọỹng dổỡng vaỡ chỏt loớng khọng neùn õổồỹc

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-

()
constSvhay
l
Sv
==
∂
∂
.0

ρ
(9.16)
Nãúu cháút lng l cháút lng thỉûc thç váûn täúc trong dng mäüt chiãưu hỉỵu hản s l váûn täúc
trung bçnh trãn tiãút diãûn ỉåït.

9.3 - Phỉång trçnh Åle thu âäüng

Trong cháút lng l tỉåíng chuøn âäüng chụng ta trêch mäüt phán täú lng cọ dảng khäúi häüp
våïi cạc cảnh l dx , dy , dz (hçnh 9 - 2).Cạc lỉûc tạc dủng lãn phán täú lng chuøn âäüng gäưm cọ lỉûc
ạp, lỉûc khäúi v lỉûc quạn tênh.

Ra

p
dz dx
x
p
p
∂
∂
+
A
dx dy

Hçnh 9  2
Ạp sút tạc dủng lãn cạc màt khäúi häüp tải âiãøm A l : p
x
= p
y
= p
z
= p ; åí cạc màût âäúi diãûn ạp sút
thay âäøi mäüt âải lỉåüng bàòng :

dz
z
p
pdy
y
p

pdx
x
p
p
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ ;;

Thnh pháưn lỉûc ạp theo cạc trủc toả âäü l :

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

dydxdz
z
p
pdydxpdF
dxdzdy
y
p

pdxdzpdF
dzdydx
x
p
pdzdypdF
pz
py
px

+=

+=

+=

Caùc thaỡnh phỏửn lổỷc khọỳi cuớa gia tọỳc khọỳi R laỡ :

dzdydxRdFdzdydxRdFdzdydxRdF
zRzyRyxRx
; ;

=
=
=
Lổỷc quaùn tờnh :

dzdydxadFdzdydxadFdzdydxadF
zRayayxax
; ;

=
=
=

Phỏn tọỳ loớng cỏn bũng theo nguyón lyù almbe . Phổồng trỗnh cỏn bũng phỏn tọỳ loớng vióỳt theo
caùc truỷc toaỷ õọỹ laỡ:

0
0
0
=+

+
=+

+
=+

+
dzdydxadzdydxRdydxdz
z
p
pdydxp
dzdydxadzdydxRdxdzdy
y
p
pdxdzp
dzdydxadzdydxRdzdydx
x
p
pdzdyp
zz
yy
xx

hay :

zz
yy
xx
aR
x
p
aR
y
p
aR
x
p
=+

=+

=+

.
1
.
1

1

Caùc gia tọỳc a
x
, a
y
, a
z
õổồỹc tờnh nhổ sau :

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-

z
v
v
y

v
v
x
v
v
t
v
dt
dt
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
dt
dv
a
z
v
v
y

v
v
x
v
v
t
v
dt
dt
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
dt
dv
a
z
z
z
y

z
x
zzzzzz
z
y
z
y
y
y
x
yyyyyy
y
x
z
x
y
x
x
xxxxxx
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂

∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂

∂
==

Cúi cng chụng ta cọ phỉång trçnh vi phán chuøn âäüng ca cháút lng l tỉåíng do Åle chỉïng
minh nàm 1775:

z
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
y
p
R
z
v
v
y
v
v

x
v
v
t
v
x
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
z
z
z
z
y
z
x
z
y
y
z

y
y
y
x
y
x
x
z
x
y
x
x
x
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
1
1

1
(9.16)

hay viãút dỉåïi dảng vẹctå:
grappRvgradv
t
v
ρ
1
−=+
∂
∂
(9.17)
Nãúu chuøn âäüng dỉìng thç ta cọ phỉång trçnh :

grappRvgradv
t
v
ρ
1
−=+
∂
∂
(9.18)
Nãúu cháút lng chuøn âäüng âãưu thç chụng ta cọ phỉång trçnh Åle thy ténh. Trong trỉåìng
håüp ny ạp sút cng phán bäú theo theo qui lût thu ténh . Phỉång trçnh (9.16) cọ thãø ạp
dủng cho bi toạn chuøn âäüng tỉång âäúi. Chè cáưn lỉu ràòng gia täúc khäúi lục ny gäưm cọ gia täúc
khäúi cọ thãú , gia täúc quạn tênh ca chuøn âäüng theo, gia täúc Cäriälêt . (9.18) s l :

grappaaRvgradv
corw
ρ
1
−++=
(9.19)
Phỉång trçnh Åle thy âäüng viãút trong hãû toả âäü trủ :

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

z
p
R
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v

r
p
R
r
vv
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
r
p
R
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v

r
z
z
zz
r
z
r
zr
r
r
z
rr
r
r

=

+

+

+

=+

+

+

+

=

+

+

+

1
.
1
.
1
(9.20)

trong õoù R
z
, R

, R
r
laỡ hỗnh chióỳu cuớa gia tọỳc khọỳi lón caùc truỷc toaỷ õọỹ. Gia tọỳc hổồùng kờnh gọửm coù
gia tọỳc quaùn tờnh cuớa chuyóứn õọỹng
dt
dv
r
vaỡ gia tọỳc quaùn tờnh ly tỏm
r
v
2

:

r
v

dt
dv
a
r
r
2
=

Gia tọỳc theo phổồng thúng goùc vồùi baùn kờnh gọửm gia tọỳc chuyóứn õọỹng theo vaỡ gia tọỳc Cọriọlờt :

(
)
dt
dv
r
vv
dt
rd
rdt
d
dt
dr
dt
d
r
dt
dv
a
r

+==+==
.
.
.
1
2
2
2

ồớ õỏy vỏỷn tọỳc hổồùng tỏm
dt
dr
v
r
= vỏỷn tọỳc voỡng
dt
d
rv

= .

9.4 - Phổồng trỗnh Navió - Stọỳc

Trong chuyóứn õọỹng cuớa chỏỳt loớng thổỷc xuỏỳt hióỷn ổùng xuỏỳt tióỳp giổợa caùc chỏỳt loớng. ọỳi vồùi

doỡng mọỹt chióửu chaớy tỏửng ổùng suỏỳt tióỳp õổồỹc tờnh theo cọng thổùc Niutồn. Trong doỡng khọng gian
vỏỷn tọỳc phỏn tọỳ theo caùc phổồng khaùc nhau seợ coù giaù trở khaùc nhau, nón ổùng suỏỳt tióỳp tổồng õổồng
seợ õổồỹc tờnh :

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
==
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
==
y
v
x
v
z
v

y
v
y
v
x
v
x
y
xy
y
z
zyyz
x
y
xy
µττ
µττ
µττ
(9.21)

Do xút hiãûn ỉïng xút tiãúp nãn trong cháút lng thỉûc ạp sút thy âäüng chè hỉåïng vo màût tạc dủng
nhỉng khäng thàóng gọc våïi nọ. Thnh pháưn phạp tuún ca ạp sút thy âäüng âỉåüc tênh theo cäng
thỉïc (8.5). Trong âọ ạp sút thnh pháưn theo ba phỉång thàóng gọc våïi nhau l p
x
, p
y
, p
z
âỉåüc tênh

theo cäng thỉïc :

p
x
= p + σ
x
; p
y
= p + σ
y
; p
z
= p + σ
z
(9.22)

trong âọ σ
x
, σ
y
, σ
z
l thnh pháưn bäø sung , p l "ạp sút thy âäüng quy ỉåïc".
Xẹt phán täú lng cọ cảnh l dx , dy , ds v chiãưu cao l dz åí trảng thại cán bàòng (hçnh 9.3).

v
η

η p
y v
y
v
dy
τ
τ
yx
α
dx α v
x
τ
xy
x v
ξ

ξ
Hçnh 9 - 3

Vç phán täú ráút nh, lỉûc khäúi l têch báûc ba ca âải lỉåüng vä cng nh nãn chụng ta cọ thãø b qua.
Lỉûc màût tạc dủng lãn phán täú âỉåüc tênh theo cạc ỉïng sút tỉì (9.21 v 9.22). Chụng ta v thãm hãû
Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-

ta âäü (ξ , η) .Trong âọ trủc song song våïi cảnh ds trủc η thàóng gọc våïi ds. Phỉång trçnh cán

bàòng lỉûc theo phỉång ξ (hçnh 9 - 3) :

τ.ds dz = τ
xy
(dx dz cos α - dy dz sin α) + p
y
dy dz sin α - p
x
dy dz cos α

Tỉì (hçnh 9.3a) ta cọ dx = ds.cos
α , dy = ds.sin α thç phỉång trçnh trãn âỉåüc viãút thnh :

τ = τ
xy
(cos
2
α - sin
2
α ) + ( p
y
- p
x
).sin α cosα (9.23)

τ
xy
âỉåüc tênh theo (9.21) v τ cng âỉåüc tênh theo grâient váûn täúc :

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
ξη
µτ
ηξ
vv
(9.24)

Âãø tênh
τ theo v
y
,v
y
ta cáưn xạc âënh
ξη
ηξ
∂
∂

∂
∂
vv
; theo x , y , v
x
,v
y
. Trỉåïc hãút ta xạc âënh dv
ξ
.

dy
y
v
dx
x
v
d
v
d
v
dv
∂
∂
+
∂
∂
=
∂

∂
+
∂
∂
=
ξξξξ
ξ
η
η
ξ
ξ
(9.25)

tỉì (hçnh 9-3b) ta cọ quan hãû giỉỵa cạc váûn täúc :

v
ξ
= v
x
cosα + v
y
sin α ; v = v
x
sinα - v
y
cosα

v quan hãû cạc ta âäü :

x =

ξ .cosα + η.sinα ; y = η cosα - ξ .sin α (9.26)

Tênh dx , dy tỉì (9.26) räưi thay vo (9.25) v thỉûc hiãûn phẹp biãún âäøi âån gin ta cọ

ηααξαα
ξξξξ
ξ
d
y
v
x
v
d
y
v
x
v
dv
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
cossinsincos

So sạnh phỉång trçnh ny våïi (9.25) ta cọ :
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

cossin
y
v
x
vv

+

=

lỏỳy õaỷo haỡm
y
v
x
v

; tổỡ phổồng trỗnh tờnh vỏỷn tọỳc v :

cos.sinsincos
cossincossinsincos
22

+

=

y
v
x
v
x
v
y
v
y
v
y
v
x
v
x
v
v
y
x
y
x
y
x
y
x
(9.27)

Thổỷc hióỷn theo trỗnh tổỷ trón õóứ tờnh

v
. aỷo haỡm toaỡn phỏửn dv

:

dy
y
v
dx
x
v
d
v
d
v
dv

+

=

+

=

(9.28)

Tờnh dx, dy tổỡ (9.26) rọửi thay vaỡo (9.28) vaỡ thổỷc hióỷn bióỳn õọứi.Ta coù :

d
y
v
x
v
d
y
v

x
v
dd
v
dd
x
v
dv

+

+

=

++

=
cossinsincos
).sin.(cos).sin.(cos
(9.29)

So saùnh (9.28) vaỡ (9.29) ta coù :

sincos
y
v
x
vv

=

Lỏỳy õaỷo haỡm
y
v
x
v

; tổỡ phổồng trỗnh vỏỷn tọỳc v vaỡ thóỳ vaỡo phổồng trỗnh trón :

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

cos.sin)sincos(
22

=

y
v
x
v
y
v

x
vv
y
xx
y
(9.30)

Thay (9.27), (9.30) vaỡo (9.24) :

()()

+

+

=
à
cos.sin2sincossincos
2222
y
v
x
v
y
v
x
v
y
xx
y

Kóỳt hồỹp vồùi (9.21) ta coù :

()
à
cos.sin2sincos

22

+=
y
v
x
v
y
x
xy
(9.31)
Thay (9.31) vaỡo (9.23) sau khi õồn giaớn vaỡ chổùng minh tổồng tổỷ cho caùc hó toaỷ õọỹ khaùc . Ta coù :

=

=

=
x
v
z
v
pp
z
v
y
v
pp
y
v
x
v
pp
x
z
zx
z
y
yz
y
x
xy

à
à
à
2
2
2
(9.32)

Tổỡ (9.32) suy ra aùp suỏỳt thuớy õọỹng quy ổồùc (8.7) . Tổỡ õoù suy ra cọng thổùc tờnh caùc aùp suỏỳt theo caùc
truỷc toaỷ õọỹ :

z
v
vdivpp
y
v
vdivpp
x
v
vdivpp
z
z
y
y
x
x

+=

+=

+=
.2.
3
2
.2.
3
2
.2.
3
2
àà
àà
àà
(9.34)

Tổỡ (9.34) ta coù caùc giaù trở bọứ sung cuớa aùp suỏỳt thuyớ õọỹng theo phổồng phaùp tuyóỳn trong chỏỳt
loớng thổỷc. Trong chỏỳt loớng thổỷc ta trờch mọỹt phỏn tọỳ loớng coù daỷng khọỳi họỹp vồùi caùc caỷnh
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

dx,dy,dz vaỡ õổồỹc õỷt trong hóỷ toỹa õọỹ Oxyz (H 9.4). Phỏn tọỳ loớng naỡy chởu taùc duỷng bồới lổỷc khọỳi
lổỷc aùp suỏỳt theo phổồng phaùp tuyóỳn, lổỷc ma saùt laỡ lổỷc quaùn tờnh chuyóứn õọỹng. Caùc lổỷc naỡy õổồỹc

tờnh lỏửn lổồỹt nhổ sau .
Thaỡnh phỏửn cuớa lổỷc khọỳi :

dF
Rx
= R
x
.. dx. dy. dz ; dF
Ry
= R
y
.. dx. dy .dz ; dF
Rz
= R
z
. dx. dy .dz

Thaỡnh phỏửn cuớa lổỷc quaùn tờnh :

dzdydxadFdzdydxadFdzdydxadF
zRayayxax
; ;

=

=