Giáo trình MATLAB Phương pháp phần tử hữu hạn

i






PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

§ Lý thuyết
§ Bài tập
§ Chương trình MATLAB



HÀ NỘI 2007

TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA

TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
HÀ NỘI 2007

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
P
p

§ Lý thuyết
§ Bài tập
§ Chương trình MATLAB

GS, TS Trần Ích Thịnh
TS. Ngô Như Khoa













PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB

HÀ NỘI 2007
i

MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và

khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và
hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần
áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được
giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán
động lực học một số kết cấu.
ii

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình
Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến
thức của mình.
Giáo trình được biên soạn bởi:
- GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9.
- TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình
Matlab.
Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối
nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng
trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.
Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên
Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.

Tập thể tác giả



iii

MỤC LỤC
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. Giới thiệu chung 1
2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn 1
3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn 1
3.1. Nút hình học 1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 1
4. Các dạng phần tử hữu hạn 2
5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực 3
6. Một số dạng phần tử quy chiếu 3
7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất 5
8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần 6
9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 6

Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1. Đại số ma trận 9
1.1. Véctơ 9
1.2. Ma trận đơn vị 9
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. 10
1.4. Nhân ma trận với hằng số 10
1.5. Nhân hai ma trận 11
1.6. Chuyển vị ma trận 11
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 11
1.8. Định thức của ma trận 12
1.9. Nghịch đảo ma trận 12
1.10. Ma trận đường chéo 14
1.11. Ma trận đối xứng 14
1.12. Ma trận tam giác 14
2. Phép khử Gauss 15
2.1. Mô tả 15
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 16

Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
1. Các ví dụ 18
1.1. Ví dụ 1 18
1.2. Ví dụ 2 20
2. Thuật toán ghép K và F 22
iv

2.1. Nguyên tắc chung 22
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 23

Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. Mở đầu 25
2. Mô hình phần tử hữu hạn 25
3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng 26
4. Thế năng toàn phần 28
5. Ma trận độ cứng phần tử 29
6. Qui đổi lực về nút 29
7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn 31
8. Ví dụ 33
9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D 38
10. Bài tập 42

Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. Mở đầu 44
2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung 44

3. Ma trận độ cứng phần tử 45
4. Ứng suất 46
5. Ví dụ 46
6. Chương trình tính hệ thanh phẳng 48
7. Bài tập 56

Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. Mở đầu 58
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 59
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 60
2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác 60
3. Biểu diễn đẳng tham số 62
4. Thế năng 65
5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác 65
6. Qui đổi lực về nút 66
7. Ví dụ 68
8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng 72
9. Bài tập 82


v

Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG
1. Mở đầu 85
2. Mô tả đối xứng trục 85
3. Phần tử tam giác 86
4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục 94

5. Bài tập 101

Chương 8
PHẦN TỬ TỨ GIÁC
1. Mở đầu 104
2. Phần tử tứ giác 104
3. Hàm dạng 104
4. Ma trận độ cứng của phần tử 106
5. Qui đổi lực về nút 108
6. Tích phân số 108
7. Tính ứng suất 112
8. Ví dụ 112
9. Chương trình 114
10. Bài tập 125


Chương 9
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG
1. Giới thiệu 127
2. Thế năng 127
3. Hàm dạng Hermite 128
4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm 129
5. Quy đổi lực nút 130
6. Tính mômen uốn và lực cắt 132
7. Khung phẳng 132
8. Ví dụ 134
9. Chương trình tính dầm chịu uốn 138
10. Bài tập 145

Chương 10

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. Giới thiệu 148
2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều 148
2.1. Mô tả bài toán 148
vi

2.2. Phần tử một chiều 148
2.3. Ví dụ 149
3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều 151
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 151
3.2. Điều kiện biên 151
3.3. Phần tử tam giác 152
3.4. Xây dựng phiếm hàm 153
3.5. Ví dụ 156
4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt 158
4.1. Ví dụ 10.1 158
4.2. Ví dụ 10.2 162
5. Bài tập 167

Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. Giới thiệu 170
2. Lý thuyết tấm Kirchhof 170
3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn 172
4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn 177
5. Phần tử vỏ 180
6. Chương trình tính tấm chịu uốn 182
7. Bài tập 189

Chương 12
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE
1. Giới thiệu 192
2. Phân loại vật liệu Composite 192
3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng 193
3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng 193
3.2. Ví dụ 195
4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin 197
4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin 197
4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn 201
5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn 206
6. Bài tập 220

Chương 13
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
1. Giới thiệu 221
vii

2. Mô tả bài toán 221
3. Vật rắn có khối lượng phân bố 223
4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố 224
4.1. Phần tử một chiều 224
4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng 224
4.3. Phần tử tam giác 225
4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục 226
4.5. Phần tử tứ giác 227
4.6. Phần tử dầm 227
4.7. Phần tử khung 228

5. Ví dụ 228
6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung 229
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm 229
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung 233
7. Bài tập 238

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1


Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp,
đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải
số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết
cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài
toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-
từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức
tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS,
MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương
trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các
bước tính cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng,

nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con v
e
có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ
của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền v
e
.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v
e
được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu
hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v
e
chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của v
e
và biên
của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v
e
được xây dựng sao cho chúng liên tục trên v
e
và phải
thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con v
e
được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các
nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử v
e

có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử v
e
cần
chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa
là các toạ độ nằm trong v
e
hoặc trên biên của nó.
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử v
e
phải thoả mãn hai qui tắc sau:

2
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại
trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường
hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử v
e
phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt.
Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.

4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại
lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây,
chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều

Phần tử hai chiều

Phần tử ba chiều

Phần tử tứ diện

Phần tử lăng trụ
Phần tử bậc nhất

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc ba

biên giới
biên giới
v
2
v
1

biên giới
v

2

v
1

v
1

v
2

Hình 1.1. Các d
ạng biên chung giữa các phần tử


3

5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào
khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v
r
. Phần tử qui chiếu thường là phần
tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần
tử thực v
e
nhờ một phép biến đổi hình học r
e
. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử

đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất
sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm x trong phần tử qui chiếu hoặc
trên biên; mỗi điểm của v
r
ứng với một và chỉ một điểm của v
e
và ngược lại.
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của
phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu v
r
được biến đổi thành tất cả các phần tử thực v
e
cùng loại nhờ các phép
biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.
- z (x, h) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
Phần tử bậc nhất

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc ba

v
r

v
3

v
2

v
1

1,0

0,0


y

x


x

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

h

r
3
r
2
r
1
0,1

Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

4

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện


Phần tử sáu mặt
x

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r

0,1,0

0,0,0

0,0,1

x

v
r

0,1,0

0,0,1

v
r

z

h

h

1,0,0

z

1,0,0

x

h

z

0,1,0

1,0,0

0,0,1

x

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r

1

0,0

1

x

v
r

1

0,0

1

x

v
r

1

0,0

1

h

h

h

1
/
2
,1
/
2
1
/
2
1

/
2

1
/
3
,
2
/
3
2
/
3
,
1
/
3
2
/
3

1
/
3

1
/
3

2

/
3

0

1

-1

x

0

1

-1

x

-
1
/
2

1

-1

x

1
/
2

0

Phần tử bậc nhất

Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

5

7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ f
x
, f
y
, f
z
]
T

- Lực diện tích
T
: T = T[ T
x
, T
y
, T

z
]
T

- Lực tập trung P
i
:

P
i
= P
i
[ P
x
, P
y
, P
z
]
T

Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w]
T
(1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
e
= [
e
x

,
e
y
,
e
z
,
g
yz
,
g
xz
,
g
xy
]
T
(1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w

z
v
z
w
y
v
x
u
þ
ý
ü
î
í
ì
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶

¶
¶
¶
¶
¶
=
e
(1.3)
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
s
= [
s
x
,
s
y
,
s
z
,
s
yz
,
s
xz
,
s
xy
]
T

(1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:
s
= D
e
(1.5)

Trong đó:
( )( )
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

-
-
-
-
-
-
-+
=
n
n
n
nnn
nnn
nnn
nn
5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D
E là môđun đàn hồi,
n
là hệ số Poisson của vật liệu.

v
r

x

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
0,1,1

x

v
r

z

h

h

1,1,0

z

0,1,1

1,1,0

x

v

r

h

z

0,1,1

1,1,0


6
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần P của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của
ngoại lực tác dụng W:
P
= U + W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích được xác định
bởi:
es
T
2
1

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
ò
=
V
T
dvU

es
2
1
(1.7)
Công của ngoại lực được xác định bởi:
å
òò
=
=
n
i
i
T
i
S
T
V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
å
òòò
=
=Õ
n
i
i
T

i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV
1
2
1
es
(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P
i
là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u
i

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ,
di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị
cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới
phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin
về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec
tơ lực nút tổng thể F;

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

7


Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên

Xây d
ựng ma trận
đ
ộ cứng
K

và véctơ l
ực chung
F

Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH

8

9

Chng 2
I S MA TRN V PHNG PHP KH GAUSSIAN

p dng phng phỏp PTHH trong cỏc bi toỏn k thut thng liờn quan n mt lot cỏc phộp
toỏn trờn ma trn. Vỡ vy, cỏc phộp toỏn c bn trờn ma trn v phng phỏp kh Gaussian (Gauss)
gii h phng trỡnh tuyn tớnh s l 2 ni dung chớnh c cp trong chng ny.
1. I S MA TRN
Cỏc cụng c toỏn hc v ma trn c cp trong phn ny l cỏc cụng c c bn gii bi
toỏn tỡm nghim ca h phng trỡnh tuyn tớnh, cú dng nh sau:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=++
=++

=
+
+
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111

(2.1)
trong ú, x
1
, x
2
, , x
n
l cỏc nghim cn tỡm. H phng trỡnh (2.1) cú th c biu din dng thu
gn:
Ax = b (2.2)
trong ú, A l ma trn vuụng cú kớch thc (n

n), v x v b l cỏc vộct (n

1), c bin din nh
sau:
ỳ
ỳ
ỳ

ỳ
ỷ
ự
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211

ù
ù
ỵ
ù
ù

ý
ỹ
ù
ù
ợ
ù
ù
ớ
ỡ
=
n
x
x
x
x
M
2
1

ù
ù
ỵ
ù
ù
ý
ỹ
ù
ù
ợ
ù

ù
ớ
ỡ
=
n
b
b
b
b
M
2
1

1.1. Vộct
Mt ma trn cú kớch thc (1

n) c gi l vộct hng, ma trn cú kớch thc (n

1) c gi
l vộct ct. Vớ d mt vộct hng (1 4):
{
}
61222
-
=
r

v vộct ct (3 1):
ù
ỵ

ù
ý
ỹ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=
34
2
11
c

1.2. Ma trn n v
Ma trn n v l ma trn ng chộo vi cỏc phn t trờn ng chộo chớnh bng 1, vớ d:
ù
ỵ
ù
ý
ỹ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=
100
010
001

I


10
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m
´
n). Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B và
được định nghĩa như sau:
c
ij
= a
ij
+ b
ij
(2.3)
Ví dụ:
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
ú
û
ù
ê

ë
é

-
+
ú
û
ù
ê
ë
é
- 34
75
21
58
15
23

phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[ca
ij
] (2.4)
Ví dụ:
ú
û
ù
ê
ë

é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
- 100500
200300
15
23
10
2


11
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m
´
n) với ma trận B kích thước (n
´
p) là 1 ma trận C kích thước
(m
´
p), được định nghĩa như sau:
A
´
B = C (2.5)

(m
´
n) (n
´
p) (m
´
p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (c
ij
) được tính theo biểu thức:
å
=
=
n
k
kjikij
bac
1
(2.6)
Ví dụ:

ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
ú

ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
´
ú
û
ù
ê
ë
é
3638
7054
46
52
54
413
582

Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A
´
B là số cột của ma trận A phải bằng số hàng của
ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A
´

B và B
´
A, thì tích 2 ma trận
không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A
´
B
¹
B
´
A.
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [a
ij
] kích thước (m
´
n) là 1 ma trận, ký hiệu là A
T
có kích thước là (n
´

m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A
T
. Khi đó,
(A
T
)
T
= A.
Ví dụ:

ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
46
52
54
A
thì:
ú
û
ù
ê
ë
é
=
455
624
T
A

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo
ngược, có nghĩa là:

(A
´
B
´
C)
T
=C
T
´
B
T
´
A
T
. (2.7)
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, chúng là các hàm
số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+
+

-+
=
yxx
yx
xyxyx
A
46
2
52
2

Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép đạo hàm (hay
phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma
trận:

12
ú
û
ù
ê
ë
é
=
dx
xda
xA
dx
d
ij
)(

)(
(2.8)
[
]
ò
ò
= dxdyaAdxdy
ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình PTHH trong các
chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n
´
n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x
1
x
2
x
n
}
T

chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x
p
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
=)(

(2.10)
trong đó, a
p
là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [a
ij
], kích thước (n
´
n). Định thức của ma trận A được định nghĩa như sau:
(
)
( )
å
=
+
+
-=
-+-=
n
j
ijij
ji
nn
n
Aa
AaAaAaA
1
11
1

12121111
)det(1
)det(1)det()det()det( L
(2.11)
trong đó, A
ij
là ma trận kích thước (n-1
´
n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A.

Ví dụ:
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=Þ
ú
ú
ú
ú
û
ù

ê
ê
ê
ê
ë
é
=
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
32

33332
22322
11
21
22221
11211

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích
thước (n
´
n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1
´
n-
1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1
´
1) có:
det(a
pq
) = a
pq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ¹ 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A
-1
. Ma trận
nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A
-1
´
A = A

´
A
-1
= I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A)
¹
0 ta gọi A
là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định như sau:
A
adjA
A
det
1
=
-
(2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử
(
)
)det(1
ji
ji
ij
Aa
+
-=
và A
ji
là ma trận thu được từ A
bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.

13
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2
´
2) là:
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
-
1121
1222
1
2221
1211
1

det
1
aa
aa
A
aa
aa
A


14
1.10. Ma trận đường chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính được
gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
500
030
002
D

1.11. Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
a
ij
= a
ji
(2.15a)
hay:
A = A
T
(2.15b)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.
Ví dụ, ma trận A sau đây là ma trận đối xứng:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
=
9011
043
1132

A

1.12. Ma trận tam giác
Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có
tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A và ma trận tam
giác dưới B:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
=
900
040
1132
A

ú
ú
ú
û
ù

ê
ê
ê
ë
é
-
-=
9011
043
002
B


15
2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n
´
n). Nếu detA
¹
0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi
phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A
-1
và nhận được nghiệm: x = A
-1
b. Tuy nhiên, trong hầu
hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực
với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp
phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất

hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm
hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phương trình:
152
321
=
+
+
xxx
(1)
2352
321
-
=
+
+
xxx
(2)
415
321
=
+
-
-
xxx
(3)
Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x
1

trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ:
152
321
=
+
+
xxx
(1)
470
321
=
+
-
xxx
(2
1
)
5200
321
=
+
+
xxx
(3
1
)
Bước 2: khử x
2
trong phương trình (3
1

), ta được hệ:
152
321
=
+
+
xxx
(1)
470
321
=
+
-
xxx
(2
1
)
92700
321
=
+
+
xxx
(3
2
)
Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam giác trên. Từ
phương trình cuối cùng (3
2
), ta tìm được nghiệm x

3
, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương
trình trên nó, (2
1
) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau:
3
8
;
3
5
;
3
1
123
=-== xxx
.
Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp
thế ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-Þ

ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-Þ
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é

-
92700
4710
1521
52010
4710
1521
41511

2352
1521

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
3
8
;
3
5
;
3
1
123
=-== xxx