HOÁ PHÓNG XẠ

HO PHểNG X
1. NH LUT CHUYN DCH PHểNG X:(1) Khi phõn ró s khi
gim 4 cũn s th t gim 2 n v (A'=A- 4; Z'=Z-2),
(2) Khi phõn ró
-
s khi khụng thay i, s th t tng 1 n v.
Cỏc ng v thuc cựng h phúng x cú s khi khỏc nhau 4n (u).
Bng 2.1(L5.1): H Thori (A=4n)
Năng lượng bức xạ cực đại
(MeV)
232
Th 1,41.10
10
năm

4,01
228
Ra(MsTh
1
)
5,57 năm

-
0,014
228
Ac(MsTh
2
)
6,13 h

-

2,11
228
Th(RdTh) 1,91 năm

5,42
224
Ra(ThX) 3,66 ngày

5,69
220
Rn(Tn) 55,6 s

6,29
216
Po(ThA) 0,15 s

6,78
212
Pb(ThB) 10,64h

-
0,57
212
Bi(ThC) 60,6 min

,

-

: 6,09;

: 2,25
212
Po(ThC') 3,05.10
-7
s

8,79
208
Tl(ThC") 3,07 min

-
1,80
208
Pb(ThD) Bền
Hạt nhân
Thời gian bán
huỷ Dạng phân rã
1
Bng 2.2 (L5.3): H urani-radi (A=4n+2)
Năng lượng bức xạ cực đại
(MeV)
238
U(UI) 4,47.10
9
năm

4,20
234
Th(UX

1
)
24,1 ngày

-
0,199
234m
Pa(UX
2
)
1,17 min

-
2,30
234
Pa(UZ)
6,7 h

-
1,2
234
U(UII) 2,44.10
5
năm

4,78
230
Th(Io) 7.7.10
4
năm

4,69
226
Ra
1600 năm

4,78
222
Rn
3,82 ngày

5,49
218
Po(RaA)
3,05 min

,

-1)

: 6,00
214
Pb(RaB)
2,68 min

-
1,02
218
At

2s

,

-1)

: 6,76
218
Rn
0,035s

7,13
214
Bi(RaC)
19,8 min

1)
,

-

: 5,51;

-
: 3,27
214
Po(RaC') 1,64.10
-4
s

7,69
210
Tl(RaC")
1,3 min

-
2,34
210
Pb(RaD)
22,3 năm

1)
,

-

: 3,72;

-
: 0,061
206
Hg
8,15 min

-
1,31
210
Bi(RaE)
5,01 ngày

1)
,

-

: 4,69;

-
: 1,16
206
Tl(RaE")
4,2 min

-
1,53
210
Po(RaF)
138,4 ngày

5,31
206
Pb(RaG)
Bền
Hạt nhân
Thời gian bán
huỷ
Dạng phân rã
1)
< 0,1%
2

Bảng 2.3.(L5.4.): Họ actini (A=4n+3)
1)
< 5%
3
Bng 2.4. (L5.2.): H neptuni (A=4n+1)
Năng lượng bức xạ cực đại
(MeV)
237
Np 2,14.10
6
năm

4,87
233
Pa 27,0 ngày

-
0,25
233
U 1,59.10
5
năm

4,82
229
Th 7,34.10
3
năm

4,89

225
Ra 14,8 ngày

-
0,32
225
Ac 10,0 ngày

5,83
221
Fr 4,8 min

6,34
217
At 0,032 s

7,07
213
Bi 45,65 min

1)
,

-

: 5,87;

-
: 1,42
213

Po 4,2.10
-6
s

8,38
209
Tl 2,2 min

-
1,83
209
Pb 3,3 h

-
0,64
209
Bi Bền
Hạt nhân
Thời gian bán
huỷ Dạng phân rã
1)
< 2,2%
2. NNG LNG HC CA PHN R PHểNG X V PHN NG
HT NHN
Trờn c s nguyờn lý 2 ca nhit ng lc hc, ta bit rng mt quỏ
trỡnh hoỏ hc ch cú th t din ra khi nú lm cho h chuyn sang trng thỏi
bn vng hn v mt nng lng, ngha l trong chuyn hoỏ y, h gii
phúng mt nng lng dng cho mụi trng. Quy lut y cng ỏp dng cho
s phõn ró phúng x.
4

Sự phân rã phóng xạ có thể biểu diễn bởi phương trình phản ứng tổng
quát:
A→B + x + ∆E . (2.17)
Phương trình này cho biết rằng một nguyên tử A chuyển hoá thành
nguyên tử B phát ra một hạt x và giải phóng năng lượng ∆E. Sự tính ∆E cho
biết khả năng tự diễn ra phản ứng (2.17). ∆E>0 nghĩa là sự phân rã là có khả
năng tự xảy ra. Còn ∆E<0 thì ngược lại.
∆E là kết quả của sự chuyển hoá độ hụt khối ∆M thành năng lượng.
Như thế, một nuclit có thể tự phân rã nếu khối lượng của các sản phẩm của
phản ứng phân rã nhỏ hơn khối lượng của nuclit ban đầu. Năng lượng giải
phóng ∆E được chia cho hạt nhân B và hạt x. Hạt x nhận được phần năng
lượng lớn hơn nhiều vì nó có khối lượng nhỏ. Trường hợp x là electron
(phân rã β
-
) hoặc lượng tử γ cũng được biểu diễn bởi phương trình chung
(2.17). Khi x= lượng tử γ, các nguyên tử A và B chỉ khác nhau về mức năng
lượng, quá trình được gọi là phân rã đồng phân (isomere).
Vì: ∆m = m
A
- (m
B
+ m
x
) (2.18)
Nên theo phương trình Einstein ta có:
∆E =∆m.c
2
. (2.19)
Chú ý rằng 1đ.v.C = 1,660566.10
-24

g; c = 2,997925.10
8
ms
-1
, nên theo
(2.19), sự hụt khối 1đ.v.C phát sinh một năng lượng ∆E = 1,49244.10
-10
J.
Trong khoa học hạt nhân người ta thường sử dụng đơn vị năng lượng
eV,
1eV = 1,60219.10
-19
J,
rút ra : 1đ.v.C = 931,5 MeV. (2.20)
Khi ∆m được biểu thị qua u (đ.v.C), thì:
∆E =∆m. 931,5 MeV = ∆m. 931,5x1,602.10
-13
J
5
(1) Năng lượng ∆E của phân rã α tính theo độ hụt khối dựa vào
phương trình Einstein:
∆E = (m
1
- m
2
- m
α
)c
2
(2.88)

trong đó m
1
, m
2
, m
α
lần lượt là khối lượng của hạt nhân mẹ, con, hạt
α. Để tính ∆E người ta cũng thường sử dụng nguyên tử khối
(M = m + Zm
e
) của các nuclit mẹ, con và hêli:
∆E = (M
1
- M
2
- M
He
)c
2
(2.89)
(2) Năng lượng của sự phân rã β
-
cũng được tính dựa vào phương
trình Einstein:
ΔE = (m
1
- m
2
- m
e

)c
2
(2.97)
Trong đó m
1
, m
2
, m
e
lần lượt là khối lượng của hạt nhân mẹ, con và
electron. Khối lượng của phản nơtrino có thể bỏ qua (< 2.10
-7
đ.v.C.). Khi
thay khối lượng hạt nhân bằng nguyên tử khối, (2.97) trở thành:
ΔE = [ M
1
- Z
1
m
e
- M
2
+ (Z
1
+ 1) m
e
- m
e
] = (M
1

- M
2
) c
2
. (2.98)
(3) Phóng xạ β
+
. Khi ấy, một proton trong hạt nhân biến đổi thành
một nơtron, một pozitron và một nơtrino, số thứ tự giảm một đơn vị còn số
khối không thay đổi. Năng lượng phân rã được tính tương tự như trường hợp
phân rã β
-
, nhưng vì
Z
2
= Z
1
- 1
nên ta có :
ΔE = [ M
1
- Z
1
m
e
- M
2
+ (Z
1
- 1) m

e
- m
e
] = (M
1
- M
2
- 2m
e
) c
2
. (2.99)
Như vậy, nếu chênh lệch nguyên tử khối của mẹ và con không lớn
hơn 2 lần khối lượng electron (tính theo u) thì phóng xạ
β
+
không tự diễn
biến được
Nhưng ngay cả khi ∆E > 0, sự phân rã có diễn ra hay không lại còn là
vấn đề khác. Năng lượng học của phản ứng (2.17) được mô tả bởi sơ đồ ở
6
hình 2.1, ở đó sự chênh lệch về năng lượng của hạt nhân mẹ (A) và sản
phẩm phân rã (B+x) là ∆E. Cũng giống như trong phản ứng hoá học, các hạt
nhân không bền (A) phải vượt qua một hàng rào thế có chiều cao E
S
để
chuyển hoá thành sản phẩm phân rã (B+x). Chỉ những hạt nhân mẹ nào có
năng lượng cao hơn một lượng E
S
so với năng lượng trung bình thống kê E

A
của tập hợp các hạt nhân A mới vượt qua được hàng rào thế và phân rã
được. Chiều cao của hàng rào thế càng thấp, xác suất phân rã càng cao, tức
là tốc độ của sự phân rã phóng xạ càng lớn.
Tuy nhiên, sự phân rã phóng xạ không giống hoàn toàn với phản ứng
hoá học. Trong phân rã α, hạt nhân có thể không cần phải vượt qua đỉnh
hàng rào thế mà xuyên qua hàng rào nhờ hiệu ứng đường hầm. Xác suất của
việc xuyên qua hàng rào thế như vậy sẽ càng cao khi ∆E càng lớn.
E
s
A
B +  x
∆

E
Tr¹ng th¸i
N¨ng l
¦
îng
Hình 2.1. (L5.2) Hàng rào thế trong phân rã phóng xạ
Phân rã phóng xạ là một trường hợp riêng của phản ứng hạt nhân:
A

+ x → B + y + ∆E
∆E = (m
A
+ m
x
– m
B

– m
y
)c
2
(m là khôí lượng hạt nhân)
Thay m = M – Zm
e
ta có:
∆E = (M
A
+ M
x
– M
B
– My)c
2
Khi khôí lượng nguyên tử được biểu diễn qua u (đ.v.C) thì:
7
∆E = (M
A
+ M
x
– M
B
– My).931,5 MeV = (M
A
+ M
x
– M
B

–
My).1,602.10
-13
. 931,5 J
3. ĐỘNG HỌC PHÓNG XẠ
Phân rã phóng xạ tuân theo quy luật động học bậc nhất
N=N
o
e
-
λ
t
; (2.2)
N là số nguyên tử của nuclit phóng xạ đang khảo sát, λ là hằng số tốc
độ phân rã, N
o
là số nguyên tử của nuclit phóng xạ ở thời điểm t=0.
Thời điểm ở đó một nửa số nguyên tử ban đầu đã bị phân rã (N=N
o
/2),
gọi là thời gian bán huỷ t
1/2
, có thể tính được bằng cách lấy lôgarit 2 vế của
biểu thức:
N/N
o
=1/2= e
-
λ
t1/2

(2.3)
và thu được:
t
1/2
=ln2/λ=0.69315/λ (2.4)
hoặc:
λ=ln2/ t
1/2
. (2.5)
Đưa (2.5) vào (2.2) ta có:
N=N
o
(1/2)
t/ t1/2
. (2.6)
Từ phương trình (2.6) dễ thấy rằng số nguyên tử phóng xạ sau 1lần
thời gian bán huỷ còn lại 1/2, sau 2 lần t
1/2
còn 1/4, sau 7 lần t
1/2
còn 1/128
(tức là ít hơn 1%), sau 10 t
1/2
còn 1/1024 (ít hơn 1 phần nghìn) so với lượng
ban đầu.
Một đại lượng cũng thường được sử dụng là đời sống trung bình của hạt
nhân phóng xạ τ, được định nghĩa theo cách thông thường của các giá trị
trung bình:
(2.8) Ndt
N

1
0
0
∫
∞
=τ
8
Đưa (2.2) vào (2.8) ta có:
(2.9)
1
dte
0
t
λ
==τ
∫
∞
λ−
So sánh các biểu thức (2.9) và (2.4) dễ thấy rằng τ bằng 1,443 lần thời
gian bán huỷ.
Đặt giá trị t=τ=1/λ vào (2.2) ta thu được N
τ
= N
0
/e và đưa ra nhận xét
sau đây: thời gian sống trung bình τ là khoảng thời gian cần thiết để số
nguyên tử phóng xạ giảm đi e lần.
Sự khác biệt quan trọng giữa động học của quá trình phân rã phóng xạ
với các quá trình hoá học là ở chỗ hằng số tốc độ phân rã, thời gian bán
huỷ hoặc thời gian sống trung bình của các đồng vị phóng xạ nói chung

không phụ thuộc vào các điều kiện bên ngoài như nhiệt độ, áp suất, trạng
thái vật lý hoặc liên kết hoá học.
4.Hoạt độ và khối lượng
Tốc độ phân rã tính bằng số phân rã, tức là số biến đổi hạt nhân, trong
1 giây cũng được gọi là hoạt độ phóng xạ A:
A=-dN/dt=λN. (2.10)
Vì thế, quy luật thay đổi hoạt độ phóng xạ theo thời gian cũng chính
là quy luật động học đã khảo sát ở mục 3.
A=A
0
.e
-
λ
t
=A
0
(1/2)
t/t1/2
, (2.11)
Trong đó A
0
là hoạt độ phóng xạ ban đầu.
Trong hệ SI đơn vị hoạt độ phóng xạ là Becquerel, viết tắt là Bq, được
định nghĩa là 1phân rã trong 1giây, nghĩa là:
1Bq=1s
-1
.
Trong thực tế, để đo hoạt độ phóng xạ người ta thường sử dụng đơn vị
curi, các ước số và cả các bội số của nó.
1 Ci = 3,7.10

10
Bq
9
Phương trình (2.10) cũng cho biết quan hệ giữa hoạt độ và khối lượng
chất phóng xạ, nó cho phép xác định được khối lượng chất phóng xạ khi đo
hoạt độ phóng xạ của nó, hoặc lượng chất phóng xạ cần dùng để đạt được
một hoạt độ phóng xạ cho trước. Từ các biểu thức (2.5) và (2.10) rút ra:
(2.12) t.
2ln
N
2/1
AA
=
λ
=
hay:
(2.13) t.
2ln.NN
N.M
m
2/1
AvAv
A.M
==
với M là nguyên tử gam, N
Av
là số Avogadro.
Là ví dụ minh hoạ ta thử tính khối lượng
32
P cần thiết để có hoạt độ

phóng xạ 1Ci, cho t
1/2
của đồng vị này bằng 14,3 ngày.
Giải: Số nguyên tử
32
P cần thiết để có hoạt độ phóng xạ 1Ci là:
10
16
3,7.10
.14,3.24.3600 6,6.10
ln2
N = =
Suy ra khối lượng
32
P cần có là:
g5,3g10.5,3
10.02,6
10.6,6.32
m
6
23
16
µ===
−
Một đại lượng quan trọng khác là hoạt độ riêng A
s
của một nguyên
tố phóng xạ, được định nghĩa là hoạt độ phóng xạ của 1 đơn vị khối lượng,
thường là 1g, nguyên tố ( bao gồm cả khối lượng các đồng vị phóng xạ và
không phóng xạ:

(2.14)
g
Ci
hoÆc
g
Bq
s












=
m
A
A
Đôi khi hoạt độ phóng xạ riêng được quy về một mol hợp chất hoá
học chứa nguyên tố phóng xạ:
Ci
hoÆc (2.15)
mol
s
A Bq

A
n mol
   
=
   
   
10
Chẳng hạn hoạt độ phóng xạ riêng của benzen được đánh dấu bởi
14
C
thường được cho theo đơn vị mCi/mmol=Ci/mol.
Sự thay đổi hoạt độ phóng xạ riêng theo thời gian cũng tuân theo
phương trình (2.11):
(2.16)
2
1
.e
1/2
00
t/t
s
t-
ss






==

λ
AAA
Trong đó A
s0
là hoạt độ phóng xạ riêng tại thời điểm t=0 (hoạt độ
phóng xạ riêng ban đầu).
Trong hoá học thông thường người ta chỉ quan tâm đến khối lượng
các chất có mặt trong hệ, nhưng trong hoá phóng xạ, cũng như trong các ứng
dụng chất phóng xạ, bên cạnh khối lượng, hoạt độ phóng xạ riêng là thông
tin rất quan trọng. Ngoài ra, bằng cách đồng thời xác định khối lượng và
hoạt độ phóng xạ người ta có thể nhận được những thông tin quan trọng về
các quá trình biến đổi vật chất trong hệ khảo sát.
4. CÂN BẰNG PHÓNG XẠ
4.1. Khái niệm về cân bằng phóng xạ
Khái niệm cân bằng phóng xạ về thực chất không đồng nhất với khái
niệm cân bằng hoá học. Để hiểu rõ khái niệm này chúng ta khảo sát trường
hợp quan trọng và thường gặp trong hoá phóng xạ, ở đó một đồng vị mẹ
phân rã thành đồng vị con, rồi đồng vị con này lại phân rã tiếp tục. Những
biến đổi như vậy được biểu diễn bằng sơ đồ:
Nuclit 1→ Nuclit 2→Nuclit 3 (2.21)
Tốc độ tích luỹ nuclit con (2) là hiệu giữa tốc độ hình thành đồng vị
này do sự phân rã của nuclit mẹ (1) và tốc độ phân rã của con:
dN
2
/dt = -dN
1
/dt - λ
2
N
2

= λ
1
N
1
- λ
2
N
2
(2.22)
Thay vào (2.22) biểu thức của N
1
rút ra từ (2.2) ta có:
dN
2
/dt + λ
2
N
2
- λ
1
N
1
0
e
-
λ
1t
= 0 (2.23)
11
Giải phương trình vi phân tuyến tính (2.23) (xem phụ lục 1) người ta

thu được:
(2.24) eNeeNN
t
0
2
t
t
0
1
12
1
2
221
λ−λ−
λ−
+






−
λ−λ
λ
=
Giả định rằng ở thời điểm t=0 nuclit con đã được tách hoàn toàn khỏi
nuclit mẹ, tức là N
2
0

=0 thì (2.24) trở thành:
( )
(2.25) eeNN
tt
0
1
12
1
2
21
λ−λ−
−
λ−λ
λ
=
Rút ra:
[ ]
(2.26) e1eNN
t)(t
0
1
12
1
2
121
λ−λ−λ−
−
λ−λ
λ
=

hay:
[ ]
(2.27) e1NN
t)(
1
12
1
2
12
λ−λ−
−
λ−λ
λ
=
Từ (2.27) đễ dàng nhận thấy rằng trong trường hợp λ
2
>λ
1
sau một
thời gian t đủ lớn có thể chấp nhận :
0
)(
12
≈
−−
t
e
λλ
(2.28)
và (2.27) trở thành:

(2.29) NN
1
12
1
2
λ−λ
λ
=
Nghĩa là:
(2.30) const
N
N
12
1
1
2
=
λ−λ
λ
=
Trạng thái ở đó tỷ số nồng độ nuclit mẹ và nuclit con trung gian
không thay đổi theo thời gian gọi trạng thái cân bằng phóng xạ. Sự khác
12
nhau căn bản giữa cân bằng phóng xạ với cân bằng hoá học nằm ở chỗ cân
bằng phóng xạ không phải là trạng thái của một quá trình thuận nghịch.
Từ điều kiện để có các biểu thức (2.29) và (2.30) có thể đưa ra 4
trường hợp sau đây:
(1) λ
2
>>λ

1
cũng có nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t
1/2
(1) rất
lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t
1/2
(2), hệ sẽ nhanh chóng đạt
được cân bằng phóng xạ. Đây là trường hợp cân bằng thế kỷ.
(2) λ
2
>λ
1
nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t
1/2
(1) tuy lớn so
với thời gian bán huỷ của nuclit con t
1/2
(2) nhưng tốc độ phân rã của mẹ
cũng không thể bỏ qua. Đó là trường hợp cân bằng tạm thời.
(3) λ
2
<λ
1
nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t
1/2
(1) nhỏ hơn so
với thời gian bán huỷ của nuclit con t
1/2
(2), khi ấy không thể rút gọn (2.27)
thành (2.29) và (2.30), hệ không thể đi đến trạng thái cân bằng phóng xạ.

(4) Và cuối cùng là trường hợp λ
2
≈λ
1
nghĩa là t
1/2
(1) ≈ t
1/2
(2).
Sau đây, từng trường hợp nói trên sẽ được mô tả chi tiết hơn.
4.2. Cân bằng phóng xạ thế kỷ
Khi t
1/2
(2) <<t
1/2
(1) tức là λ
2
>>λ
1
có thể chấp nhận λ
2
-λ
1
≈ λ
2
và
phương trình (2.27) trở thành:
N
2
/ N

1
= λ
1
/ λ
2
= t
1/2
(2)/ t
1/2
(1) . (2.32)
Từ (2.32) rút ra:
λ
2
N
2
= λ
1
N
1
(2.33)
hay:
13
A
2
=A
1
(2.34)
ở đây A
2
= λ

2
N
2
; A
1
= λ
1
N
1
là hoạt độ phóng xạ .
Như thế khi đạt đến cân bằng phóng xạ, tỷ số giữa số nguyên tử của
nuclit con và mẹ luôn luôn là hằng số và hoạt độ phóng xạ của mẹ và con
luôn luôn bằng nhau. Cân bằng phóng xạ như vậy được gọi là cân bằng
thế kỷ.
Vì λ
1
<<λ
2
, nghĩa là sự phân rã của nuclit mẹ có tốc độ rất nhỏ, trong
một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ là
không thay đổi:
N
1
= N
1
0
= const. (2.35)
Suy ra:
N
2

= N
1
λ
1
/ λ
2
= N
1
0
λ
1
/ λ
2
= const. (2.36)
Như vậy, khi đạt đến cân bằng phóng xạ, trong một khoảng thời gian
nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ, số nguyên tử của nuclit
con, hoạt độ phóng xạ của mẹ và con là không thay đổi.
Các phương trình (2.32) và (2.34) có nhiều ứng dụng thực tế rất quan
trọng bởi vì nó không chỉ đúng cho các nuclit con trực tiếp mà cho các nuclit
con cháu bất kỳ của một dãy phóng xạ, nếu các điều kiện để có cân bằng
phóng xạ được thoả mãn.
(1). Tính thời gian bán huỷ của các nuclit có thời gian bán huỷ quá
dài, khi mà việc xác định thời gian bán huỷ gặp khó khăn do sự thay đổi hoạt
độ phóng xạ không thể đo được bằng thực nghiệm.
1
1/2 1/ 2
2
(1) (2) (2.37)
N
t t

N
=
(2). Tính hàm lượng của các nuclit nằm trong cân bằng phóng xạ của
một dãy.
14
(2.38)
)1(t
)2(t
.
M
M
N
N
.
M
M
m
m
2/1
2/1
1
2
1
2
1
2
1
2
==
trong đó M

1
, M
2
là nguyên tử lượng.
(3).ứng dụng trong phân tích, chẳng hạn xác định hàm lượng đồng vị
mẹ trong khoáng vật thông qua đo hoạt độ phóng xạ của nuclit con. Để xác
định hàm lượng urani trong quặng người ta có thể tiến hành đo hoạt độ của
Th-234 hoặc Pa-234m (Pa là kí hiệu của nguyên tố protactini).
Hàm lượng rađi trong mẫu có thể được xác định với độ nhạy rất cao
nhờ đo rađon nằm ở cân bằng phóng xạ với rađi.
Công thức tính khối lượng của nuclit mẹ từ hoạt độ phóng xạ của
nuclit con có thể rút ra trực tiếp từ các phương trình (2.10) và (2.34):
(2.39) )1(t.
2ln
.
N
M
m
2/1
2
Av
1
1
A
=
4.3. Cân bằng phóng xạ tạm thời
Cân bằng phóng xạ tạm thời xảy ra khi λ
2
>λ
1

nghĩa là thời gian bán
huỷ của nuclit mẹ t
1/2
(1) tuy lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con
t
1/2
(2) nhưng tốc độ phân rã của mẹ cũng không thể bỏ qua.
Để tiện lập luận chúng ta nhắc lại với giả thiết tại t=0 nuclit con được
tách hoàn toàn khỏi nuclit mẹ, tức là N
2
0
= 0 và trở lại với phương trình
(2.27)
[ ]
(2.27) e1NN
t)(
1
12
1
2
12
λ−λ−
−
λ−λ
λ
=
Khi t là đủ lớn, trong thực tế thường lấy
)2(t)1(t
)2(t).1(t
10t

2/12/1
2/12/1
−
>
,
e
-(
λ
2 -
λ
1)t
trở thành đủ nhỏ so với 1, ta có:
(2.40) NN
1
12
1
2
λ−λ
λ
=
và rút ra:
15
(2.41)
(2)t-(1)t
(2)t
N
N
1/21/2
1/2
12

1
1
2
=
λ−λ
λ
=
Như vậy tỷ số giữa số nguyên tử (cũng là tỷ số khối lượng) của hai
nuclit mẹ và con trở thành hằng số, không thay đổi theo thời gian, hệ đã đạt
được cân bằng phóng xạ.
Dựa vào định nghĩa hoạt độ phóng xạ cho bởi phương trình (2.10) và
phương trình (2.41) dễ dàng tìm thấy:
(2.42)
)1(t
)2(t
11
N
N
2/1
2/1
2
1
22
11
2
1
−=
λ
λ
−=

λ
λ
=
A
A
Có thể thấy rằng khác nhau cơ bản của cân bằng tạm thời với cân
bằng thế kỷ là ở chỗ khi đạt đến cân bằng tạm thời hoạt độ của nuclit mẹ
luôn nhỏ hơn hoạt độ phóng xạ của nuclit con, trong khi ở cân bằng thế kỷ
hai hoạt độ phóng xạ này luôn luôn bằng nhau.
Các biểu thức rút ra được từ việc nghiên cứu trạng thái cân bằng
phóng xạ tạm thời cũng có các ứng dụng tương tự như trường hợp cân bằng
thế kỷ, sự khác nhau chỉ ở dạng cụ thể của các phương trình tính toán mà
thôi. Thay cho các phương trình (2.37), (2.38), (2.39), ở đây ta có:
(2.43) 1
N
N
)2(t)1(t
2
1
2/12/1








+=
(2.44)

)2(t)1(t
)2(t
.
M
M
N
N
.
M
M
m
m
2/12/1
2/1
1
2
1
2
1
2
1
2
−
==
[ ]
(2.45) )2(t)1(t.
2ln
.
N
M

m
2/12/1
2
Av
1
1
−=
A
16
0
1
2 3
4 5
6
7
8 9 10
A= A  +  A
1 2
A
1
2
A
A
2
Thêi gian t/t
1/2
Ho¹t ®é A
1
10
10

2
Hình 2.2.( L5.9) Sự phụ thuộc thời gian của hoạt độ phóng xạ tổng cộng và
hoạt độ phóng xạ riêng rẽ của các nuclit trong cân bằng thế kỷ.
17
Ho¹t ®é A
1/2
Thêi gian t/t
2
A
21
A= A  +  A
1098
7
6
54
32
1
0
A
2max
max
A
1
A
2
10
10
1
Hình 2.3.(L5.10) Sự phụ thuộc thời gian của hoạt độ phóng xạ tổng
cộng và hoạt độ phóng xạ riêng rẽ của các nuclit trong cân bằng tạm thời.

Hình 2.2 và 2.3 cho thấy rõ sự khác nhau căn bản của cân bằng thế kỷ
và cân bằng tạm thời. Khi đạt đến cân bằng thế kỷ hoạt độ phóng xạ của các
đồng vị mẹ và con luôn luôn bằng nhau và không thay đổi. Trong trường
hợp của cân bằng tạm thời, đường biến thiên hoạt độ A
1
chỉ cắt A
2
tại 1 điểm
A
2max
, còn khi đạt tới cân bằng, các hoạt độ này không bằng nhau và luôn
luôn giảm. (Chú ý: Trục tung của các đồ thị được chia theo thang logarit)
4.4. Phân rã nối tiếp trong trường hợp tổng quát
Đối với trường hợp một dãy phóng xạ có n nuclit, phân rã theo sơ đồ
tổng quát sau:
18