Toán Rời rạc_ P1

TOÁN RỜI RẠC
(Discrete Mathematics)
Tài liệu tham khảo:
1. Toán rời rạc, Nguyễn Hữu Anh
2. Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rosen
3. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics,
Kenneth H Rosen

Chương 1
Cơ sở Logic

Cơ sở Logic

Tóan học logic ứng dụng rất nhiều trong khoa học máy tính:
Thiết kế mạch logic, các biểu thức điều kiện trong cấu trúc
điều khiển của chương trình,…

Logic mệnh đề và Logic vị từ:

Logic mệnh đề (Logic bậc 0): Không định lượng
Ví dụ: “Nếu trời mưa thì đất bị ướt”

Logic vị từ (Logic bậc 1): Có định lượng
Ví dụ: “Mọi người rồi sẽ chết”
“Với mọi số thực a và b luôn tồn tại số thực x để:
|a|x-bx-2=0”

1. Một giá trị chân lý (chân trị): Là một giá trị đúng hoặc sai.
Kí hiệu:


T (hoặc 1): Đúng (true)

F (hoặc 0): Sai (false)
2. Mệnh đề (Proposition): là một diễn đạt có chân trị xác định:
đúng hoặc sai (nhưng không thể vừa đúng lại vừa sai hoặc lúc
đúng, có lúc lại sai)
Ví dụ 1.1:
I. Mệnh đề và các phép toán logic
“Mặt trời quay quanh trái đất”
“3+1 = 5”
“Hà nội là thủ đô của Việt Nam”
“Sài gòn nằm ở miền bắc việt nam”
“x+1=5 nếu x=1”
“x + 2 = 8”
“Mấy giờ rồi?”
Các mệnh đề
Không phải
mệnh đề

Thường kí hiệu các mệnh đề bởi các kí tự hoa: P, Q, R,…
Ví dụ 1.2:
P: Hà Nội là Thủ Đô của Việt Nam
Q: Quy nhơn thuộc tỉnh Bình Định
R: Việt nam thuộc châu Á
S: Long An là tỉnh thuộc khu vực miền trung của Việt nam.
4. Biến mệnh đề : Biến đại diện cho mệnh đề chưa biết trước,
thường kí hiệu bởi các kí tự thường p, q, r, s,…
5. Bảng chân trị (Truth Table ): Dùng để biểu diễn các sự kết
hợp giữa các chân trị của các mệnh đề, xác định chân trị của
mệnh đề phức hợp từ chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
6.Logic mệnh đề: (Logic bậc 0): Nghiên cứu về các mệnh đề logic
và sự kết hợp giữa chúng bởi các phép nối logic
7. Các phép tóan mệnh đề:

Dùng để tạo một mệnh đề phức hợp từ các mệnh đề đơn giản
hơn
o
Phép phủ định (Negation operator)
o
Phép nối liền (Conjunction operator)
o
Phép nối rời (Disjunction operator)
o
Phép kéo theo (Implication operator)
o
Phép kéo theo hai chiều (Biconditional operator)

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)

Phép phủ định (Negation operator)
Phủ định của mệnh đề P (kí hiệu ¬P: đọc là “Không P” hay
“phủ định P”) là mệnh đề có chân trị 1 nếu P có chân trị 0 và
có chân trị 0 nếu P có chân trị 1.
P ¬P
0 1
1 0
Bảng chân trị

Ví dụ 1.3:
P: ≡ “Hà nội là thủ đô của Việt Nam”
¬P:≡ “Hà nội không phải là thủ đô của Việt Nam”
Q: ≡ “1-4 = 8”
¬Q:≡ ” 1-4 ≠ 8”

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)

Phép nối liền (Conjunction operator):
Phép nối liền giữa hai mệnh đề P và Q (kí hiệu P ∧Q, đọc là
“P và Q”) là mệnh đề có chân trị 1 nếu cả P và Q có chân trị
1 hoặc có chân trị 0 nếu ít nhất một trong 2 mệnh đề P hay Q
có chân trị 0.
Bảng chân trị:
P Q
P∧Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
Ví dụ 1.4: “Hôm nay là chủ nhật và ngày mai là thứ 7”
là một mệnh đề có chân trị 0.
Ví dụ 1.5: “Tổng các góc trong một tam giác bằng 180
o

và trong tam giác vuông có một góc 90
o
” là mệnh đề

có chân trị 1
Ví dụ 1.6: “Trong một tam giác cân có 2 cạnh bằng nhau
và mặt trời quay quanh trái đất” là một mệnh đề có
chân trị 0.
Ví dụ 1.7: “2=8 ∧ 3<9” là mệnh đề có chân trị 0.
Ví dụ 1.8: “(2<=2) ∧ ¬(3>12)” là mệnh đề có chân trị 1

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)

Phép nối rời (Disjunction Operator):
Phép nối rời giữa hai mệnh đề P,Q (kí hiệu P ∨ Q: đọc là “P
hay Q”) là mệnh đề có chân trị 0 nếu cả P và Q có chân trị 0
hoặc có chân trị 1 nếu P có chân trị 1 hay Q có chân trị 1.
Bảng chân trị:
P Q
P∨Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
Ví dụ 1.9:
“(3<2) ∨ (5>4)” là mệnh đề có chân trị ?
Ví dụ 1.10:
“Hà nội là thủ đô của Việt nam hay Hàn Quốc thuộc Châu
âu” là mệnh đề có chân trị 1.
Ví dụ 1.11:
[(12<6)∧(7>=3)]∨(4 ≤5) Là mệnh đề có chân trị ?

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)

Phép kéo theo (Implication Operator)
Mệnh đề “Nếu P thì Q” (kí hiệu P → Q: đọc là P kéo theo Q, hay P là
điều kiện đủ của Q hay Q là điều cần của P) là mệnh đề có chân trị 0 nếu
P có chân trị 1 và Q có chân trị 0, có chân trị 1 trong các trường hợp còn
lại.
P Q
P→Q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Bảng chân trị:

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
Ví dụ 1.12:
P: “Nếu 3<5 thì Cá không thể sống dưới nước”
Chân trị …… ?
Q: “Nếu 2+1=4 thì tổng các góc trong một tam giác bằng π”.
Chân trị …… ?
R: “Nếu cá sống dưới nước thì cá biết bơi”:
Chân trị …… ?
S:≡“Nếu chúng ta không còn gì để ăn thì sáng mai mặt trời sẽ
mọc”
Chân trị …… ?
“12>6 → 9=5” Là mệnh đề có chân trị ????
“(2=8 ∨ 6≤10) → (1+2=3) là mệnh đề có chân trị ????

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)


Phép kéo theo 2 chiều
Mệnh đề “Nếu P thì Q và ngược lại”, kí hiệu P ↔ Q (còn đọc
là “P nếu và chỉ nếu Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q” hoặc “P là điều
kiện cần và đủ để có Q”) có chân trị 1 nếu cả 2 mệnh đề P và Q có
cùng chân trị, có chân trị 0 trong các trường hợp còn lại.
P Q
P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Bảng chân trị

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
Ví dụ 1.13: Phát biểu “(3<5) ↔ (9 =8)”
Là mệnh đề có chân trị 1
“(2<=5) ↔ (12<6)
Là mệnh đề có chân trị 0
“Trái đất quay quanh mặt trời khi và chỉ khi Trung Quốc thuộc
Châu Mỹ”
Là mệnh đề có chân trị ????

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
8. Dạnh mệnh đề:
Dạng mệnh đề là một biểu thức Logic (bao gồm các
hằng mệnh đề, biến mệnh đề được kết hợp bởi các
phép toán logic).
Ví dụ 1.14: Cho dạng mệnh đề theo 3 biến mệnh đề p,
q: E(p,q)=(p ∧q) →¬p


Bản thân các dạng mệnh đề có thể chưa phải là mệnh đề.

Nếu thay biến mệnh đề trong dạng mệnh đề bởi các mệnh đề
thì dạng mệnh đề đó trở thành mệnh đề

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
Ví dụ 1.15: Cho dạng mệnh đề theo 3 biến p,q,r:
E(p,q,r)=(p ∧q) →¬r
E(p,q,r) chưa phải là mệnh đề (vì chân trị chưa được xác
định). Nếu:
o
Thay p bởi mệnh đề P: “3>5”
o
Thay q bởi mệnh đề Q: “2<9”
o
Thay r bởi mệnh đề R: “1+1=2”
Thì dạng mệnh đề đã cho trở thành:
E(P,Q,R)=[(3>5) ∧(2<9)] →¬(1+1=2)
Là một mệnh đề có chân trị 1.

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
•
Bảng chân trị cho biết chân trị của dạng mệnh đề theo chân trị
xác định của các biến mệnh đề.
Ví dụ 1.16: Bảng chân trị của dạng mệnh đề:
E(p,q,r)=(p ∧q) →¬r
p q r
p ∧q ¬r (p∧q) →¬r
0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0
Chú ý: Một dạng mệnh đề có n biến thì bảng chân trị có 2
n
dòng

I. Mệnh đề và các phép toán logic (tt)
Ví dụ 1.17: Viết lại thành dạng mệnh đề là lập bảng chân trị cho diễn
đạt: “Bạn được phép đi xe máy nếu bạn trên 16 tuổi và có sức
khỏe tốt”.
Gọi: p: Bạn được phép đi xe máy.
q: Bạn trên 16 tuổi.
r: Bạn có sức khỏe tốt.
Dạng mệnh đề cho diễn đạt trên:
q ∧r→p.
Bảng chân trị (hình bên):
P q r
q ∧r q ∧r→p
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

2. Tương đương logic & hệ quả logic
Định nghĩa:

Hai dạng mệnh đề E và F tương đương logic nếu chúng có
cùng bảng chân trị. Kí hiệu E ⇔ F (còn đọc là “E tương đương
logic với F” hoặc “F tương đương Logic với E”).

Dạng mệnh đề gọi là hằng đúng nếu nó luôn có chân trị 1 với
mọi giá trị của các biến mệnh đề thành phần

Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay còn gọi là mâu thuẩn)
nếu nó luôn có chân trị 0 với mọi giá trị của các biến thành
phần.

E và F tương đương logic khi và chỉ khi E↔F là một hằng
đúng.

F là hệ quả logic của E (kí hiệu E ⇒F) nếu E → F là hằng
đúng.

Tương đương logic & hệ quả logic (tt)
Ví dụ 2.1: Chứng minh ¬(p→q) ⇒ p.
Xét dạng mệnh đề E(p,q)= [¬(p→q)]→p
p q
p→q ¬(p→q) [¬(p→q)]→p
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1

1 1 1 0 1
Ta thấy chân trị của dạng mệnh đề [¬(p→q)]→p luôn là 1.
Vậy: [¬(p→q)]⇒p hay dạng mệnh đề [¬(p→q)]→p là hằng
đúng.
Bảng chân trị của E(p,q):

Tương đương logic & hệ quả logic (tt)
Ví dụ 2.1: Dùng bảng chân trị chứng minh:
[(q∧r)→p] ⇔ (¬q ∨ ¬r ∨ p)
Lập bảng chân trị của dạng mệnh đề: [(q∧r)→q] và (¬q ∨ ¬r ∨ p)
p q r
¬q ¬r (q∧r) (q∧r)→p ¬q ∨ ¬r ∨
p
0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1 1

Tương đương logic & hệ quả logic (tt)

Quy tắc thay thế thứ nhất
Trong một dạng mệnh đề, nếu thay thế một biểu thức
con bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì
được dạng mệnh đề mới vẫn tương đương logic dạng
mệnh đề ban đầu.
Ví dụ 2.2: Cho dạng mệnh đề: (p → q) → r

Do p → q ⇔ ¬p ∨ q nên theo quy tắc thay thế thứ
nhất, ta có:
(p → q) → r ⇔ (¬p ∨ q ) → r

Tương đương logic & hệ quả logic (tt)

Quy tắc thay thế thứ 2:
Giả sử dạng mệnh đề E(p
1
, p
2
,…) là hằng đúng, Nếu thay thế
thành phần p
i
trong E bởi một dạng mệnh đề bất kỳ thì cũng
nhận được dạng mệnh đề kết quả là hằng đúng.
Ví dụ 2.3: Cho dạng mệnh đề: E(p,q)=(p →q) ↔ (¬p ∨ q)
Ta đã chứng minh được E(p,q) là hằng đúng.
Thay p bởi r∨s, ta được dạng mệnh đề:
E’(r,s,q)= [(r∨s)→q] ↔ [¬(r∨s) ∨ q]
Theo quy tắc thay thế thứ 2, ta có E’(r,s,q) cũng là hằng
đúng.

Tương đương logic & hệ quả logic (tt)

Các luật Logic: Với p,q,r và s là các biến mệnh đề.
Ta có các tương đương logic sau:
1. Phủ định kép (Double negation)
¬¬p ⇔ p
2. Quy tắc De Morgan (DeMorgan’s Rules)

¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
3. Luật giao hoán (Commutative Rules)
p ∨ q ⇔ q ∨ p
p ∧ q ⇔ q ∧ p