sach bai tap ki thuat lap trinh

Phần I. CÁC BÀI TẬP
TÍNH BIỂU THỨC
1. Cho các số x,y,z. Tính a,b nếu:



iii)
2. Cho 2 số thực c và d tính:
Trong đó x
1
-nghiệm lớn, x
2
- nghiệm bé củng phương trình:
3.
- Có tam giác mà các cạnh có độ dài tường ứng a, b, c là các số thực cho trước hay không?
- Nếu có, hãy tính độ lớn của các góc trong tam giác đó.
4. Biết độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tinh:
- Độ dài của các chiều cao.
- Độ dài của các trung tuyến.
- Bán kính các vòng tròn nôi tiếp và ngoại tiếp.
5. Cho số thực x. Chỉ được sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, hãy tính biểu thức:
i) 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x +6
(Không sử dụng quá 4 phép nhân và 4 phép cộng, trừ, nhân (tất cả không quá 8 phép toán)).
1
ii) 3x

2
y
2
– 2xy
2
– 7x
2
y – 4y
2
+ 15xy + 2x
2
– 3x + 10y +6
(Sử dụng không quá 8 phép nhân và không quá 8 phép cộng hoặc trừ).
iii) 1 – 2x + 3x
2
– 4x
5
( Sử dụng không quá 6 phép toán)
RẼ NHÁNH
6. Cho các số thực a,b,c,d. Nếu a ≤ b ≤ c ≤ d thì mỗi số được thay bởi số lớn nhất trong chúng;
nếu a > b >c > d thì các số không thay đổi; ngược lại thì thay đổi mỗi số bằng bình phương của
chính nó.
7. Cho số thực h. Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm thực hay không khi:
Nếu tồn tại nghiệm thì tính chúng, ngược lại cần đưa ra thông báo là không có nghiệp.
8. Cho các số thực a1, b1, c1, a2, b2, c2. Kiểm tra xem
9. Cho các số thực a, b, c, d, e, f, g, h. Biết rằng hai điểm (e,f) và (g, h) khác nhau và các điểm
(a,b); (c,d) không nằm trên đường thẳng l đi qua hai điểm (e,f) và (g, h). Đường thẳng l chia mặt
phẳng làm hai nửa mặt phẳng. Hai điểm (a,b) và (c,d) có thuộc một trong hai nửa mặt phẳng đó

không?
10. Cho các số thực x1, x2, x3, y1, y2, y3. Gốc tọa độ có nằm trong tam giác được tạo bởi 3 đỉnh
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) hay không?
11. Cho số thực a. Hãy tính f(a) nếu:
2
12. Cho số thực a và hàm f(x) được cho bằng đồ thị như các hình vẽ dưới đây. Tính giá trị f(a).

13. Cho D là phần gạch chéo trên mặt phẳng ( xem các hình vẽ dưới). Tính ứng dụng của mỗi
hình vẽ u phụ thuộc vào x,y như dưới đây. Tính giá trị của u:
14. Cho số tự nhiên n (n ≤ 100).
a) Có bào nhiêu chữ số trong n?
b) Tổng các chữ số của n bằng bao nhiêu?
15. Cho số tự nhiên n ( n ≤ 9999). Kiểm tra:
a) Các chữ số của n có khác nhau từng đôi một hay không?
3
b) Xét n luôn có đủ 4 chữ số ( các chữ số vắng được coi là 0). Khi đó ba trong bốn chữ số của n
có trùng nhau không?
16. Bàn cờ quốc tế được coi như mảng 2 chỉ số: chỉ số hang ( tính từ trái sang phải), chỉ số cột
(tính từ dưới lên trên ); các chỉ số này không vượt quá 8. Cho các số tự nhiên k, l, m, n mỗi số
đều không vượt quá 8.
a) Hai ô (k,l) và (m,n) có trùng nhau không?
b) Đặt hậu ở ô (k, l). Nó có khống chế được ô (m,n) hay không?
c) Tương tự câu b, song thay hậu bở mã.
CHU TRÌNH ĐƠN
17,cho số tự nhiên n.Hãy tính:
a, 2
n
b.n!
c.(1+ )( )…(1+ )
d. + +….+

e. n lấy căn
g. + +….+
h.
18.cho số thực a,số tự nhiên n.Hãy tính:
a. a
n
b.a(a+1) (a+n-1)
4
c. + + +
d. . + + +…+
e.a(a-n)(a-2n)…(a-2n)
19.tính (1+sin0.1) (1+sin0.2)…. (1+sin0.10)
20.cho số thực x.Hãy tính:
- + - + - +
21.cho số thực a.tìm số tự nhiện n nhỏ nhất thỏa mãn :
1+ + +…+ >a
Tính giá trị của tổng phía trái tương ứng với n được tìm thấy.
22.cho các số thực a,h và số tự nhiên n.hãy tính:
F(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+… 2f(a+(n-1)h)+f(a+nh)trong đó,f(x)=(x2+1) cos2x
23.thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất(USCLN)của các số nguyên không âm dựa trên chất
sau đây:giả sử m,n là hai số nguyên không âm,không đông thời bằng 0 và m n.khi đó ,nếu n=
,thì USCLN(m,n)=m.ngược lại,với các số m,n và r trong đó r là phần dư của phép chia m cho
n,ta có đẳng thức sau:USCLN(m,n)= USCLN(n,r)
Ví dụ : USCLN(15,6)= USCLN(6,3)= USCLN(3,0)=3
Cho các số tự nhiên n,m.dùng thuật toán Euclid để:
a,tìm USCLN(m.n)
b.tìm bội số chung nhỏ nhất(BSCNN) của m và n
24.cho 2 số tự nhiên m và n.tìm hai số tự nhiên p và q nguyên tố cung nhau sao cho (p/q=m/n)
Hai số tự nhiên được gọi là số nguyên tố cùng nhau khi USCLN của chúng bằng 1.
25.cho số tự nhiên n và a

0
=1 a
k
=ka
k-1
+1/k;(k=1,2…).Hãy tính a
n
26.giả sử a
1
=b
1
=1 ,a
k
=3b
k-1
+2a
k-1
,
5
b
k
=2a
k-1
+b
k-1
,k=2,3…
cho số tự nhiên n.hãy tính
27.giả sử a
1
=u, b

1
=v , a
k
=2b
k-1
+a
k-1
b
k
=2a
k-1
+b
k-1
k=2,3
cho các số thực u,v và số tự nhiên n.hãy tính:
28.cho các số thực dương a,x,e .dãy y
1
,y
2
,… được biểu diễn theo quy luật:
a
0
=a y
i
= (y
i
-1+ ) với i=1,2
tìm n lớn nhất thỏa mãn:
<ε
29.cho số thực x khác 0

Hãy tính:
6
30.cho số tự
nhiên n và ký hiệu
n!! =
nếu n lẻ
nếu n chẵn
hãy tính a. n!!
b.(-1)
n-1
.n!!
31.cho các số tự nhiên n và các số thực a
1
….,a
,n
.hãy tính
a. a
1
+… +a
n
b. a
1
a
2
….a
n
c. . a
1
+… +a
n

d. a
1
a
2
….a
n
e.a
1
2
+… +a
n
2
h, a
1
-a
2
+a
3
….+.(-1)
n+1
a
n
f. +
J, + +… + ;
7
k.2(a
1
+… +a
n
)

2
m. sin(a
1
+… +a
n
);
p. )
2
…+. )
2
;
s. +…
32.cho số tự nhiên n và các số thực a
1
….a
n
.hãy tính:
a. a
1
,a
1
+a
2
… a
1
+a
2
+…+a
n
b. a

1
, a
1
a
2
+ a
1
a
3
,…, a
1
a
n
d,a
1
, -a
1
a
2
, a
1
a
2
a
3
,….(-1)
n+1
a
1
a

2
…a
n
e,- a
1
,a
2
,-a
3
,…,(-1)
n
a
n
g.a
1
+1!,a
2
+2!,…,a
n
+n!
33.cho số tự nhiên n.hãy tìm dãy (i=1,2,…n).còn các được xác định theo:
a, i; b,i
2
c.i! d,2
i+1
e,2
i
+3
i+1
; g,

34.tính giá trị với a=1,2,…100
35.hình trụ thể tích đơn vị có chiều cao h.
Hãy xác định bán kính đáy hình trụ với h bằng :0.5 ,1.5,…,5.
36. Cho các số thực a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,x
1
,… ,x
50
.hãy tính b
1
,… ,b
50
trong đó:
b
i
= . ( )- + ( )
(i=1,2,….,50)
37. Dãy các số phiboonaxi u
0
,u
1
;u
i

= u
i
-1+ u
i
-2(i=2,3…)
a.cho số tự nhiên n>1.tính theo u
0
,u
1
,….u
n
8
b.dãy f
0,
f
1
…được lập theo quy luật f
0
=0,f
1
=1,f
i
=f
i-1
+ f
i-2
+u
i-2
(i=2,3…)
cho số tự nhiên n>1.hãy tính f

0
,f
1
,….,f
n
38. Dãy x
1
,x
2
được lập theo quy luật:
a,x
1
=0 ;x
2
= ;x
i
= + ; (i=3,4….)
b. x
1
=1; x
2
=0,3; x
i
=(1+i) ;(i=3,4…)
c. x
1
= x
2
= x
3

=1; x
i
=(3+i) )+ (4+i) ;
(i=4,5…).hãy tính x
1
, x
2
… x
20
39.Cho số tự nhiên n và các số thực a,b(a khác b).hãy tìm r
0
,r
1,
….,r
n;
Trong đó r
i
=a+ih,h=(b-a)/n
40. Hãy tính dãy các giá trị của hàm:p
1
(x)=x; p
2
(x)=(3x
2
-1)/2,
p
3
(x)= (5x
2
-3x)/2 với các giá trị của đối số x=0,0.05,0.1,…,20.

41. Đưa ra bảng nhiệt độ C từ 0
0
đến 100
0
và nhiêt độ tương đương Farengay theo công thức
chuyển đổi: tF=(9/5)t
c
+32
42. Tính các giá trị của hàm số y=4x
3
-2x
2
+5 trong đó giá trị của đối số x biến đổi từ -3 đến 1 với
bước 0,1
43. Cho số tự nhiên n.hãy tính các giá trị của hàm :
y= với x=1,1.1,1.2, 1+0.1n
44. Cho số tự nhiên n và các số thực dương C
1
,…,C
n
là điện dung của n tụ điện.hãy xác định điên
dung của hệ thống tụ điện nhận được bằng các mắc nối tiếp và song song các tụ điện ban đầu
45. Cho các số tự nhiên n và các số thực a,h,b,d
0
,…,d
n
.
Hãy tính:d
0
+d

1
(b-a)+d
2
(b-a) (b-a-h)+…+d
n
(b-a) (b-a-h)…
(b-a-(n-1)h)
46. Cho số tự nhiên n và các số thực a,b,x
1
,y
1
,…,x
n
,y
n
.cặp a,b là tọa độ một trường học.các cặp
x
1
,y
1
(i=1,….n) là tọa độ tương ứng của các tòa nhà trong trường .hãy tìm các khoảng cách từ các
tòa nhà đến trường và trung bình số học của các khoảng cách đó.
9
48. Cho số tự nhiên n và các số thực x
1
,….,x
n
(n 2).hãy tính
( +x
2

) +x
3
)… ( +x
n
)
49. Cho số tự nhiên n và các số thực x
1
,…,x
n
(n ).hãy tính
a, (x
1
+2x
2
+x
3
)( x
2
+2x
3
+x
4
)…(x
n-2
+2x
n-1
+x
n
);
b. (x

1
+2x
2
+x
3
)x
2
+)( x
2
+2x
3
+x
4
)x
3
+….+(x
n-2
+2x
n-1
+x
n
)x
n-1
;
50. Cho số tự nhiên n và các số thực a,b(b>a>0).tìm dãy số thực y
0
,y
1
…y
n

.trong đó:
h=(b-a)/n ,x
i
=a+hi ,y
i
=
51. Cho số tự nhiên n và các số nguyên a
1
,….,a
39
.trong dãy a
1
,….,a
39
hãy thay mỗi một thành
phần bằng phần dư của phép chia bình phương của nó cho n
52. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,…,a
n
( 3)
Hãy tính b
1
,…,b
n-2
trong đó :b
i
=a
i
+1 +a

i
+2 (i=1,…n-2).
53. Cho các số tự nhiên n và các số thực ,l
1
, ,l
2
… ,l
n
Trong đó (l
1
, l
2
…. l
n
0).hãy tìm các tọa độ cuối của đường gấp khúc biểu diễn trên hình vẽ
54.cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,…,a
n
(i ).hãy tìm trung bình số học của tất cả các số a
1
,
…,a
n
trừ a
i
56. Cho các số thực a
1
…,a
50

.hãy tìm các giá trị của dãy sau khi
10
“san bằng” dãy đã cho bằng cách thay thế các thành phần của dãy ,trừ thành phần đầu tiên và
cuối cùng theo công thức:
a
i
= (i=2,3,….,49)
khi xét một trong 2 trường hợp :
a.sau khi tính được giá trị mới của một thành phần nào đó ,giá trị đó được dùng để tính giá trị
mới của thành phần tiếp theo.
b.khi “san bằng”chỉ được sử dụng các giá trị của dãy cho ban đầu.
58. Cho dãy các số thực a
1
,a
2
….biết rằng a
1
>0 và trong số a
2,
a
3
,…(có ít nhất một số âm).giả sử a
1
,
…,a
n
là các thành phần của dãy đã cho và đi trước thành phần âm đầu tiên (n chưc biết
trước ).hãy tính :
a. a
1

,a
2
….a
n
;
b.trung bình số học của . a
1
,a
2
….a
n
;
c.a
1
,a
1
a
2
, a
1
a
2
a
3
, a
1
a
2
… a
n

;
d.a
1
+2a
2
+2a
3
+….+2a
n-1
+a
n
;
g .a
1
a
2
+ a
2
a
3
+….+a
n-1
a
n
;
h.(-1)
n
.a
n
i.n+a

n
k.
59. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,a
2
….a
n
;.hãy tinh các số b
1
,b
2
….b
n
;trong đó :
a
1
=b
1
,b
n
=a
n
,b
i
= (i=2,…,n-1)
60. Cho các số thực x,y
1
,…,y
100

.(y
1
<y
2
<…<y
100
,y
1
<x<y<y
100
)
Hãy tìm số tự nhiên k sao cho :y
k-1
<x<y
k
61. Cho các số tự nhiên n,a
1
,…,a
n
(n ).các số a
1
,…,a
n
là các kết quả đo đến phầm trăm giây của
n vận động viên chạy 100m.hãy lập một đội gồm 4 vận động viên chạy tốt nhất để tham gia chạy
11
tiếp sức 4x100m tức là chỉ ra một trong các bộ bốn các số tự nhiên i,j,k,l.sao cho 1
n và a
i
+a

j
+a
k
+a
l
có giá trị bé nhất.
Trong nhiều bài toán người lập trình mong muốn thể hiện các kết quả tính toán trên màn hình ở
dạng các hình vẽ . Các kết quả như thế có thể là đồ thị của một hàm dưới dạng bảng, là các biểu
đồ liệt kê , các hình vẽ cho hướng thể hiện riêng nào đó . Khác với cách thể hiện hình vẽ trên các
máy in dạng bút hình vẽ ở đây sẽ gần với các hình thật sự hơn .
Trong các phần mềm PASCAL của máy cho phép sử dụng các thủ tục để vẽ các hình . Với
TURBO PASCAL , hệ thống các thủ tục và hàm chuẩn để vẽ khá phong phú .
62. Vẽ các hình với các tham số được cho dưới đây :
a) Tam giác có các đỉnh (100,100) , (150,100) , (80,150).
b) Hình chữ nhật có các đỉnh (80,80) , (170,80) , (170,150) , (80,150).
c) Đa giác có các đỉnh (100,100) , (150,100) , (170,120) , (150,140) , (100,140) , (80,120) .
d) Lục giác có các đỉnh ( 120,100) , ( 140,120) ,( 140,140) , 9120,160) , (100,140) ,
(80,120).
e) Các đa giác trên với các cạnh viết rời nét cách một điểm vẽ một điểm .
63. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a3n-1. Mỗi một bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i
là bội của 3 , cho tọa độ của tâm hình vuông (ai;ai+1) và độ dài cạnh của nó là ai+2. Giả sử các
cạnh hình vuông nằm song song với cá trục tọa độ của màn hình . Hãy thiết lập và tô màu bằng
các màu nào đó các hình vuông được chobởi dãy sau đây :
a0,a1,a2, ….a3n-1.
64. . Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a3n-1. Mỗi một bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i
là bội của 3 , cho tọa độ của tâm hình vuông (ai;ai+1) và độ dài cạnh của nó là ai+2. Hãy thiết
lập và tô màu bằng các màu nào đó cho các đường tròn cho bởi dãy sau đây a0,a1,a2, ….a3n-1.
65. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a4n-1. Mỗi một bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i
là bội của 4 , cho một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục tọa độ của màn hình : các số
ai,ai+1 là tọa độ của tâm hình chữ nhật ;ai+2, ai+3 là độ dài các cạnh của nó . Hãy thiết lập và tô

màu bằng các màu nào đó các hình chữ nhật được cho bởi dãy sau đây : a0,a1,a2, ….a4n-1.
66. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a6n-1. Mỗi một bộ 6 các số ai , ai+1 ,
ai+2,ai+3,ai+4,ai+5 trong đó I là bội của 6, xác định tọa độ các đỉnh của một tam giác có các số
ai,ai+1 là tọa độ của đỉnh thứ nhất, ai+2,ai+3 là tọa độ của đỉnh thứ hai , ai+4,ai+5 là tọa độ của
đỉnh thứ ba ,hãy xây dựng các cạnh tam giác cho bởi dãy : a0,a1,a2, ….a6n-1.
12
67. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a2n-1. Mỗi cặp số ai , ai+1, trong đó I là bội của 2 , xác
định tọa độ các đỉnh của một đường gấp khúc . Hãy xây dựng đường gấp khúc cho bởi dãy :
a) a0,a1,… , a2n-1.
b) a0,a1,….a2n-1 và đỉnh cuối nối với đỉnh đầu .
68. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,…, a3n-1 . Mỗi bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i là bội
của 3, xác định tọa độ của điểm và tô màu của nó . Hãy xây dựng tất cả các điểm cho bởi dãy :
a0,a1,a2, ….a3n-1.
69. Cho các số tự nhiên n,x,y,r1,c1,r2,c2,… , r
n,
c
n
. Hãy xây dựng n đường tròn đồng tâm với tâm
chung ở điểm (x,y) có các bán kính r1,…, r
n
và tô các màu c1,c2,…, c
n.

KẾT HỢP CHU TRÌNH VÀ RẼ NHÁNH
70. Cho trước các số tự nhiên n và dãy a1,….,a
n
. Hãy xác định số lượng các thành phần a
k
của
dãy mà a

k :

a) Là các số lẻ.
b) Bội của 3 nhưng không là bội của 5.
c) Là bình phương của các số chẵn .
d) Thỏa mãn điều kiện : a
k
<
e) Thỏa mãn điều kiện : 2
k
<a
k
<kl.
71. Cho các số tự nhiên n, q1,…., qn. Hãy tìm các qk của dãy thỏa mãn :
a) Khi chia cho 7 thì dư 1,2 hoặc 5.
b) Sao cho pt sau có nghiệm thực dương :
x
2
+3qk – 5 = 0
72. Cho số tự nhiên n. Cho dãy số dạng:
i
3
– 3in
2
+ n (i = 1, 2, 3,…,n)
Tính tổng của tất cả các số trong dãy mà là tích của 3 với một số lẻ.
13
73. Cho số tự nhiên n và các số nguyên a
1
,…, a

n
. Hãy tìm số lượng và tổng của các thành phần
của dãy chia hết cho 5 và không chia hết cho 7.
74. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,…, a
n
. Hãy tính giá trị nghịch đảo của các tích của tích
các thành phần thỏa mãn điều kiện:
i + 1 < a
i
< i!
75. Cho số tự nhiên n và các số thực x
1
,…, x
n
. Trong dãy hãy thay các thành phần bé hơn 2 bằng
các số 0. Tính tổng và số lượng các thành phần thuộc đoạn [3,7].
76. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực a
1
,…, a
n
. Trong dãy hãy thay các thành phần dương
không thuộc đoạn [1,2] bằng các số 1.
77. Cho số tự nhiên n và các số nguyên x
1
,…, x
n
. Hãy tính tổng các số dương và số lượng các
thành phần âm của dãy.

78. Giả sử x
0
= a; x
k
= q x
k-1
+ b (k = 1,2,…). Cho số nguyên không âm n và các số thực a, b, c, d,
q (c < d). Số x
n
có thuộc (c,d) hay không?
79. Cho số tự nhiên n và các số nguyên a, x
1
,…, x
n
. Nếu trong dãy x
1
,…, x
n
có dù chỉ một thành
phần bằng a thì hãy tính tổng tất cả các thành phần đi sau thành phần đi sau thành phần đàu tiên
đó; ngược lại, để trả lời, đưa ra màn hình số -10.
80. Cho số tự nhiên n và các số thực a, b, c
1
,…, c
n
. Có đúng hay không với 1≤ k ≤ n-1 nếu c
k
< a
thì c
k+1

>b?
81. Cho các số tự nhiên n, b
0
, , b
n
. Hãy tính:
f(b
0
) + f(b
1
) +…+f(b
n
), trong đó:
x
2
nếu x là bội của 3
f(x) = x nếu x chia 3 còn dư 1
[x/3] trong các trường hợp còn lại
82. Cho số tự nhiên n và các số thực r, a
1
,…, a
n
(n ≥2), trong các điểm (a
1
, a
n
), (a
2
, a
n-1

),…, (a
n
, a
1
)
có mấy điểm thuộc hình tròn bán kính r và có tâm là gốc tọa độ?
83. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,…, a
n
. Hãy tính:
a, max (a
1
,…, a
n
);
b, min (a
1
,…, a
n
);
c, max (a
2
, a
4
,…);
14
d, min (a
1
, a

3,
…);
e, min (a
2
, a
4
,…) + max (a
1
, a
3
,…);
f, max ( |a
1
|,…, |a
n
| );
g, max (-a
1
, a
2
, -a
3
, …, (-1)
n
a
n
);
h, (min (a
1
,…,a

n
))
2
– min (a
2
1
,…,a
2
n
).
84. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực a
1
,…, a
n
.
a, Trong dãy trên số các thành phần âm có lớn hơn số các thành phần dương hay không?
b, Giá trị tuyệt đối lớn nhất của dãy có lớn hơn 1 hay không?
85. Ở một quầy hàng có n người mua xếp hàng (cùng xếp hàng một thời điểm). Thời gian người
bán hàng phục vụ người mua hàng thứ i là t
i
(i = 1,…,n). Giả sử cho trước số tự nhiên n và các số
thực t
1
, t
2
,…,t
n
. Hãy tính c
1
,…,c

n
, trong đó c
i
là thời gian người xếp hàng thứ i (i = 1,…n). Chỉ ra
số hiệu của người mua hàng mà người bán hàng phục vụ với thời gian ít nhất.
86. Trong một số môn thể thao thành tích của mỗi vận động viên được một số trọng tài đánh giá
một cách độc lập. Sau khi loại bỏ đánh giá cao nhất và đánh giá thấp nhất, tính trung bình số học
của các đánh giá còn lại và đó là thành tích của vận động viên. Nếu có nhiều đánh giá cao nhất
và thấp nhất thì chỉ loại bỏ một trong các đánh giá đó. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực a
1
,
…, a
n
(n≥3) là các đánh giá của các trọng tài trong cuộc thi. Hãy xác định thành tích của các vận
động viên.
87. Cho số tự nhiên n. Hãy loại bỏ trong cách viết của số đó các chữ số 0 và 5, các chữ số còn lại
được giữ nguyên thứ tự. Ví dụ từ số 59015509 cần nhận được 919.
88. Cho số tự nhiên n và các số nguyên a
1
,…, a
n
. Hãy tìm:
a, Số bé nhất trong các số chẵn nằm trong dãy:
a
1
-1, a
1
, a
2
,…,a

n
.
b, số lớn nhất trong các số lẻ và số lượng các số chẵn nằm trong dã
a
1
,….,a
n
, a
n+1.
89. Cho số tự nhiên n và số thực x. hãy tìm trong số các số:
số gần với một số nguyên nhất.
90. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,… ,a
n
.
15
Hãy tím tất cả các số tự nhiên j thỏa mãn a
j-1
,< a
j
> a
j+1
91. Giả sử:
;
, i= 2,3…
Hãy tính x
8
,y
18.

92. Giả sử:
, ( i = 1,2….).
Cho số tự nhiên n. Hãy tìm trong dãy cho trước a
1
,….,a
n
tất cả các số dương vá hãy chọn số
dương bé nhất.
93. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực a
1
,…,a
n
. Hãy xác định số lượng hai số liền kề trong dãy
và đều là:
a) Hai số dương.
b) Hai số có dấu khác nhau.
c) Hai số cùng dấu và đồng thời giá trị tuyệt đối của số thứ nhất lớn hơn giá trị tuyệt đối của
số thứ hai.
94. cho dãy các số nguyên c
1
,…,c
95
. Trong dãy đó có hay không?
a) Hai số bằng không liên tiếp nhau.
b) Ba số bằng không liên tiếp nhau.
95. Cho số tự nhiên n và các số thực x
1
,…x
3n
. dãy các số thực đó xác định trên mặt phẳng n hình

vuông với các cạnh song song với các trục tọa độ như sau: x
1,
x
2
là các tọa độ của tâm hình vuông
thứ nhất, x
3
lasddooj dài cạnh của nó. Tương tự các số x
4
, x
5
, x
6
xác định hình vuông thứ hai:x
7
,
x
8
, x
9
xác định hình vuông thứ ba… Có hay không các điểm thuộc tất cả các hình vuông? Nếu có
hãy chỉ ra các tọa độ của một trong các điểm đó.
96. Cho một số tự nhiên n và các số thực x
1
,…,x
3n
. hãy tính tổng các số từ x
n=1
đến x
3n

mag có giá
trị vượt quá tất cả các số x
1
,…,x
n
.
16
97. Cho hai số thực a, b (a < b), số tự nhiên n và hàm y = f(x) xác định trên đoan [ a, b ]. Cho giá
trị của đối số x
i
= a + ih ( i = 0, 1,…,n). Và đưa ra màn hình x
i
và y
i
( i = 0, 1,…,n) dưới dạng
bảng hai cột. Dòng thứ I của bảng là các giá trị x
i
va y
i
tương ứng.
Xét các hàm sau đây:
a) y = sinx + cos2x, a = -π, b = π, n = 50;
b) y = a = 0, b = 2π, n =50;
c) y = a = -3,b = 5, n = 40;
d) y = a = -1,b = 2, n = 30;
e) y = , a = -1,b = 3, n = 40;
98. Xét dãy a
1
,…,a
1000

. Có bao nhiêu thành phần của dãy con với chỉ số 1, 2, 4, 8,16,… (là lũy
thừa của hai 2) có giá trị bé hơn 0.25? Xét các dãy:
a) a
k
= (k = 1, 2,….,1000)
b) a
1
,….,a
1000
là các số thực cho trước;
c) a
1
= 0.01; a
k
= sin(k + a
k-1
) (k = 2,…,1000).
99. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực x
1
,…,x
n
. Hãy tính (1 + r)/(1 + s), trong đó r là tổng của
tất cả các thành phần của dãy và không vượt quá 1 còn s là tổng của các thành phần lơn hơn 1.
100. Cho các số nguyên a
1
, a
2
,….Biết rằng a
1
> 0 và trong các a

2
, a
3
,… có ít nhất lf một số âm.Giả
sử a
1
,…,a
n
là các thành phần của dãy dã cho, đi trước thành phần âm đầu tiên ( n không biết
trước). Hãy tính:
a) max
b)max
c) min (a
1
, 2a
2
, …, na
n
);
d) min (a
1
+ a
2
, a
2
+ a
3
, …, a
n-1
+ a

n
).
101. Cho số tự nhiên n. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên q sao cho n chia hết cho q
2
và không chia hết cho q
3
.
102. Cho dãy các số thực a
1
,…, a
n
. Hãy kiểm tra xem dãy đã cho có được sắp theo thứ tự giảm dần hay
không?
103. Cho các số thực x > 0 và y > 1. Hãy tính số nguyên k (dương, âm hoặc bằng 0) thỏa mãn điều kiện
kk
yxy
<≤
−
1
.
17
104. Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
, a
2
, , a
n
. Hãy giữ nguyên không thay đổi dãy nếu dãy đó là
dãy đã được sắp. Trường hợp ngược lại hãy tìm dãy con
m

aaa
≤≤≤

21
và a
m
> a
m + 1
hoặc
m
aaa
≥≥≥

21
và a
m
< a
m + 1
.
105. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực x
1
,…, x
n
. Hãy tìm tất cả các k và xk thỏa mãn các bất đẳng thức : x
k

> x
1
, x
k

> x
2
,…, x
k
> x
k-1
.
106. Cho hai số tự nhiên m và n. Hãy tính:

( )
!
!!
nm
nm
+
+
107. Cho số tự nhiên n và số thực x. Hãy tính:

( )
ns
s
x
sns
+
=
∑







+
2
10
0
2!!
1
108. Cho số tự nhiên n và số thực r. Hãy tính:

( )
[ ]
2/
2!!
2
n
n
n
n
r






109. Cho số tự nhiên n. Tính tích của n đồng nhân tử đầu tiên:

9
8

7
8
7
6
5
6
5
4
3
4
3
2
1
2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
110. Cho số tự nhiên n. Hãy tính:

( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
n
nlg2lg1lg
1

2
1
1

1
−
++
−
+
−
111. Với số nguyên k bất kỳ, ta ký hiệu S(k) là số các chữ số trong cách viết thập phân của nó.
a) Cho số tự nhiên n. Hãy tính:

( ) ( ) ( )
222

2
2
1
1
n
nSSS
+++
b) Cho số tự nhiên n và số thực x. Hãy tính:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
nSSS
x

n
xx
−++−+−
1
10
1
2
10
1
1
10
2
21
112. Cho số tự nhiên n và số thực x. Hãy tính:

( ) ( ) ( )
n
n
x
n
xx
1

2
1
1
1
2
21
−

++
−
+
−
113. Cho số tự nhiên n. Hãy tính:

( )
∑
=
−
n
k
k
k
1
!
1
114. Cho số tự nhiên n. Có thể biểu diễn được n dưới dạng tổng bình phương hai số tự nhiên hay
không ? Nếu có thì :
18
a) Chỉ ra cặp x , y câc số tự nhiên sao cho :
2 2
n x y
= +
b) Chỉ ra tất cả các cặp x ,y các số tự nhiên sao cho :
n = x
2
+ y
2
, x ≥ y.

115. Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
… a
n
.
a) Số hạng khác không đầu tiên của dãy là âm hay dương . Nếu tất cả các số hạng của dãy bằng
không thì hãy cho thông báo về điều đó.
b)Tìm chỉ số của thành phần chẵn đầu tiên của dãy. Nếu không có thành phần chẵn thì thông
báo.
c) Tìm chỉ sốcủa thành phần lẻ cuối cùng của dãy. Nếu không có thành phần lẻ cuối cùng thì
thông báo về điều đó.
116. Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
,….a
30
, b
1
,…,b
40
, c
1
,…,c
n
. Chỉ số của số hạng âm
đầu tiên trong dãy c
1
, ,c
n
có nhỏ hơn chỉ số các số hạng âm đầu tiên trong các dãy a
1

,…,a
30
và b
1
,
…,b
40
hay không?Giả thiết rằng mỗi một dãy ở trên có chứa ít nhất một số âm.
117. . Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
… a
n
. Mỗi dãy sau có là dãy tăng hay không?
a) a
1
,….a
n
,2a
1
.2a
2
,…,(n+1).a
n
;
b) a
1
,….a
n
, a
n

+1 , a
n-1
+2 ,…, a
1
+ n ;
c) a
1
,….a
n ,
n(

a
n-1
+1 ) , ( n-1 ).( a
n-2
+ 2 ) ,…,2(a
1
+ n-1 )
118. Cho các số tự nhiên n , x
0
, y
0
,τ , x
1
, y
1
, x
n
, y
n

. Hãy thể hiện trên màn hình có điểm có tọa
độ x
i
, y
i
. Với vòng tròn có tâm tại điểm (x
0
,y
0
) và bán r kiểm tra những điểm )(x
i
,y
i
) nào :
a ) Nằm trong vòng tròn.
b) Nằm ngoài vòng tròn.
c) Nằm trên vòng tròn.
119. . Cho các số tự nhiên n , x
1
, y
1
, x
n
, y
n
.Hãy thể hiện trên màn hình các điểm có tọa độ (x
i
,
y
i

) (1 ≤ i

≤ n ) . Kiểm tra điểm (x
i
,y
i
) nào :
a) Nằm trong nửa trên của màn hình.
b) Nằm trong nửa dưới của màn hình.
19
120. Cho các số tự nhiên n , x
1
, y
1
, x
n
, y
n
. Hãy thể hiện trên màn hình các đường tròn với tâm
tại các điểm(x
i
, y
i
) và có bán kình r
i
thoae mãn điều kiện r
i
> 5.
121. . Cho các số tự nhiên n , x
1

, y
1
,r
1
, x
n
, y
n
, r
n
. Hãy thể hiện trên màn hình các đường tròn
với tâm tại các điểm(x
i
, y
i
) và có bán kình r
i
thỏa mãn điều kiện r
i
> 5 và bán kính 2r
i
trong
trường hợp ngược lại.
122. Cho các số thực a
1
… a
n
. Hãy tính:
15
1

1
,
15
i
i
a a
=
=
∑

15
2
1
( )
14
i
i
a a
s
=
−
=
∑
123. Cho các số thực a
1901
,…,a
1950
là lượng mưa tính theo milimet rơi ở hà nội trong khoảng 50
năm đầu của thế kỉ này . Cần tính lượng mưa trung bình của từng năm.
124. Một hệ gồm 25 chất điểm trong không gian được cho bởi một dãy các số thực x

1
, y
1
,z
1
, p
1
,
x
2
,y
2
,z
2
, p
2
,…x
25
,y
25
, z
25
, p
25
; trong các số x
i
, y
i
,z
i

là tọa độ của điểm thứ i , p
i
là trọng lượng
của nó ( i = 1 ,2 ,, 25) > Hãy tính tọa độ của trọng tâm đến tất cả các điểm của hệ và khoảng
cách từ trọng đến tất cả các điểm của hệ.
125. Cho dãy các số nguyên a
1
,…a
99
. Hãy lập dãy mới bằng cách loại bỏ khỏi dãy tất cả các số
hạng có giá trị max(a
1
,…,a
99
)
126. Cho dãy các số nguyên a
1
,…a
n
.Hãy nhân tất cả tất cả các số hạng của dãy có chỉ số chẵn và
đi trước số hạng đầu tiên có giả trị max (a
1
, ,a
n
)với chính max(a
1
, ,a
n
) .
127. . Cho dãy các số nguyên khác 0 a

1
,…a
n
. Nếu như trong dãy các số hạng âm và các số hạng
dương là luân phiên(+, - , +, -) thì không thay đổi dãy đó . Ngược lại hãy tạo dãy mới gồm tát cả
các số hạng âm của dãy max thứ tự của các số hạng dãymà thứ tự của nó gồm tât cả cả số hạng
âm
1 28.Cho số tự nhiên m ≤ 30 và dãy các số a
1
,…,a
30
khác nhau từng đôi một . Trong dãy đó hãy
đổi vị trí của số hạng lớn nhất và số hạng có chỉ số m.
129. Cho các số thực x
1
,…,x
101
, y
1
,…,y
101
. Tìm các số thực x’
1
, ,x'
101
, y'
1
, ,y'
101
. Để có

x’
i
, y’
i
cần phải biến đỏi x
i
, y
i
theo qui tắc : Nếu cả hai số đó là âm thì tăng mỗi số lên 0,5 ; nếu
chỉ có một số âm thì thay mỗi số bằng bình phương của nó; nếu cả hai số là dương thì thay mỗi
số bằng trung bình số học của các giá trị ban đầu.
130. Cho dãy các số thực a
1
, , a
20
. Hãy biến đổi dãy này theo quy tắc:Số lớn hơn trong 2
số a
i
và a
10+i
(i=1,2, ,10)sẽ nhận giá trị mới là a
i
còn số bé hơn sẽ nhận giá trị mới là a
10+i
(i =
1, , 10) sẽ nhận giá trị mới la a
i
còn số bé hơn sẽ nhận giá trị mới là a
10
+ i.

131. Cho dãy các số nguyên a
1
, , a
n
. Nếu trong dãy đã cho không có số chẵn nào đi sau
một số lẻ thì tìm tất cả các số hạng âm của dãy, ngược lại thì tìm tất cả các số hạng dương của
dãy.
20
132. Cho dãy các số nguyên a
1
, , a
20.
Thay số hạng bé nhất của dãy bằng phần nguyên
của trung bình số học của tất cả các số hạng của dãy, các số hạng khác không thay đổi. Nếu trong
dãy có nhiều số hạng có giá trị min(a
1
, , a
20
) thì thay số hạng cuối cùng.
133. Cho dãy số nguyên a
1
,, a
2
, a
35
.
Thay phần tử bé nhất bằng ước số chung lớn nhất của 35 số nói trên.
134. Cho dãy các số thực a
1
, , a

20
khác nhau từng đôi một. Hãy đổi chỗ trong dãy các vị
trí:
a. Phần tử bé nhất và lớn nhất.
b. Số hạng lớn nhất và số hạng sau cùng.
135. Cho dãy các số nguyên a
1
, , a
100
. Hãy lập dãy mới gồm 100 số nguyên bằng cách
thay thế a
i
băng 0 nếu a
i
max(a
1
, , a
100
) và thay thế a
i
bằng 1 trong trường hợp ngược lại (i = 1,
2, , 100).
136. Cho các số nguyên a
1
, , a
25
, b
1
, , b
25

. Hãy biến đổidãy b
1
, , b
25
theo quy tắc: nếu
a
i
≤ 0 tăng b
i
lên 10 lần, ngược lại thay b
i
bằng 0 (i = 1, , 25).
137. Cho dãy các số thực a
1
, , a
26
. Cần nhân tất cả các số hạng của dãy với bình phương
của số hạng nhỏ nhất nếu a
1
≥ 0 và nhân với bình phương của số hạng lớn nhất nếu a
1
≤ 0.
138. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực a
1
, , a
n
. Hãy tìm b
1
, , b
10

, trong đó b
i
là tổng
của các số hạng của dãy đã cho và thuộc nửa đoạn (i - 1, i] (i = 1, , a
10
). Nếu trong nửa đoạn
không chứa số hạng nào của dãy thì b
i
tương ứng bằng 0.
139. Cho các số thực x
1
, y
1
, x
2
, y
2
, , x
20
, y
20
, r
1
, r
2
, , r
11
(0 < r
1
< r

2
, < r
11
).
Các cặp (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), , (x
20
, y
20
) là các tọa độ của các điểm trên mặt phẳng. Các số r
1
, , r
11

là các bán kính của 11 nửa hình tròn trong mặt phẳng y >0 với tâm là gốc tọa độ. Hãy tìm số
lượng các điểm rơi vào bên trong mỗi nửa hình tròn (các biên coi là không thuộc vào nửa hình
tròn).
140. Cho dãy các số thực a
1
, , a
16
. Hoán vị các thành phần của dãy sao cho đoạn đầu
gồm tất cả các thành phần không âm và sau đó là các thành phần âm. Nói cách khác, sau khi

hoán vị cần phải tìm được một số k sao cho 1 ≤ k ≤ 16 và nếu i ≤ k thì a
i
≥ 0; nếu i >k thì a
i
< 0 (i
= 1, , 16) còn thứ tự các thành phần dương và âm được giữ nguyên.
141. Cho dãy các số thực a
1
, , a
30
. Dãy được giữ nguyên nếu nó là dãy không giảm hoặc
không tăng. Ngược lại, hãy loại ra khỏi dãy các thành phần mà chỉ số thứ tự của nó là bội của 4;
giữ nguyên thứ tự của các thành phần còn lại.
XỬ LÝ DÃY KÝ TỰ
142. Cho số tự nhiên n và dãy các ký tự S
1
, S
2
, , S
n
.
Hãy đếm xem trong dãy các ký tự đó có bao nhiêu:
a) Chữ cái x.
b) Dấu + và bao nhiêu dấu * ;
c) Tổng số các dấu +, -, * .
143. Cho số tự nhiên n và dãy các ký tự S
1
, , S
n
. Hãy biến đổi dãy đã cho bằng cách thay

trong đó:
21
a. Tất cả các dấu chấm than bằng dấu chấm.
b. Mỗi một dấu chấm băng ba chấm.
c. Mỗi một nhóm các dấu chấm đứng liền nhau bằng một dấu chấm.
d. Mỗi một nhóm các dấu chấm đứng liền nhau bằng ba chấm.
144. Cho số tự nhiên n và dãy các ký tự S
1
, , S
n
. Có hay không các thành phần S
i
, S
i+1

của dãy sao cho S
i
là dấu chấm phẩy còn S
i+1
là dấu gạch ngang.
145. Cho số tự nhiên n và dãy các ký tự S
1
, , S
n
. Hãy kiểm tra xem dãy ký tự trên có tạo
nên một giá trị số hay không. Kết quả kiểm tra là hai giá trị số:
- Trong trường hợp đúng thì cho giá trị kết quả đầu là chính số đó còn kết quả giá trị 2
nhận 0.
- Ngược lại, giá trị kết quả đầu là 0 còn giá trị kết quả 2 là vị trí đầu tiên trong dãy gây
nên sai sót. (Chú ý, không được dùng thủ tục chuẩn VAL vì bài toán này mô tả chính thủ tục đó).

Ví dụ: từ dãy: 1234. c-2 cho 12.34 và 0; 12-3 cho 0 và 3.
146.cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy tìm số tự nhiên i đầu tiên sao cho các kí tự
S
i
,S
i+1
đều là chữ cái a.Nếu trong dãy không có những cặp như vậy thì cho thông báo.
147.cho số tự nhiên n và dãy các kí tự S
1
,…S
n.
.Biết rằng trong dãy có ít nhất một dấu phẩy.Hãy
tìm số tự nhiên I sao cho:
a)S
i
là dấu phẩy đầu tiên.
b)S
i
là dấu phẩy cuối cùng.
148.cho các kí tự S
1 ,
S
2
,…biết rằng kí tự S
1
khác với dấu chấm than và trong số S

2
,S
3
, có ít nhất
một dấu chấm than.Giả sử S
1
,…S
n
là các kí tự của dãy đã cho đi trước dấu chấm than đầu tiên(n
không biết trước).Trong dãy S
1
,…S
n
:
a)tính số lượng các dấu trống(dấu cách)
b)có chữ cái U hay không?
c)có các chữ cái tạo nên từ “nam” hay không?
d)có các cặp chữ liền nhau ‘no” hoặc “on”hay không?
e)có các cặp chữ cái giống nhau di liền nhau hay không?
f)có tồn tại các số tự nhiên i,j với 1<i<j<n sao cho S
i
trùng với S
j+1
?
149.cho các dãy kí tự S
1
,…S
n.
Hãy loại bỏ khỏi dãy:
a)tất cả các nhóm chữ cái dạng abcd

b)tất cả các kí tự khác với *.
150. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.
a)hãy tính số lớn nhất các dấu trống đi liền nhau.
b)có tồn tại hay không 5 chữ cái e đi liền nhau trong dãy đã cho?
151. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy xác định số lần có mặt trong dãy đó của các
nhóm chữ cái sau:
a)abc
b)aba
152. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy thay trong dãy mỗi nhóm chữ cái “child”
bằng nhóm chữ cái “children”.
153. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy loại ra khỏi dãy đó các nhóm kí tự nằm giữa
các dấu ngoặc(,),các dấu ngoặc cũng phải được bỏ đi .Giả sử bên trong mỗi cặp dấu ngoặc không
có các dấu ngoặc khác.
154. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S

1
,…S
n
.Hãy biến đổi dãy đó:nếu trong dãy không có dấu
* thì giữ nguyên dãy đó,nếu có thì thay mỗi một kí tự đàu tiên đi liền sau * thành kí tự
22
155. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
,trong dãy có ít nhất một dấu chấm.Hãy biến đổi
dãy bằng cách loại bỏ tất cả các dấu phẩy ở trước dấu chấm đầu tiên và thay thế tất cả các chữ
số 3 đi sau dấu chấm đầu tiên bằng các dấu +.
156. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
(n>1).Hãy biến đổi dãy đó bằng cách thay tất cả
các dấu hai chấm nằm giứa

S
1
,…S
[n/2]
bằng các dấu phẩy và thay tất cả các dấu chấm than nằm
giữa S
[n/2]+1
,…,S
n
bằng các dấu chấm.

157. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Biết rằng trong số các kí tự có ít nhất một kí tự
khác với dấu trống.Cần biến đổi dãy đã cho như sau:loại bỏ các nhóm dấu trống là bắt đầu và kết
thúc của dãy,thay mỗi một nhóm dấu trống bên trong bằng một dấu trống.Nếu không có các
nhóm như vậy thì hãy được giữ nguyên.
158. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Các nhóm kí tự được phân cách bằng các dấu
trống và không chứa các dấu trống ở bên trong sẽ được gọi là các từ,Hãy đếm:
a)số các từ ở trong dãy đã cho
b)số các chữ cái a trong từ cuối cùng của dãy
c)số lượng các từ bắt đầu bằng chữ cái b
d)số lượng các từ mà trong đó chữ cái đầu tiên và chữ cái cuối cùng là trùng nhau.
e)hãy tìm một từ nào đó bắt đầu bằng chữ cái a
f) trong dãy đã cho thay mọi từ”eto” bằng “to”
g)tìm độ dài của từ ngắn nhất.
159.cho các dãy kí tự S
1
,S
2
, Biết rằng kí tự S
1
khác với dấu trống và trong số các S
2
,S

3
…có ít
nhất một trống.Xét các dãy kí tự S
1
,…S
n
là các kí tự đi trước dấu trống đầu tiên(n không biết
trước).Hãy biến đổi dãy S
1
,…S
n
:
a)loại khỏi dãy tất cả các kí tự không là chữ cái
b)thay tất cả các chữ cái viết thường bằng các chữ cái hoặc số và thay mỗi chứ cái viết hoa bằng
chữ cái viết thường cùng tên.
c)loại bỏ tất cả các kí tự không là chữ cái hoặc số và thay mỗi chữ cái viết hoa bằng chữ cái viết
thường cùng tên.
d)với mỗi nhóm chữ số lien tiếp có quá 2 chữ số và đi sau dấu chấm,hẫy loại bỏ tất cả các chũ số
bắt đầu bằng chữ số thứ 3(ví dụ,ab+0.1973-1.1 được biến thành ab+0.19-1.1)
e)loại bỏ tất cả các chữ số 0 ban đầu ra khỏi các nhóm chữ số đi trước dấu chấm(trừ số 0 cuối
cùng nếu như sau nó là dấu chấm).(ví dụ:005.432 biến thành 5.432)
CHU TRÌNH LỒNG NHAU
160. Cho số tự nhiên n. Tính tích f
0
f
1
…f
n.
Ở đây.

1
1

2
1
1
1
222
++
++
+
+
+
=
iiii
f
i
161. Cho các số thực a
1
, …a
24
. Tìm dãy b
1
,…,b
10
. Ở đấy

;
24211
aaab

+++=

;
2
24
2
2
2
12
aaab +++=
…………………………
23

;
10
24
10
2
10
110
aaab
+++=
162. Tính:
a)
;)1(
15
1
2
10
1

3
∑∑
==
−
lk
kk
b)
∑∑
==
+
i
ji
ij
1
100
1
;
2
1
163. Cho trước các số tự nhiên n . Tính:
a)
;) 1(
1
2
∑
=
+
n
k
kkk

b)
)!12()1(
2
1
+−
∑
=
k
n
k
k
164. Cho trước các số tự nhiên n và số thực x . Tính:
a)
∑
=
+
n
i
i
xi
1
2
)!(
)!2(
b)
∑∑
==
+
n
km

n
k
m
kx
1
165. Cho trước các số tự nhiên n, m và các số thực a
1
, a
2
, …a
nm
. Tính:

mnnmnmmmmm
aaaaaaaaa 21 2 21
)1()1(21
+++++++
−−
166. Theo định lý Lagrăng, một số tự nhiên bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của không
quá bốn bình phương của các số tự nhiên.
Cho số tự nhiên n, hãy tìm các số nguyên không âm x, y, z, t sao cho:
2222
tzyxn +++=
167. Cho các số tự nhiên m, n
1
, n
2
, …, n
m
(

2
≥
m
). Hãy tìm USCLN (
m
nn , ,
1
), bằng cách sử
dụng hệ thức USCLN (
m
nn , ,
1
) = USCLN ( USCLN (
11
, ,
−m
nn
), n
m
) và thuật toán ơclit
168. Cho các số tự nhiên n và các số nguyên a
1
,…, a
25
, b
1
,…, b
n
. Trong a
1

,…, a
25
không có các
số trùng nhau, trong b
1
,…, b
n
cũng vậy.
a) Tìm giao của hai dãy trên. ( tức là tất cả các số thuộc cả hai dãy và được sắp xếp theo một
thứ tự nào đó ).
b) Tìm hợp của hai dãy đã cho.
24
c) Tất cả các thành phần của dãy a
1
,…, a
25
có nằm trong dãy b
1
,…, b
n
không?
d) Dãy a
1
,…, a
25
có là dãy con của dãy b
1
,…, b
n
hay không?

169. Cho các số nguyên m, a
1
,…a
20
. Tìm các số tự nhiên
nkjilkji
≤≤
,,,,,
sao cho

maaa
kji
=++
.Nếu không có các số như thế thì cho thong báo.
170. Cho các số thực a
1
, ,a
10
và các số tự nhiên m. Dãy b
1
, b
2
, được thành lập theo quy luật sau.

101011
, , abab ==
và
1021

−−−

+++=
kkkk
bbbb
(
12,11
=
k
).
Hãy tìm b
n
.
171. Cho các số tự nhiên k, n và các số thực a
1
,…,a
kn
. Tìm:
a) Dãy a
1
+…+ a
k
, a
k+1
+…+a
2k
,…,a
k(n-1)
+ 1 +…+a
2k
;
b) Dãy max(a

1
,…,a
k
), max(a
k+1
,…,a
2k
),…, max(a
k(n-1)
+ 1,…,a
kn
);
c) Dãy min(a
1
,…,a
k
), min(a
k+1
,…,a
2k
),…, min(a
k(n-1)
+ 1,…,a
kn
);
d) Dãy max(a
1
+…+ a
k
, a

k+1
+ …+a
2k
, a
k(n-1)
+ 1 +…+ a
kn
);
e) Dãy min(max(a
1
,…,a
k
), max(a
k+1
,…,a
2k
),…, max(a
k(n-1)
+ 1,…,a
kn
);
172. Gỉa sử a
1
, a
2
,…a
n
là một hoán vị của các số tự nhiên 1,2,…,n . Ta nói rằng số m được dịch
chuyển thành số k (
nkm

≤≤
,1
), nếu a
m
= k . Chẳng hạn 1 được dịch chuyển thành a
1
, a
1
được
dịch chuyển thành a
a1
và ….
Bằng cách đó ta có dãy 1, a
1
, a
a1
…( Dãy có thể có vô hạn phần tử).
a) Chứng minh rằng thành phần đầu tiên của dãy này trùng với một thành phần đi trước
nó là 1. Tìm tất cả các thành phần của dãy 1, a
1
, a
a1
… đi trước số 1 được lặp lại trong
dãy ( Số phần tử trong chu kì ).
b) Tìm tất cả các dãy tương tự, bắt đầu từ các số lớn hơn 1. Trong đó các dãy này cần
phải khác nhau từng đôi một và mỗi dãy được bắt đầu bởi thành phần nhỏ nhất.
Chẳng hạn: với n=6 và a
1
=3, a
2

=2, a
3
=5, a
4
=6, a
5
=1, a
6
=4 thì ta chỉ có tất cả 3 dãy
sau: 1,3,5; 2; và 4,6 ( như vậy: tổng số lượng các phần tử trong các liệt kê phải bằng
n ).
25