toán kinh tế 1

1
C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1
1
Ma trận
2
2
Định thức
3
3
Ma trận nghịc đảo
4
4
Hạng của ma trận
2
ξ1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có
m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n













=
mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
•
a
ij
là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j.
•
A = [a
ij
]
m x n
= (a
ij
)
m x n

3
ξ1. MA TRẬN
1.1.2. Ma trận vuông:
•
Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông
cấp n













=
nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
•
a
11
,a
22
,…a
nn
được gọi là các phần tử chéo.
•
Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là

đường chéo chính.
4
ξ1. MA TRẬN
•
Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j












=
nn
n222
n11211
a 00

a a0
a aa
A













=
nn
n222
n11211
a

a a
a aa
A
•
Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j













=
nn2n1n
2221
11
a aa

0 aa
0 0a
A












=
nn2n1n
2221
11
a aa

aa
a

A
5
ξ1. MA TRẬN
•
Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j












=
nn
22
11
a 00

0 a0
0 0a
A













=
nn
22
11
a

a
a
A
•
Ma trận đơn vị: I = [a
ij
]
n x n
với a
ij
=1,i=j; a
ij
= 0, ∀i≠j













=
1 00

0 10
0 01
I
6
ξ1. MA TRẬN
1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột)
1.1.4. Ma trận không:













=θ
0 00

0 00
0 00
mxn
1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B
1) A=[a
ij
]
m x n
; B=[b
ij
]
m x n

2) a
ij
= b
ij
với mọi i,j
Ví dụ, tìm x
ij
sao cho:







=






92
31
xx
xx
2221
1211
7
ξ1. MA TRẬN
1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[a
ij
]
m x n
=> A
T
=[a
ji
]
n x m














=
419
224
693
741
A
Ví dụ: tìm A
T
:
1.1.6. Ma trận đối xứng: A=A
T













=
4647
6315
4123
7531
A
Ví dụ:
8
ξ1. MA TRẬN
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
1. Định nghĩa: A=[a
ij
]
mxn
; B=[b
ij
]
mxn
=> A+B =[a
ij
+b
ij
]
mxn







+






−
−
=
531
394
032
412
X
2. Tính chất:
•
A + B = B + A
•
(A + B) + C = A + (B + C)
•
θ + A = A
•
Nếu gọi -A = [-a
ij
]
m x n

thì ta có -A + A = θ
Ví dụ, tìm X:
9
ξ1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:
1. Định nghĩa: cho A=[a
ij
]
m x n
, k∈R => kA=[ka
ij
]
m x n






=
853
142
A
2. Tính chất: cho k, h ∈ R:
•
k(A + B) = kA + kB
•
(k + h)A = kA + hA
Tính 3A?
10

ξ1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa :A=[a
ik
]
m x p
; B=[b
kj
]
p x n
=>C=AB=[c
ij
]
m x n
:
∑
=
=++=
p
1k
kjikpjip2ji21ji1ij
baba babac

















1203
0112
1321
023
112
Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau:






−
−






25
13

35
12
11
ξ1. MA TRẬN
2. Một số tính chất:
•
(A.B).C = A.(B.C)
•
A(B+C) = AB + AC
•
(B+C)A = BA + CA
•
k(BC) = (kB)C = B(kC)
•
Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
•
A=[a
ij
]
n x n
=> I.A = A.I = A
12
ξ1. MA TRẬN
1.3. VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng.
Tháng 1 A B C D
CH1 10 2 40 15
CH2 4 1 35 20
Tháng 2 A B C D
CH1 12 4 20 10

CH2 10 3 15 15
13
ξ1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng
theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau:
Phân
xưởng
Sản phẩm
A B C
PX1 10 0 5
PX2 0 8 4
PX3 0 2 10
Sản
phẩm
Vật liệu
VL1 VL2 VL3 VL4 VL5
A 1 2 0 2 0
B 0 1 1 2 0
C 0 0 2 1 3
14
ξ2. ĐỊNH THỨC
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA:
•
A là ma trận vuông cấp 2:
•
A là ma trận vuông cấp 1:
A= [a
11
] thì det(A) = |A| = a
11







=
2221
1211
aa
aa
A
thì det(A) = a
11
a
22
– a
12
a
21

15
ξ2. ĐỊNH THỨC













=
nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
•
A
ij
là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách
xoá hàng i cột j. A
ij
: ma trận con bù của a
ij
•
c
ij
= (-1)
i+j
det(A
ij
) là phần bù đại số của a

ij

•
C = (c
ij
): Ma trận phần bù đại số của A
•
A là ma trận vuông cấp n:
16
ξ2. ĐỊNH THỨC
Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức:
513
321
312
A =
•
Định thức cấp n của A là:
det(A) = a
11
c
11
+ a
12
c
12
+ …+ a
1n
c
1n

∑∑
=
+
=
−==
n
1j
j1j1
j1
n
1j
j1j1
)Adet(a)1(ca)Adet(
17
ξ2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
•
Tính chất 1:A
T
=A
Hệ quả: Một phát biểu của định thức đúng theo hàng
thì đúng theo cột.
•
Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (cột) định thức đổi
dấu.
Hệ quả: Định thức triển khai theo bất kỳ hàng nào.
1200
15915
4100
2101

Ví dụ: tính:
18
ξ2. ĐỊNH THỨC
•
Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (cột) bằng
nhau thì bằng không.
•
Tính chất 4: Một định thức có một hàng (cột) toàn là
số không thì bằng không.
•
Tính chất 5: Nhân các phần tử của một hàng (cột)
với cùng một số k (k≠0) thì được một định thức mới
bằng định thức cũ nhân với k.
Hệ quả: Ta có thể đưa thừa số chung của một hàng
(cột) ra ngoài định thức.
•
Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ thì
bằng không.
19
ξ2. ĐỊNH THỨC
•
Tính chất 7: Hàng nào đó có a
ij
= a’
ij
+ a”
ij

thì det(A) = det(A’) + det(A”)

















=
nn2n1n
in2i1i
n11211
,
a aa

'a 'a'a

a aa
A

















=
nn2n1n
in2i1i
n11211
''
a aa

''a ''a''a

a aa
A
Ví dụ, tính
543
200820062004
200320022001
20
ξ2. ĐỊNH THỨC
•

Tính chất 8: Định thức có một hàng là tổ hợp tuyến
tính của các hàng khác thì định thức bằng không.
•
Tính chất 9: Khi nhân k với một hàng nào đó và
cộng vào một hàng khác thì định thức không đổi.
516
754
312
Tính
71074
3212
98411
2431
Tính
−
21
ξ2. ĐỊNH THỨC
•
Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá
bằng tích các phần tử chéo.
nn2211
nn
n222
n11211
a aa
a 00

a a0
a aa
=

nn2211
nn2m1n
2221
11
a aa
a aa

0 aa
0 0a
=
22
ξ2. ĐỊNH THỨC
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:
•
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa.
•
Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp biến
đổi ma trận về dạng tam giác.
Phép biến đổi Tác dụng TC
Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu 5
Nhân một hàng với số thực k≠0
Định thức nhân k 2
Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi 9
•
Phương pháp 3: Kết hợp hai phương pháp trên và
một số tính chất của định thức
23
ξ2. ĐỊNH THỨC
1203
3332

1311
21014
−−
Ví dụ: Tính định thức:
24
ξ3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.1. Ma trận không suy biến: nếu det(A) ≠ 0.
3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận A cấp n, nếu
tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn:AB = BA = I thì
B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
•
Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả
nghịch.
•
Ký hiệu: B = A
-1
, nghĩa là ta có AA
-1
= A
-1
A = I
3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo:
Định lý: Nếu A khả nghịch thì A
-1
là duy nhất.
25
ξ3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.4. Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo:
Định lý: A khả nghịch ⇔ det(A)≠0 và













==
−
nnn2n1
2n2212
1n2111
T1
c cc

c cc
c cc
A
1
C
A
1
A
•
C
T

: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số










−−=
121
212
113
B






=
54
23
A
Ví dụ, tìm ma trận nghịch đảo: