Bài tập xác suất Toán 11

I -Giải tích tổ hợp
1)
Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 đường đi; từ địa điểm B đến địa điểm C có 5
đường đi. Hỏi đi từ A đến B rồi về C có bao nhiêu cách đi.
Hướng dẫn giải:
Đi từ A về C có hai công đoạn :
(a)
Đi từ A đến B có : 4 cách đi
(b)
Đi từ b đến C có : 5 cách đi
Theo Nguyên lý tích, đi từ A về C có :
4.5 = 20 cách đi


2) Có bao nhiêu số có 3 chữ số thiết lập từ các số 0,1,2,…,9
Hướng dẫn giải:
a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn
b) Chọn chữ số hàng chục: có 10 cách chọn
c) Chọn chữ số hàng đơn vị: có 10 cách chọn
Vậy có 9.10.10= 900 số có 3 chữ số


3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,…,9
Hướng dẫn giải:
a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn
b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn
c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọn
Vậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau

4) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,…,9 số đó là số
chẵn.
Hướng dẫn giải:
a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn
b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn
c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 5 cách chọn,
Vậy có 9.9.5= 401 số chẵn có 3 chữ số khác nhau


5) Có 5 hành khách cần xếp lên 9 toa tàu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp:
a) Sao cho mỗi một hành khách có thể xếp lên một toa bất kỳ
b) Sao cho mỗi toa có tối đa một hành khách.
Hướng dẫn giải:
a) a,b,c,d,e. là hành khách; xếp cho hành khách (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ cho người
tiếp theo cũng có 9 cách chọn. Vậy số cách xếp là 9.9.9.9.9 = 95
b) Xếp chỗ cho hành khác (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ chọ hành khách (b) còn 8 cách
chọn, xếp chỗ cho hành khách ( c) còn 7 cách chọn,… Vậy số cách chọn là
9.8.7.6.5 = 15.120 cách xếp.



6) Người ta phát hành bộ vé số có 5 chữ số. Hỏi có thể phát hành bao nhiêu vé :
a) Vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau?
b) Vé có số tận cùng là 25.
Hướng dẫn giải:
a) Mỗi dãy số trên một vé là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 10 phần tử 0,1,…9; 105 =
100.000 vé
b) Mỗi dãy số trên vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau lấy từ tập gổm các chữ số
1,3,5,7,9. Vậy số vé gồm 5 chữ số lẻ là số chỉnh hợp lặp chập 5 của 5 chữ số nói trên;
55 vé.

c)Một vé số có chữ số tận cùng 25 thì 3 chữ số trước là một chỉnh hợp lặp của 10. Vậy có 103
vé có hai chữ số cuối là 25


7) Lớp học có 30 sinh viên, cần cử ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, hai lớp phó, 1 phụ
trách học tập, một phụ trách đời sống.Hỏi nếu mọi người trong lớp đều có thể giữ một
trong các vai trò trên, có bao nhiêu cách lựa chọn.
Hướng dẫn giải:
Mỗi cách chọn gồm 3 người có phân biệt vị trí của các phần tử nên mỗi cách chọn là một
chỉnh hợp chập 3 của 30;. Vậy số cách chọn là
=
3
30
A
30! 30!
28.29.30
(30 3)! 27!
= =
−


8) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5.
Hướng dẫn giải:
Mỗi số có 3 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số các số nguyên có 3 chữ số là số
chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
=
A
3
5
605.4.3

2.1
5.4.3.2.1
)!35(
!5
===
−


9) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 từ các chữ số 0,1,2,3,4,5.
Hướng dẫn giải:
•
Chọn số hàng nghìn có 5 cách chọn, số hàng chục và hàng trăm là chỉnh hợp chập 2 của
6 phần tử (0,1,2,3,4,5); số hàng đơn vị là chỉnh hợp chập 2 của 2 phần tử ( 0,5).
Vậy số có bốn chữ số đó là : 5.
. .

2
5
.
A
2
2
A

10) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4.
Hướng dẫn giải:
Mỗi số có 4 chữ số là một hoán vị của 4 phần tử P
4
= 4! = 1.2.3.4 = 24
11) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên một giá hàng ngang có 5 vị trí.

Hướng dẫn giải:
Mỗi cách xếp là một hoán vị của 5 phần tử P
5
= 5! = 1.2.3.4.5 = 120


12) Có 5 vị khách mời A,B,C,D,E xếp 5 ghế ngồi theo một dãy hàng ngang. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp ;
a) A ngồi chính giữa;
b) A ngồi giữa B và C.
c) B và C ngồi ngoài cùng.
Hướng dẫn giải:
a)
Xếp chỗ cho A, có 1cách chọn; xếp chỗ cho 4 vị còn lại là số hoán vị của 4 vị trí còn lại.
Số cách xếp :1.4!= 4!
a)
Xếp chỗ cho A, có 4 cách chọn; hoán vị của 2 vị trí còn lại cạnh A,cho C, B và D,E
hoán vị của 2 vị trí cuối cùng. Vậy số cách xếp: 4.2!.2!
b)
B và C hoán vị của hai vị trí đầu dãy, các vị trí còn lại là hoán vị của 3 chỗ ngồi còn lại
dành cho 3 vị khách A,E,D. Vậy số cách xếp:2!.3!


13) Có thể thiết lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ ( 0,1,…, 9) chữ số hàng chục và hàng
đơn vị là 28.
Hướng dẫn giải:
-
Chọn chữ số hàng chục ngàn có : 9 cách chọn
-
Chọn chữ số hàng chục và hàng đơn vị: 1 cách chọn.

-
Chữ số hàng ngàn và hàng trăm là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử lấp từ tập hợp ( 0,1,2, ,9)



14) Một hôp đựng bị có 10 viên trong đó có 6 viên bi vàng và 4 viên bi xanh
a)
Bốc ngẫu nhiên 3 viên hỏi có bao nhiêu khả năng xẩy ra?
b)
Khả năng để có 2 viên bi xanh trong 3 viên lấy ra?
Hướng dẫn giải:
a) Mỗi lần bốc là một tổ hợp chập 3 của 10 :
b) Lấy 2 viên bi xanh, tổ hợp chập 2 của 4; lấy 1 viên bi vàng, tổ hợp chập 1 của 6
Vậy số lần bốc có 1 bi vàng 2 bi xanh là
120
3.2.1
10.9.8
)!310(!3
!10
3
10
==
−
=C
366.6.
1
6
2
4
==CC

15) Có 8 đội bóng đấu vòng tròn một lượt tranh giải;
a)
Hỏi tất cả phải đấu bao nhiêu trận;
b)
Trong 8 đội chọn 3 đội giải nhất nhì 3, có bao nhiêu khả năng xẩy ra?
Hướng dẫn giải:
a) Mỗi trận phải có hai đội khác nhau, đấu vòng tròn hết lượt thì thôi, mỗi trận là một tổ hợp chập 2
của 8. Vậy số trận đấu :
b) Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8 vậy số cách chọn là
28
2.1
8.7
)!28!.(2
!8
2
8
==
−
=C
3368.7.6
)!38(
!8
3
8
==
−
=A

16) Một đa giác lồi có 20 đường chéo, hỏi đa giác có bao nhiêu đỉnh.
Hướng dẫn giải:
Gọi số đỉnh của đa giác là n
Số cạnh và số đường chéo của đa giác là
Vậy ta có phương trình :
Điều kiện n nguyên dương. Giải phương trình ta có n = 8
Vậy đa giác đó có 8 đỉnh ( bát giác lồi )
)!2(!2
!
2
−
=
n
n
C
n
20
2
3
2
)1.(
)!2(!2
!
20
2
2
=
−
=−

−
=−
−
↔=−
nn
n
nn
n
n
n
nC
n


17) Một bộ vé số 5 chữ số thiết lập từ 10 chữ số( 0, 1,…,9).
a)
Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau
b)
Có bao nhiêu vé trong đó đúng 2 số 4
Hướng dẫn giải:
a) Số vé có 5 chữ số khác nhau là = 10.9.8.7.6
b) Để có vé theo yêu cầu
1- Chọn vị trí có 2 số 4 là
2- Ba vị trí còn lại là chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 phần tử ( 0,1,2,3,8,…,9) là 103
Vậy số vé có hai số 4 là . 103
5
10
A
2
5

C
2
5
C

Xác suất, tính chất, các công thức xác suất
cơ bản
•
Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
( đồng khả năng)
( m khả năng thuận lợi xuất hiện biến cố A, n khả năng có thể)
( )
m
P A
n
=
( )
( )
( )
mes A
P A
mes
=
Ω
•
Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

( ); ( )mes A mes Ω
là số đo của A và không gian biến cố sơ cấp

Tính chất cơ bản của xác suất

a)
0 ≤ p ≤ 1
b)
P(Ω )= 1
c)
AiAj =Ø với mọi i khác j
P( Ai)=P(A1)+P(A2)+…P(An)
i = ( 1,n)
d)
P(Ā) = 1 –P(A)
e)
P(Ø) = 0
f)
P(AB) = P(A) +P(B) – P(AB)
•
P(ABC)= P(A)+P(B)+P(C )-P(A1 A2)-P(A1 A3)-P(A2 A3)+ P(A1A2 A3)

Các công thức xác suất cơ bản

a.
Xác suất có điều kiện:
( )
( / )
( )
P A B
P A B
P B
=

I
b. P(AB) =P(B).P(A/B)
c. Các biến cố Bi lập thành hệ đầy đủ
nếu Bi =Ω và Bi=Ø
d. Xác suất toàn phần :
1
( ) ( ) ( / )
n
P A P Bi P A Bi=
∑
e.Công thức Bayes
( ). ( / )
( / )
( )
P Bi P A Bi
P Bi A
P A
=
f. Hai biến cố độc lập nếu
P(AB)= P(A).(P(B)

Phép thử Bernoulli- Công thức xác suất nhị thức
g. Phép thử Bernoulli
Dãy phép thử Gi ; i=(1,n) trong đó mỗi phép thử tương ứng với một không gian
biến cố sơ cấp Ω = {A,Ā }, được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu
1.Dãy các phép thử là độc lập.
2.Xác suất xẩy ra biến cố A là không đổi và bằng p

Xác suất nhị thức . Dãy pháp thử Bernoulli ( n,p)


Khả năng nhất : -Nếu (n+1)p nguyên thì k
0
=(n +1) p và k
1
= (n+1)p-1
- Nếu (n+1)p không nguyên thì k
0
=[(n+1)p ]

( ) .
(1 )
k m k
k
n
n
k
p p
C
P
−
=
−
2
1
1 2
( ; ) ( )
n n
k
k
k

k k
P P
=
∑

II- Định nghĩa xác suất
18) Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 3% sản phẩm xấu. Lấy hú họa 1 sản phẩm từ lô
hàng, biết sản phẩm lấy được là tốt tìm xác suất.
Hướng dẫn giải:
Số khả năng thuận lợi là 970; số khả năng có thể 1000.
Gọi x sản phẩm lấy được là tốt, xác suất
P(x) = = 0, 97
970
1000


19) Gieo đồng thời 2 con xúc xắc đồng chất cùng khối lượng. Tìm xác suất:
a)
Tổng số chấm mặt trên là chẵn;
b)
Hiệu số chấm mặt trên có trị tuyệt đối là 3.
c)
Tổng số chấm mặt trên là 6.
Hướng dẫn giải :
a.
Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 18. Xác suất p =
b.
Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 6. Xác suất p =
c.
Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 5. Xác suất p =

18
36
6
36
5
36

20)
Hai hộp dựng bi; hộp 1 có 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh; hộp 2 có 10 bi
trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi, tìm xác suất
a) 2 viên cùng màu.
b) 2 viên khác màu.
Hướng dẫn giải:
a)Mỗi hộp đều có 25 bi nên khả năng có thể :
25.25 = 625
Khả năng thuận lợi 2 bi trắng(T):
Khả năng thuận lợi 2 bi đỏ( D):
Khả năng thuận lợi 2 bi xanh ( X):
Xác suất hai viên cùng màu là :
P(T)+P(D)+P(X)=
1 1
3 10
. 3.10 30
C C
= =
1 1
7 6
. 7.6 42
C C
= =

1 1
15 9
. 15.9 135
C C
= =
30 42 135 207
625 625 625 625
+ + =



b)Biến cố hai viên cùng màu là biến cố đối
của biến cố 2 viên khác màu nên
Xác suất hai viên khác màu là :

207 418
1
625 625
− =

21)
Một hộp đựng bóng đèn có 40 bóng tốt 10 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 8
bóng, tìm xác suất trong 8 bóng có 5 bóng tốt.
Hướng dẫn giải:
Khả năng có thể :
Khả năng thuận lợi để có 5 bóng tốt :
Xác suất để có 5 bóng tốt trong 8 bóng là :
8
50
50!

8!.42!
C
=
5 3
40 10
40!.10!
.
5!.35!.3!.7!
C C
=
5 3
40 10
8
50
.
P
C C
C
=