Ôn thi đại học toán Chuyên đề số phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 16 trang )
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
A
A
.
.
Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H
N
N
G
G
H
H
Ĩ
Ĩ
A
A
&
&
C
C
Á
Á
C
C
P
P
H
H
É
É
P
P
T
T
O
O
Á
Á
N
N
S
S
Ố
Ố
P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
I
I
.
.
L
L
Ý
Ý
T
T
H
H
U
U
Y
Y
Ế
Ế
T
T
:
:
1. Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
2
i
= –1.
Kí hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
C
= {a + b
i
/ a, b
R
và
2
i
= –1}. Ta có
R
C
.
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.
i
= a
Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b
i
= b
i
. Đặc biệt
i
= 0 + 1.
i
Số 0 = 0 + 0.
i
vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z = a + b
i
và z’ = a’ + b’
i
. Ta có z = z
'
'
aa
bb
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)
i
= (2y + 1) + (3x – 7)
i
(1)
(1)
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
3. Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + b
i
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành
Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
A
z
= 1 + 4
i
,
B
z
= –3 + 0.
i
,
C
z
= 0 –2
i
,
D
z
= 4 –
i
4. Môđun của số phức:
Số phức z = a + b
i
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu
22
z = a+bi = a +b
VD: z = 3 – 4
i
có
22
3 4 3 ( 4)zi
= 5
Chú ý:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z
5. Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + b
i
, số phức liên hợp của z là
z a bi
.
z = a+bi z =a-bi
;
zz
,
z = z
* Chú ý
nn
(z ) (z) ;i i; i i
z là số thực
zz
z là số ảo
zz
* Môđun số phức z = a + b.i (a; b
R)
22
z OM a b z.z
Chú ý:
zz
z
C
Hai điểm biểu diễn z và
z
đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
6. Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + b
i
là –z = –a – b
i
Cho
z a bi
và
' ' 'z a b i
. Ta có
z±z' =(a±a')+(b±b')i
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
7. Phép nhân số phức:
Cho hai số phức
z a bi
và
' ' 'z a b i
. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay
2
i
= –1 và
rút gọn, ta được:
z.z' =a.a' -b.b'+(a.b'+a'.b)i
k.z = k(a + b
i
) = ka + kb
i
. Đặc biệt 0.z = 0 z
z.
z
= (a + b
i
)(a – b
i
) hay
2
22
z.z = a +b = z
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
VD: Phân tích
2
z
+ 4 thành nhân tử.
2
z
+ 4 =
2
z
–
2
(2 )i
= (z – 2
i
)(z + 2
i
).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
8. Phép chia số phức:
Số nghịch đảo của số phức
z a bi
0 là
-1
2
1z
z = =
z
z
hay
22
1 a -bi
=
a+bi a +b
Cho hai số phức
z a bi
0 và
' ' 'z a b i
thì
2
' '.z z z
z
z
hay
22
a'+b'i (a'+b'i)(a-bi)
=
a+bi a +b
VD: Tìm z thoả (1 + 2
i
)z = 3z –
i
.
Ta có (3 – 1 – 2
i
)z =
i
z =
22
i
i
(2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i i
z z z i
9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N
4k 4k+1 4k+2 4k+3
i = 1; i = i; i = -1; i = -i
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =
13
(2 2 )i
6
2 6 6 6 19 19
(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i
Phần thực a =
19
2
, phần ảo b =
19
2
I
I
I
I
.
.
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
Á
Á
P
P
D
D
Ụ
Ụ
N
N
G
G
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i
3
=
5
+ (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
ĐS: a) x =
3
2
, y =
4
3
b) x = 0, y = 1 c) x =
15
2
, y =
13
3
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả
biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
1ab
, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
1ab
, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
12ab
, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính
biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i) b)
23
(1 ) (2 )
2
ii
i
5) Giải phương trình sau:
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c)
(2 3 ) 5 2
43
z
ii
i
Hướng dẫn: a) z = 1 b) z =
89
55
i
c) z = 15 – 5i.
6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i.
cos ;sin
66
F
nên F biểu
diễn số
31
22
i
. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
31
22
i
. E đối xứng F qua Ox nên E
biểu diễn số
31
22
i
. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
31
22
i
7) Cho
13
22
zi
. Hãy tính:
2 3 2
1
; ; ;( ) ;1z z z z z
z
.
Hướng dẫn: Ta có
1z
nên
1 1 3
22
iz
z
;
2
13
22
zi
;
32
.1z z z
;
2
10zz
8) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng
1
2
zz
, phần ảo của số phức z bằng
1
2
zz
i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi
zz
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi
zz
.
d) Với mọi số phức z, z
, ta có
' ', ' . 'z z z z zz z z
và nếu z
0 thì
''zz
zz
Hướng dẫn:
,z a bi z a bi
(1)
a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng
1
2
zz
. Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức z
bằng
1
2
zz
i
.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0
0z z z z
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0
0z z z z
.
d)
22
; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b
là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;
m m m m
i i i i i i
Hướng dẫn: Ta có
4 2 2
.1i i i
4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3
1 1 . 1. . . 1 . 1.
m
m m m m m m m m
i i i i i i i i i ii i i i i i i
10) Chứng minh rằng:
e) Nếu
u
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì
| | | |uz
và từ đó nếu hai điểm
12
,AA
theo thứ
tự biểu diễn số phức
12
,zz
thì
1 2 2 1
A A z z
.
f) Với mọi số phức z, z
, ta có |z.z
| = |z|.|z
| và khi z
0 thì
'
'
z
z
zz
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
g) Với mọi số phức z, z
, ta có
''z z z z
Hướng dẫn:
a)
z a bi
thì
22
z a b
,
u
biểu diễn số phức z thì
u
= (a; b)
22
u a b
do đó
| | | |uz
12
,AA
theo thứ tự biểu diễn số phức
12
,zz
thì
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1
A A OA OA z z A A z z
b)
z a bi
,
' ' 'z a b i
,
. ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i
,
2 2 2 2
, ' ' 'z a b z a b
Ta có
22
2 2 2 2
. ' ' 'z z a b a b
Ta có
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b
Vậy |z.z| = |z|.|z|
Khi z 0 ta có
22
' . ' . '
' '.
.
z z z z z
z z z
z z z z
zz
c)
u
biểu diễn z,
'u
biểu diễn z thì
'uu
biểu diễn z + z và
''z z u u
Khi
, ' 0uu
, ta có
2
2 2 2
22
' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u
''u u u u
do đó
''z z z z
11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
h)
1zi
b)
1
zi
zi
c)
34z z i
Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với
z x yi
2
2 2 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với
z x yi
22
22
1 ( 1) ( 1) 1 1 0
zi
x y i x y i x y x y y
zi
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với
z x yi
2 2 2 2
3 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y
6 8 25 0xy
. Tập hợp các điểm M là đường thẳng
6 8 25 0xy
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.
13) Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có
10
29
1
1
1
z
z z z
z
Hướng dẫn:
Với z 1,
2 9 2 9 10 2 9 10
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
a)
22
()zz
b)
33
()
zz
zz
c)
22
()
1
zz
zz
Hướng dẫn: Ta có
,z a bi z a bi
,
2 2 2 2 2 2
( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi
Và
3 3 2 2 3 3 3 2 2 3
( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i
Vậy
2 2 2 2
( ) 2( )z z a b
là số thực;
3 3 3 2
( ) 3
z z b
i
z z a ab
là số ảo;
22
22
( ) 4
1 . 1
z z ab
i
z z a b
là số ảo.
15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i)
2
z
là số thực âm; b)
2
z
là số ảo ; c)
22
()zz
d)
1
zi
là số ảo.
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì
2 2 2 2 2 2
2 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi
a)
2
z
là số thực âm khi xy = 0 và
22
0xy
x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
b)
2
z
là số ảo khi
22
0xy
y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c)
22
()zz
khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d)
1
zi
=
22
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j)
20iz i
c)
2 4 0iz
e)
2
40z
k)
2 3 1i z z
d)
1 3 2 3 0iz z i z i
Hướng dẫn:
a)
12zi
b)
13
10 10
zi
c)
84
55
zi
d)
; 3; 2 3i i i
e)
2zi
2) Tìm :
17) a) Cho số phức
z x yi
(x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
zi
zi
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
zi
zi
là số
thực dương.
Hướng dẫn:
a) Phần thực là
22
22
1
( 1)
xy
xy
, phần ảo
22
2
( 1)
x
xy
b) Là số thực dương khi
0x
và
22
10xy
Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu
diễn hai số phức
,ii
.
18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
,,z z z
. Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa
1 2 3
z z z
.
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
1 2 3
0z z z
Hướng dẫn:
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có
1 2 3
11
33
OG OA OB OC z z z
vậy G biểu diễn số phức
1 2 3
1
3
z z z z
b) Vì
OA OB OC
nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng
O hay
1 2 3
0z z z
.
B
B
.
.
C
C
Ă
Ă
N
N
B
B
Ậ
Ậ
C
C
H
H
A
A
I
I
C
C
Ủ
Ủ
A
A
S
S
Ố
Ố
P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
&
&
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
B
B
Ậ
Ậ
C
C
H
H
A
A
I
I
I
I
.
.
L
L
Ý
Ý
T
T
H
H
U
U
Y
Y
Ế
Ế
T
T
1. Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b
i
thoả
2
z
= w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a
a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
a
và –
a
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
.ai
và –
.ai
w là số phức: w = a + b
i
(a, b , b 0) và z = x + y.
i
là 1 căn bậc hai của w khi
2
zw
22
2
x - y = a
(x+ yi) = a+bi
2xy = b
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4
i
.
ĐS: có 2 căn bậc hai của w là
1
z
= 1 + 2
i
,
2
z
= –1 – 2
i
.
2. Phương trình bậc hai:
a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực:
22
0 ( 0), 4ax bx c a b ac
.
0: Phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x
a
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
| |.
2
bi
x
a
VD: Giải phương trình
3
80x
ĐS: Phương trình có 3 nghiệm
1 2 3
1 3. , 1 3. , 2x i x i x
b) Phương trình bậc hai với hệ số phức:
22
0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC
,
a bi
= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2
B
x
A
với
là 1 căn bậc hai của
.
VD: Giải phương trình: a)
2
102z iz
; b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i
a)
2
102z iz
có = –1 – 8 = – 9 =
2
(3 )i
.
Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3
4
ii
zi
,
2
31
42
ii
zi
b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i
có =
22
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i
=
2
(1 4 )i
Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3 2 1 4
13
2
ii
zi
;
2
3 2 1 4
2
2
ii
zi
B
B
.
.
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
Á
Á
P
P
D
D
Ụ
Ụ
N
N
G
G
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3 2 1 0zz
b)
2
7 3 2 0zz
; c)
2
5 7 11 0zz
Hướng dẫn:
a)
12
3
i
b)
3 47
14
i
c)
7 171
10
i
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
42
60zz
b)
42
7 10 0zz
Hướng dẫn:
a)
2; 3i
b)
2; 5ii
3) Cho a, b, c R, a 0,
12
,zz
là hai nghiệm phương trình
2
0az bz c
. Hãy tính
12
zz
và
12
zz
theo
các hệ số a, b, c.
Hướng dẫn:
12
zz
=
b
a
,
12
zz
=
c
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z,
z
làm nghiệm.
Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z,
z
làm nghiệm nên có (x – z)(x –
z
) = 0
2
( ) 0x z z x zz
.
Với z +
z
= 2a, z
z
=
22
ab
. Vậy phương trình đó là
2 2 2
20x ax a b
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì
zw
Hướng dẫn:
z a bi
là một căn bậc hai của w
2
22
z w z w z w z w
VD:
2
3 4 2ii
tức
2zi
là một căn bậc hai của
34wi
thì
zw
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
a)
2
1zz
b)
2
2 5 0zz
c)
2
(1 3 ) 2(1 ) 0z i z i
Hướng dẫn:
a)
2
2
1 1 5 1 5 1 5
2. .
2 4 4 2 4 2 2
z z z z
b)
2 2 2
2
2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i
c)
22
1 3 8 1 2 1i i i i
Phương trình có hai nghiệm phức là
12
2 ; 1z i z i
.
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ
số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai
2
0z Bz C
(B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
Hướng dẫn:
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là
22
1,2
4
2
B
z B AC
A
nên
1 2 1 2
;
BC
z z z z
AA
.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình
2
4 5 1 0z i z i
Có
2
5 12 2 3ii
nên hai số cần tìm là
12
3 ; 1 2z i z i
.
c) Phương trình
2
0z Bz C
có hai nghiệm là
;z a bi z a bi
thì
2B z z a
là số
thực và
22
.C z z a b
là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau:
22
2 1 0z i z iz
b) Tìm số phức B để phương trình
2
30z Bz i
có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn:
a)
2
2
0z i z i
có 3 nghiệm là
2 2 2 2
;;
2 2 2 2
i i i
.
b) Ta có
1 2 1 2
; . 3z z B z z i
nên
22
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i
9) Tìm nghiệm của phương trình
1
zk
z
trong các trường hợp sau:
a) k = 1; b) k =
2
; c) k = 2i.
Hướng dẫn:
2
1
10z k z kz
z
có 2 nghiệm
22
1,2
4
2
k
zk
a) k = 1 thì
1,2
13
22
zi
b) k =
2
thì
1,2
22
22
zi
c)
1,2
2 1 2k i z i
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a)
3
10z
; b)
4
10z
; c)
4
40z
; d)
43
8 8 1z z z
Hướng dẫn:
a)
32
1 3 1 3
1 0 1 1 0 1, ,
2 2 2 2
z z z z z z i z i
.
b)
4 4 2
1 0 1 1 1,z z z z z i
c)
4 4 2
4 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i
d)
32
1 1 3
1 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, ,
2 4 4
z z z z z z z z z i
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình
2
0z bz c
nhận
1zi
làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình
32
0z az bz c
nhận
1zi
và z = 2 làm nghiệm.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
Hướng dẫn:
a)
2
1 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c
b) Lần lượt thay
1zi
và z = 2 vào phương trình, ta được
2 (2 2 ) 0
8 4 2 0
b c a b i
a b c
24
2 2 6
4 2 8 4
b c a
a b b
a b c c
C
C
.
.
D
D
Ạ
Ạ
N
N
G
G
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
C
C
Ủ
Ủ
A
A
S
S
Ố
Ố
P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
(
(
T
T
h
h
a
a
m
m
k
k
h
h
ả
ả
o
o
)
)
I
I
.
.
L
L
Ý
Ý
T
T
H
H
U
U
Y
Y
Ế
Ế
T
T
1. Số phức dưới dạng lượng giác:
a) Acgumen của số phức z 0:
Cho số phức z = a + b
i
0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của
góc
( , )Ox OM
được gọi là một acgumen của z.
Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng
+ k2 (k )
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).
VD: Biết z 0 có một acgumen là
. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z;
z
; –
z
;
1
z
.
z biểu diễn bởi
OM
thì –z biểu diễn bởi –
OM
nên có acgumen là
+ (2k + 1)
z
biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –
+ k2
–
z
biểu diễn bởi –
'OM
nên có acgumen là –
+ (2k + 1)
1
z
=
1
2
||
z
z
z
, vì
2
1
||z
là một số thực nên
1
z
có cùng acgumen với
z
là –
+ k2.
b) Dạng lượng giác của số phức z = a + b
i
:
Dạng lượng giác của số phức z 0 là z =
r
(cos
+
i
sin
) với
là một acgumen của z.
Vôùi
22
ab
z = a+bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =
rr
VD:
Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos +
i
sin
Số 1 +
3
i
có môđun bằng 2 và một acgumen bằng
thoả cos
=
1
2
và sin
=
3
2
. Lấy
=
3
thì 1 +
3
i
= 2(cos
3
+
i
sin
3
)
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos
+
i
sin
)
Chú ý:
Số – cos
–
i
sin
có dạng lượng giác là cos(
+ ) +
i
sin(
+ )
Số cos
–
i
sin
có dạng lượng giác là cos(–
) +
i
sin(–
)
Số – cos
+
i
sin
có dạng lượng giác là cos( –
) +
i
sin( –
)
2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z =
r
(cos
+
i
sin
) và z =
r
(cos
’ +
i
sin
’) với
r
,
r
0
z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')]
và
zr
= [cos(φ- φ')+ isin(φ - φ')]
z' r'
(
r
0)
Ta có
1
'z
và
z
có cùng acgumen là –
’ + k2 nên
11
[cos( ') sin( ')]
''
i
zr
.
Do đó
[cos( - ') sin( - ')]
''
zr
i
zr
(
r
’
0)
VD:
1
33
2 cos sin
44
zi
và
2
55
2 sin cos
12 12
zi
. Tính
12
.zz
và
1
2
z
z
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
Với
2
2 cos sin
12 12
zi
;
12
.zz
=
5 5 3 1
2 2 cos sin 2 2 6 2.
6 6 2 2
i i i
và
1
2
z
z
=
2 2 2 1 3 2 6
cos sin 2
3 3 2 2 2 2
2
i i i
3. Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
a) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z =
r
(cos
+
i
sin
)
n
n
r(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ)
(n
*
)
b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z =
r
(cos
+
i
sin
) (
r
> 0) có 2 căn bậc hai là
φφ
r cos +isin
22
và
22
cos sin
22
ri
φφ
r cos + π + isin + π
22
VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:
100
1 i
và căn bậc hai của w = 1 +
3.i
Ta có 1 +
i
=
11
2 2 cos sin
44
22
ii
.
Do đó
100
1 i
=
100
50
2 cos sin 2 cos25 sin25
44
ii
w = 1 +
3.i
=
2 cos sin
33
i
có 2 căn bậc hai là
2 cos sin
66
i
và
77
2 cos sin
66
i
.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn
19
1 i
và công thức Moavrơ để tính
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
.
Hướng dẫn:
1 2 cos sin
44
ii
Ta có
19
19
0 0 1 1 2 2 18 18 19 19
19 19 19 19 19
0
1
n
kk
n
k
i i i i i i i
với phần thực là
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
19 19
19
99
19 19 2 2
1 2 cos sin 2 2 2
4 4 2 2
i i i i
có phần thực
9
2 512
Vậy
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
= –512.
2) Tính:
21
2004
5 3 3
;
1
1 2 3
ii
i
i
Hướng dẫn:
2004
2004 2004
1002 1002
1 2 1 1
cos sin cos sin
1 2 2 4 4 2 2
ii
ii
i
21
21
21
21 21
5 3 3 2 2
1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 2
33
1 2 3
i
i i i
i
3) Cho số phức
1
13
2
wi
. Tìm các số nguyên dương n để
n
w
là số thực. Hỏi có số nguyên dương
m để
m
w
là số ảo?
Hướng dẫn:
1 4 4 4 4
1 3 cos sin cos sin
2 3 3 3 3
n
nn
w i i w i
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
W là số thực khi
4
sin 0
3
n
, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để
m
w
là số ảo.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
i
iii
i
i 1
32321
1
1
10
2
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a.
;
2
31
1
2
i
i
z
i
i
b.
;0
2
1
.32
i
izizi
c.
;0||
2
zz
d.
0
2
2
zz
;
3.Tính: a. 1 + (1+i) + (1+i)
2
+ (1+i)
3
+ + (1+i)
20
b. 1 + i + i
2
+ i
3
+ ……+ i
2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau:
a.
;4|3| zz
b.
;2|1| izz
c.
ziz 2
là số ảo tùy ý; d.
|;2|||2 izziz
5. Các vectơ
',uu
trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng
'.'.
2
1
'. zzzzuu
;
b. Chứng minh rằng
',uu
vuông góc khi và chỉ khi
.|'||'| zzzz
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,k
iz
z
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
1
iz
z
và
.1
3
iz
iz
8. Tìm số phức z thỏa mãn
1
4
iz
iz
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1 tan
1 tan
i
i
10. Giải các phương trình sau trên C :
a.
01
2
2
34
z
z
zz
bằng cách đặt ẩn số phụ
z
zw
1
;
b.
0363263
22
2
2
zzzzzz
c. (z
2
+1)
2
+(z+3)
2
=0a.
01
32
izziz
d.
.0124
2
2
2
zzzz
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
,zz
sau :
a.
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b.
izz
izz
25
55
2
2
2
1
21
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a. -1-i
3
; b.
4
sin
4
cos
i
c.
;
8
cos
8
sin
i
d.
cossin1 i
;
2
0
13. Cho PT : z
2
+ kz + 1=0 (-2<k<2). Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
tròn đơn vị.
14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau :
2 1 3z z i z
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.
;31
3
sin
3
cos
7
5
iii
b.
9
10
3
1
i
i
; c.
2000
2000
1
z
z
biết rằng
.1
1
z
z
16. CMR: 3(1+i)
2011
= 4i(1+i)
2009
- 4(1+i)
2007
17. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i
33
33
là số thực, là số ảo?
18. Viết dạng lượng giác số z =
13
22
i
. Suy ra căn bậc hai số phức z ?
19. Với giá trị nguyên dương n nào thì số phức sau là số thực, số ảo ? 1)
33
()
33
i
n
i
2)
7
()
43
i
n
i
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
T
T
Ự
Ự
L
L
U
U
Y
Y
Ệ
Ệ
N
N
1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
Hướng dẫn: z = a + bi |z| =
22
ab
. Ta có |z|
2
a
= a và |z|
2
b
= b
3) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
Hướng dẫn:
a)
74
55
i
b)
18 13
77
i
4) Giải phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3 7 8 0zz
b)
4
80z
c)
4
10z
Hướng dẫn:
a)
7 47
6
i
b)
4
8
,
4
8i
c)
1, i
5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn:
1 2 1 2
3, 4z z z z
12
,zz
là nghiệm phương trình
2
3 4 0zz
với =
2
( 7 )i
1,2
37
2
i
z
6) Cho hai số phức
12
,zz
. Biết rằng
1 2 1 2
,z z z z
là hai số thực. Chứng tỏ
12
,zz
là hai nghiệm một phương
trình bậc hai với hệ số thực.
Hướng dẫn:
Đặt
1 2 1 2
,z z a z z b
với a, b R. Khi
12
,zz
là hai nghiệm phương trình
12
( )( ) 0z z z z
hay
2
1 2 1 2
( ) 0z z z z z z
2
0z az b
7) Chứng minh rằng nếu
1zw
thì số
10
1
zw
zw
zw
là số thực.
Hướng dẫn: Ta có
2
.1z z z
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
11
1
11
11
1
z w z w z w z w
zw
zw zw
zw zw
zw
nên
10
1
zw
zw
zw
là số thực.
8) Giải phương trình:
a)
2
3 6 3 13 0z i z i
b)
2
33
3 4 0
22
iz iz
z i z i
c)
2
2
2
1 3 0zz
Hướng dẫn:
a)
2
3 3 2
3 6 3 13 0
3 3 2 3
z i i z i
z i z i
z i i z i
b)
2
3
15
1
(1 ) 3 2
33
2
22
3 4 0
4 35
3 (4 ) 3 8
22
4
17 17
2
iz
zi
i z i
iz iz
zi
iz i z i
z i z i
zi
zi
c)
2
2
2 2 2
1 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i
Phương trình
2
1 3 0z iz i
có nghiệm
12
1 2 ; 1z i z i
Phương trình
2
1 3 0z iz i
có nghiệm
34
1 2 ; 1z i z i
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
2
( ) 2( ) 5x yi x yi
. Với giá trị nào của x, y thì số phức
trên là số thực.
Hướng dẫn: Phần thực là
22
25x y x
, phần ảo là
2( )xy y
. Số phức trên là số thực khi y = 0
hoặc x = 1.
10) Thực hiện các phép tính:
a) d)
33
(1 2 ) (1 2 )ii
; g)
2010 2009
(1 ) (1 )ii
e)
2 2 1 2
1 2 2 2
ii
ii
11) Tìm z, biết:
a)
(1 5 ) 10 2 1 5i z i i
; b)
(3 2 ) 1 4i z i z
c)
13
1
zi
ii
i
d)
23
1 3 2 1
1
i
z i z
i
; e)
( 2 3) 2 3 2 2i z i i
; f)
2 1 3
12
ii
z
ii
g)
2
1 1 2 2
1
zi
z i i
i
h)
12
23
11
i z i
zi
ii
i)
22
1 5 5
1
iz i
i z i
i
Hướng dẫn:
a)
12zi
; b)
13
55
zi
; c)
23zi
; d)
1
5
zi
;
e)
i
; f)
24
55
i
g)
3zi
h)
3zi
i)
23zi
12) Biết
1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
3 3 0zz
. Hãy tính:
a)
22
12
zz
; b)
33
12
zz
; c)
12
21
zz
zz
; d)
22
12
zz
Hướng dẫn:
a)
22
12
zz
= –3; b)
33
12
zz
=
63
; c)
12
21
zz
zz
= –1; d)
22
12
zz
= 6.
13) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là
1
37
22
zi
và
2
37
22
zi
14) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
a)
2
8(1 ) 12 16 0z i z i
; b)
2
2 2 0z i z i
;
c)
2
2 1 4 0iz i z
; d)
2
5 8 0z i z i
Hướng dẫn:
a)
2 , 8 6z i z i
; b)
12
2;z z i
; c)
12
2; 2z z i
; d)
12
2 ; 3 2z i z i
15) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b)
42
6 25 0xx
; b)
42
16 100 0xx
; c)
42
3 3 3 0x x i
d)
42
3(1 2 ) 8 6 0x i x i
; e)
4
7 24 0xi
; f)
4
28 96 0xi
Hướng dẫn:
a)
1 2 , 1 2x i x i
; b)
3 , 3x i x i
; c)
2 , 1x i x i
d)
2 , 1x i x i
; e)
2 , 1 2x i x i
; f)
3 , 1 3x i x i
16) Tìm z biết: a)
2
zz
; b)
2 2 4z z i
c)
2 1 2z i z i
và
1 10
10z
Hướng dẫn: Gọi z = x + y
i
z
= x – y
i
và
2 2 2
2z x y xyi
.
a)
2
zz
22
(1)
2 (2)
x y x
xy y
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) x = 0 hoặc x = 1
Nếu y 0 (2) có nhiệm x = –
1
2
thay vào (1) y =
3
2
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số
1 3 1 3
(0;0), (1;0), ; , ;
2 2 2 2
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =
13
22
i
; z =
13
22
i
b)
2
4
3
zi
c)
1 3; 1 3z i z i
17) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
c)
2zi
; b)
3
1
3
zi
zi
; c)
1z z i
; d)
(2 3 ) 2 0i z i m
(m là tham số)
Hướng dẫn:
a)
2 2 2 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
b)
22
22
( 3)
3 ( 3)
1 1 1 0
3 ( 3)
( 3)
xy
z i x y i
y
z i x y i
xy
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
c)
2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
d)
26
2 2 6 3 4
13
(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
34
2 3 13 13
13
m
x
m i m m
i z i m z z i x y
m
i
y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
18) Dùng công thức Moa-vrơ để tính
5
(1 )i
,
6
3 i
.
Hướng dẫn:
41 i
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
19) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
8
3 i
.
Hướng dẫn:
31
3 2 2 cos sin
2 2 6 6
i i i
.
20) Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0zz
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
2
12
zz
A
zz
. ĐS: A=11/4
21) Tìm số phức z thoả mãn:
22zi
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i
.
22) Tìm số phức z thỏa mãn:
1
11
3
12
z
zi
zi
zi
. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.
23) Giải phương trình:
4
1
zi
zi
. ĐS: z{0;1;1}
24) Giải phương trình:
2
0zz
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z. ĐS: z{0;i;i}
25) Giải phương trình:
2
0zz
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z. ĐS: z=0, z=1,
13
22
zi
26) Giải phương trình:
2
43
1 0
2
z
z z z
.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
. ĐS: z=1±i,
11
22
zi
.
27) Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i
.
28) Cho phương trình: (z + i)(z
2
2mz+m
2
2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.
29) Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
làm nghiệm biết:
a.
= 25i b.
= 2i
3
c.
=
3 - 2i
30) Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
iz
2
2iz2 = 0. b. z
3
+(i3)z
2
+(44i)z7+4i = 0.
31) Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
22z i z z i
. ĐS:
2
4
x
y
.
32) Trong các số phức thỏa mãn
3
23
2
zi
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.
3
23
2
zi
…
22
9
23
4
xy
.
Vẽ hình |z|
min
z.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
zi
.
33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực 2
10
, phần ảo: 2
10
+1.
34) Trong các số phức thỏa mãn
1z z i
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
M
M
Ộ
Ộ
T
T
S
S
Ố
Ố
Đ
Đ
Ề
Ề
T
T
H
H
I
I
Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I
H
H
Ọ
Ọ
C
C
–
–
C
C
A
A
O
O
Đ
Đ
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
B
B
à
à
i
i
1
1
.
.
(Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z
. Tìm phần thực
và phần ảo của z.
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
4 3 7
2
zi
zi
zi
trên tập .
Hướng dẫn:
a)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z
2
(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i
2 (2 ) 1 2 8i i i z i
8
12
i
z
i
(8 )(1 2 )
14
ii
z
10 15
23
5
i
zi
. Phần thực là 2, phần ảo –3
b)
4 3 7
2
zi
zi
zi
2
(4 3 ) 1 7 0z i z i
Ta có =
22
(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i
. Phương trình có 2 nghiệm:
1
4 3 2
3
2
ii
zi
và
2
4 3 2
12
2
ii
zi
B
B
à
à
i
i
2
2
.
.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm
tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện
| (3 4 )| 2zi
.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i
(x, y )
(3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i
Ta có
| (3 4 )| 2zi
22
( 3) ( 4)xy
= 2
22
( 3) ( 4)xy
= 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
B
B
à
à
i
i
3
3
.
.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả:
| (2 )| 10zi
và
.zz
= 25.
ĐS: z = 3 + 4
i
hoặc z = 5 + 0
i
.
B
B
à
à
i
i
4
4
.
.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức
của phương trình
2
2 10 0zz
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
A z z
.
Hướng dẫn:
2
2 10 0zz
có = 1 – 10 = –9 =
2
(3 )i
. Nghiệm là
1
13zi
,
2
13zi
Ta có:
1
1 9 10z
và
2
1 9 10z
nên
22
12
20A z z
B
B
à
à
i
i
5
5
.
.
(Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
2
2 3 4 1 3i z i z i
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình
2
1 6 3 0z i z i
Hướng dẫn:
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
2 3 4 1 3i z i z i
2
6 4 8 2
2 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6
2 2 6 5
a b a
i a bi i a bi i a b a b i i
a b b
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b)
2
1 6 3 0z i z i
có =
22
(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i
Do đó phương trình có 2 nghiệm:
1
1 1 5
12
2
ii
zi
;
2
1 1 5
3
2
ii
zi
B
B
à
à
i
i
6
6
.
.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa:
2z
và
2
z
là số thuần ảo
ĐS z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
B
B
à
à
i
i
7
7
.
.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập
hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa
1 (1 )z i z
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có
2 2 2 2
( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y
2 2 2 2
2 1 0 ( 1) 2x y y x y
. Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R =
2
.
B
B
à
à
i
i
8
8
.
.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:
2
( 2 ) (1 2 )z i i
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i
. Tìm môđun của số phức
z iz
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
( 2 ) (1 2 )z i i
1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i
.
5, 2ab
. Vậy phần phần ảo b = –
2
.
b) Gọi z = a + bi, ta có:
3
(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
44
1 1 1 1 1
i i i i
zi
i i i
z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i
z iz
= –8 – 8i. Do đó :
22
8 8 8 2z iz
.
